专题04 二次函数、反比例函数综合（北京专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 二次函数与反比例函数综合专题汇编，精选北京多区二模及名校期中期末试题，聚焦函数与几何综合应用，适配九年级复习提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|9道|反比例函数与平行四边形、菱形结合，动态点坐标关系|多结论判断，融合图形性质与函数性质，如平行四边形面积定值探究| |解答题|15道|二次函数对称轴、交点、动态线段长度，图形翻折与新图形|分层设问，如二次函数与直线交点距离随参数变化规律，贴合北京中考代数几何综合趋势|

专题04 二次函数、反比例函数综合 2大考点概览 考点01反比例函数综合 考点02二次函数综合 反比例函数综合 考点01 1．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 2．(25-26九下·北京顺义区·二模)如图，在平面直角坐标系中，点（）在第一象限，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，函数（）的图象交于点，交于点，连接，将沿翻折得到．给出下面四个结论：①连接，，则与的面积可能相等；②；③有且只有一个点，使得点在轴上；④连接，若点在轴上，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 3．(25-26九下·北京昌平区·二模)在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，点是函数图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，，给出下面四个结论：①四边形有可能是菱形；②；③的面积为定值；④存在唯一的点，使得是直角三角形；上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 5．(25-26九下·北京大兴区·二模)如图，在平面直角坐标系中，点A，点B是函数图象上的动点（A，B不重合），点A是的中点，点B是的中点，作垂直x轴于点E，交图象于点G，作垂直y轴于点F，交图象于点H．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②连接，，则的面积是面积的2倍； ③连接，，，，则与的面积一定相等； ④连接，，则，不一定平行． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 6．(25-26九下·北京平谷区·二模)如图，在平面直角坐标系中，点是直线与函数（，为常数）的图象的交点，过点作轴的垂线，垂足为点，且．给出下面四个结论： ①； ②已知点，过点作轴的平行线交直线于点，交函数于点，当时，； ③已知点，过点作轴的平行线交直线于点，交函数于点，当时，点在点的上方； ④已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数于点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．②④ C．①③ D．①②③④ 7．(25-26九·北京海淀区·期末)如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)如图，在平面直角坐标系中 ，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．(25-26九下·北京东城区·二模)如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，轴于点．以，为邻边作平行四边形，边与函数图象交于点，连接，．给出以下四个结论：①的面积恒为2；②点与点的横坐标之比为定值；③点可能是的中点；④有可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二次函数综合 考点02 1．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若，点，（）在该抛物线上，求的长； (3)记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 2．(25-26九下·北京丰台区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点坐标是． (1)用含的式子表示，并求的值； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作轴的垂线，交直线于点．记点，之间的距离为，当点，重合时，． ①当时，直接写出的值； ②在点从点运动到点的过程中，对于的每一个值，至多有两个不同的值与之对应，求的取值范围． 3．(25-26九下·北京石景山区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)，是抛物线上两点．过点作轴的垂线，交直线于点． ①当，时，比较，的大小； ②当时，线段的长随的增大而增大，求的取值范围． 4．(25-26九下·北京顺义区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围． 5．(25-26九下·北京朝阳区·二模)在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与抛物线交于点，与直线交于点（特殊地，当点，重合时，线段的长为）． (1)若，求线段的长； (2)已知实数，对于每一个确定的的值，记时线段长度的最大值为，若存在，使得当时，都有随的增大而增大，求的最小值． 6．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)的值为__________，并用含的式子表示，结果为___________； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，的长为___________． ②已知在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大，的取值范围是__________． 7．(25-26九下·北京昌平区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一点，且， ①直接写出的取值范围； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记线段长度为．当取，时，的长分别为，，若对于，都有，求的取值范围． 8．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)在平面直角坐标系中，已知二次函数过点和， (1)求出，，的值 (2)将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值且不超过，求的取值范围． 9．(25-26九下·北京西城区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)过点作轴的垂线交该抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 10．(25-26九下·北京燕山区·二模)在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的顶点坐标和对称轴（用含的代数式表示）； (2)连接． ①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出的取值范围； ②在①的条件下，过点作轴的垂线交抛物线于点，若线段的长随的增大而减小，求的取值范围． 11．(25-26九·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 12．(25-26九下·北京平谷区·二模)在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． (1)当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； (2)点，，在该抛物线上，若抛物与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 13．(25-26九下·北京大兴区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示． (2)直线与抛物线交于点和点（、不重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①用含的式子表示点的横坐标； ②已知，，点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，求的取值范围． 14．(25-26九下·北京房山区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点与点不重合．当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等，求的值． 15．(25-26九下·北京东城区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． (1)求点的坐标，并用含的式子表示； (2)将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，与抛物线在轴右侧的部分形成新的图形．点与点关于抛物线的对称轴对称． ①当时，判断图形与线段公共点的个数，并说明理由； ②若图形与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 8/9 9/9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数、反比例函数综合 2大考点概览 考点01反比例函数综合 考点02二次函数综合 反比例函数综合 考点01 1．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】对于①，取，容易证明四边形是菱形；对于②，作于点，由的几何意义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合等积变形可得为定值；对于③，设点的坐标为，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质可计算出的中点坐标为，由可判断的中点不在双曲线上；对于④，取，容易证明此时，再取，此时，因此必定存在的时刻． 【详解】解：对于①，当时，四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故①正确； 对于②，如图，作于点， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为定值，故②正确； 对于③，设点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的坐标为， 由中点公式可得，的中点坐标为， ∵， ∴的中点不在反比例函数的图象上， ∴点不可能是的中点，故③错误； 对于④，当，如图，取的中点，连接， 由①可知，四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由③可知，点的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象的上方， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在点移动的过程中，必然存在一个时刻，使得， ∴可能是直角三角形，故④错误； 综上，正确的结论为①②． 2．(25-26九下·北京顺义区·二模)如图，在平面直角坐标系中，点（）在第一象限，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，函数（）的图象交于点，交于点，连接，将沿翻折得到．给出下面四个结论：①连接，，则与的面积可能相等；②；③有且只有一个点，使得点在轴上；④连接，若点在轴上，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义、图形翻折的性质与代数推理，解题的关键是熟练运用反比例函数的坐标特征、翻折前后线段相等的性质，结合方程思想与代数变形逐一分析结论．解题时需先根据反比例函数求出点C、D的坐标，再利用翻折性质、面积公式、线段长度公式等对每个结论进行推导与验证． 【详解】解：函数（）的图象交于点，交于点， ， 由反比例函数的几何意义可得，， ， ， 若，则，即， 但， 令，得， 则，则，与矛盾，①错误； 由翻折得，，， ，， ，②正确； 若点在轴上，设， ，， ，， 解①：展开得，， 消去得，， 乘以得，； 解②：展开得，， 消去得，， 乘以得，； 联立化简得，， 把它看作关于的一元二次方程，， 解得，， ， ， 其中，可以取取值范围内的任意值，即满足条件的点有无数个，而不仅有一个点，③错误； 当点在轴上时，由③得，， ， ， ， ， ，即， ， ，④正确， 综上所述，正确的为②④． 故选：． 3．(25-26九下·北京昌平区·二模)在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，点是函数图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，，给出下面四个结论：①四边形有可能是菱形；②；③的面积为定值；④存在唯一的点，使得是直角三角形；上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】设，则，，，，，，再结合菱形的性质即可判断①；求出直线、的解析式，即可判断②；根据，计算即可判断③；分情况讨论并结合勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵点是函数图象上的一个动点， ∴设， ∵过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 若四边形为菱形，则，即， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 此时，，， 故四边形不是菱形，故①说法错误，不符合题意； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴，故②正确； ，故③正确； ∵，， ∴，，， ∵， ∴或， 当时，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 当时，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）； 故存在两个满足条件的点，使得是直角三角形；故④错误； 综上所述，正确的有②③． 4．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作轴于点，由菱形的面积可求得，在中，可求得，过作轴于点，由菱形的性质可求得点坐标，则可求得双曲线解析式；过作轴于点，则，可求得，可求得点坐标和；在中，由勾股定理可求得，结合条件可求得，则可求得，可得出答案． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点， ， ， ，即， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 四边形为菱形， 为中点， ，， ， 双曲线过点， ，解得， 双曲线解析式为， 故①正确； 又由上可知四边形为矩形， ， ，且， ， 故②正确； 在中，，， ， 故③正确； 在中，，， ， ， ， ， 故④不正确； 综上可知正确的为①②③共三个． 5．(25-26九下·北京大兴区·二模)如图，在平面直角坐标系中，点A，点B是函数图象上的动点（A，B不重合），点A是的中点，点B是的中点，作垂直x轴于点E，交图象于点G，作垂直y轴于点F，交图象于点H．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②连接，，则的面积是面积的2倍； ③连接，，，，则与的面积一定相等； ④连接，，则，不一定平行． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】设点A、点B坐标推出点C、点D、点G、点H坐标，利用图像和坐标得出三角形的面积，分析①②③结论，利用，所在直线的解析式进行切入，假设，分析④结论． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图所示： 设点A坐标为，点B坐标为， ∵点A是的中点，点B是的中点， ∴点C坐标为，点D坐标为，点G坐标为，点H坐标为， ∵点A，点B是函数图象上的点， ∴，， 根据图象可知： ， ， ∴，故①正确； ∵ ， ∴， ∵ ， ∴，故②不正确； ∵ ， ∴， ， ∴，故③正确， ∵设所在直线的函数表达式为， 将C，D代入得：， 解得：， 设所在直线的函数表达式为， 将点G坐标为，点H坐标为，代入得：， 解得：， 若，则， 即：， 整理得：， 所以， 因为，，所以等式恒成立， 即，所以④不正确． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、坐标与图形的面积关系、中点坐标公式以及平行线的判定，重难点在于利用点的坐标得出线段的长度，进而计算三角形面积，以及通过坐标关系判断直线的平行关系，解题核心是设点A、点B坐标推出点C、点D、点G、点H坐标． 6．(25-26九下·北京平谷区·二模)如图，在平面直角坐标系中，点是直线与函数（，为常数）的图象的交点，过点作轴的垂线，垂足为点，且．给出下面四个结论： ①； ②已知点，过点作轴的平行线交直线于点，交函数于点，当时，； ③已知点，过点作轴的平行线交直线于点，交函数于点，当时，点在点的上方； ④已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数于点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据已知得出代入反比例函数解析式，即可判断①；根据题意画出图形，由，得出代入，即可判断②；根据函数图象可得，当时，点在点的上方，即可判断③，根据题意函数图象可得，当时，点在点的左侧，此时在点的上方，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵轴， ∴的横坐标为， 当时，， ∴， 将代入， ∴， 解得：，故①正确； ②如图所示， 依题意，，， ∴， 当时，，， ∴； ③如图所示，根据函数图象可得，当时，点在点的上方，故③正确； ④如图所示，当时，点在点的左侧，此时在点的上方，则，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①②③④． 7．(25-26九·北京海淀区·期末)如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据菱形的性质判断即可；②求得的周长：，菱形的周长：，比较即可判断；③求得菱形的面积为即可得到菱形的面积有最大值． 【详解】解：①当，时，， 令，，解得， ∴， 以为对角线作菱形，且点在第一象限， ∴在线段的垂直平分线上， ∴这样的菱形有无数个，说法正确； ②当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的周长：，即， 菱形的周长：， ∴对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③∵，∴， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形的面积有最大值； 综上，①②③都是正确的． 8．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)如图，在平面直角坐标系中 ，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． 通过观察可判断①②③，通过点得到所在的直线表达式，作出图象后可判断． 【详解】解：①：当时，或，故①错误； ②：由图象可知，当时，有最小值，故②正确； ③：将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，故③正确； ④：令，， ∴， ∴点在直线的函数图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点，故④错误； ∴正确的有②③， 故选：B． 9．(25-26九下·北京东城区·二模)如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，轴于点．以，为邻边作平行四边形，边与函数图象交于点，连接，．给出以下四个结论：①的面积恒为2；②点与点的横坐标之比为定值；③点可能是的中点；④有可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】已知，，轴得，由得，代入、坐标，用待定系数法求直线解析式，联立反比例与直线,解方程得点坐标，用割补法，,求，证明恒成立，判定，算点与点的横坐标比值，判定，取中点验证坐标正误，判定，设列方程，由式子左边恒负，判定． 【详解】解：设点坐标为，， ∵轴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为：， 联立， 整理得， 解得正根， 此时， ∴， ∵， ∴, ， , 故正确； ∵，， ∴，是定值， 故正确； 若是中点，由，，可得， 把代入得，即，矛盾， 故错误； 若是等边三角形，需满足， ∵，， ∴， ∴ 整理得：， ∵等式左边恒为负数， ∴该方程无解， ∴不存在这样的点， 故错误． ∴正确的是①②． 二次函数综合 考点02 1．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若，点，（）在该抛物线上，求的长； (3)记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，通过移项化简直接用含的式子表示出； （2）代入得到具体抛物线解析式，令解一元二次方程，用较大根减去较小根即可得到的长度； （3）先求出直线的解析式，分类讨论点与点的上下位置关系，利用角和相似三角形将转化为关于的二次函数，再根据二次函数的增减性结合给定区间列不等式求解的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得抛物线为 将代入中， 得， ∵点，在该抛物线上， ∴将代入中， 得， 解得，， ∴； （3）解：将代入中，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图①，过点作轴于点，则，，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 当时，如解图①， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得抛物线， ∵点的横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵点在点上方， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向下，当时，的长随的增大而增大， 又∵当时，的长随的增大而增大， ∴， 解得， ∴， 当时，如解图②， 同理可得， ∵点在点上方， ∴ ， ∴， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大， ∵，即时，随的增大而增大， ∴不能满足全部在的范围内，故此情况不存在， 综上所述，的取值范围为． 2．(25-26九下·北京丰台区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点坐标是． (1)用含的式子表示，并求的值； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作轴的垂线，交直线于点．记点，之间的距离为，当点，重合时，． ①当时，直接写出的值； ②在点从点运动到点的过程中，对于的每一个值，至多有两个不同的值与之对应，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或6；② 【分析】（1）抛物线顶点式：，顶点，根据题意顶点为，先写出顶点式再展开对比一般式，即可求出、； （2）①先梳理点、坐标，写出的表达式，把代入的表达式求解； ②写出的表达式，根据不同值分情况讨论． 【详解】（1）解：依据题意，设抛物线的表达式为， 即， 又抛物线表达式可以表达为， ． （2）解：①设点， 依据题意，得， ， ， ， ， ， ， 根据题意，则有， 情况1：， ， 因式分解：， 得， 情况2:， ， 判别式，无实数根， 综上，或． ②设点， 依据题意，得， ， ， ， ， ， 当时，， 当或时，． 当时，， ． 函数的图象开口向下， 对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小； 当或时，， ． 函数的图象开口向上， 对称轴为， :当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大． I．当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t都有一个值与之对应． ； Ⅱ．当时，有， （i）当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t都有一个值与之对应． ； （ii）当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 当时，d随t的增大而减小， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t至多有两个值与之对应． ； （iii）当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 当时，d随t的增大而减小， 当时，d随t的增大而增大， 且当时，， ，即， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t至多有两个值与之对应． ； （iv）当时，有， 点从点运动到点的过程中，存在d的值，t有三个值与之对应， 不合题意， 综上所述：． 3．(25-26九下·北京石景山区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)，是抛物线上两点．过点作轴的垂线，交直线于点． ①当，时，比较，的大小； ②当时，线段的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可； （2）①把，代入求解即可；②先得到，然后得到，再画出函数图象分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ∴ ∴ ∴抛物线的对称轴为直线 （2）解：由（1）可得，抛物线的表达式为， ∴； ∴， ∵过点作轴的垂线，交直线于点． ∴当时， 解得 ∴ ①当时，，， ∴； ②∵， ∴ ∴点关于直线的对称点， ∵抛物线开口方向向上， ∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∴ ∵ 作出函数图象如图： ∵线段的长随的增大而增大， ∴或 解不等式组得， 而 ∴； 解得，，与矛盾，故舍去， 综上：的取值范围是． 4．(25-26九下·北京顺义区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把原点的坐标和代入即可求解； （2）先确定抛物线经过点和，再分和两种情况，画出图形，在图形上找出点，依据抛物线与线段恰有一个公共点确定点，比较和的大小，建立不等式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点和点． ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴抛物线的解析式为： （）， ∵当时，，当时，， ∴抛物线过点和， 分两种情况讨论： 当时，如图所示： ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可得：或． 5．(25-26九下·北京朝阳区·二模)在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与抛物线交于点，与直线交于点（特殊地，当点，重合时，线段的长为）． (1)若，求线段的长； (2)已知实数，对于每一个确定的的值，记时线段长度的最大值为，若存在，使得当时，都有随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先分别求出点M，N的坐标，再求出长度即可； （2）先求出抛物线与直线的交点为，，再设，，可得，，然后分两种情况讨论：当时，当时，线段长度的最大值为1；当时，的长度随的增大而增大，接下来再根据线段长度的最大值的变化规律得出答案． 【详解】（1）解：时，点坐标为，点坐标为， ； （2）解：抛物线与直线的交点为，． 设，，则，． 当时，． ． 可知当时，线段长度的最大值为1． 当时， ． ． 可知的长度随的增大而增大． 令，解得或（舍）． 分析线段长度的最大值的变化规律可知： （ⅰ）当时，随着的增大，的值先增大，再保持不变，再增大； （ⅱ）当时，随着的增大，的值先保持不变，再增大； （ⅲ）只有当时，随增大而增大． 要使时，都有随的增大而增大，的最小值为 6．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)的值为__________，并用含的式子表示，结果为___________； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，的长为___________． ②已知在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大，的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2)①4；②或 【分析】（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案； ②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得， 解得； （2）解：①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，得点，如图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②由（1）可得，与轴交于点，， ∵轴，， ∴，， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即， 解得或， 当时，， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴，点P在y轴右侧，如图， 若，，其图象开口向下，对称轴为直线， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴点在直线左边移动， ∴， 解得（不符合）， 当时，，其图象开口向上，对称轴为直线，当时，的长随的长的增大而增大， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴， 解得； 当，可有，点P从y轴的左侧开始运动，如图， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴点只能从点向左边运动才能满足的长随的长的增大而增大， ∴， 解得， 综上所述，a的取值范围为或． 7．(25-26九下·北京昌平区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一点，且， ①直接写出的取值范围； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记线段长度为．当取，时，的长分别为，，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称性计算即可得出结果； （2）①由抛物线的解析式可得抛物线开口向上，由抛物线的性质并结合题意得出，计算即可得出结果；②求出，，则，画出大致的函数图象，根据函数图象并结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①∵抛物线， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线经过点，，，且， ∴， 解得； ②在中，当时，，即， 在中，当时，，即， ∴， 画出大致函数图象如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ∵当取，时，的长分别为，，若对于，都有， ∴由图象可得：，， 解得． 8．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)在平面直角坐标系中，已知二次函数过点和， (1)求出，，的值 (2)将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值且不超过，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及二次函数解析式的求解、函数间的距离计算、分段讨论二次函数的最值以及不等式的求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质以及分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，将已知点的坐标代入函数表达式，通过待定系数法求解，，的值； （2）先表示出，两点的纵坐标，进而得到两点距离的表达式，将问题转化为求含绝对值的二次函数在指定区间上的最大值问题；再结合二次函数的对称轴、区间端点及顶点处的函数值，通过分段讨论确定最大值的约束条件，进而求解的取值范围． 【详解】（1）解：函数过点， ， 函数过点，， ， 解得：； （2）解：由（1）得， 设点，， 则，， 设点与点的距离为，则， 设，， ，则问题转化为：当时，存在最大值且最大值不超过， 的对称轴为， 时，时， 的最大值只能在或顶点处取得， 或， ①若，即时， 最大值， 解得：， 的取值范围为； ②若，即时， 最大值， 解得：， 的取值范围为； 综上所述，的取值范围为． 9．(25-26九下·北京西城区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)过点作轴的垂线交该抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入A、B的横坐标表达式，得到两点具体坐标，根据x轴上两点距离公式计算长度； （2）先求抛物线与y轴交点D的坐标，再结合点B坐标，用待定系数法得到直线的表达式，根据点E的横坐标t，分别代入抛物线和直线解析式得到M、N的纵坐标，作差得到关于t的函数表达式，结合点B的坐标，确定当长度逐渐增大时t的取值范围，关于t的函数为二次函数，进而求解a的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得，， 令，， 解得，， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）抛物线与轴交点， 且由（1）得，，， ∴解析式为， ∵， ∴，， ∴， ∴， ①当时，即， 此时点在左侧， ∵点从出发，沿某个方向运动时，逐渐增大， ∴点向右侧运动时，满足逐渐增大， ∴， 且关于的函数图像如图所示： ∴当时，随的增大而增大，不合题意，舍去； ②当时，即， 此时点在右侧， ∵点从出发，沿某个方向运动时，逐渐增大， ∴点向左侧运动时，满足逐渐增大， ∴， 且关于的函数图像如图所示： ∴对称轴为， ∵随的增大先变小后增大， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围是． 10．(25-26九下·北京燕山区·二模)在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的顶点坐标和对称轴（用含的代数式表示）； (2)连接． ①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出的取值范围； ②在①的条件下，过点作轴的垂线交抛物线于点，若线段的长随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为；对称轴为直线， (2)①且或．② 【分析】（1）根据二次函数对称轴的求解方法和顶点坐标求解即可． （2）①由点A和点B的坐标结合线段，得出，，求出点点关于抛物线的对称点，再结合线段与抛物线有且只有1个公共点，列出不等式求解即可． ②求出点C的坐标，再得出，最后由二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为． （2）解：①∵点，点坐标为， ∴，，即， ∵点为抛物线上一点， ∴点关于抛物线的对称点为， ∵线段与抛物线有且只有1个公共点， ∴或， 解得或， 综上：且或． ②把点代入抛物线得出， ∴， ∴， ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴点C的横坐标为， 把代入，得：， ∴， ∴， ，该函数与x轴的交点坐标为和， 对称轴为直线， 画出函数图象如下： 当时和时，线段的长随的增大而减小． ∵在①的条件下，则且或． ∴时，线段的长随的增大而减小． 11．(25-26九·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 或 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）分和两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为， ∵，是抛物线上的点， ∴，， ∴； （2）解：抛物线对称轴为， ∵过抛物线上的点作直线轴，， ∴直线与抛物线的另一个交点为点P关于的对称点， 若，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， ②若，则， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； ③若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大， 设点关于的对称点为， 则， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； 若，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 设点关于的对称点为， ∵， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上，a的取值范围是或或． 12．(25-26九下·北京平谷区·二模)在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． (1)当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； (2)点，，在该抛物线上，若抛物与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①二次函数的解析式为；② (2) 理由：令则 ， 解得或， ， ， ， ， ， ， ∵点在该抛物线上， ∴点关于的对称点也在该抛物线上， ∴， ∴， 抛物线的解析式为 ， 则抛物线图象开口向下， ∴当时随的增大而减小， ∵点，，在该抛物线上， ． 【分析】（1）①利用二次函数的增减性判断出对称轴为，再代入对称轴公式求出参数，从而得到函数解析式；②将函数解析式配方为顶点式，确定开口方向和顶点坐标，再结合的条件，比较函数值与的大小关系； （2）先通过解方程求出抛物线与轴的交点，结合交点范围确定参数和对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性，将点转化到对称轴右侧，根据开口向下时对称轴右侧的增减性，比较三点的函数值大小． 【详解】（1）①解：已知关于的二次函数，由题意得对称轴为， 可得， 解得， 故二次函数的解析式为． ②解：已知二次函数的解析式为，配方得， 可知抛物线图象开口向下，顶点为， 故当，函数值． （2）略 13．(25-26九下·北京大兴区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示． (2)直线与抛物线交于点和点（、不重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①用含的式子表示点的横坐标； ②已知，，点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，②或 【分析】（1）将点和点代入二次函数即可作答； （2）①根据（1）的结果，联立一次函数、二次函数即可作答；②将一次函数、二次函数相减，结果的绝对值即为的长度，将其配方，再分类讨论：当时，即、同在y轴的左侧，即确定取最大值时x的值，再确定此种情况下点的位置，数形结合即可求解；当时，再确定取最大值时x的值，数形结合即可列出关于a的不等式组，问题随之得解． 【详解】（1）解：将点和点代入二次函数关系式有：，， 即：； （2）解：∵，， ∴二次函数为， ①联立：，解得：，或， 即点B的坐标为：， ∵、不重合， ∴，即， 则点B的横坐标为； ②根据题意可知的长度为：， 当时，即、同在y轴的左侧， ∵， ∴，， ∴当时，的最大值为：， ∵直线与抛物线交于点和点（、不重合），点B的横坐标为：， 若点在y轴的右侧，结合、同在y轴的左侧， 如图， 即在范围内，的函数值大于的函数值， ∴此时的的值将随着x的变大逐渐变大，此时与题意不符， ∴点在y轴的左侧， 如图， ∵当时，的最大值为：， 又∵点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小， ∴，解得：； 当时，即、同在y轴的右侧， ∵，， ∴，， ∴当时，的最大值为：， 如图， 要满足：点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小， ∴，解得：； 综上：的取值范围或． 14．(25-26九下·北京房山区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点与点不重合．当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等，求的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式和已知点坐标列方程组，求解得到a和b，即可得到抛物线表达式； （2）先得到P、Q坐标，推导得到长度的表达式，根据二次函数的性质，由对于任意一个m总有另一个不等于m的值，使长度相等，可得和的长度相等，列方程求解，结合k的范围即可得结果． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意可得， ，， ∴， 设，对称轴为， ∵当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等， ∴对任意一个的值在中，都有两个不同的与之对应，如图， ∴当和时，相等，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵， ∴． 15．(25-26九下·北京东城区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． (1)求点的坐标，并用含的式子表示； (2)将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，与抛物线在轴右侧的部分形成新的图形．点与点关于抛物线的对称轴对称． ①当时，判断图形与线段公共点的个数，并说明理由； ②若图形与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①3个，理由如下： ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴点的坐标为， ∵抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折， ∴翻折后的解析式为，即， ∴图形的解析式为， 当时， ∴， 如图， 将代入，得， ， 解得或， ∵， ∴图形在轴右侧与线段有2个公共点； 将代入，得， ， 解得或（正值，舍去）， ∵， ∴图形在轴左侧与线段有1个公共点； 综上所述，图形与线段共有3个公共点． ②或 【分析】（1）先求出点的坐标，结合平移可得点，代入可得； （2）①先求出翻折后的解析式，分别求出两段抛物线与轴的交点坐标，并判断是否在线段上即可； ②分两类讨论，当公共点在轴的右侧时，需满足方程的或，但只有一根在内，同时方程的或，但根都不在内，求解不等式并取公共部分；当公共点在轴的左侧时，同样的方法计算即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵点由点向右平移个单位长度得到， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， ∴； （2）解：①略； ②由①可知，， （Ⅰ）当图形与线段的公共点在轴的右侧时， 将代入，得， ， ∵图形与线段只有1个公共点， ∴或，但只有一根在内， 当时， ∴， ∵， ∴，此时，符合题意； 当时， ∴，解得或， ， 解得， ∵两根关于直线对称，且只有一根落在， ∴只需满足，即， ∴，解得，满足， 将代入，得， ∴， ∵左侧部分无公共点， ∴或，但根都不在内， 当时， ，解得， 当时， 解得， 由对称性可知，只需满足或，解得， 综上，当时，图形与线段只有一个公共点，且在轴的右侧； （Ⅱ）当图形与线段的一个公共点在轴的左侧时， 将代入，得， ∴， ∵图形与线段只有1个公共点， ∴或，但只有一根在内， 当时， ∴， 解得（舍去），此时，不符合题意， 当时， ∴，解得或， ， 解得（正根，舍去）， ∴，即， ∴，解得，满足， 将代入，得， ∴， ∵右侧部分无公共点， ∴或，但根不在内， 同理（Ⅰ）可得，或， 综上，当时，图形与线段只有一个公共点，且在轴的左侧； 综上所述，当或时，图形与线段只有一个公共点． 54/54 53/54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $