2025年北京市九年级中考二模数学汇编：一次函数章节综合

2025北京初三二模数学汇编 一次函数章节综合（京改版） 一、填空题 1．（2025北京石景山初三二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 二、解答题 2．（2025北京东城初三二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围． 3．（2025北京顺义初三二模）上部是圆柱形，下部是近似圆锥形的漏斗如图1所示，圆柱的高为，圆锥的高为．先将漏斗底部出液口开关闭合，然后装满液体，再打开出液口开关，记录排出液体（单位：）和液体下降高度（单位：），部分数据如下： (1)将表格补全（结果保留小数点后一位）； 0 100 160 200 300 350 400 450 500 0 1.5 2.4 4.5 5.3 6.3 7.8 13.5 (2)通过数据分析，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象； (3)根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①从增加到，增加的量记作；从增加到，增加的量记作，则______（填“”“”或“”）； ②如图2，两个该种型号的漏斗A和B，它们的底部出液口开关均已关闭，A装满液体，B是空的．先将A中的一部分液体倒入B中，然后把这两个漏斗放置于桌面的漏斗架上．此时，A和B的出液口距离桌面的高度均为，A的液面距离桌面的高度为，则B的液面距离桌面的高度约为______（结果保留小数点后一位）． 4．（2025北京东城初三二模）某团队设计了一款智能灯，它可以根据自然光照度自动开启或关闭，当自然光照度小于或等于勒克斯（勒克斯为光照度单位）时，自动开启；大于勒克斯时，自动关闭．该团队通过模拟自然光照度进行了一次实验，记录了实验中模拟自然光照度（单位：勒克斯）与时间（单位：分钟）的关系数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 32.9 30.0 27.5 25.6 24.2 23.3 22.9 23.0 23.7 24.8 26.5 28.7 31.4 (1)团队成员发现可以用函数刻画模拟自然光照度与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (2)若． ①智能灯首次开启时，_____； ②智能灯的工作时长约为_____分钟；（结果保留小数点后一位） (3)设当为30，27，24时，智能灯工作时长分别为，，，则_____．（填“>”“=”或“<”） 5．（2025北京房山初三二模）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（单位：分钟） 总水量（单位：毫升） (1)通过分析数据，发现可以用函数（为常数）刻画总水量与时间之间的关系，画出这个函数的图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①请你估计小明在第分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 6．（2025北京房山初三二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于1，直接写出的取值范围． 7．（2025北京大兴初三二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 8．（2025北京石景山初三二模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围． 9．（2025北京朝阳初三二模）科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上信息，解决问题： 若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）． 10．（2025北京丰台初三二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值． 11．（2025北京顺义初三二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围． 12．（2025北京西城初三二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100% 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； (2)根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶______km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车______（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为______（精确到1%）． 13．（2025北京西城初三二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 14．（2025北京海淀初三二模）某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属和制作出了合金，利用金属和制作出了合金．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属的质量百分比有关．当合金中所含金属的质量百分比为时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金的硬度（单位：）和合金的硬度（单位：），部分数据如下表： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 合金M的硬度 55 60 65 75 80 85 90 95 合金的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59 根据数据可以发现，与之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画与之间的关系． (1)补全表格； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)第一实验小组准备了金属，全部用于制作合金和合金，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为___________（结果保留整数）； ②经研究发现，在此实验条件下，温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同，则合金中的金属的质量约为___________（结果保留整数）． 15．（2025北京海淀初三二模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 16．（2025北京昌平初三二模）某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0      5      10      15      20      25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6                     通过分析数据发现，可以用函数刻画与与之间的关系，回答下列问题： (1)在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； (2)与的关系式为____________ (3)重新取弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为，结合函数图象回答： ①这些重物的质量为____________； ②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________． 17．（2025北京昌平初三二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 18．（2025北京门头沟初三二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 参考答案 1．30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 2．(1)， (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点和代入一次函数求解即可得； （2）先求出当时，，再根据函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴随的增大而增大， 当时，， ∴当时，， 要使得当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6， 则随的增大而增大，且当时，，即， ∴． 3．(1)3.0 (2)见详解 (3)①；②11.4 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和函数图像的画法，用一次函数解决实际问题，涉及圆柱、圆锥体积的计算，准确理解题意并求出一次函数的解析式是正确解答此题的关键． （1）计算即可发现规律，进而得解； （2）在平面直角坐标系中描出各个点再连线即可； （3）①观察表格或图像即可得答案；②先求出漏斗B中，再结合图象，用待定系数法求出当时，与的函数关系式，利用函数关系式求即可． 【详解】（1）解∶， 应该填3.0， 故答案为：3.0； （2）解：描出各点，连线，如图所示： （3）解：①从表格中可得：从增加到，增加的量； 从增加到，增加的量约为， ， ， 故答案为：； ②由题意得，漏斗A的， 从（1）中表格，得， ∴漏斗B中液体为， ∴漏斗B中 观察图象可得，当时，与可视为一次函数， 设，把和代入，得 ， 解得：， ∴， 当时，， ∴B的液面距离桌面的高度约为， 故答案为： 4．(1)见详解 (2)①1；②10.5（答案不唯一，此为估算值，原则上上下浮动0.2以内均正确）； (3)<． 【分析】本题主要考查描点连线、图像中获取信息和有理数的加减运算，解题的关键是熟悉图中获取信息， （1）根据描点连线作图即可； （2）①由图可知，智能灯首次开启时，， ②根据题意知智能灯首次开启时，；智能灯开启后关闭时，，即可智能灯的工作时长； （3）由（2）知当为30时，智能灯工作时长为分钟，同理可得当为27时，智能灯工作时长为分钟，当为24时，智能灯工作时长分钟，即可求得分钟，分钟即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：①由图可知，智能灯首次开启时，， ②∵时，自动开启； ∴智能灯首次开启时，；智能灯开启后关闭时， 则智能灯的工作时长约为分钟； （3）解：由（2）知当为30时，智能灯工作时长为分钟， 同理可得当为27时，智能灯工作时长为分钟， 当为24时，智能灯工作时长分钟， 则分钟，分钟， 那么，． 5．(1)图象见解析 (2)①毫升；②天 【分析】本题考查了画函数图象，待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． （1）将表格数据在坐标系中描点、连线，即可求解． （2）①观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式；将代入函数，即可解答； ②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答． 【详解】（1）描点，连线，如图， （2）①解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系， 把，代入， 可得， 解得， y关于t的表达式； 当时，， 故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升， 答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升． ②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升， 30天分钟分钟， 可供一人饮水天数天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天． 6．(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数平移，待定系数法求解析式，根据一次函数的交点求不等式的解集； （1）根据一次函数的平移可得函数过点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据当时，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于等于1，即可求解． 【详解】（1）.解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数过点，            ∴， 解得： ∴函数解析式为 （2）解：时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数之差的绝对值差大于1， ∴ ∴或 解得：或 7．(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能结合函数图象进行分析是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）依据题意，在同一坐标系中画出直线，，又当时，，故；当时，，可得令，故，结合结合题意，即可判断得解． 【详解】（1）解：把点，代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由题意，在同一坐标系中画出直线，如下． 由题意，当时，， 则，故． 又∵当时，， ∴令，则，故． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值， ∴． 8．(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与不等式组之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式可判断出在中，y随x增大而减小，那么当时，函数的最小值一定要大于，据此可得不等式；求出不等式的解集，根据题意可得是的解集或解集的一部分，据此求解即可． 【详解】（1）解：把和代入到中得， 解得； （2）解：由（1）得函数的解析式为 ∵在中，， ∴在中，y随x增大而减小， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于， ∴当时，， ∴； 当时，解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值， ∴， ∴， 综上所述，． 9．(1) (2)见解析； (3)或，或； 【分析】本题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据当时，，当时，，与是正比例函数，求出解析式即可； （）根据画函数图象方法步骤即可； （）根据题意将图象向上平移个单位，然后观察图象即可； 观察图象即可． 【详解】（1）解：∵当时，，当时，， ∴与是正比例函数， 设， ∴，解得：， ∴， 当时，， 故答案为：； （2）解：如图， （3）解：∵装置比装置早启动了，如图， 根据图象可知，装置启动或时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为或， 故答案为：或，或； 在的条件下，根据图象可知，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取实验物质， 故答案为：． 10．(1)函数的解析式为， (2)1 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为3，代入函数解析式求出点的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【详解】（1）解：把点和代入得： ， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点的纵坐标为3， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于3， 所以当过点时满足题意， 代入得：， 解得：． 11．(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，两条直线相交或平行问题，采用数形结合思想是解题的关键． （1）运用待定系数法的方法即可求解； （2）求出直线经过点时的值，再根据图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入， 则， 解得：， 再将代入， 则， 解得：； （2）解：由（1）得， 可得，当， ∴， 当直线经过时，， 解得：； 当直线经过时，， 解得：， ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4， 由图象可得：． 12．(1)见解析 (2)①7.1（答案不唯一）；②不能；③ 【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题． （1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与、与对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于与，有， 等点；对于与，有，等点． （2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值． ②找到时的值，与小明家到幼儿园的路程比较大小． ③小明家到幼儿园路程为，幼儿园到单位路程为，分别估算对应的值，相加即可得解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：①从表格数据或图象估算，当时，，， ∴ ． ②从表格数据或图象估算，当时，的值约为 ， ∵， ∴不能将小明送到幼儿园． ③观察的数据，当时，， 观察的数据，当时， ∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为． 13．(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围． （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为． （2）解：联立， ∴， 解得（ ）． 当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则 ， 解得． 又∵当时，在的下方， ∴要大于， ∴． 14．(1)见解析 (2)见解析 (3)①6；②30 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求出与的函数关系式，再求出时，的值即可； （2）先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象求解即可；②温度不发生变化时，合金N的硬度比合金M的硬度高，由表格中的数据可知，当时，合金N的硬度为，当时，合金M的硬度为，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入到中得：， ∴， ∴， 在中，当时，， 补全表格如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 合金M的硬度 55 60 65 70 75 80 85 90 95 合金的硬度/HRC 62 68 72 74 75 73 71 66 59 （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：①由函数图象可知，两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为； ②∵温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同， ∴温度不发生变化时，合金N的硬度比合金M的硬度高， 由表格中的数据可知，当时，合金N的硬度为，当时，合金M的硬度为， ∴合金N中的金属C的质量约为时，刚好满足题意． 15．(1) (2)的最小值是； 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）将点代入一次函数解析式即可解决问题． （2）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：将点代入，得， ； （2）解：如图， 当时，， 把代入，求得， 当时，， 把代入，求得， ∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， ∴的最小值为的取值范围是． 16．(1)见详解 (2) (3)①4，② 【分析】该题考查了正比例函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据表格数据补全的函数图象即可； （2）根据图象可得与是正比例函数，设与的关系式为，根据待定系数法求解即可； （3）①将代入求解即可； ②根据图象可得当，与是正比例函数，求出；设需要挪动的物体质量约为，则，求解即可． 【详解】（1）解：补全的函数图象如图： （2）解：根据图象可得与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； （3）解：①将时，， 即这些重物的质量为； ②根据图象可得当，与是正比例函数， 设与的关系式为， 代入可得，解得：， ∴； 设需要挪动的物体质量约为， 则， 解得：． 17．(1) (2)且 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入,求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）结合图象即可求得． 【详解】（1）解：一次函数的图象是由的图象平移得到， ， 把点代入可得， 解得， 所以一次函数的表达式为 （2）解：设， 当时，， 把代入，可得，解得， 当时，对于的每一个值都有， 即当时，对于的每一个值都有， 结合图象可得且． 18．(1)； (2)且． 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解； （2）先求出函数的图象过定点，将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像由函数的图象平移得到的， ∴． 将点代入，得， ∴一次函数的表达式是； （2）解：∵将代入函数，则， ∴函数的图象过定点， 将代入中，解得， 如图，      ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$