专题06 三角形与四边形综合（北京专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦三角形与四边形综合，汇编2026年北京多区县二模、一模试题，包含选择压轴与解答题，强化几何综合能力训练。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|正方形、正六边形、菱形等图形性质与动态问题|多结论判断，结合图形变换与坐标几何| |解答题|24|四边形判定（矩形、菱形）、三角形旋转与中点综合|分层设计，从基础证明到复杂几何推理，贴合北京中考压轴趋势|

专题0三角形与四边形综合 3大考点概览 考点01选择压轴 考点02四边形的性质与判定 考点03三角形综合 选择压轴 考点01 一、单选题 1．（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，对角线、相交于点，是线段上一动点（不与点重合），过点分别作、的垂线交、边于点、．记的面积为，的面积为．当点在线段上运动的过程中，给出下列四个结论： ①点与点重合时，；②；③一定存在；④当是的中点时，．上述结论中，所有正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·北京市西城区·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形是以点为中心的正六边形，点在正六边形的边上，且点在第一象限．若，给出下面四个结论：（     ） ①线段的最大值为2； ②若点关于原点的对称点为，则当时，的面积取得最小值； ③若点在反比例函数的图象上，则； ④若在该六边形的边上，且，则与之间的数量关系是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（2026·北京燕山教育集团·二模）连接正五边形的对角线，得到如右图所示图形，中心为点，与交于点．连接与交于点，连接，，，． 观察后得出如下结论： ①； ②连接，则有； ③； ④连接，则有． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 4．(25-26九·北京海淀区·期末)如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2026·北京房山·二模）如图，正方形中，点为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，那么正方形的周长的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 6．（2026·北京丰台·二模）如图，正方形的边长为2，将边，，，分别绕点顺时针旋转（），得到，，，，连接，，，．给出下面四个结论：（） ①对于任意都有； ②对于任意四边形为正方形； ③四边形的面积随的增大而增大； ④当时，四边形的周长为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．（2026·北京石景山·二模）如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．（2026·北京朝阳·二模）如图，将正方形绕其中心逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的公共点为，B，C，D，E，F，G，H，连接，，．给出下面四个结论： ； ； ； 线段，，可以组成直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 四边形的性质与判定 考点02 一、解答题 1．（2026·北京东城·二模）如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 2．（2026·北京朝阳·二模）如图，在中，，为边上的高，为边的中点，，垂足为，点在线段上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 3．（2026·北京顺义·二模）如图，在中，，分别是，的中点，于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 4．（2026·北京石景山·二模）在中，，是的中点，点在边上，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接并延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 5．（2026·北京丰台·二模）如图，在中，是边上的一点（不与点重合），是边的中点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 6．（2026·北京房山·二模）如图，矩形，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 7．（2026·北京大兴·二模）如图，在中，，O为中点，过点A作于点E，连接，并延长到点D，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 8．（2026·北京平谷·二模）已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 9．（2026·北京海淀·二模）如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 10．（2026·北京燕山教育集团·二模）如图，在中，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 11．（2026·北京市西城区·二模）如图，在中，，是的中点，连接，过点作交的平行线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 12．（2026·北京密云·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 三角形综合 考点03 一、解答题 1．（2026·北京密云·一模）在中，，，．点是边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接和，取线段的中点，连接． (1)依据题意，补全图形； (2)求证：； (3)连接，直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 2．（2026·北京市西城区·二模）在中，，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在上时，求证：点是的中点； (2)如图2，当点在下方时，点在上，若，用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 3．（2026·北京燕山教育集团·二模）已知，点B，C分别在射线，上，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点D在射线上，连接． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时，过点D作的垂线交射线于点E．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 4．（2026·北京海淀·二模）在中，，，点在的延长线上，是的中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．        (1)如图，，，连接，求证：； (2)如图，连接，，直接写出的大小，并证明． 5．（2026·北京平谷·二模）如图，在中，，，过点作射线，交线段于，，过点作于点，延长到点，使． (1)若，，求的长； (2)连接，交射线于点，为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②猜想与的数量关系，并证明． 6．（2026·北京大兴·二模）在中，， ，点是的中点，点为下方一点，满足，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点恰好落在上．连接，延长交于点． (1)连接，求证：； (2)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 7．（2026·北京房山·二模）在中，，，点在射线上，为的中点．连接，将射线绕点逆时针旋转得到射线． (1)如图，点与点重合，射线与边交于点，连接．求证：； (2)如图，点在的延长线上，过点作于点，连接．用等式表示与的数量关系，并证明． 8．（2026·北京丰台·二模）如图，在中，，（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，交于点，作射线与的延长线交于点． (1)求的大小； (2)点是线段中点，在线段上截取，连接．补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 9．（2026·北京石景山·二模）在中，，，为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，当点在的延长线上且时，记，的交点为，连接．求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，取的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 10．（2026·北京顺义·二模）在中，，，点在射线上，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点与点不重合），过点作交直线于点． (1)如图1，点与点重合，求证：； (2)如图2，点在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 11．（2026·北京朝阳·二模）在中，，，是平面内的一点（不与点重合），连接，以为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，点在边上，用等式表示与之间的数量关系（直接写出结果）； (2)如图2，点在外，延长到点，使，连接，，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 12．（2026·北京东城·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 6/12 5/12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题0三角形与四边形综合 ☆3大考点概览 考点01选择压轴 考点02四边形的性质与判定 考点03三角形综合 考点01 选择压轴 一、单选题 1.(2026北京密云一模)如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,，E是线段OD上一动点 (不与点D重合)，过点E分别作BC、BD的垂线交BC、AD边于点M、N.记aDEN的面积为S, △BEM的面积为S2,当点E在线段OD上运动的过程中，给出下列四个结论： ①点E与点O重合时，S,=2S2;②BD=EM+2EN;③一定存在△DEN≌△BEM;④当E是OD的中点 时，59 S=2 上述结论中，所有正确结论的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，结合垂直定义，可知aDEN与△BEM都是等腰直角三角形，对于①，当点E 与点O重合时，分别计算S,与S即可判断：对于②，当点E与点O重合时，对比结论即可判断；对于③， 需要EM=EN,结合BE=√2EM,即可判断；对于④，当E是OD的中点时，求出aDEN与△BEM的相 似比，进而求出面积比。 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， ·∠ADB=∠DBC=45°， .·EW⊥BD,EM⊥BC, .∠DEN=∠BME=90° ·△DEN与△BEM都是等腰直角三角形， 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·DE=EN,BM=EM,BE=√2EM, ①点E与a0重合断，BN=40号4C,E1号4， S1=S。A0D= 1 S2=SB0M=22” BC.AB=8 Se4BCD :S,=2S2,故结论①正确； ②点E与点0重合时，EN=AO=BO=BD,此时EM+2EN>BD,故结论②错误； ③若△DEN≌△BEM,则EM=EN, BE=2EM>EN ED,BE ED 又：BD=BE+ED, “点E必然在OD之间，故结论③正确： ④当E是OD的中点时，DE=OD=BD, 2 4 :.BE-3BD. 设DE=a,则BE=3a, BE =2EM, ∴EM=BE=3a-3 2√22 -a, :aDEN与△BEM都是等腰直角三角形， △DEN∽△BEM, ）2 DE ）2 a 2 EM 32 2 a 故结论④正确： 综上所述，正确的结论有①③④，共3个. 2.(2026北京市西城区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，正六边形ABCDEF是以点O为中心的正 六边形，点Ma,b)在正六边形的边上，且点M在第一象限.若A(2,0),给出下面四个结论：() 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①线段0M的最大值为2； ②若点M关于原点的对称点为M',则当MM'⊥DE时，△MMF的面积取得最小值； ③若点M在反比例函数y=k>0)的图象上，则0<k<5: ④若N(c,d(d>b>0)在该六边形的边AB上，且OM=ON,则a与c之间的数量关系是a+c=3. 上述结论中，所有正确结论的序号是（) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质求出各顶点坐标，结合图形性质逐一判断：①结合顶点坐标与外接圆特征， 判断OM的最大值；②利用三角形面积公式和平行线性质，分析面积取最小值的条件；③结合反比例函数k 的几何意义与点B的坐标，确定k的取值范围；④借助等腰三角形性质与轴对称性，推导α、c的数量关系， 【详解】①：正六边形ABCDEF以原点O为中心，外接圆半径为2， 正六边形边上任意一点到中心O的距离，最大值等于外接圆半径， .点M在顶点处时，0M=2,即线段OM的最大值为2. 故此结论正确， ②：点M、M'关于原点对称， :O为线段MM'的中点，可得SMwr=2Sowr· 由已知得F(L,-√3)，直线0F解析式为y=-√3x, 直线AB解析式为y=一√3x+23,故ABI0F. 根据平行线性质，AB上所有点到直线OF的距离为定值，因此M在AB上时，SoMF大小不变 当点M在BC边上时，M到直线OF的距离可以不断减小，当M与点C重合时，距离为O,此时SoMr取得 最小值. 59/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当MM'⊥DE时，点M落在AB边中点，此时三角形面积为定值，并非最小值. 故此结论错误 ③：点Ma,b)在反比例函数y=k>0)的图象上， 由反比例函数性质可得k=ab, 点M在正六边形第一象限的边上，当M与顶点B(L,√3)重合时， k=1x√3=√3，即k可以取到V 因此k的取值范围是0<k≤5，与题干0<k<√5不符. 故此结论错误。 综上所述：正确结论的序号是①④. 3.(2026北京燕山教育集团二模)连接正五边形ABCDE的对角线，得到如右图所示图形，中心为点O, BD与CE交于点F,连接OA与BE交于点G,连接OB,OC,OD,OE, B 观察后得出如下结论： ①∠CAD=36°； ②连接0F,则有0G+0F=AG; ③∠CFD=2∠C0D: ④连接BC,则有BC=BF. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 【答案】C 【分析】本题考查正五边形性质、圆周角定理、全等三角形判定与性质、三角形内角和及外角性质；解题 关键是熟练运用上述知识，结合正五边形的对称性，通过角度和线段关系的推导来判断结论正误， 对于①：利用正五边形内角和公式求出内角，再依据圆周角定理计算∠CAD度数判断对错；对于②：截取 GH=OG,根据正五边形轴对称性找全等条件证△BGH≌△BGO,△BHA≌△BOF推导线段关系判断；对于 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③：用三角形外角性质和五边形的性质即可求得LCFD与∠COD关；对于④：由圆周角定理求角，结合三 角形内角和求∠BFC,依等角对等边判断. 【详解】解：如图：在GA上截取GH=OG,连接BH,AB,CD,DE,AE, A :正五边形内角和为(5-2)×180°=540°， ∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=540 5 =108°. :ABCDE是正五边形， ÷CD=DE=EA=AB=BC,∠CAD=∠COD, 2 正五边形中心角∠C00=9=72,∠CD=<000=6,故0正魔： 5 :五边形ABCDE是正五边形， ÷0A平分∠BAE,OB平分∠ABC,∠OAB=∠OBA=∠BAE=54,OA=0B,AB=AE, 2 在6ABE中，根据三角形内角和定理，∠ABE=∠A5B=180P-∠B1E_180-108=36°. 2 2 ∠AGB=180°-∠0AB-∠ABE=180°-54°-36°=90°， 即∠0GB=90°. 在BGH和△BGO中： GH=OG ∠BGH=∠BGO=90° BG=BG △BGH≌△BGO(SAS), BH=BO,∠HBG=∠OBG,∠BHG=∠BOG. 由正五边形性质可知，∠A0B=LB0C=∠C0D=∠D0E=∠E0A=72°，∠0BC=54°， ∠BCF=180°-∠BAE=180°-108°=72°，∠CBD=36°. :∠A0B=72°，∠0AB=∠0BA=54°，∠0BC=54°， .∠AB0=∠OBC. 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 己证BH=BO, :0A=0B, .BH =0A. ZBHG=ZBOG, ∠BHA=∠BOF. 又：∠BFO=∠BDA+∠DAF=∠BDA+∠DAC=36°+18°=54，∠BAH=549. ∠BFO=∠BAH, 在△BHA和△BOF中： ∠BHA=∠BOF ∠BAH=∠BFO BH=BO .△BHA≌△BOF(AAS), .AH =OF. .AG=0G+AH, ∴.0G+OF=AG;故②正确 :∠CFD是BCF的外角，∠CFD=LCBD+∠BCE=LCBD+LBCF=36°+72°=108°， :∠C0D=72°， 2∠C0D=2×72°=144°， :∠CFD≠2LC0D,故③错误. ∠CBD=5C0D=36,∠BCD=I08, 在BCF中，∠BFC=180°-∠CBD-∠BCE,∠BCE=∠BCF=72°， ∠BFC=180°-36°-72°=72°· 则∠BCF=∠BFC, ∴BC=BF,故④正确. 综上①②④正确. 4.(25-26九北京海淀区期末)如图，直线y=kx+bk(0,b)0)与x轴、y轴分别交于点A,B,以0A为对 角线作菱形OMAN,且点N在第一象限，给出下面三个结论： 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B O ①当质=分6=2时，菱形0W4N有无数个： ②当b=2时，对于k的每一个确定的值，都存在菱形OMAN，,使得该菱形的周长与AOB的周长相等； ③当点N在AB上时，若A10-2b,0),则菱形0MAN的面积有最大值. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】D 【分】0乘据菱形的性质判新即可：②求存408的周长4：2-。<4<4一兰·菱形的周长马： =40M<40H=,比较即可判断；③求得菱形0MAN的面积为-F+56即可得到菱形0MAN的面积有 最大值 【详解】解：①当k=- 26=2时，y=-)x+2, 2 令y=0,-。x+2=0,解得x=4, .A4,0, 以OA为对角线作菱形OMAN,且点N在第一象限， .MN在线段OA的垂直平分线上， B H M “这样的菱形OMAN有无数个，说法正确； ②当b=2时，y=a+2, (_20, B(0,2), 80A三，08=2 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 <AB<2- 、40B的周长：2-kk<1<2二2+22 2-，即2-4<1<4-4 4 k k 菱形的周长h:=40N<40H=: 4 对于k的每一个确定的值，都存在菱形OMAN,使得该菱形的周长与AOB的周长相等： @:410-2,0,N5-63） ·菱形0MAN的面积=OA×MN_10-2b)b 2 =-b2+5b, 2 b2≥0， :菱形OMAN的面积有最大值： 综上，①②③都是正确的. 5.(2026北京房山二模)如图，正方形ABCD中，点E为边CD上一个动点，连接AE,以AE为对角线作 正方形AFEG,连接DF,DG, B 给出下面四个结论： ①∠BAF>∠DEG; ②AB2+DE2=√2AG2; ③DG⊥DF; ④若AB=1,那么正方形AFEG的周长的最小值为2√2. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定与性质、勾股定理以及垂线段最 短等知识点，对四个结论逐一进行分析判断即可 【详解】解：：四边形ABCD和四边形AFEG都是正方形，且AE为正方形AFEG的对角线， ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD,∠FAE=∠GAE=∠AEF=∠AEG=45°，∠AFE=∠AGE=90°， 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=√2AG 对于①：：∠BAF=∠BAD-∠FAE-∠DAE=90°-45°-∠DAE=45°-∠DAE, ∠DAG=∠GAE-∠DAE=45°-LDAE, .∠BAF=∠DAG, :∠AGE=∠ADE=90°， ∴.A,G,E,D四点共圆， ∠DEG=∠DAG, ∠BAF=∠DEG,故①错误： 对于②：在Rt&ADE中，AD2+DE2=AE2, AB=AD,AE2=(2AG)2=2AG2, .AB2+DE2=2AG2,故②错误： 对于③：：∠AFE=90°，∠ADE=90°， ∠AFE+∠ADE=180°， ∴.A,F,E,D四点共圆， LADF=∠AEF=45°， 由①知A,G,E,D四点共圆， ∠ADG=∠AEG=45°， ∠GDF=∠ADG+∠ADF=45°+45°=90°， :DG⊥DF,故③正确： @:正方形AFEG的周长C=4AG=4×5=2 当AE⊥CD时，AE取得最小值，此时E与D重合，AEmn=AD=AB=1, :正方形AFEG的周长的最小值为2√2×1=2√2，故④正确： 综上所述，正确的结论是③④ 6.(2026北京丰台二模)如图，正方形ABCD的边长为2，将边AB,BC,CD,DA分别绕点A,B,C,D顺 时针旋转a(0°<a<180°)，得到AB',BC',CD',DA',连接A'B,B'C',CD,DA.给出下面四个 结论：() 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D ①对于任意都有CB⊥AB'; ②对于任意a四边形A'B'CD'为正方形： ③四边形A'B'C'D'的面积随a的增大而增大； ④当a=90°时，四边形AB'CD'的周长为8√5 上述结论中，所有正确结论的序号是(). A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】B 【分析】利用旋转角相等以及三角形内角和，证明C'B⊥AB',判断①； 证明四边形A'B'C'D'四边相等、内角为90°，判定为正方形，判断②： 分析四边形面积随旋转角α的变化规律，判断③： 当=90°时，用勾股定理求边长，计算周长，判断④. 【详解】解：已知正方形ABCD边长为2，AB=BC=CD=DA=2,四条边分别绕顶 点顺时针旋转0， AB'=AB=2,BC'=BC=2,CD'=CD=2,DA'=DA=2; 旋转角：LBAB'=LCBC'=LDCD'=∠ADA'=a, 设AB与BC'交于点M,AB'与DA交于点N, B D'∠ABM=180°-∠ABC-∠CBC'=180°-90°-a=90°-a, C 又∠BAB'=a, 则∠BAB'+∠ABM=90°， 60/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 内角和推导得∠BMA=90°，即C'B⊥AB',故结论①正确： 设AB'与BC'交于点M,AB与DA'交于点N,连接BB',AA',CC',由①知C'B⊥AB'，,A'D⊥AB', ∠BAB'=∠ADA'=Q,AB=AD, .AD·sina=AB.sin,AD·cosa=AB.cosa :BM AN,AM DN 由旋转：AB'=AB=BC'=BC=CD'=CD=DA'=DA=2, 旋转角：∠BAB'=∠CBC'=∠DCD'=∠ADA'=a, △ABB'≌△BCC'(SAS),△ABB'≌△DAA'(SAS), :AB'=BC'=DA', :AB'+AN BC'+BM AB'-AM DA'-DN, 即B'N=C'M,B'M=A'N, 又∠A'NB'=∠C'MB'=90°， .AANB'≌AB'MC(SAS), :A'B'=B'C',MC'B'=ZNB'A', 同理可证，AD'=CD'=B'C',则四边形A'B'C'D'为菱形， 又∠MCB'+∠MB'C'=90°， ∠NB'A'+∠MB'C'=90°， 则∠A'B'C'=90°，即C'B'1A'B', 则四边形A'B'CD'为正方形，②正确； B 由②知，四边形A'B'CD'面积=正方形ABCD面积+4个全等三角形（△ADN)的面积+4个全等三角形 (△A'NB')的面积， BM AN 2sina,AM DN =2cosa,A'N =2-2cosa,NB'=2+2sina, 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.DN=AD.DN.sina=x2x2cosasina =2cosa-sina, 2 2 s 0S0-Ds0-+=(ux(s0-xNN 2 则四边形A'B'C'D'面积=2×2+4×2 cosa·sina+4×2+2sina-2cos0-2cosa·sina)=12+8sina-8cosa, 当a=90°以及a=180°时，8sina-8cosa=8,则这两种情况下四边形A'B'C'D'面积相等，因此面积不是随 α增大一直增大，故结论③错误； 当a=90°时，BM=AW=2sina=2,AM=DN=2cosa=0,A'N=2-2cosa=2,NB'=2+2sina=4, 根据勾股定理AB'=√AN2+NB2=√22+42=√4+16=√20=2√5， 又四边形A'B'CD'是正方形， 故周长=4×A'B=4×2√5=8V5,故结论④正确， 综上，正确的结论为①②④。 7.(2026北京石景山二模)如图，直线AB∥CD,E,F分别在AB,CD上，EP平分∠FEB,FP平分 ∠EFD,过点P的直线与直线AB,CD分别交于点M,N(不与点E,F重合). 有以下结论： ①EP⊥FP;②PM=PN;③EF=EM+FN; 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可证∠EPF=90°，从而判断①；利用角平分线的性质定理可 得点P到AB、CD的距离相等，进而通过全等三角形证明PM=PN,从而判断②；分情况讨论，当M、N 在EF的同侧时，根据②的结论得出GM=KN,证明RtaPEG≌RtoPEH(HL),RtaPFH≌RtAPFK(HL)得 出EG=EH,FH=FK,进而可得EF=EM+FN,当M、N在EF的异侧时，得出EF<EM+FN,从而判 断③. 【详解】解：①：ABCD, :.∠FEB+∠EFD=180°， 60/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :EP平分∠FEB,FP平分∠EFD, ∠PEF)FEB，PE ∠EFD, 2 ∠PEF+∠PFE=∠FEB+∠EFD=0P, 在AEPF中，∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE)=90°， ·EP⊥FP·故①正确： ②过点P作PG⊥AB于G,交CD于K,作PH⊥EF于H, B M :AB‖CD, F D N K PK⊥CD, :EP平分∠FEB,PG⊥AB,PH⊥EF, :PG=PH, 同理可得PK=PH, PG=PK, 在△PGM和△PKN中， ∠GPM=∠KPN PG=PK ∠PGM=∠PKN=90° .∴△PGM≌aPKN(ASA, PM=PN.故②正确： ③当M、N在EF的同侧时由②可得△PGM≌aPKN, ..GM=KN, :PH=PG,PK=PH,PE=PE,PF=PF, Rt△PEG≌Rta PEH(HL),Rto PFH≌RtAPFK(HL, ∴EG=EH,FH=FK, .EM +FN =EG +GM FN EG +FN NK EG FK =EH +FH EF .EF=EM FN 59/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当M、N在EF的异侧时， 、ME KN六D 同理可得FN=FK+EG+ME,而EM>0, :EF=EH+FH=FK+EG<FN+EM,故③不正确 综上所述，正确的结论是①②. 8.(2026北京朝阳二模)如图，将正方形MNPQ绕其中心O逆时针旋转45°，得到正方形M,N2,两个 正方形的公共点为A,B,C,D,E,F,G,H,连接AC,BH,CG.给出下面四个结论： ①MA=AB; ②∠MAH=2LACB: ③∠ACG+∠BAH=180°； ④线段AC,BH,CG可以组成直角三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号为() A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 【答案】D 【分析】连接OM,OM1,分别交M,Q,MN于L、K,设正方形的边长为2a,则正方形的对角线为2√2a,连 接ON,连接OQ,交MQ于R,由旋转的性质可知∠MOM1=45°，则∠NOM,=45°，根据等腰三角形三线合 得到OK⊥MW,MK=KN,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OK=MK=KN=a,则 ∠M,AB=45°，M,K=√2a-a,可知∠M,BA是等腰直角三角形，证明△AMB≌△AMH(AAS),同理可知 △CNB≌△AM,B≌△AMH≌△GQ,H,则MA=AM1,△AMH是等腰直角三角形，AB=CB,根据勾股定理可 60/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 知AB=V2MA,①错误；根据三角形外角的性质及等边对等角得到∠BCA=】∠ABM,=22.5°，②正确；连 接AG,根据全等三角形的性质得到NB=MH,AB=GH,CN=AM,证明△AMG≌CNA(SAS),得到 AG=CA,∠MGA=∠NAC,可知即△CAG是等腰直角三角形，得到∠ACG=∠AGC=45°，根据 ∠BAH+∠MAH=∠BAH+45°=180°可知∠ACG+∠BAH=180°，③正确；证明△AMG≌△HMB(SAS),得 到AG=HB,则线段AC,BH,CG可以组成直角三角形，④正确. 【详解】解：如图，连接OM,OM1,分别交M,2,MN于L、K, 则∠0M1A=45°， 设正方形的边长为2a,则正方形的对角线为V2a)+(2a)2-22a, 则0M=0M,=√2a, 连接ON,连接Og交MQ于R, 由旋转的性质可知∠M0OM1=45°， :∠M0N=90°， .∠N0M1=45°， :0M=0N, OK⊥MN,MK=KN, :.∠MKA=90°，0K=MK=KN=a, ∠M1AB=45°，MK=√2a-a, :.∠M,BA是等腰直角三角形， AB=2M K=2v2a-2a=2AM 同理可得AH=2√2a-2a, :∠M,AB=∠MAH,∠AM,B=∠AMH=90°， :△AM,B≌△AMH(AAS),同理可知△CNB≌△AM,B≌△AMH≌△GQ,H, :MA=AM1,△AMH是等腰直角三角形，AB=CB, ∠MAH=45°，AB=AH=√2MA,①错误； 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABM1=45°，AB=CB BCA)∠ABM,=2.5,即∠MAH=2LACB,②正确 如图，连接AG, Q M H R M B :△CNB≌△AM,B≌△AMH≌△GQH .NB=MH,AB=GH,CN=AM, 即MG=AN, :∠AMG=∠CNA=90°， .△AMG≌△CNASAS), .AG=CA,∠MGA=∠NAC, :∠MGA+∠MAG=90°， ∠NAC+∠MAG=90°， :.∠CAG=90°，即△CAG是等腰直角三角形， .∠ACG=∠AGC=45°， :∠BAH+∠MAH=∠BAH+45°=180°， :∠ACG+∠BAH=180°，③正确； AB=GH,MA=MH, .MB=MG, :∠AMG=∠HMB=90° :.△AMG≌aHMB(SAS), .AG=HB, :△CAG是等腰直角三角形， :线段AC,BH,CG可以组成直角三角形，④正确. 60/60 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02 四边形的性质与判定 一、解答题 1.(2026北京东城二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,过点C作 EF∥BD,DE⊥EF于点E,BF⊥EF于点F,DG⊥AB于点G. G (I)求证：四边形BDEF是矩形； 3 (2若BC=3,an∠BAC=子求BF的长. 【答案】(I)证明：：DE⊥EF于点E,BF⊥EF于点F, ∴.∠DEF=∠BFE=90°， :EF∥BD, .∠BDE=180°-∠DEF=90°， ∠BDE=∠DEF=LBFE=90° .四边形BDEF是矩形； 235 5 【分析】(1)根据“有三个角为直角的四边形为矩形”，即可证明结论： (2)首先利用三角函数解得AC=4,由角平分线的性质定理可得DG=DC;设DG=DC=x,则 AD=4-x,证明△ADG∽△ABC,由相似三角形的性质解得x的值，易得DG=DC= ,进而由勾股定理 3 解得BD的长度；证明△BFC∽△DCB,由相似三角形的性质求BF的长即可. 【详解】(1)略 (2)解：BC=3,LACB=90°， maC-瓷-子即C子解4C=4, :BD平分∠ABC,∠ACB=90°，DG⊥AB于点G, 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DG=DC, 设DG=DC=x,则AD=AC-DC=4-x, :∠A=∠A,∠AGD=∠ACB=90°， .△ADG∽△ABC, 4D-DC,即4-， AB BC 5解得x=3 :DG=DC=2' 3 BD=BC2+DC2 EF∥BD, :ZBCF ZDBC, :∠BFC=∠DCB=90°， ∴.aBFC∽△DCB, BF 3 D0D6,即335， BF BC 22 BF=35 2.(2026北京朝阳二模)如图，在ABC中，AB=BC,BD为AC边上的高，E为AB边的中点， EF⊥BC,垂足为F,点H在线段FC上，FH=DE. E D H (I)求证：四边形DEFH是矩形： (2)若BC=10,sin∠ABC= ,求CD的长. 4 【答案】()见解析 (2)25 【分析】(I)因为ABC是等腰三角形，BD是AC边上的高，所以D是AC中点，结合E是AB中点，利 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 用三角形中位线定理可得DE与BC平行.因为EF⊥BC,所以EF和DE垂直，又已知FH=DE,且FH在 BC上，所以DE与FH平行且相等，可先证四边形DEFH是平行四边形，再结合有一个内角为直角，即可 证明是矩形 (2)先推出DE=BE=5,得到FH=5,由sin∠ABC=4得EF=DH=4,再根据勾股定理求得BF=3, 5 再得HC=2,最后由勾股定理得CD的长 【详解】(I)证明：：AB=BC,BD为AC边上的高， ·AD=CD E为AB边的中点， .DE∥BC. FH=DE, :.四边形DEFH是平行四边形. :EF⊥BC, :∠EFH=90 四边形DEFH是矩形 (2)解：：BC=10, ·AB=10 DE BE =5. FH=5. sinLABC=4 :EF=BE.sinLABC=5x4=4. 在Rt△BEF中，由勾股定理，得BF=√BE2-EF2=3· HC=2. :四边形DEFH是矩形， .DH=EF=4,∠DHC=90°. 在Rt△DHC中，由勾股定理，得CD=VCH2+DH?=2√5 3.(2026北京顺义二模)如图，在口ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，BD⊥EF于点O,连接 BE,DF. 59/60 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：四边形BFDE是菱形； (2)若tan ZCDF=2,OE=1,求AD的长. 【答案】(I)证明：在▣ABCD中，AD=BC,AD‖BC, :E,F分别是AD,BC的中点， 1 :DE=AD,BF=IBC, 2 2 .DE BF, DEl BF, :四边形BFDE是平行四边形， :BD⊥EF, .四边形BFDE是菱形： (2)25 【分析】(1)由已知易证四边形BFDE是平行四边形，结合BD⊥EF,即可证明结论： (2)由(1)中结论可得OF=OE=1,BF=DF,结合BF=CF,易证LBDC=90°，进而证明EF CD, 得到LCDF=∠EFD,解直角三角形求出OD=2,利用勾股定理求出DE=√5，即可得出结果 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知四边形BFDE是菱形， ..OF=OE,BF=DF, ·∠FBD=∠FDB, :E,F分别是AD,BC的中点， .AE DE,BF=CF, .DF=CF, ∴.∠FDC=∠FCD, .:∠FBD+∠FDB+∠FDC+∠FCD=180°， ∠FDB+∠FDC=∠BDC=90°，即CD⊥BD BD⊥EF, 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :EF CD, ∠CDF=∠EFD, :tan∠CDF=2,OE=1, tan∠EFD= OD =tan∠CDF=2,OF=OE=1, OF 0D=2, DE=VOD2+OE2=√5， AD=2DE=2√5. 4.(2026北京石景山二模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，点E在边BC上，作线段BE的 垂直平分线，交AB于点F,交EB于点G,连接FE并延长到点M,使得FM=DC,连接CM. (I)求证：四边形CMFD为平行四边形； ②若sin8子，AC=4,CM=-1,求G的长。 【答案】(I)证明：：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点， :DC=1AB=DB, 2 .∠DCB=∠B, :FG垂直平分BE, ·FE=FB, .∠FEB=∠B, LDCB=∠FEB, .FM∥DC, .FM =DC, :四边形CMFD为平行四边形. 号 【分析】(I)由条件可证明LDCB=∠FEB,可得FM∥DC,再由FM=DC,即可证明结论： 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)由条件可得AB=6,再可得DC=DB=AB=3,则FM=DC=3,DF=CM=1,可得BF=2,再 由FG⊥BE,则在Rt△FGB中即可求得FG的长. 【详解】(1)略 2》解：在R1△ABC中，LACB=90°，siB=,AC=4 sinB=AC=42 ABAB 3' AB=6, 由1D可知，DC=DB=方B=3,四边形CwFD为平行西边形， .FM =DC=3,DF=CM=1, :BF BD-DF =2, FG⊥BE, ∠FGB=90°， 在Rt△FGB中，FG=BFsinB=2x2=4 33 EFG的长为子」 5.(2026北京丰台二模)如图，在ABC中，D是边BC上的一点（不与点B,C重合），E是边AC的中 点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F,连接AD,CF B D (I)求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)若∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6,AD=BD,求DF的长， 【答案】(I)证明：：AF∥BC, ∠EAF=LECD, :E是AC中点， :AE CE, :∠AEF=∠CED, △AEF≌△CED (ASA, :AF CD, 60/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形ADCF是平行四边形： (2√2i 【分析】(I)证明△AEF≌aCED(ASA),得到AF=CD,即可求证； 2由直角三角形的桂质得4C=号B=3,即得CE=号4C一子，又由等要三角形的性质及三角形外角性质 2 2 得∠ADC=60,进而得到CD=4C。-5,再利用勾股定理得DE=VCE+CD=,最后根据平行 tan60° 四边形的性质即可求解 【详解】(1)解：略： (2)解：：∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6, :.AC=AB=3, 2 :E是边AC的中点， 3 AD=BD, LBAD=∠B=30°， .∠ADC=60°， 在Rt△ACD中，AC=3,∠ADC=60°， AC , 3 ..CD= tan60° DE =CE2+CD2 3)2 +(5 V21 2 :四边形ADCF是平行四边形， :DF=2DE =21. 6.(2026北京房山二模)如图，矩形ABCD,延长AB至点E,使BE=AB,延长CB至点F,使BF=CB ,连接AC,CE,EF,FA,DE· (I)求证：四边形AFEC是菱形： 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)若BE、2 分F号，DE=10,求菱形APEC的面积 【答案】(I)证明：：在矩形ABCD中，AB⊥BC, :利用勾股定理有：AB2+BF2=AF2,AB2+BC2=AC2,EB2+BF?=FE2,EB2+BC2=EC2, BE=AB,BF =CB, .AF2=EF2=AC2=EC2,AF=EF AC EC, :四边形AFEC是菱形； (2)48 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质以及勾股定理等知识. (1)结合矩形的性质，利用勾股定理证明AF2=EF2=AC2=EC2即可； (2)先求出AE,AB,AD之间的数量关系（都用BC表示出来），再在RtAEAD中，利用勾股定理列出方 程即可求出BC,，进而可得AE、FC的长度，问题得解. 【详解】(1)略 (2):BE=AB, BE2 BF 3 BE-AB-3BF.AE-248. .BF=CB, BE=AB=BF=-BC. Γ3 :在矩形ABCD中，AB⊥AD,BC=AD, 六∠EAD=90°，BE=AB=2BF=-2BC=2AD. 3 3 3 在Rt△EAD中，DE2=AD2+AE2, :102=BC2+24B2-25BC2,解得：8C=6(负值舍去， 9 BE=AB=-BF=3BC=4. .FC=BC+BF =12,AE=2AB=8, .5aneF Cx 7.(2026北京大兴二模)如图，在ABC中，AB=BC,O为AC中点，过点A作AE⊥BC于点E,连接 EO,并延长到点D,使OD=OE,连接AD,CD 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E (I)求证：四边形AECD是矩形： ②连接0B,若sn∠4CD-,4D=2,求0B的长. 【答案】(1)证明：：O为AC中点， 0A=0C, 又：0D=0E, :四边形AECD是平行四边形， ,AE⊥BC, ∠AEC=90°， 四边形AECD是矩形. (2)62 【分析】(1)利用平行四边形对角线互相平分的判定定理证得四边形AECD是平行四边形，再由 LAEC=90°得证结论： (2)利用正弦的定义可求得AC的长度，再根据等腰三角形三线合一的性质证得OB⊥AC,利用矩形的性 质证出a4CE:8C0,从而得到∠C4E=∠C80,即sm∠CB0-写求得BC的长度，最后通过勾股定理即 可得解. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OB, D 在RIA ACD中，AD=2,sin∠ACD=} .AC=-AD =6, sin∠ACD :AB=BC,O为AC的中点， 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 .OA=OC=-AC=3,0B L AC, 2 :四边形AECD是矩形， AE∥CD, ∠ACD=LCAE, :∠AEC=∠B0C=90°，∠ACE=∠BC0, .△ACE∽△BCO, .∠CAE=∠CBO, sin∠CAE=sin ZACD=, 1 sin∠CBo3即OC=1 BC3' ∴.BC=9, 在RtACB0中，0B=VBC2-0C2=V92-32=6√2. 8.(2026北京平谷二模)已知ABC,∠ACB=90°，点D,E分别是AB,BC的中点，过点C作AB的 平行线交DE的延长线于点F,连接BF, B (I)求证：四边形CDBF是菱形； (2)连接AE交CD于点H,若LCAE=45°，CF=√10，求EH的长 【答案】(I)证明：：点D,E分别是AB,BC的中点， .DE是△ABC的中位线， .DEl AC,CE BE,AC =2DE, :∠ACB=∠DEB=90°， ABICF, .∠FCB=∠CBD, :∠CEF=LBED, 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ACEF≌△DEB(ASA), :CF=BD, .ABI CF, ·四边形CDBF是平行四边形， :∠DEB=90°， BC⊥DF, ∴CDBF是菱形； @:号 【分析】(I)根据三角形中位线定理可知DEI AC，,CE=BE,AC=2DE,可证△CEF≌△DEB,根据全等 三角形的性质可证四边形CDBF是平行四边形，根据∠DEB=90°，可证四边形CDBF是菱形： (2)连接AE,交CD于点H,设DE=x,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得：AC=CE=2x, AE=2V2x,由CF=V而，可以求出x=V反，可证aACH∽aDEH,根据相似三角形的性质可知EH=} AH21 所以可得EH=AE,即可求出EH的长度。 【详解】(1)证明：略： (2)解：如下图所示，连接AE,交CD于点H, 设DE=x, :∠ACB=90°，∠CAE=45°， B AC=CE=2x,AE=2√2x, 四边形CDBF是菱形， :D E EF x, :∠CEF=90°，CF=10, x2+(2x2=(1o2, x=2, .AC=CE=2√2，AE=4, DE‖AC, △ACHn△EDH, 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE EH AC AH' EH 1 AH 2' 1 EH=。AH, 2 :.EH=3 4 9.(2026北京海淀二模)如图，在ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,O是AD的中点，连接BO并 延长到点E,使得OE=BO,连接AE,CE. D (I)证明：四边形ADCE是矩形： (2)若AB=10,AD=BC,求EC的长. 【答案】()见详解 (2)4V5 【分析】(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ADCE为平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结 论 (2)根据矩形的性质以及勾股定理即可得到结论. 【详解】(1)证明：连接DE D :O是AD的中点， 0A=0D, OE=BO, :.四边形ABDE是平行四边形， 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、AE=BD,AEI BD, 在ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, AD⊥BC,BD=CD .AE CD, :四边形ADCE是平行四边形， ∠ADC=90°， :四边形ADCE是矩形， (2)解：：BD= c. :AD=BC, 点BD=AD 2 :AB=10 :BD2+AD2=AB2, BD2+(2BD)2=102, 解得：BD=2√5， :BC=2BD=45, .AD BC=EC=45, EC=45. 10.(2026北京燕山教育集团二模)如图，在ABC中，BC=2AB,D,E分别为BC,AC的中点，过 点A作AF∥BC交DE的延长线于点F. D (I)求证：四边形ABDF是菱形； (2)若AB=2,∠B=60°，求AE的长. 【答案】()见解析 (2)N5 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】I)根据已知条件得出BD=BC,ED∥AB,ED=AB,可得四边形ABDF是平行四边形.进 而根据已知条件得出AB=BD,即可得出结论； (2)连接AD,得出△ADF是等边三角形.在RtAAEF中，解直角三角形即可求解. 【详解】(1)证明：D,E分别为BC,AC的中点， 1 1 ÷BD=2BC,ED∥AB,ED=2AB. 又：AF∥BC, :四边形ABDF是平行四边形 BC=2AB, B-BC. .AB=BD :四边形ABDF是菱形， (2)解：连接AD,如图. :四边形ABDF是菱形， ∠F=∠B=60°，AF=DF=AB=2. :.△ADF是等边三角形， ED=-AB=-DF, 21 2 .EF ED. AE⊥DF, 在RtAAEF中，∠F=60°，AF=2, AE=AF.sinF=2x 【点晴】本题考查了中位线的性质，菱形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质与判定是解 题的关键 11.(2026北京市西城区·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，连接AD,过点A作 AE⊥AC交AD的平行线BE于点E. 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E ■ (I)求证：四边形AEBD是平行四边形： (2)若BE=2,tan∠ABC= 2’求AB的长 【答案】(1)见解析 (2)V10 【分析】(1)首先根据BE∥AD,再结合AE⊥AC、∠ACB=90°，可推出AE∥BC,依据平行四边形判定 定理即可证明. (2)首先利用平行四边形的性质，得到AD=BE,结合D是BC中点的条件，求出BC=2CD;再根据 4C中利用切的定义求出BC24C,得CD=AC由 最后用勾股定理计算AB的长， 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，AE⊥AC, .∠EAC=∠ACB=90°， AE∥BC, 即AE∥BD 又BE∥AD, :四边形AEBD是平行四边形. (2)解：：四边形AEBD是平行四边形， :AD=BE=2. D是BC中点， :BC=2CD. :在RteABC中，an∠ABC=AC-L BC2' 即BC=2AC, 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD=AC. :在RtAACD中，AC2+CD2=AD2, 代入CD=AC,AD=2, 得AC2+AC2=22, 解得AC=√2（边长为正，舍去负根）， ·.BC=2AC=2√2 在RtAABC中，由勾股定理：AB=VAC2+BC2=V(√2)2+(2√2)2=√10 12.(2026北京密云一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D是AC边上一点，且AD=BD,过点C 作DB的平行线，与过点B所作的BC边的垂线相交于点E. D (I)求证：四边形BDCE是平行四边形： (2)若AC=2BC,AC=8,求CE的长. 【答案】(1)见解析 (2)CE=5 【分析】(1)先证明BE∥AC,得出CE∥BD,再证明四边形BDCE是平行四边形： (2)根据平行四边形的性质得出BD=CE,从而得出AD=BD=CE,根据AC=2BC,AC=8,得出 BC=4,设AD=BD=CE=x,则CD=8-x,根据勾股定理得出x2=4+(8-x)2,即可求出结果. 【详解】(1)证明：：EB⊥CB, ∴∠CBE=90°， .∠ACB=∠CBE, BE∥AC, :CE∥BD, :四边形BDCE是平行四边形： (2)解：：四边形BDCE是平行四边形， BD=CE, AD=BD, .AD BD CE, 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=2BC,AC=8, BC=4, 设AD=BD=CE=x,则CD=8-x, 在RtABDC中，根据勾股定理得： BD2=CD:+BC2, 即x2=42+(8-x)2, 解得：x=5, CE=5. 考点03 三角形综合 一、解答题 1.(2026北京密云一模)在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC.点E是DC边上一点，将线 段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF,连接CF和BF,取线段BF的中点H,连接AH, B D (1)依据题意，补全图形： (2)求证：CE=2AH; (3)连接EH,直接用等式表示线段AH、EH和AC之间的数量关系 【答案】(1) B D E (②)证明：延长BA至M,使得BA=AM,连接FM, AB=AC, .AC =AM, 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M H B D E :H是线段BF的中点 :.AH =TMF 2 在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC, .∠CAD=∠BAD=60°，∠CAM=60°. :∠EAF=60° .ZEAC Z FAM, 在ACAE和△MAF中， AM=AC ∠EAC=∠FAM AE=AF .△CAE≌△MAF(SAS, .CE =MF, .CE=2AH (3)AC=3AH+EH; 过点F作FN⊥BC,延长AH交BC于点K,连接CM, M B D E 在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， ∴.∠ABC=∠ACB=30°， 由(2)可知△CAE≌△MAF, 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACB=LAMF=30°， :AH∥MF, ∠BAH=30°=∠DAH, 点H在AK上运动， .∠BKA=60° :∠CAM=60°，AC=AM, :△AMC是等边三角形， ∠AMC=60°， ∠CMF=30°， 在△AMF和△CMF中， AM=MC ∠AMF=∠CMF MF=MF :△AMF≌△CMF(SAS, :AF=CF, :△AEF是等边三角形， 则AE=AF=EF=CF, “.△EFC是等腰三角形， :FN⊥BC, :EN=NC=1CE, .EN =AH, 设∠DAE=a, ∠HAE=30°+Q,∠AED=90°-， ∠FEN=180-∠AEF-∠AED=30°+a, ∠HAE=∠FEN, 在AAHE和△ENF中， AE=EF ∠HAE=∠FEN AH=EN 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△AHE≌△ENF(SAS) ∠AHE=90°， :∠KAC=∠DAH+∠DAC=90° 、HE∥AC, ∠HEK=∠ACB=30°， AK.tan∠AKD=AC, .3AK =AC, .HK.tan ZAKD =EH, HK=EH 3 AK-AH+HK- -EH. 5AK=4C=54H+5 EH .AC=3AH +EH 【分析】(1)根据题意画图即可； (2)延长BA至M,使得BA=AM,连接FM,根据三角形的中位线可知4H=MF,进而证明 △CAE≌△MAF即可求解； (3)过点F作FN⊥BC,延长AH交BC于点K,连接CM,根据aCAE≌aMAF以及三角形的中位线可知 LBAH=30°=LDAH,，证明△AMC是等边三角形，进一步可知△AMF≌△CMF,从而得到△EFC是等腰三 角形，证明aAHE≌△ENF,根据全等三角形的性质可知∠AHE=90°，HE∥AC,进而根据正切值可转化 线段之间的关系 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 2.(2026北京市西城区二模)在ABC中，AB=AC,∠B=a(0°<a<45),D为BA延长线上一点，连 接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转2a得到线段CE, 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A D A E 图1 图2 (I)如图1，当点E在AB上时，求证：点A是BD的中点； (②)如图2，当点E在BD下方时，点F在AB上，若∠BFE=2a,用等式表示AC,BD与EF之间的数量关 系，并证明 【答案】(1)见解析 (2)BD+EF =2AC 【分析】(1)根据等边对等角得到LB=∠BCA=a,根据三角形外角的性质得到LCAD=LB+∠BCA=2a, 根据旋转的性质得到CD=CE,∠DCE=2a,根据等边对等角得到LD=90°-a,进而得到 ∠DCA=90°-a=∠D,可知AC=AD,即可证明点A是BD的中点； (2)延长AD至G,使得DG=EF,连接CG,CF,证明aCEF≌aCDG,得到CF=CG,∠ECF=∠DCG, 进而求出∠CGF=90°-a,根据三角形外角的性质得到LDAC=2LB=2a,根据三角形内角和得到 ∠ACG=90°-a,可知LACG=∠CGD,即AC=AG,可知BG=2AC,则BD+EF=BD+DG=BG=2AC 【详解】(1)证明：AB=AC,∠B=a, .ZB=ZBCA =a, ∴∠CAD=LB+∠BCA=2a :将线段CD绕点C逆时针旋转2a得到线段CE, CD=CE,∠DCE=2a, ∠D=∠CED=18020=90-a, 2 ∠DCA=180°-∠D-∠CAD=180°-(90°-o-2a=90°-a=∠D, .AC=AD, .AB AC=AD, 即点A是BD的中点； (2)解：BD+EF=2AC,证明如下： 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，延长AD至G,使得DG=EF,连接CG,CF, G F ∠BFE=2a,∠DCE=2a, ∴.∠BFE=∠DCE, :∠BFE+∠DFE=180°， .∠DCE+∠DFE=180°， .∠E+∠CDF=180°， :∠CDF+∠CDG=180°， ∠E=∠CDG, :将线段CD绕点C逆时针旋转2α得到线段CE, .CD=CE, ∴.△CEF≌ACDG(SAS), ..CF=CG,∠ECF=∠DCG ∠ECF+∠DCF=∠DCG+∠DCF, .∠GCF=∠DCE=2a, CF=CG, .∠CFG=LCGF=90°-a, :∠DAC=2∠B=2a, .∠ACG=90°-a, ∴∠ACG=CGD, .AC=AG, AB=AC, .BG=2AC, .BD+EF BD DG=BG=2AC. 3.(2026北京燕山教育集团二模)已知∠MAN=a(0°<a<60),点B,C分别在射线AM,AN上，将线 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 段CB绕点C顺时针旋转180°-得到线段CD,点D在射线AN上，连接BD. M B C D N D N 图1 图2 (I)如图1，用等式表示AB与CD的数量关系，并证明： (2)如图2，当a=45°时，过点D作AN的垂线交射线AM于点E.连接CE,用等式表示线段CE与BD的 数量关系，并证明。 【答案】(I)AB=CD,见解析 2)CE与BD的数量关系是CE=√2BD,见解析 【分析】(1)根据旋转的全等性质，补角的性质，等腰三角形的判定，等量代换解答即可 (2)作QD⊥BD,且使DQ=BD,连接BQ,EQ.利用三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性 质，等量代换思想解答即可. 【详解】(1)解：AB与CD的数量关系是AB=CD. B 证明：A,C,D共线， .∠BCA=180°-(180°-a=a. ∴.∠BCA=∠BAC, ∴.AB=BC. :线段BC绕点C旋转得到线段CD, :BC CD. ∴.AB=CD (2)解：CE与BD的数量关系是CE=√2BD. 证明：：∠MAN=45°，ED⊥AD. ∠AED=45°. :AD DE. 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作QD⊥BD,且使DQ=BD, 连接BQ,EQ. M ∠BAC=45°， ∠BCD=135°. ∠BCA=45°. .AB=BC. .∠ABC=90°. :∠1+∠3=∠2+∠3=90°， ∠1=∠2 在△ADB和△EDQ中， AD=ED ∠1=∠2， BD=DO △ADB≌△EDO(SAS. ∴.AB=EQ,∠DEQ=∠A=45°. ∴.BC=EQ :∠AED=45°， LBE0=90°， 在△EBC和△BEQ中， BE=EB ∠BEQ=∠EBC, EO=BC ∴.△EBC≌△BEQ(SAS), ..BO=EC, 60/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△BOD中，BD=D2, :.BO =2BD. :CE =2BD. 【点晴】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形 的性质，等量代换，熟练掌握相关图形的性质和等量代换思想是解题的关键 4.(2026北京海淀·二模)在ABC中，LBAC=90°，∠ABC=a,点D在BC的延长线上，E是CD的中 点，连接EA,将线段EA绕点E逆时针旋转180°-2α得到线段EF. 图1 图2 (I)如图1，a=45°，CD=BC,连接CF,求证：CF⊥BC; (2)如图2，连接BF,DF,直接写出∠BFD的大小，并证明. 【答案】()见详解 (2)90°；见详解 【分析】(1)过点A作AH⊥BC,由a=45°可知ABC是等腰直角三角形，△ABH是等腰直角三角形，进 而可知CE=AH,证明△AHE≌△ECF,即可求解； (2)取BC的中点G,连接AG,AF,根据两角对应相等可证△ABG∽△AFE,根据相似三角形的性质可知 ABAF ,进而根据两边对应成比例以及夹角相等可证△BAP∽aGAE,设BG=m,CE=n,进而可知 AG AE 4B_BC三m,证明△ABC0△F8D,根据相似三角形的性质即可求解。 BF BD m+n 【详解】(1)证明：过点A作AH⊥BC, :在ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=a=45°， 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LACB=45°， “.ABC是等腰直角三角形， :∠AHB=90°=∠AHC, .BH =CH ∠BAH=45°， “△ABH是等腰直角三角形， .AH =BH =CH, :CD=BC,E是CD的中点， CE=。CD=AH, :∠AEF=LAEH+∠HEF=90°，∠AEH+∠HAE=90°， .∠HEF=∠HAE, 在△AHE和△ECF中， AH=CE ∠HEF=∠HAE AE=FE ∴.△AHE≌aECF(SAS) ∴.∠ECF=LAHC=90°， CF⊥BC, (2)证明：取BC的中点G,连接AG,AF, EA=EF,∠AEF=180°-2a, ∠EAF=∠EFA=a, :G是BC的中点，∠BAC=90°， .AG=BG=CG, :∠ABC=a, ∴∠ABC=∠BAG=a,LAGE=2a 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABG∽△AFE, ABAF AG AE :∠BAG=LEAF=a, ∠BAF=∠GAE, .△BAF∽△GAE, .∠ABF=∠AGE=2a, ∠ABC=∠FBC=a, AB AG ·BFGE 设BG=m,CE=n, .BG=CG=AG=m,BC =2m :E是CD的中点， ∴.CE=DE=n,CD=2n, .GE =m+n, AB=m BF m+n BC 2m -=AB BD 2m+2n m+n BF' ∴.△ABC∽△FBD, ∠BFD=LBAC=90°. 5.(2026北京平谷二模)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，过点A作射线AP,交线段BC于 D,∠CAP=a0°<a<45),过点C作CE⊥AP于点E,延长EC到点F,使EF=AE. 备用图 )若4B=7,ana=E,求EF的长： 6 (②)连接BF,交射线AP于点N,M为AC的中点，连接MN. ①依题意补全图形： ②猜想MN与CE的数量关系，并证明. 【答案】(1)AE=6 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2) ①如图所示： M 74 52 含B ②CE=√2MN,证明：如图，过点B作BQ⊥AP于Q,过点C作CK∥MN交AP于K, :CE⊥AP,BQ⊥AP, ∴.∠AEC=∠AQB=90°， ∠2+∠3=90°， :∠BAC=90°， .∠1+∠2=90°， ∠1=∠3， AB=AC, ∴△ACE≌△ABQ(AAS), ..BO=AE,CE=AO, EF=AE, :EF AE=BO, ·∠AEF=∠EQB=90°，∠ENF=∠BNQ, △ENF≌△BNO AAS), :.EN =ON, :M为AC的中点，CK∥MN, AM_AN=1. CM NK :AN =KN :CK =2MN :AN KN EN=ON, .EK=AO=CE, .CK =2CE, 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CE =2MN 【分析】(I)因为△ABC是等腰直角三角形且AB=7,所以先得出AC的长度：因为CE⊥AP,aAEC是直 角三角形，己知tana的值，所以结合勾股定理可求出AE的长度，又因为EF=AE,即可得到EF的长. (2)①依据题干描述的点的位置、连线关系补全图形即可. ②首先证明△ABF和△ACE全等，得到对应角相等，进而推出∠ANB=90°；如果M是AC中点，可过点B作 BQ⊥AP于Q,过点C作CK∥MN交AP于K,结合线段的和差关系推导MN与CE的数量关系. 【详解】解：：CE⊥AP, ∠AEC=90°， 在RIAACE中： CE 13 AE 6 设CE=3k,AE=6k, AB=AC=7, 根据勾股定理： AE2+CE2=AC2,即(6k)2+(V13k)2=72, 解得k=1(k>0), :AE=6 :EF AE=6. (2)①如图所示； ②CE=√2MN, 证明：如图，过点B作BQ⊥AP于Q,过点C作CK∥MN交AP于K, :CE⊥AP,BQ⊥AP, ∴.∠AEC=∠AQB=90°， .∠2+∠3=90°， :∠BAC=90°， .∠1+∠2=90°， ∠1=∠3， 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=AC, ∴△ACE≌△ABQ(AAS), ..BO=AE,CE=AO, :EF=AE, .EF AE =BO, ,∠AEF=∠EQB=90°，∠ENF=∠BNQ, aENF≌△BNQ(AAS), :.EN =ON, :M为AC的中点，CK∥MN, AM AN=1. CM NK :AN =KN :CK =2MN :AN KN EN=ON, ∴EK=AQ=CE, .CK=√2CE, CE=√2MN. 6.(2026北京大兴二模)在ABC中，∠ACB=90°，∠B=a(0°<a<30),点D是AB的中点，点E为 AB下方一点，满足LAED=2a,将线段ED绕点E顺时针旋转2a,得到线段EF,点F恰好落在AB上.连 接FC,延长ED交CF于点G. B D E (I)连接CD,求证：∠CDG=∠DAE; (②)用等式表示AE,EF,DG之间的数量关系，并证明. 【答案】()证明：如图，连接CD 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :在ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点， .CD=AD=BD, ∴∠BCD=∠B=a, ∠ADC=LBCD+∠B=2a, ∠ADG=LADC+∠CDG=2a+LCDG, 又：LADG=LAED+∠DAE,∠AED=2a, .ZADG 2a+DAE .LCDG=∠DAE. (2)解：AE=EF+2DG,证明如下： 如图，延长EG至点H,使得EH=AE,连接CD,CH,FH, D B E 由旋转的性质得：EF=ED,∠DEF=2a, 在△EFH和△EDA中， EF=ED ∠HEF=∠AED=2, EH=EA :△EFH≌△EDA SAS), HF=AD,∠FHE=∠DAE, 由(1)已得：CD=AD,∠CDG=∠DAE, :.HF=CD,∠FHE=∠CDG, .HF∥CD, 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形CDFH是平行四边形， ..HG=DG, .EH DE+DG+HG=EF +2DG, .AE EF +2DG. 【分析】(1)连接CD,先得出CD=AD=BD,再得出LBCD=LB=a,则LADC=2a,然后根据三角形 的外角性质即可得证： (2)延长EG至点H,使得EH=AE,连接CD,CH,FH,先证出△EFH≌△EDA,则 HF=AD,∠FHE=∠DAE,再证出四边形CDFH是平行四边形，则HG=DG,据此即可得出结论， 【详解】(1)证明：略， (2)解：略 【点睛】本题难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和平行四边形 7.(2026北京房山二模)在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a,点D在射线BC上，G为BD的中点.连 接AD,将射线DA绕点D逆时针旋转a得到射线DE, E H B G C(D) B G D 图1 图2 图1，点D与点C重合，射线DE与边AB交于点F,连接FG,求证：FG (2)如图2，点D在BC的延长线上(CD<BC),过点A作AH⊥DE于点H,连接HG,用等式表示HG与CG 的数量关系，并证明。 【答案】(I)证明：：在ABC中，∠ACB=90°，（点D与点C重合）， ∠ACF+LBCF=90°， 根据旋转有：∠ABC=a=∠ADF=∠ACF, ∴∠ABC+∠BCF=90°， :.∠BFC=180°-（∠ABC+∠BCF)=90°， :.BCF是直角三角形， :G为BC的中点，（点D与点C重合）， 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .GF=-BC (2)解：HG=CG,证明如下： 取AD的中点M,连接MH、MC、MG,如图， E B G 根据旋转有：∠ABC=&=∠ADE, :AH⊥DE, .∠ADE+∠HAD=90°， :∠ACB=90°， .∠ABC+LBAC=90°， .∠HAD=∠BAC, :∠HAC+∠CAD=∠BAH+∠HAC, :ZCAD ZBAH, :∠ACB=90°， ∠ACD=180°-LACB=90°， :点M为AD的中点， :在R△ACD中，CM=AM=MD= -AD 同理有：HM=AM=MD= .HM =MC, 设∠ADC=B,即∠CAD=90°-∠ADC=90°-B, ∠CAD=∠BAG=90°-B, CM =AM, ∴.∠CAM=∠ACM,即∠CMD=∠CAM+∠ACM=2LCAM, HM MD, ∠ADE=∠MHD=a, .∠HMD=180°-∠ADE-∠MHD=180°-2a, 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :G点为BD的中点.M点为AD的中点.， :MG为△ABD的中位线， MG∥AB, .∠ABC=∠MGD=a, :∠GMD=180°-∠MGD-∠ADC=180°-a-B, :.∠HMG=∠HMD-∠GMD=180°-2a-180°-o-B)=B-, CM =MD :∠DCM=∠MDC=B, .∠CMD=180°-∠DCM-∠MDC=180°-2B, :∠GMC=∠GMD-∠CMD=180°-a-B-(180°-2β)=B-a, .∠GMC=∠HMG=B-a, 又：HM=MC,MG=MG, :.△HMG≌CMG(SAS), .HG=CG. 【分析】(1)证明BCF是直角三角形，再根据斜边的中线等于斜边的一半即可证明； (2)取AD的中点M,连接MH、MC、MG,证明LCAD=∠BAH,再根据斜边的中线等于斜边的一半 证明HM=MC,设∠ADC=B,即先表示出∠HMD,判断出MG为△ABD的中位线，可得 ∠ABC=LMGD=a,根据表示出∠GMD,接着表示出∠HMG;表示出∠CMD,接着表示出∠GMC,即 可证明∠GMC=∠HMG,进而证明△HMG≌aCMG(SAS),问题得解. 【详解】(1)略 (2)略 【点晴】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，等边对等角，直角三角形中斜 边的中线等于斜边的一半，问题的难点在于第二问，作辅助线构造全等三角形. 8.(2026北京丰台·二模)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=(0°<a<90°)，将线段CA绕点C逆 时针旋转90°-a得到线段CD,CD交AB于点E,作射线AD与CB的延长线交于点F, 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求LAFC的大小： (②)点G是线段CF中点，在线段GC上截取GH=,BF,连接EH·补全图形，用等式表示线段DF与EH的 数量关系，并证明 【答案】(1)45° (2)①补全图形 D E BG H 数量关系：DF=V2EH, 证明：作点D关于CF的对称点M,连接CM,DM,FM. CF垂直平分DM. BG H M ·CD=CM,FD=FM, :∠DFM=2LAFC=90°，LDCM=2∠1=a, ·∠BAC=∠DCM, AC=DC, ·AB=AC=CD=CM, :△ABC≌CDM(S,A,S), :BC DM 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△DFM中，∠DFM=90°，DF=MF, 根据勾股定理，DM=VDF2+MF2=V2DF, BC=√2DF, :GH=BF,点G为CF的中点， 设GH=a,CG=FG=b,则BF=2a. :CH=CG-GH =b-a,BH=FG-BF+GH=b-a, :CH =BH. :∠BAC=a,LACE=90°-u, :∠BEC=LBAC+LACE=90°， 6w号6c BC=2DF, ·DF=√2EH. 【分折】1D根据等腰三角形的性质可得∠4C8=90-0,由旋转可得，∠4CD=90°-&，4C=CD, 避而求出☑1二)&，∠CDA=45°+)&，最后根据三角形的外角性质即可求解 (2)作点D关于CF的对称点M,连接CM,DM,FM,根据对称得到CD=CM,FD=FM,则 ∠DFM=90°，∠DCM=a,推出LBAC=∠DCM,证明a△ABC≌aCDM得到BC=DM,根据勾股定理得 到BC=DM=√2DF,根据题意可设GH=a,CG=FG=b,则BF=2a,CH=BH=b-a,求出 ∠BEC=90,根据直角三角形的斜边中线定理得EH=;BC,即可得证。 【详解】(1)解：AB=AC,∠BAC=a, ∠ABC=∠ACB=90°)& 由旋转可得，LACD=90°-a,AC=CD, A=∠4C8-∠4cD=0-2a-(90-a=5a 1 ∠C4D=∠CDA=180°-∠4CD.180P-90°-a=45°+a, 2 2 ,11 LAFC=∠CDA-1=45+2a-2a=45°： 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (2)略 9.(2026北京石景山二模)在ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，D为直线BC上一点，连接AD,将 线段DA绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE,连接BE, B C 图1 图2 (I)如图1，当点D在BC的延长线上且DC=BC时，记BE,AD的交点为M,连接CM,求证： DE =2CM (②)如图2，当点D在CB的延长线上时，取BE的中点F,连接CF,用等式表示线段BD与CF的数量关系， 并证明。 【答案】(1)证明：：∠ACB=90°，DC=BC, :AC是线段BD的垂直平分线， AB=AD,∠DAC=∠BAC=30°， ∠BAD=60°， “.△BAD是等边三角形， :AB AD, 由旋转的性质得ED=AD,∠ADE=60°， ∠BAM=∠EDM=60°，AB=DE, ∠BMA=∠EMD, :△BMA≌△EMD(AAS), .BM =EM BC=CD, 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CM是BDE的中位线， .DE=2CM (2)解：BD=2CF，,理由如下： 延长BC到点G,使CG=BC, B G 同(1)理，△BAG是等边三角形， .AB=AG,∠BAG=60°， 由旋转的性质得ED=AD,∠ADE=60°， .ADE是等边三角形， AD=AE,∠DAE=60°， ∴.∠DAB=60°-∠BAE=∠EAG, △DAB≌△EAG(SAS), .BD=GE, :CG=BC,又：点F是BE的中点， ∴.CF是△BEG的中位线， ∴.GE=2CF, .BD =2CF 【分析】(1)证明△BAD是等边三角形，推出△BMA≌△EMD(AAS),得到BM=EM,得到CM是BDE 的中位线，根据三角形中位线的性质即可证明DE=2CM; (2)延长BC到点G,使CG=BC,同理得到△BAG和ADE都是等边三角形，证明 △DAB≌△EAG(SAS),得到BD=GE,再证明CF是△BEG的中位线，根据三角形中位线的性质即可得到 BD=2CF. 【详解】(1)证明：略； (2)解：BD=2CF,理由略. 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026北京顺义二模)在ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=a,点P在射线AC上，连结BP,将线段 BP绕点B顺时针旋转180°-2a得到线段BQ(点Q与点A不重合)，过点Q作QM∥AB交直线CA于点M. B M A C(P)M 图1 图2 (1)如图1，点P与点C重合，求证：∠BAC=∠BAQ; (②)如图2，点M在CA的延长线上，用等式表示PM与AC的数量关系，并证明. 【答案】(1)证明：点P与点C重合，由旋转的性质得BP=BQ,∠PBQ=180°-2a, BC=BQ,∠CBQ=180°-2a, :∠ACB=90°，∠CAB=, .∠ABC=90°-a, .∠CBO=180°-2a, .∠ABQ=∠CBQ-∠ABC=90°-a, ∠ABQ=∠ABC, AB=AB, △ACB≌△AQB(S,A,S), ∴∠BAC=∠BAQ; (2)解：PM=2AC, 证明：如图，延长CP到点N,使得CN=AC,连结BN, :∠ACB=90°，即BC⊥AN, :.BC垂直平分AN, .BA BN, ∴∠N=LCAB=a, ∠ABN=180°-∠N-∠CAB=180°-2a, 由旋转的性质得∠PBQ=180°-2a,BP=BQ, :∠ABP+∠PBN=∠ABP+∠ABQ=180°-2a, ∠PBN=∠ABQ, 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BO=BP 在△ABQ与ANBP中{∠ABQ=∠PBN, AB=BN △ABQ≌△NBP(S,A,S), ∠BAQ=∠N=a,AQ=PN, :QM∥AB, :∠M=∠CAB=,∠AQM=∠BAQ=a, :∠M=∠AQM, .AM=AO, .AM PN, .PM AC+CP+AM AC+CP+PN=AC+CN=2AC. B M 【分析】(1)证明△ACB≌△AQB(S,A,S),即可证明结论： (2)延长CP到点N,使得CN=AC,连结BN,证明△ABQ≌△NBP(S,A,S),再利用平行线的性质即可证 明 【详解】(1)略 (2)略 11.(2026北京朝阳·二模)在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a,D是平面内的一点（不与点A重合）， 连接AD,以A为中心，将线段AD顺时针旋转180°-2a,得到线段AE,连接EC. D B 图1 图2 (I)如图1，点D在边AB上，用等式表示∠DAE与∠BAC之间的数量关系（直接写出结果）； (2)如图2，点D在ABC外，延长EC到点F,使CF=EC,连接BF,BD,用等式表示∠DAE与∠DBF之 间的数量关系，并证明. 60/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(I)LDAE=2LBAC (②)LDAE+LDBF=180°，证明见解析 【分析】(1)由旋转的性质得∠BAE=180°-2α，由直角三角形的性质得∠BAC=90°-a,进而可得 ∠DAE=2∠BAC; (2)将△AEC沿AC翻折得到△APC,连接BP.则：.AE=AP,CE=CP,∠EAC=∠PAC, ∠ECA=LPCA,证明△BCF≌△BCP(SAS)得∠CBF=∠CBP,进而可证∠DAB=∠PAB,再证明 ∠DAB=∠PAB得∠DBA=∠PBA,进而可得∠DAE+∠DBF=180°. 【详解】(1)解：：以A为中心，将线段AD顺时针旋转180°-2a, .∠BAE=180°-2a=290°-a). :在ABC中，∠ACB=90°，LABC=a, ∠BAC=90°-Q, .∠DAE=2LBAC: (2)解：∠DAE+∠DBF=180° 证明：如图，将△AEC沿AC翻折得到△APC,连接BP. △AEC≌AAPC. ∴.AE=AP,CE=CP,∠EAC=LPAC,，LECA=LPCA. :∠ACB=90°，CF=EC, .∠ECA+∠BCF=90°，∠PCA+∠BCP=90°，CF=CP. :ZBCP ZBCF △BCF≌aBCP(SAS), LCBF=∠CBP, ZABC a, ∠CAB=90°-a. :∠DAE=180°-2a, ∠EAC+∠DAB=∠PAC+∠PAB=90°-a. .∠DAB=∠PAB. AE=AD, :AP AD. 59/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △DAB≌PAB(SAS .∠DBA=∠PBA. :∠DBF=2∠ABC=2a. :∠DAE+∠DBF=180°. D 12.(2026北京东城二模)如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE,作AF⊥AE交CD的 延长线于点F,作EG⊥AE交AC于点G,过点G作GH⊥AF交AF于点H,延长HG交DC的延长线于点M F D C E (1)依题意补全图形： (2)求证：AE=AF; (3)用等式表示线段AG与FM之间的数量关系，并证明. 【答案】（①） 之 F A于 D B M (②)证明：：四边形ABCD是正方形， 60/60 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=AD,∠B=∠BAD=∠ADF=90°. :AF⊥AE, ∴∠BAE=∠DAF, △ABE≌AADF, .AE=AF; (3)结论：FM=√2AG, 证明：如图，过点A作AG的垂线，过点F作AF的垂线，两条垂线交于点P,连接PG, :AF⊥AE,AP⊥AG, ∠FAP+∠FAG=∠FAG+∠EAG=90°， ∠EAG=LFAP. :EG⊥AE,PF⊥AF, .∠AEG=∠AFP=90° AE AF, .△AEG≌△AFP, :AG AP, ∴.△PAG是等腰直角三角形， PG=V2AG,∠AGP=45°. :∠ACD=45°， .PG IIFM. :GH⊥AF, ∠M+∠AFD=90°. 由∠AFP=90°可知∠M+∠AFD+∠AFP=180°，即∠M+∠PFM=180° .PF∥GM, :四边形PGMF是平行四边形， .PG=FM ∴FM=V2AG 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P ! H A D G B C E M 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 60/60