专题03 函数、一次函数、反比例函数（北京专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 北京各区县二模函数专题汇编，聚焦函数性质、一次函数含参、反比例函数三大考点，以家庭阅读、3D打印、芯片生产等真实情境为载体，突出数据分析与实际应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约15题|函数基本性质（如A/B家庭阅读积分计算）、一次函数含参（如交点与取值范围问题）、反比例函数（如比较函数值大小）|情境具时代性（含电动汽车电池、茶文化等素材），问题分基础计算（如求总页数）、图像应用（如描点画图）、决策分析（如最优阅读起始日）三级梯度，贴合北京二模命题趋势|

专题03 函数、一次函数、反比例函数 3大考点概览 考点01函数基本性质 考点02一次函数含参问题 考点03反比例函数 函数基本性质 考点01 1．(25-26九下·北京大兴区·二模)为营造家庭亲子阅读氛围，A、B两个家庭分别制定了每周七天循环阅读计划，并以10天为一个结算单元设立积分奖励，每读一页书，奖励0.2积分，积分达到一定数值可以兑换相应礼品．每周七天可用星期表示，其中，，，，，，，至6依次表示星期一至星期六，表示星期日． A家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 12 14 16 18 20 22 24 34.8 36 37.2 36.8 35.2 B家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 20 18 13 22 15 23 通过分析数据，在平面直角坐标中，分别描出部分数对，所对应的点． (1)A家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为________； (2)在给出的坐标系中，描出表示的点； (3)按照A家庭的积分兑换办法，兑换一本新书需要37积分．若连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期________当天开始阅读； (4)A家庭从星期________当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大； (5)若随的增大而增大，则整数________． 2．(25-26九下·北京房山区·二模)某款智能手机支持普通充电和快速充电两种模式，且手机具有智能匹配充电器的功能：当检测到不同规格的充电器接入时，自动切换至对应充电模式．小海分别记录了两种充电模式下充电时间（单位：）时的手机电量（单位：），通过分析数据，可以认为是的函数．普通充电时，将电量为的手机充电到，大约需要 ，手机电量与充电时间的函数关系可以近似看作正比例函数（）．如图所示：    快速充电时，手机电量与充电时间的部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 根据以上信息解决下列问题． (1)在普通充电模式下，将电量为的手机充电到需要________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出的函数图象；若分别用两种充电模式充电（手机起始电量均为），则两种充电模式下的充电电量相差约为________（精确到个位）； (3)小海的手机目前剩余电量为． ①若用普通充电模式给手机充电，则经过________后，电量可以达到； ②若先用普通充电模式充电，再立即改用快速充电模式充电，则切换后至少经过________（精确到个位），电量可以达到． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲组挤出头出料时的出料量为__________； (2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）． 4．(25-26九·北京海淀区·期末)某旅游城市的居民王先生利用自有房屋开设一家具有当地民俗文化特色的民宿，改造完成后于年月初开始营业．截至年月底，共计经营时长为个月，民宿营业收入累计额如图． 民宿的利润等于营业收入减去支出费用．支出费用包含两部分，一部分是民宿的改造费，共计万元，开业前已支付完毕；另一部分是除改造费之外的其它支出费用，这部分费用按月累计数据如下： 经营时长（月） 其它支出费用累计额（万元） 结合上述信息和图象，回答下列问题： (1)王先生的民宿在年月初到年月底这个月的经营中， ①第个月的其它支出费用为________万元； ②单月营业收入最高的是第________个月（填整数）； (2)①在上面的坐标系中画出其它支出费用累计额关于经营时长的图象； ②根据图象估计王先生的民宿自开始营业后第________个月开始盈利（填整数）； (3)“累计成本利润率（记为）”是指经营项目在一定时期内，累计实现的盈利总额与同期累计发生的支出总额的比值． 根据该城市的行业评价标准，当时，可评定为经营效果良好并能被当地文旅部门优先推介．若累计盈利总额和累计支出总额（含改造费）从开始营业时计算，则王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第________个月（填整数）． 5．(25-26九下·北京燕山区·二模)中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为______时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为_______（结果保留小数点后一位）； (3)在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则_______（填“”“”或“”）． 6．(25-26九下·北京西城区·二模)某芯片公司设计了两个方案用以提升某类芯片的产量和性能．将第批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为和，对于给定的方案，可以认为是的函数．部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 70 78 84 88 90 91 92 93 … 74 81 87 91 95 97 98 … 对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系中描出各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线和，曲线如图所示． (1)当整数的值为________时，按方案一优化后的成品率首次超过； (2)写出表中的值（为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线； (3)按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于的批次称为合格批次． ①根据上述函数关系，该公司最早在第________天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过________天（整数）完成这个订单． 7．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 8．(25-26九下·北京昌平区·二模)某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（A材料和B材料），且两种材料在时原始长度相同．在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化．设A材料的伸展长度为，B材料的伸展长度为． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 (1)在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为________； A．    B． C．    D． (3)①若希望在以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择________材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度由混合时A，B两种材料的添加比例决定：．当最小为________时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 9．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 10．(25-26九下·北京朝阳区·二模)小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下： 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： 同一根琴弦，弦长越大频率越低； 两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； 两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； 要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 11．(25-26九下·北京顺义区·二模)某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略．每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶，并装有相同质量、相同温度的水．将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为（单位：度）．分别记录了取不同值时，壶中的水烧开所用的燃气量（单位：）的值，部分数据如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0.71 0.48 0.31 0.20 0.14 0.13 0.15 0.22 已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的增大而增大，并且增大的速度越来越快． (1)写出表中的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当燃气灶旋钮旋转角度约为________度（结果保留整数）时，壶中的水烧开所用的燃气量最小； ②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少．综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低时，对应的旋转角度为理想旋转角度，则的取值范围约是______． 12．(25-26九下·北京石景山区·二模)为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：），实验所得部分数据如表： 0 5 10 15 20 25 35 45 55 65 80 80.0 72.1 65.2 59.2 54.0 49.5 42.1 36.7 32.6 29.4 26.0 80.0 66.4 55.9 47.8 41.6 36.7 30.0 26.0 23.6 22.1 20.9 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①当时，1号杯和2号杯的水温相差________（精确到个位）； ②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约________（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为________（精确到个位）． 13．(25-26九下·北京丰台区·二模)某班同学在制作简易密度计的过程中，进行了如下实验：如图，将密度计放入密度为（单位：）的液体中，测量其竖直平稳漂浮时露出液面的高度（单位：）．记甲、乙两位同学制作的长度相同的密度计A，B露出液面的高度分别为，．他们记录的部分数据如下表： (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中画出了与的图象，请画出与的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当液体的密度为时，约为________，约为________（结果精确到）； ②现有密度为，，的三种液体，其中，且，选择一个密度计依次放入三种液体中，其露出液面的高度分别为，，，则________（填“”“”或“”）； ③将一个密度计依次放入密度为，（）的两种液体中，记露出液面的高度差为，不同的密度计对应的的值越大越容易读取数据，因此更容易读取数据的是密度计________（填“A”或“B”）． 14．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：）的关系如下表所示： 充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30 模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100 模式二剩余电量（） 10 35 58 76 89 97 100 已知模式一的剩余电量与时间的关系可以看作一次函数关系． (1)① ； ②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系中画出这两个函数图象； (2)充电系统通过调节充电电流（单位：安培A）来控制电量，已知两种充电模式的初始电流为10安培，且满足：剩余电量每增加，充电电流将减小0.05安培． ①充电10分钟后，模式一的充电电流为 安培； ②当两种充电模式的电流之差的绝对值不低于0.4时，对应的充电时间的取值范围为 （保留整数）． 15．(25-26九下·北京东城区·二模)某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：）．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位（可取1，2，3或4），可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： （日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 时的值 0 10 18 25 30 35 40 43 45 46 47 48 时的值 0 30 45 55 62 65 67 68 69 70 70 时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过60； (2)写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）． ①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第_______日可实现达标（结果为整数）； ②小张应选择______单位制剂投放方案，总成本最低，最低是______元． 一次函数含参问题 考点02 1．(25-26九下·北京房山区·二模)在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 2．(25-26九下·北京大兴区·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于，直接写出的取值范围． 4．(25-26九·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)过点作轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的长； ②当时，直接写出的取值范围． 5．(25-26九下·北京燕山区·二模)在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 6．(25-26九下·北京西城区·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 7．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 8．(25-26九下·北京昌平区·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 9．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 10．(25-26九下·北京朝阳区·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于0且小于函数的值，直接写出的取值范围． 11．(25-26九下·北京顺义区·二模)在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 12．(25-26九下·北京石景山区·二模)在平面直角坐标系中，直线与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 13．(25-26九下·北京丰台区·二模)在平面直角坐标系中，一次函数（）的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)已知一次函数的图像与正比例函数（）的图像交于点M，与一次函数的图像交于点N．当点M，N位于y轴两侧时，直接写出m的取值范围． 14．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)在平面直角坐标系中，直线经过点和． (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，请直接写出的取值范围． 15．(25-26九下·北京东城区·二模)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 反比例函数 考点03 1．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是____． 2．(25-26九下·北京丰台区·二模)在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，当时，________（填“＞”“＝”或“＜”）． 3．(25-26九下·北京石景山区·二模)在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“”，“”或“”）． 4．(25-26九下·北京朝阳区·二模)直线与双曲线的两个交点的横坐标分别为，，则________． 5．(25-26九下·北京燕山区·二模)反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 6．(25-26九·北京海淀区·期末)如图，在平面直角坐标系中，，．若函数的图象与矩形有公共点，则的值可以是________（写出一个即可）． 7．(25-26九下·北京房山区·二模)在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则________（填“”“”或“”）． 20/20 19/20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数、一次函数、反比例函数 3大考点概览 考点01函数基本性质 考点02一次函数含参问题 考点03反比例函数 函数基本性质 考点01 1．(25-26九下·北京大兴区·二模)为营造家庭亲子阅读氛围，A、B两个家庭分别制定了每周七天循环阅读计划，并以10天为一个结算单元设立积分奖励，每读一页书，奖励0.2积分，积分达到一定数值可以兑换相应礼品．每周七天可用星期表示，其中，，，，，，，至6依次表示星期一至星期六，表示星期日． A家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 12 14 16 18 20 22 24 34.8 36 37.2 36.8 35.2 B家庭制定的每周循环阅读计划：星期读书的页数记为，从星期当天开始连续阅读10天后的总积分记为，可以认为，分别是的函数，部分数据如下： 星期 1 2 3 4 5 6 7 20 18 13 22 15 23 通过分析数据，在平面直角坐标中，分别描出部分数对，所对应的点． (1)A家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为________； (2)在给出的坐标系中，描出表示的点； (3)按照A家庭的积分兑换办法，兑换一本新书需要37积分．若连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期________当天开始阅读； (4)A家庭从星期________当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大； (5)若随的增大而增大，则整数________． 【答案】(1)168页 (2) (3)四 (4)五 (5)19 【分析】（1）根据题意，将A家庭从星期一当天开始，连续10天每日阅读量相加即可； （2）根据“A家庭从星期一当天开始连续10天阅读总量”求得的值，然后描点即可； （3）比较一周积分数值，并结合尽早完成兑换，即可获得答案； （4）首先求得的值，然后比较一周积分数值大小，即可获得答案； （5）分别计算B家庭每日连续10天阅读总量，且随的增大而增大，即每日连续10天阅读总量随的增大而增大，据此建立关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 即A家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为168页； （2）解：，描点略； （3）解：∵，， ∴连续阅读10天后的总积分满足这次兑换要求，且要尽早完成兑换，则应从星期四当天开始阅读； （4）解：根据题意， ， ∵， ∴A家庭从星期五当天开始阅读，连续阅读10天后所能获得的积分最大； （5）解：根据题意，B家庭从星期一当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期二当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期三当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期四当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期五当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期六当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， B家庭从星期日当天开始，连续阅读10天后的读书总页数为， ∵随的增大而增大， ∴，解得， ∵为整数， ∴． 2．(25-26九下·北京房山区·二模)某款智能手机支持普通充电和快速充电两种模式，且手机具有智能匹配充电器的功能：当检测到不同规格的充电器接入时，自动切换至对应充电模式．小海分别记录了两种充电模式下充电时间（单位：）时的手机电量（单位：），通过分析数据，可以认为是的函数．普通充电时，将电量为的手机充电到，大约需要 ，手机电量与充电时间的函数关系可以近似看作正比例函数（）．如图所示：    快速充电时，手机电量与充电时间的部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 根据以上信息解决下列问题． (1)在普通充电模式下，将电量为的手机充电到需要________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出的函数图象；若分别用两种充电模式充电（手机起始电量均为），则两种充电模式下的充电电量相差约为________（精确到个位）； (3)小海的手机目前剩余电量为． ①若用普通充电模式给手机充电，则经过________后，电量可以达到； ②若先用普通充电模式充电，再立即改用快速充电模式充电，则切换后至少经过________（精确到个位），电量可以达到． 【答案】(1) (2)， (3)①，② 【分析】（1）先求出普通充电模式的函数关系式，问题即可求解； （2）分别求出两种模式下充电的电量，再相减即可求解； （3）①令，解方程即可求解；②先根据普通模式下的函数关系式求出的充电量；快速充电时，在前范围内，手机电量与充电时间的关系为线性关系，再据此求出此范围内快速充电模式下的函数关系式，接着据此求出在快速模式下，达到此电量所需的时间，最后根据总时间即可求出充满电还需要的时间，问题得解． 【详解】（1）解：设普通模式下，充电时间与手机电量之间的函数关系式为， ∵普通充电时，将电量为的手机充电到，大约需要 ， ∴，解得， 即普通模式下，充电时间与手机电量之间的函数关系式为， 当时，解得， 即在普通充电模式下，将电量为的手机充电到需要； （2）函数图象作图略， 普通充电模式时，当时，， 快速充电模式时，当时，， 即二者相差为：； （3）①当时，解得， 当时，解得， ∴时间差为：， 即用普通充电模式给手机充电，则经过后，电量可以达到； ②根据①，可知普通充电模式时，达到的电量需要时间为：， 再在普通充电模式下，又充电， 能充的电量为：当时，， 根据函数图象、表格数据可知：快速充电时，在前范围内，手机电量与充电时间的关系为线性关系，设此时充电时间与手机电量之间的函数关系式为， 代入一组数据可得，即， 此时：充电时间与手机电量之间的函数关系式为， 当时，， ∵快速模式下，充满也需要， ∴快速模式下，在现有电量条件下充满电量所需时间为，取整数为． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)某3D打印兴趣小组在测试不同型号的挤出头出料性能，开展了两组实验： 甲组选定某一型号的挤出头，探究出料量（单位：）与出料时间（单位：）之间的关系，已知出料量与出料时间成正比例函数关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙组选取除孔径外无其他差别的多款挤出头，探究出料耗材所用的时间（单位：）与挤出头孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲组挤出头出料时的出料量为__________； (2)通过乙组实验，发现可用函数刻画时间与孔径之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出乙组实验的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①孔径为的挤出头出料耗材所用的时间为__________（结果保留小数点后一位）； ②推断甲组同学实验中所用挤出头的孔径为__________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) (3)①9.5  ②4.4 【分析】第（1）问：根据“出料量与时间成正比例”，设，用表格数据求出比例系数，再代入计算出料量； 第（2）问：根据乙组表格中的数据，在坐标系中描点，再用平滑曲线连接，得到反比例型函数图象； 第（3）问：观察乙组数据，发现，即，代入求； 先根据甲组的正比例函数，求出“出料”所需的时间，再代入乙组的反比例模型，反求挤出头孔径． 【详解】（1）解：∵出料量与出料时间成正比例函数关系， ∴设与之间的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得：， ∴与之间的函数解析式为， ∴当时，， ∴甲组挤出头出料时的出料量为； （2）在坐标系中，根据表格数据，依次描出点： ，，，，， 再用平滑的曲线，将描出的各点依次连接起来，形成一条从左上向右下逐渐下降的曲线； （3）观察乙组数据， ，，，，， ∴与满足， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． 【点睛】解题核心是先根据变量关系确定函数解析式，再分步代入计算，注意乙组中与成反比例，而非与直接反比例，同时跨组计算时要找准前后关联量，计算时留意小数取值与单位规范． 4．(25-26九·北京海淀区·期末)某旅游城市的居民王先生利用自有房屋开设一家具有当地民俗文化特色的民宿，改造完成后于年月初开始营业．截至年月底，共计经营时长为个月，民宿营业收入累计额如图． 民宿的利润等于营业收入减去支出费用．支出费用包含两部分，一部分是民宿的改造费，共计万元，开业前已支付完毕；另一部分是除改造费之外的其它支出费用，这部分费用按月累计数据如下： 经营时长（月） 其它支出费用累计额（万元） 结合上述信息和图象，回答下列问题： (1)王先生的民宿在年月初到年月底这个月的经营中， ①第个月的其它支出费用为________万元； ②单月营业收入最高的是第________个月（填整数）； (2)①在上面的坐标系中画出其它支出费用累计额关于经营时长的图象； ②根据图象估计王先生的民宿自开始营业后第________个月开始盈利（填整数）； (3)“累计成本利润率（记为）”是指经营项目在一定时期内，累计实现的盈利总额与同期累计发生的支出总额的比值． 根据该城市的行业评价标准，当时，可评定为经营效果良好并能被当地文旅部门优先推介．若累计盈利总额和累计支出总额（含改造费）从开始营业时计算，则王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第________个月（填整数）． 【答案】(1)7；6 (2)①见详解；②6 (3)8 【分析】（1）①②结合函数图象求解即可． （2）①根据数据画出图象即可；②结合函数图象求解即可； （3）根据累计成本利润率计算，再结合城市的行业评价标准求解即可． 【详解】（1）解：①第个月的其它支出费用为：（万元）； ②观察民宿营业收入累计额图可知第5个月到第6个月的累计额较大，故累计额单月营业收入最高的是第6个月． （2）解：①其它支出费用累计额关于经营时长的图象如下： ②结合函数图象可知，当第6个月的时候民宿营业收入累计额图位于支出费用累计额上面，此时民宿营业收入累计额万元，支出费用累计额为（万元）， ∵， ∴王先生的民宿自开始营业后第6个月开始盈利． （3）解：由（2）②可知第6个月开始盈利， 第6个月营业累计额大约为105万元，支出费用累计额为万元， ∴， 第7个月营业累计额大约为125万元，支出费用累计额为万元， ∴ 第8个月营业累计额为160万元，支出费用累计额为万元， ∴， ∵当时，可评定为经营效果良好并能被当地文旅部门优先推介． ∴王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第8个月． 5．(25-26九下·北京燕山区·二模)中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为______时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为_______（结果保留小数点后一位）； (3)在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则_______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2)，（答案不唯一） (3) 【分析】本题考考查了画函数图象，根据图象获取信息，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据表格中的数据描点画图即可； （2）根据绿茶茶水温度降至饮用时口感最佳，结合表格数据解答即可； （3）观察图表数据可知，普洱茶放置时间每增加，茶水温度下降的速度降低，即可求解． 【详解】（1）解：如下图，即为与x的函数图象； （2）解：由题意可知，绿茶茶水温度降至饮用时口感最佳， 由表格可知，时，；时，， 当绿茶茶水的放置时间约为时，其饮用口感最佳， 此时普洱茶茶水的温度约为 （3）解：观察图表数据可知，普洱茶放置时间每增加，茶水温度下降的速度降低， 即若，则， 故答案为： 6．(25-26九下·北京西城区·二模)某芯片公司设计了两个方案用以提升某类芯片的产量和性能．将第批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为和，对于给定的方案，可以认为是的函数．部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 70 78 84 88 90 91 92 93 … 74 81 87 91 95 97 98 … 对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系中描出各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线和，曲线如图所示． (1)当整数的值为________时，按方案一优化后的成品率首次超过； (2)写出表中的值（为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线； (3)按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于的批次称为合格批次． ①根据上述函数关系，该公司最早在第________天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过________天（整数）完成这个订单． 【答案】(1)4 (2)93，图见解析 (3)①10；②48 【分析】（1）直接根据表格中的数据进行作答即可； （2）根据从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变，求出的值，描点，连线画出函数图象即可； （3）①根据按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，结合表格数据，求出两个方案最早开始生产合格批次的芯片的天数，比较大小即可；②分别求出两种方案所需天数，比较大小即可. 【详解】（1）解：由表格可知：当时，；当时，； 故当整数的值为4时，按方案一优化后的成品率首次超过； （2）解：∵对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变， ∴， ∴， 描点，连线，画出函数图象如图： （3）解：①按照方案一，由表格数据可知，当时，， 按照方案二，由表格数据可知，当时，， 又∵按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天， ∴按照方案一最早在第天（整数）开始生产合格批次的芯片； 按照方案二，最早在第天（整数）开始生产合格批次的芯片； ∵， 故该公司最早在第10天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②若选方案一：前4个批次不合格，共需要生产个批次，总用时天； 若选方案二：公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，此时，， 已经可以生产合格的批次，故总用时天； ∵， ∴最快经过天（整数）完成这个订单． 7．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)10或40 (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小 (5)小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由见解析 【分析】本题主要考查了画函数图象，表格表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握画函数图象的基本步骤． （1）先描点，再连线，即可得出与x的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可； （4）根据函数图象进行解答即可； （5）根据表格中数据进行解答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：在温度为时两款电池相对容量相同． （3）解：在或下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）解：随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小； （5）解：小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由如下： 根据表格中的数据可知：在温度较低时，磷酸铁锂电池的相对容量比锰酸锂电池的相对容量要大，所以考虑到续航持久性，应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车． 8．(25-26九下·北京昌平区·二模)某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（A材料和B材料），且两种材料在时原始长度相同．在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化．设A材料的伸展长度为，B材料的伸展长度为． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 (1)在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为________； A．    B． C．    D． (3)①若希望在以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择________材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度由混合时A，B两种材料的添加比例决定：．当最小为________时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 【答案】(1)作图见解析 (2)D (3)①Ｂ② 【分析】（1）根据题干中的数据，描点作图即可； （2）先根据数据求出相同温度的伸展长度差，再结合图象分析即可； （3）①在以上环境中，由，函数图象的变化趋势即可判断； ②在的温度区间，先求出不同温度的，再根据每内的变化始终不超过1.0微米，列不等式求解即可． 【详解】（1） 图象如下： （2）由题意，温度为（单位：）两种材料的伸展长度差为， 由表格中的数据， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 根据数据和图象可得，当时，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米． （3）①由函数图象可得，在以上环境中，材料的伸展长度随着温度升高的增加量比材料大，即材料的伸展性随着温度升高提升得更快， 所以应选择材料制作此精密部件． ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米， 从到， 即，解得， 从到，， 解得， 从到，， 即，解得， 从到， 即，解得， 综上，当最小为时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 9．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 【答案】(1)6 (2)；画图见解析 (3)①7；②1 【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值； （2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，： 时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数． 【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35 故答案为：6 （2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个 ∴相差（个）， 把5分成两个接近的数，， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴， 画出时的曲线： （3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与， ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴； ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴， ∵， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 1日的合格产品是26； ∵， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 10．(25-26九下·北京朝阳区·二模)小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下： 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： 同一根琴弦，弦长越大频率越低； 两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； 两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； 要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 【答案】(1)见解析； (2)（答案不唯一）； (3)． 【分析】（）根据画函数图象的方法及步骤即可； （）根据函数图象进行求解即可； （）根据函数图象进行分析即可． 【详解】（1）解：根据表格，描点，连线， 画图象如图， （2）解：如图， 当时，对应号弦长为，号弦长为， ∴对应号弦长与号弦长的差为， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：对同一根琴弦，，越大越小，即弦长越大频率越低，推断合理； 弦长相同时，频率差，随变化而变化，不是定值，推断错误； 弦长相同时，频率比，是定值，推断合理； 若，则，化简得，弦长比为定值，推断合理； 故答案为：． 11．(25-26九下·北京顺义区·二模)某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略．每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶，并装有相同质量、相同温度的水．将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为（单位：度）．分别记录了取不同值时，壶中的水烧开所用的燃气量（单位：）的值，部分数据如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0.71 0.48 0.31 0.20 0.14 0.13 0.15 0.22 已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的增大而增大，并且增大的速度越来越快． (1)写出表中的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当燃气灶旋钮旋转角度约为________度（结果保留整数）时，壶中的水烧开所用的燃气量最小； ②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少．综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低时，对应的旋转角度为理想旋转角度，则的取值范围约是______． 【答案】(1) (2)解：如图所示为所求： (3) 【分析】（1）根据表格数据结合题意解答即可； （1）由表格数据描点之后，用光滑的曲线连线即可； （3）根据表格数据结合题意解答即可． 【详解】（1）解：时，V随α增大而增大，且增大速度越来越快（即相邻的V增量逐渐变大）： 时，，时，，增量为； 因此的增量大于，得； 的增量大于的增量，得，即， ∴； （2）略 （3）解：① 观察数据，在时取得最小值，因此约度（均合理）时燃气量最小， ② 火力最大（）时，要求燃气量至少低， 即满足， 函数在时，随增大而减小， 因此时，，时，； 函数在时，随增大而增大，并且增大的速度越来越快， 因此结合函数图象时，，时； 因此的取值范围约为． 12．(25-26九下·北京石景山区·二模)为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：），实验所得部分数据如表： 0 5 10 15 20 25 35 45 55 65 80 80.0 72.1 65.2 59.2 54.0 49.5 42.1 36.7 32.6 29.4 26.0 80.0 66.4 55.9 47.8 41.6 36.7 30.0 26.0 23.6 22.1 20.9 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①当时，1号杯和2号杯的水温相差________（精确到个位）； ②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约________（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为________（精确到个位）． 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】本题考查了用描点法画函数图像以及利用函数图像解决实际问题： （1）将表格中的数据标在平面直角坐标系中，再用平滑曲线连接即可； （2）①观察图像得到1号杯和2号杯在时的水温，相减即可； ②观察图像，先找到1号杯降温至时的时间，再找到对应时间里2号杯的温度即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：①由图可知，当时，1号杯的水温为，2号杯的水温为， 则水温相差为：； ②由图可知，1号杯茶水经过约后，温度降至，2号杯茶水此时的温度大约为， 即从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为． 13．(25-26九下·北京丰台区·二模)某班同学在制作简易密度计的过程中，进行了如下实验：如图，将密度计放入密度为（单位：）的液体中，测量其竖直平稳漂浮时露出液面的高度（单位：）．记甲、乙两位同学制作的长度相同的密度计A，B露出液面的高度分别为，．他们记录的部分数据如下表： (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中画出了与的图象，请画出与的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当液体的密度为时，约为________，约为________（结果精确到）； ②现有密度为，，的三种液体，其中，且，选择一个密度计依次放入三种液体中，其露出液面的高度分别为，，，则________（填“”“”或“”）； ③将一个密度计依次放入密度为，（）的两种液体中，记露出液面的高度差为，不同的密度计对应的的值越大越容易读取数据，因此更容易读取数据的是密度计________（填“A”或“B”）． 【答案】(1) (2)①，；②；③B 【来源】2026年北京市丰台区中考二模考试数学 【分析】（1）根据列表，描点，然后用光滑的曲线连接即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解． ②根据函数图象可得随着的增大逐渐增大，且增大幅度逐渐减小，即可求解； ③比较函数值的范围，得出的高度差较大，即可求解． 【详解】（1）略 （2）（1）①根据函数图象可得当液体的密度为时，约为，约为； ②根据图象和图象，可知：随着的增大逐渐增大，且增大幅度逐渐减小， ∴当时，，且； ③∵当时，，， ∴的高度差较大， ∴更容易读取数据的是密度计B 14．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：）的关系如下表所示： 充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30 模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100 模式二剩余电量（） 10 35 58 76 89 97 100 已知模式一的剩余电量与时间的关系可以看作一次函数关系． (1)① ； ②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系中画出这两个函数图象； (2)充电系统通过调节充电电流（单位：安培A）来控制电量，已知两种充电模式的初始电流为10安培，且满足：剩余电量每增加，充电电流将减小0.05安培． ①充电10分钟后，模式一的充电电流为 安培； ②当两种充电模式的电流之差的绝对值不低于0.4时，对应的充电时间的取值范围为 （保留整数）． 【答案】(1)①；②画图见解析； (2)①；②，． 【来源】北京市中国人民大学附属中学分校2025-2026学年九年级数学下学期中考二模模拟考试试题 【分析】（1）①求出函数解析式，将代入计算即可；②根据表格数值描点连线画出图象即可； （2）①充电10分钟后，模式一电量，从初始电量到共增加了，根据电流规则计算即可； ②由电流规则得，，根据题意得到，根据（1）②中函数图象可知恒成立，即，分、两个时段，分别将近似看做一次函数，求解即可． 【详解】（1）解：①已知模式一是一次函数，设， 将、代入得 解得：， ∴， 当时，， 即； ②如图所示： 15．(25-26九下·北京东城区·二模)某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：）．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位（可取1，2，3或4），可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： （日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 时的值 0 10 18 25 30 35 40 43 45 46 47 48 时的值 0 30 45 55 62 65 67 68 69 70 70 时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过60； (2)写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）． ①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第_______日可实现达标（结果为整数）； ②小张应选择______单位制剂投放方案，总成本最低，最低是______元． 【答案】(1)6 (2)59，曲线如下图所示： (3)①5；②3，1200元 【分析】（1）观察曲线，即可获得答案； （2）由表中数据列出关于的不等式组，据此即可确定整数的值；结合的值以及表中数据，作出曲线即可； （3）①结合（2），观察曲线，可知小张最早在投放制剂后的第5日可实现达标；②结合题意可知，确定当、、和时，何日可达标，并分别计算总成本，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：观察曲线，当整数的值为6时，的值首次超过60； （2）解：根据题意，时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变， 由表中数据可知，， 解得， 故整数； （3）解：①结合（2），观察曲线，可知小张最早在投放制剂后的第5日可实现达标； ②结合题意可知， 当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加， 当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加， 当时，至第6日达标，此时总成本为元， 当时，至第5日达标，此时总成本为元， ∵， ∴小张应选择单位制剂投放方案，总成本最低，最低是1200元． 一次函数含参问题 考点02 1．(25-26九下·北京房山区·二模)在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用交点在已知函数上求出a，再代入求k； （2）根据题意，分别求出当时三个函数的函数值，结合图象，根据题意列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：点在函数的图象上， ， 交点为， ， ； （2）解：， ， 把代入，得， 把代入，得， 把代入，得， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， 由图可知，当时，函数的值要满足，且函数的比例系数m要满足， 解得且， 则． 2．(25-26九下·北京大兴区·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两个已知点的坐标代入一次函数解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）根据题意列出时恒成立的两个不等式，分情况讨论不等式恒成立的条件，结合的范围推导得到m的取值范围． 【详解】（1）解：将点和代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 根据题意得，当时，且恒成立， ∴且， 对于，若，则， 当时，x可取任意小于2的数，无法满足常数， ∴无解，舍去； 若，可得，不等式恒成立； 若，则， ∵对所有恒成立， ∴ 解得； ∴第一个不等式要求； 对于，若，则当时，满足， 又∵在中，不可能都满足， ∴舍去； 若，可得，不等式恒成立； 若，则， ∵对所有恒成立， ∴ 解得； ∴第二个不等式成立的条件是 ． 又∵， ∴m的取值范围为． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式以及不等式恒成立问题，熟练运用待定系数法和分类讨论思想分析函数与不等式的关系是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点的坐标代入函数解析式，列方程组求解、的值； （2）先将（1）中求得的、值代入函数解析式，再根据题意列出不等式组，通过对的取值进行分类讨论，结合一次函数的增减性分析不等式恒成立的条件，进而确定的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象经过点，， ， 解得：； （2）解：由（1）得， 由题意得，当时，可得不等式组， 解①：整理得， 当，即时，，随着逐渐增大，无法恒小于一个数，不成立， 当，即时，恒成立， 当，即时，，要使该不等式恒成立，需满足， 解得：， 综上所述，； 解②：整理得，， 当时，逐渐减小，不成立， 当时，不成立， 当时，，要使该不等式恒成立，需满足， 解得：， 综上所述，． 4．(25-26九·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)过点作轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的长； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)① ；② 或 【分析】（1）将代入，求得，即，再利用待定系数法求解即可； （2）①当时，求得，，再计算的长即可； ②由题意得，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）函数的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ②由题意得，，， 当即时，，解得； 当即时，，解得； 综上，的取值范围为或． 5．(25-26九下·北京燕山区·二模)在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得为，为，然后在同一坐标系中画出，的图象，又当时，，则，且当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，函数的图象由函数的图象平移得到， ． 函数为． 又函数过， ． ； （2）解：由题意，结合（1）可得为，为， 在同一坐标系中画出，的图象如下． 当时，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， 那么， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 则， 结合图象可得，． 6．(25-26九下·北京西城区·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】（1）根据平移的性质可知，把点的坐标代入，即可求出； （2）由（1）可知函数的解析式为，由当时，可得：；当时，可得：，所以的取值范围为. 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ， 一次函数的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可知函数的解析式为， ， ， 当时，， 可得：， 时，函数的值小于函数的值恒成立， 当时，函数的关系式为， 当时，恒成立， 当时，， 可得：， 不成立， 函数的值小于函数时，； 当时， 整理可得：， 当，即时， 可得：， ， ， 解得：， 当，即时， 可得：， 时，成立， 当时， 可得：， 不成立； 综上所述，且． 7．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， ∵当时，的图象平行于， 又∵当时，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值， ∴且 ∴在成立 ∴ 解得：， ∴，且． 8．(25-26九下·北京昌平区·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过待定系数法将，代入解析式求解； （2）解含参不等式． 【详解】（1）解：将，代入，得 ，解得． （2）解：由（1）得，， 依题意得，，解得， ∴，解得． 9．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 10．(25-26九下·北京朝阳区·二模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于0且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求出函数关系式； （2）根据函数的图象在x轴上方，并且经过点，再根据两个临界点得出答案． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得， 所以一次函数关系式为； （2）解：． 当时，，所以点， 当函数经过点时，，此时函数的值大于0且小于的值； ∵函数值大于0，∴， 所以当时，函数的值大于0且小于的值． 11．(25-26九下·北京顺义区·二模)在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把和分别代入，运算即可； （2）根据第一问的结果得到对应函数解析式，根据题意列出不等式，结合的条件，推导得到的取值范围． 【详解】（1）解：把和分别代入可得： ， 解得：； （2）由(1)可知，， ∴，， 根据题意，当时，恒成立， 拆分不等式得 整理①得：， 要求所有都满足该不等式，因此，即， 整理②得：， 综上可得的取值范围是． 12．(25-26九下·北京石景山区·二模)在平面直角坐标系中，直线与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）将代入先求出k，再将代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：； 将，代入得：， 解得：； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 把代入得：， ∴的函数图象总是经过点， 把代入得：， 解得：， 当直线平行时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的下方，则画出图象为， 由图象得：当直线在直线与直线之间时，符合题意， ∴m的取值范围为． 13．(25-26九下·北京丰台区·二模)在平面直角坐标系中，一次函数（）的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)已知一次函数的图像与正比例函数（）的图像交于点M，与一次函数的图像交于点N．当点M，N位于y轴两侧时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先确定点M，N的横坐标，结合“点M，N位于y轴两侧”可知点M，N的横坐标异号，即，然后建立关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：依据题意，得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）由（1）可知，一次函数的解析式为， 联立与， 可得，解得， 联立与， 可得，解得， ∵点M，N位于y轴两侧，即两点横坐标异号， ∴， ∴，整理可得， ∴或， 解不等式组，可得， 解不等式组，该不等式无解， ∵， ∴或． 14．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)在平面直角坐标系中，直线经过点和． (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得函数，由题意可得当时，，且，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可得函数， ∵一次函数， ∴， 当时，如图， 此时，当时，对于的每一个值，一次函数的值不横小于一次函数的值，故不符合题意，舍去， 当时，如图， 此时，当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，故符合题意， 当时，如图， 此时，当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，故符合题意， 当时，如图， 此时，当时，对于的每一个值，一次函数的值横小于一次函数的值且大于，故不符合题意，舍去， 综上所述，． 15．(25-26九下·北京东城区·二模)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法代入已知点坐标求解即可； （2）根据题意列出恒成立的不等式，结合一次函数的增减性分析端点处的不等关系，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴把，代入中，得： ， 解得：， ∴这个函数的解析式为； （2）由（1）得一次函数为， ∵当时，恒成立， 整理右边不等式，得， ∵是增函数， ∴当时，， 要使对所有成立， ∴， 整理左边不等式，得， ∵是减函数， ∴当时，， 要使对所有成立， ∴， 综上所述，． 反比例函数 考点03 1．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是____． 【答案】 【详解】由题意得：反比例函数图象在第二、四象限，则． 故答案为：． 2．(25-26九下·北京丰台区·二模)在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，当时，________（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】> 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再结合两点横坐标的范围判断两点所在象限，得到两个函数值的正负后比较大小即可． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， ∴该函数的图象位于第二、四象限， ， 点在第二象限，可得， ， 点在第四象限，可得， ． 3．(25-26九下·北京石景山区·二模)在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据可判断反比例函数的图象所在象限及每个象限内随的变化规律，结合两点横坐标的大小即可比较和的大小． 【详解】解：， 反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大． ， 点，都在第四象限， ． 4．(25-26九下·北京朝阳区·二模)直线与双曲线的两个交点的横坐标分别为，，则________． 【答案】0 【分析】联立直线与双曲线的解析式，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系即可求出两根之和的值． 【详解】解：联立直线与双曲线的解析式得 ， 将代入得 ， ，两边同乘整理得一元二次方程 ， 该方程的两个根即为两个交点的横坐标， 根据根与系数的关系可得 ． 5．(25-26九下·北京燕山区·二模)反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数横纵坐标满足，找出所有使横纵坐标均为整数的的取值，计算对应后统计点的个数即可. 【详解】解：由可得, 因为点的横纵坐标均为整数，所以为的整数因数，的所有可能取值为. 分别计算对应的值： 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求。 综上，符合要求的点共有个. 6．(25-26九·北京海淀区·期末)如图，在平面直角坐标系中，，．若函数的图象与矩形有公共点，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】 【详解】解：∵矩形，，， ∴， ∵函数的图象与矩形有公共点， ∴， ∴的值可以是． 7．(25-26九下·北京房山区·二模)在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【来源】2026年北京市房山区九年级二模数学试卷 【分析】根据反比例函数的解析式，分别将两点坐标代入，用表示出和，计算后，结合的条件判断其与的大小关系即可． 【详解】解：将点代入，得，即， 将点代入，得，即， ∴． ， ， 即． 56/56 55/56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $