专题02 方程与不等式（5大考点）（北京专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦方程与不等式5大考点，精选北京多区二模真题，情境融合文化传承（筒车、端午香囊）与科技应用（新能源汽车、充电桩），适配九年级二模复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |解答题|14|一元一次方程实际应用、二元一次方程组等|含《营造法式》材等问题，结合传统建筑文化；新能源汽车电费问题，体现科技生活| |填空题|16|分式方程求解、二元一次方程组解等|基础巩固题为主，如分式方程解的直接考查| |单选题|8|一元二次方程根的判别式等|聚焦概念辨析，如根的判别式取值范围判断|

专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程实际应用 考点02 二元一次方程组 考点03 一元一次不等式组 考点04 分式方程 考点05一元二次方程 一元一次方程实际应用 考点01 1．(25-26九下·北京房山区·二模)自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 【答案】解：满足，理由如下： 设充电车位的数量为x个，普通车位的数量为个， 则， 解得， 则， 所以车位的总数为． ∵且， ∴充电车位数量满足“指南”要求． 【分析】设充电车位的数量为x个，根据“平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为”求出充电车位和普通车位的个数，再求出充电车位配建比例即可． 【详解】略 2．(25-26九下·北京大兴区·二模)如图1，筒车是明代科学家宋应星所著《天工开物》中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶．如图2，已知某筒车的转轮圆心为O，吃水深度（转轮最低点到水位线的距离）与转轮半径的比为，转轮圆心O到水槽底部的距离为0.9米，提水高度（水槽底部到水位线的竖直高度）是吃水深度的3.5倍．求这个筒车的转轮半径． 【答案】1.8米 【分析】根据题意设吃水深度为x米，则筒车的转轮半径为米，列出一元一次方程求解x的值即可得出筒车的转轮半径． 【详解】解：设吃水深度为x米，则筒车的转轮半径为米， 由题意得：， 解得：， ∴（米）， ∴筒车的转轮半径为1.8米． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 4．(25-26九下·北京燕山区·二模)列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 【答案】所走高速公路的路程为550公里 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键 设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】解：设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里， 根据题意得：， 解得， ∴所走高速公路的路程为550公里． 5．(25-26九下·北京昌平区·二模)端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 【答案】原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米 【分析】通过设未知数，根据成品香囊长和宽的关系列出方程，进而求解原始长方形布料的长和宽． 【详解】原始长方形布料的长与宽之比一般为， 可设原始长方形布料的长为，则宽为， 由题意可得，成品香囊的长为，宽为， 成品香囊的长比宽多， ，解得， ， 答：制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米． 6．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？ 【答案】 【分析】根据题意设龙尾的长度为，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为，列出方程求解x的值，再代入x的值到原方程即可求得龙舟模型的总长度． 【详解】解：设龙尾的长度为，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为， 根据题意，可列出方程：， 解得， 将代入可得：， ∴该龙舟模型的总长度是． 7．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)列方程解决实际问题：某条城际铁路线从西往东依次有A，B，C三个车站，每天上午均有两个车次的列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如表所示．已知次列车的行驶速度为千米/时，求次列车的行驶速度． 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经B站，不停车 【答案】千米/时 【分析】设次列车的行驶速度为x千米/时，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：次列车的行驶时间为（小时）， 次列车的行驶时间为（小时）， 设次列车的行驶速度为x千米/时，根据题意得： ， 解得：， 答：次列车的行驶速度为288千米/时． 8．(25-26九下·北京东城区·二模)花生油是从花生中提取的油脂．普通花生平均每公顷的产量为；出油率为，高油花生平均每公顷的产量比普通花生平均每公顷的产量高，出油率为．某农场去年种植了普通花生，今年改种高油花生，虽然种植面积比去年减少了2公顷，但是产油量比去年提高了．求今年种植高油花生的面积（出油率）． 【答案】公顷 【分析】先设今年种植高油花生的面积，再根据出油率公式得到两年的总产油量，最后根据“今年产油量比去年提高”的等量关系列一元一次方程，求解得到结果． 【详解】解：设今年种植高油花生的面积为公顷，则去年种植普通花生的面积为公顷， 根据题意，高油花生每公顷产量为， ∴， 整理得 ， 解得：， 答：今年种植高油花生的面积为公顷． 二元一次方程组 考点02 一、填空题 1．(25-26九下·北京昌平区·二模)方程组：的解为________． 【答案】 【分析】直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得. 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为：． 2．(25-26九下·北京西城区·二模)某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 【答案】 【分析】根据题意，三家总花费等于所有口罩的总价，可得核心等式 ，结合的取值范围分析求解，第一问直接代入计算即可，第二问根据丙包含三种颜色的条件，将所求目标转化为找最小的正整数，结合整数性质验证得到最大值． 【详解】解：由题意，每个型号的三种颜色被甲、乙、丙各购买一包，因此所有口罩总售价等于三家总花费，即． （1）将，代入等式得：， 解得． （2）由，且为整数，可得：， ∵是正整数， ∴，即，， 设丙购买红色口罩包，白色口罩包，蓝色口罩包， 由题意得：，且，均为正整数， ∴， ∴要使最大，需取最小的，即， 当时，，即， 将，代入得， 将代入得， ∴， ∵为正整数， ∴须为偶数， ∴须是奇数， ∴，或， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时，则，均为正整数，满足条件，此时（元）； ∴丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费1350元． 二、解答题 3．(25-26九·北京海淀区·期末)为方便出行，某城市推出四种地铁定期票，在有效期内可不限次数乘坐地铁，深受通勤人员欢迎．已知地铁部分定期票的票价和使用有效期如下：一日票每张元，有效期为天；三日票每张元，有效期为连续天；每张五日票和七日票的有效期分别为连续天和连续天．已知组合购买张三日票、张五日票和张七日票，或者组合购买张一日票、张五日票和张七日票，总费用都是元，求张五日票的票价和张七日票的票价． 【答案】1张五日票的票价为70元，1张七日票的票价为90元 【分析】设1张五日票的票价为x元，1张七日票的票价为y元，根据“两种组合的总费用都是248元”，列方程组求解即可． 【详解】解：设1张五日票的票价为x元，1张七日票的票价为y元， 由题意得：， 解得， 答：1张五日票的票价为70元，1张七日票的票价为90元． 4．(25-26九下·北京西城区·二模)某研学小组计划在暑假期间参加“非遗传承，研学之旅”活动．已知该活动有画糖人和剪纸两个体验项目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．若体验画糖人的总次数是5人次，剪纸总次数是4人次，且用于这次活动的总预算为150元，请判断这个费用是否够用，并说明理由． 【答案】这个费用不够用 【分析】先设体验1次画糖人的费用为元，体验1次剪纸的费用为元，根据题干给出的等量关系列出二元一次方程组，求解得到单次费用后，计算本次活动所需总费用，再与总预算150元比较大小，即可得出结论． 【详解】解：设体验1次画糖人的费用为元，体验1次剪纸的费用为元， 根据题意可得方程组， 解得， ∴所需总费用：（元）， 用于这次活动的总预算为150元，且 这个费用不够用． 5．(25-26九下·北京顺义区·二模)用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给A型新能源汽车在电量为的情况下充电．技术改进前，充满电需要用时分钟；技术改进后，充满电需要用时分钟，其中快速充电阶段用时减少了，慢速充电阶段用时减少了，求快速充电阶段用时减少了几分钟． 【答案】分钟 【分析】本题为二元一次方程组实际应用题，设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟 ，根据改进前后总充电时长和各阶段用时减少比例列方程，求解得到改进前快速充电用时，进而计算得到快速阶段减少的用时． 【详解】解：设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟． 根据题意可得 解得： 因此快速充电阶段减少的用时为 （分钟） 答：快速充电阶段用时减少了分钟． 6．(25-26九下·北京石景山区·二模)《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 7．(25-26九下·北京丰台区·二模)某学校食堂午餐提供A，B两种套餐，1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质．学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于，且不高于（一周按5天计算）．若小云在校某一周内午餐选择A套餐2次，B套餐3次．通过计算说明，小云这周的午餐蛋白质摄入总量是否在膳食委员会建议的范围内． 【答案】这周午餐蛋白质摄入总量在建议范围内 【来源】2026年北京市丰台区中考二模考试数学 【分析】设1份A套餐含有蛋白质，1份B套餐含有蛋白质．根据“1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，将其代入中，可求出小云这周的午餐蛋白质摄入总量，再将其与学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量比较后，即可得出结论． 【详解】解：设1份A套餐含有蛋白质，1份B套餐含有蛋白质．根据题意得： ， 解得， ， 不低于，且不高于， ∴这周午餐蛋白质摄入总量在建议范围内． 一元一次不等式组 考点03 1．(25-26九下·北京房山区·二模)解不等式组： 【答案】 【分析】根据不等式组的解法，先分别求出两个不等式的解集，再取公共部分，即可求解． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 2．(25-26九下·北京大兴区·二模)解不等式组： 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)解不等式组． 【答案】 【详解】解：， ①去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ②去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式组的解集为：． 4．(25-26九·北京海淀区·期末)解不等式组： 【答案】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 5．(25-26九下·北京燕山区·二模)解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 6．(25-26九下·北京西城区·二模)解不等式组： 【答案】 【分析】先分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， ∴由得， ∴不等式组的解集为． 7．(25-26九下·北京昌平区·二模)解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解为． 8．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 9．(25-26九下·北京朝阳区·二模)解不等式组： 【答案】 【来源】2026年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 10．(25-26九下·北京顺义区·二模)解不等式组：． 【答案】 【详解】解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为． 11．(25-26九下·北京石景山区·二模)解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①：去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 解不等式②：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 两个解集的公共部分为， 因此原不等式组的解集为． 12．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)解不等式组：． 【答案】 【详解】解：． 解不等式①得， 解不等式②得； ∴原不等式组的解集为． 13．(25-26九下·北京东城区·二模)解不等式，并写出此不等式的非正整数解． 【答案】 ，非正整数解为，， 【详解】解： ， ∴不等式的解集为， ∴该不等式的非正整数解是，，． 分式方程 考点04 一、填空题 1．(25-26九下·北京房山区·二模)方程的解为________． 【答案】 【分析】按解分式方程的步骤求解即可，注意分式方程需要检验． 【详解】解：， 去分母，两边同乘最简公分母得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 2．(25-26九下·北京大兴区·二模)方程的解为________． 【答案】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原方程的解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)方程的解为__________． 【答案】 【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解整式方程后，再检验得到原分式方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得 ， 展开各项，得 ， 移项合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时， ， 所以是原方程的解． 4．(25-26九下·北京西城区·二模)方程的解为________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴去分母得 ， 移项，合并同类项，得 ， 解得 ， 检验：当时， ， ∴原分式方程的解是． 5．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)方程的解为___________. 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 6．(25-26九下·北京昌平区·二模)方程的解为________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后，检验所得根是否满足原分式方程，即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 7．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 8．(25-26九下·北京顺义区·二模)方程的解为_________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，对所得结果进行检验，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 9．(25-26九下·北京石景山区·二模)方程的解为________． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 10．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)代数式与代数式的值互为相反数，则_________． 【答案】7 【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 二、解答题 11．(25-26九下·北京朝阳区·二模)某公司为节能环保，购进了相同数量的A，B两种型号的节能灯．已知所有A型节能灯一年共用电15000度，所有B型节能灯一年共用电9000度，一台A型节能灯的平均年用电量比一台B型节能灯的平均年用电量的2倍少30度．求一台A型节能灯的平均年用电量． 【答案】一台A型节能灯的平均年用电量为150度 【分析】根据两种节能灯数量相等列出分式方程求解即可． 【详解】解：设一台B型节能灯的平均年用电量为度． 由题意，得, 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：一台A型节能灯的平均年用电量为150度. 一元二次方程 考点05 一、单选题 1．(25-26九下·北京房山区·二模)若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个实数根时，判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，且二次项系数， ∴， 解得：． 2．(25-26九下·北京大兴区·二模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（   ） A．1 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式是解题的关键． 根据题意以及根的判别式列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故选A． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)关于的方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】根据即可判断． 【详解】解：， ， ， 可得，即， 方程无实数根． 4．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 5．(25-26九下·北京燕山区·二模)若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选∶B． 6．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 7．(25-26九下·北京顺义区·二模)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入系数列不等式即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 8．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)用配方法解方程时，经过配方后正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 移项，得 ， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得， 整理左侧为完全平方式，得． 二、填空题 9．(25-26九·北京海淀区·期末)关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 10．(25-26九下·北京昌平区·二模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】4 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=42﹣4a=16﹣4a=0， 解得：a=4． 故答案为4． 11．(25-26九下·北京西城区·二模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是________． 【答案】 【详解】解：方程 是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴且， 解得． 12．(25-26九下·北京朝阳区·二模)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即 解得，， 故答案为：． 三、解答题 13．(25-26九下·北京石景山区·二模)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为负整数，求此时方程的根． 【答案】（）；（）时，，． 【分析】（1）由题意可知：在该方程中，“根的判别式△>0”，由此列出关于k的不等式求解即可； （2）在（1）中所求的k的取值范围内，求得符合条件的k的值，代入原方程求解即可. 【详解】解：(1)由题意得Δ＞0， 即9－4(1－k)＞0， 解得k＞. (2)当k为负整数，则k＝－1， 原方程为x2－3x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝2. 【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，求不等式解集等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 24/25 25/25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程实际应用 考点02 二元一次方程组 考点03 一元一次不等式组 考点04 分式方程 考点05一元二次方程 一元一次方程实际应用 考点01 1．(25-26九下·北京房山区·二模)自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 2．(25-26九下·北京大兴区·二模)如图1，筒车是明代科学家宋应星所著《天工开物》中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶．如图2，已知某筒车的转轮圆心为O，吃水深度（转轮最低点到水位线的距离）与转轮半径的比为，转轮圆心O到水槽底部的距离为0.9米，提水高度（水槽底部到水位线的竖直高度）是吃水深度的3.5倍．求这个筒车的转轮半径． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 4．(25-26九下·北京燕山区·二模)列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 5．(25-26九下·北京昌平区·二模)端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 6．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？ 7．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)列方程解决实际问题：某条城际铁路线从西往东依次有A，B，C三个车站，每天上午均有两个车次的列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如表所示．已知次列车的行驶速度为千米/时，求次列车的行驶速度． 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经B站，不停车 8．(25-26九下·北京东城区·二模)花生油是从花生中提取的油脂．普通花生平均每公顷的产量为；出油率为，高油花生平均每公顷的产量比普通花生平均每公顷的产量高，出油率为．某农场去年种植了普通花生，今年改种高油花生，虽然种植面积比去年减少了2公顷，但是产油量比去年提高了．求今年种植高油花生的面积（出油率）． 二元一次方程组 考点02 一、填空题 1．(25-26九下·北京昌平区·二模)方程组：的解为________． 2．(25-26九下·北京西城区·二模)某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 二、解答题 3．(25-26九·北京海淀区·期末)为方便出行，某城市推出四种地铁定期票，在有效期内可不限次数乘坐地铁，深受通勤人员欢迎．已知地铁部分定期票的票价和使用有效期如下：一日票每张元，有效期为天；三日票每张元，有效期为连续天；每张五日票和七日票的有效期分别为连续天和连续天．已知组合购买张三日票、张五日票和张七日票，或者组合购买张一日票、张五日票和张七日票，总费用都是元，求张五日票的票价和张七日票的票价． 4．(25-26九下·北京西城区·二模)某研学小组计划在暑假期间参加“非遗传承，研学之旅”活动．已知该活动有画糖人和剪纸两个体验项目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．若体验画糖人的总次数是5人次，剪纸总次数是4人次，且用于这次活动的总预算为150元，请判断这个费用是否够用，并说明理由． 5．(25-26九下·北京顺义区·二模)用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给A型新能源汽车在电量为的情况下充电．技术改进前，充满电需要用时分钟；技术改进后，充满电需要用时分钟，其中快速充电阶段用时减少了，慢速充电阶段用时减少了，求快速充电阶段用时减少了几分钟． 6．(25-26九下·北京石景山区·二模)《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    7．(25-26九下·北京丰台区·二模)某学校食堂午餐提供A，B两种套餐，1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质．学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于，且不高于（一周按5天计算）．若小云在校某一周内午餐选择A套餐2次，B套餐3次．通过计算说明，小云这周的午餐蛋白质摄入总量是否在膳食委员会建议的范围内． 一元一次不等式组 考点03 1．(25-26九下·北京房山区·二模)解不等式组： 2．(25-26九下·北京大兴区·二模)解不等式组： 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)解不等式组． 4．(25-26九·北京海淀区·期末)解不等式组： 5．(25-26九下·北京燕山区·二模)解不等式组： 6．(25-26九下·北京西城区·二模)解不等式组： 7．(25-26九下·北京昌平区·二模)解不等式组：． 8．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)解不等式组： 9．(25-26九下·北京朝阳区·二模)解不等式组： 10．(25-26九下·北京顺义区·二模)解不等式组：． 11．(25-26九下·北京石景山区·二模)解不等式组：． 12．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)解不等式组：． 13．(25-26九下·北京东城区·二模)解不等式，并写出此不等式的非正整数解． 分式方程 考点04 一、填空题 1．(25-26九下·北京房山区·二模)方程的解为________． 2．(25-26九下·北京大兴区·二模)方程的解为________． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)方程的解为__________． 4．(25-26九下·北京西城区·二模)方程的解为________． 5．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)方程的解为___________. 6．(25-26九下·北京昌平区·二模)方程的解为________． 7．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)方程的解为_______． 8．(25-26九下·北京顺义区·二模)方程的解为_________． 9．(25-26九下·北京石景山区·二模)方程的解为________． 10．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)代数式与代数式的值互为相反数，则_________． 二、解答题 11．(25-26九下·北京朝阳区·二模)某公司为节能环保，购进了相同数量的A，B两种型号的节能灯．已知所有A型节能灯一年共用电15000度，所有B型节能灯一年共用电9000度，一台A型节能灯的平均年用电量比一台B型节能灯的平均年用电量的2倍少30度．求一台A型节能灯的平均年用电量． 一元二次方程 考点05 一、单选题 1．(25-26九下·北京房山区·二模)若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．(25-26九下·北京大兴区·二模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（   ） A．1 B．4 C． D． 3．(25-26九下·北京平谷区·二模)关于的方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 5．(25-26九下·北京燕山区·二模)若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 7．(25-26九下·北京顺义区·二模)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)用配方法解方程时，经过配方后正确的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．(25-26九·北京海淀区·期末)关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 10．(25-26九下·北京昌平区·二模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 11．(25-26九下·北京西城区·二模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是________． 12．(25-26九下·北京朝阳区·二模)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为______． 三、解答题 13．(25-26九下·北京石景山区·二模)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为负整数，求此时方程的根． 8/9 9/9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $