专题08 统计与概率（北京专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 本试卷聚焦统计与概率专题，精选北京多区县2026年二模真题，涵盖概率计算、样本估计总体、数据分析三大考点，情境融合文化传承（如伯矩鬲文创卡片）、社会热点（垃圾分类调查）与科技应用（AI软件评分），题型分层适配中考二模复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12道|基础概率（独立事件、频率估计概率等）|以“伯矩鬲卡片抽取”“正方体掷数字”等情境考查概率计算| |填空题|11道|样本估计总体与方差（用样本估计总体、方差比较稳定性等）|结合“水果等级统计”“学生肺活量调查”考查样本估计与方差应用| |解答题|12道|数据分析综合（平均数、中位数、方差计算及实际决策）|通过“AI软件评分对比”“学生体质指数分析”等案例，考查图表解读与数据应用能力|

专题08 统计与概率 3大考点概览 考点01概率 考点02样本估计总体、方差 考点03数据分析 概率 考点01 一、单选题 1．（2026·北京东城·二模）某班学生到首都博物馆参观．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，它们除正面图案外完全相同．把这些卡片背面朝上洗匀，每位同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．甲、乙两位同学都抽到主题为“伯矩鬲”的卡片的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京朝阳·二模）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字1，1，2，4，5，5，掷该正方体一次，朝上一面的数字是5的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·北京顺义·二模）小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为（     ） A． B． C． D．             小强小明 甲 乙 甲 甲甲 乙甲 乙 甲乙 乙乙 4．（2026·北京石景山·二模）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个．随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2026·北京丰台·二模）在一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀．按此步骤重复操作，前4次每次摸出的都是红球，则摸第5次时摸出红球的概率是（     ） A． B． C． D．1 6．（2026·北京房山·二模）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则一次正面向上、一次反面向上的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·北京大兴·二模）一个不透明的袋子中仅有5个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球为蓝球的概率为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·北京平谷·二模）掷一枚均匀的硬币两次，两次均为反面朝上的概率是    A． B． C． D． 9．（2026·北京海淀·二模）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A． B． C． D． 10．（2026·北京燕山教育集团·二模）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·北京市西城区·二模）在一个不透明的袋子里有1个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从这个袋子中随机摸出两个球，那么摸出的两个球恰好都是黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·北京密云·一模）《数学之美》是中国邮政为向数学学科致敬，于2025年3月14日发行的特种邮票，一套4枚，分别呈现了“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”，这些邮票除图案外，质地与规格完全相同．若将此套邮票背面朝上，随机抽取两张，则抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率是（     ） A． B． C． D． 样本估计总体、方差 考点02 一、填空题 1．（2026·北京密云·一模）某种水果按照果径大小可分为四个等级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个，根据果径分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 果径范围（单位：） 个数 10 30 40 20 若该采购商采购的这批水果共计2000个，估计等级为“精品果”的个数是_____． 2．（2026·北京市西城区·二模）北京的生活垃圾分类已进入全面实施、常态化运行的阶段．某社区共有1200户居民，为了解该社区居民对垃圾分类的了解程度，社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查，结果整理如下： 了解程度 非常了解 了解 一般了解 不了解 完全不了解 户数/户 60 30 6 3 1 根据以上信息，估计该社区1200户居民对垃圾分类“非常了解”的户数是________户． 3．（2026·北京燕山教育集团·二模）每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 4．（2026·北京海淀·二模）质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 5．（2026·北京平谷·二模）为深入推进健康中国行动，倡导全民健身与科学健身理念，进一步增强青少年体质健康水平，某校积极响应国家号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 若该校有名学生，请你根据以上信息估计该校最喜爱篮球运动的学生有__________人． 6．（2026·北京大兴·二模）在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下： 甲：2，2，4，5，5； 乙：2，3，4，4，5； 丙：3，3，4，4，4． 根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，________同学发挥更稳定． 7．（2026·北京房山·二模）某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 肺活量x 人数 2 8 16 24 根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是________． 8．（2026·北京丰台·二模）某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 9．（2026·北京顺义·二模）某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 10．（2026·北京朝阳·二模）下表记录了某市一周的日最高气温和日最低气温． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 最高气温/℃ 22 27 28 24 27 30 32 最低气温/℃ 18 15 14 14 16 19 18 这一周的日最高气温的方差为，日最低气温的方差为，则________．（填“>”“=”或“<”） 11．（2026·北京东城·二模）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 数据分析 考点03 一、解答题 1．（2026·北京东城·二模）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度得分统计图： b．信息识别准确度得分统计图： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 5.6 4.84 乙 7.65 7 5.6 5.74 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中________，________； (2)综合图表中的统计量，下列结论正确的是________（填正确结论的序号）； ①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多； ②从甲、乙两款软件的信息处理速度得分中各任意删去1个数据后中位数均不会发生改变． (3)使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入用来提升信息识别准确度．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则________，________4.84，________5.74（填“”“”“”）． 2．（2026·北京朝阳·二模）某公司共有男员工800名，女员工500名，公司为了解员工的身体质量指数（），从他们的体检数据中，随机抽取了40名男员工、25名女员工的数据，并对数据进行了描述、分析，部分信息如下． a．男员工数据的频数分布表如下： 人数 6 20 9 4 1 b．男员工数据在这一组的是： 23.3  23.4  24.1  25.2  25.6  26.3  26.4  27.3  27.8 c．女员工数据是： 14.2  16.0  16.1  16.6  17.7  18.0  18.1  18.8  19.1  19.4 19.5  19.9  20.5  21.7  22.1  23.2  24.6  25.2  26.4  27.5 27.8  28.4  29.1  29.3  30.8 d．男、女员工数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男员工 23.625 22.6 女员工 22 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)如果在（含18.5和23.9）范围内，表明体重较好．记该公司男员工体重较好的人数占男员工总人数的百分比为，女员工体重较好的人数占女员工总人数的百分比为，根据抽取的员工的数据估计________（填“”“”或“”）； (3)公司把男、女员工数据合并为一组数据，进行分析． 估计该公司1300名员工数据的平均数约为________； 若公司计划对1300名员工中数据较大的前的员工进行优先关注，那么估计被优先关注的男员工约有________人，被优先关注的女员工约有________人． 3．（2026·北京顺义·二模）某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是：， c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）； (3)在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 4．（2026·北京石景山·二模）的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 (1)表中m的值为________，n的值为________； (2)已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； (3)为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 5．（2026·北京丰台·二模）某校开展了校园创新大赛，比赛分为知识竞答和实践成果两个板块，每个板块评分均采用100分制（分值为整数），每名选手的个人综合得分由知识竞答和实践成果两个板块的分数按照计算得到．七年级和八年级各选派了10名选手参加．下面给出了部分信息． a．七、八年级各10名选手的知识竞答和实践成果两个板块得分情况统计图： b．七、八年级各10名选手的个人综合得分频数分布直方图（数据分7组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级知识竞答得分最高的选手，在本年级的实践成果得分中排名是第________名； (2)八年级选手中个人综合得分的最高分是________； (3)在两个年级各10名选手中，记七、八年级选手知识竞答得分的中位数分别是，，则________（填“”“”或“”），记七、八年级选手实践成果得分的方差分别是，，则________（填“”“”或“”）； (4)经计算所有选手的个人综合得分均不相同，在个人综合得分前十名的选手中，七年级人数________八年级人数（填“多于”“等于”或“少于”）． 6．（2026·北京房山·二模）某校初三（1）班的体育教师计划从甲、乙、丙、丁四名男同学中选出一名同学参加校级立定跳远比赛．对这四名同学最近次立定跳远测试成绩（单位：）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲、乙两名同学次测试成绩的折线图： ．丙同学次测试成绩： 228    238    240    244    250    250    252    253    256    259 ．四名同学次测试成绩的平均数、中位数、方差、优秀（成绩）次数： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 优秀次数 (1)表中的值为________； (2)表中________（填“＞”“”或“＜”）； (3)根据这次测试成绩，制定选拔规则：首先比较优秀次数，优秀次数较多者实力更强；若优秀次数相等，则比较中位数，中位数较大者实力更强． ①这四名同学中胜出的是________； ②由于甲的第次测试发挥失常，若甲想在这次选拔中胜出，则甲的第次测试成绩至少应该达到________（结果取整数）；此时，甲同学的次测试成绩的统计量会发生变化的有________（填“平均数”“众数”或“方差”）． 7．（2026·北京大兴·二模）五一假期，某景区为调查游客通行效率，某高峰时段工作人员在景区南、北两个检票口各随机抽取20名游客，记录他们从入园开始排队到通过检票口进入景区的等候时间（单位：分钟）．将数据整理，描述和分析，给出下面信息： a．将南、北两个检票口各20名游客等候时间t分别分成四组： A．，B．，C．，D． b．南检票口20名游客等候时间数据： 5  6  9  11  14  19  21  23  26  30  30  30  32  35  37  39  42  46  50  53 c．北检票口20名游客等候时间在C组内的数据： 31  32  32  33  35  36  39  42 d．北检票口20名游客等候时间扇形统计图如下： e．南、北检票口20名游客等候时间平均数、众数、中位数如下表： 项目 南检票口 北检票口 平均数 27.9 27.9 众数 n 32 中位数 30 p (1)写出图表中m，n，p的值：________，________，________； (2)已知当天该高峰时段从南检票口进入景区的游客约为6000人，从北检票口进入景区的游客约为8000人，估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有________人． 8．（2026·北京平谷·二模）平谷区教委积极引导广大学生参与各类有益活动，包括校园志愿服务、青少年科技创新、主题读书、思政教育及文体实践等，引导学生在实践中成长．为响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，2025年我区深入推进志愿共建等各项学生活动以来，我区广大学生积极参与志愿服务，助力打造文明、有序、温馨的社区环境．其中，某校有500名学生志愿者，为了解该校3月—4月期间学生参加志愿服务的情况，学校针对服务的次数随机抽取50名学生志愿者进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 志愿服务活动次数频数分布表 次数次 频数 频率 8 0.16 10 0.20 16 0.32 0.24 4 0.08 其中，参与志愿服务活动次数在这一组的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29 请根据所给信息，解答下列问题： (1)__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)随机抽取的50名学生参加志愿活动次数的中位数是__________； (4)为鼓励学生参与志愿服务，学校计划按“志愿活跃度”给不同班级分配志愿活动名额，活跃度排名规则为：先比较班级人均志愿次数，人均次数越高，排名越靠前；若人均次数相同，则比较班级志愿次数的方差，方差越小，排名越靠前．该校从甲、乙、丙三个班级各随机抽取了5名志愿者，记录他们的服务次数如下表： 志愿者1 志愿者2 志愿者3 志愿者4 志愿者5 甲班 25 26 25 25 27 乙班 23 28 26 24 29 丙班 25 27 26 26 若丙班在三个班级中活跃度排名居中，则这三个班级的排名由前到后依次为__________，此时表中（为整数）的值为__________． 9．（2026·北京海淀·二模）沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是：                              ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； (2)若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； (3)将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 10．（2026·北京燕山教育集团·二模）为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．A课程成绩在这一组的是： 85   85   83   85   84   81   80 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）； (3)在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是__________； (4)假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人． 11．（2026·北京市西城区·二模）某学校为了调查该校学生早上从家到校所需的时长，从中随机抽查了100名学生，记录了他们早上从家到校的时长（单位：分钟）（整数），并对这100个数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．100个数据频数分布直方图（数据分成5组：，，，，） b．时长在这一组的是： 20   20   21   21   23   23   23   24   24   24   25   25   25   26   26 26   26   27   27   27   27   27   28   28   28   29   29   29   29   29 (1)的值为________，100个数据的中位数是________，平均数约为________（用各组的组中值代表各组的数据）； (2)从中随机选取15个数据分成A，B，C三组，每组5个数据，信息如下： A组 15 15 15 17 B组 14 15 16 16 18 C组 13 17 18 18 19 已知A组与B组的平均数相等． ①的值为________； ②学校从A，B，C三组中选出一组到校从事晨检工作，要求：先比较平均数，平均数较小的组排序靠前；若平均数相等，再比较方差，方差较小的组排序靠前．在A，B，C三组的排序中，排序最靠前的是________组． 12．（2026·北京密云·一模）水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息： ①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下： 总磷去除量 频数 3 2 8 1 ②水域总磷去除量在这一组的是： ； ③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下： (1)写出表中的值； (2)随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为________； (3)下列推断合理的是________（填序号） ①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名； ②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为 (4)号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为和；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是________（填“甲”或“乙”）． 16/17 17/17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 统计与概率 3大考点概览 考点01概率 考点02样本估计总体、方差 考点03数据分析 概率 考点01 一、单选题 1．（2026·北京东城·二模）某班学生到首都博物馆参观．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，它们除正面图案外完全相同．把这些卡片背面朝上洗匀，每位同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．甲、乙两位同学都抽到主题为“伯矩鬲”的卡片的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出列表，结合列表求解即可． 【详解】解：分别以A、B、C表示“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，根据题意，作出列表，如下所示， 乙甲 A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 由列表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙都抽到“伯矩鬲”的结果只有1种， ∴所求概率为． 2．（2026·北京朝阳·二模）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字1，1，2，4，5，5，掷该正方体一次，朝上一面的数字是5的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的结果数即可求解。 【详解】解：∵ 掷该正方体一次，共有种等可能的结果，其中朝上一面的数字为的结果有种， ∴ 朝上一面的数字是的概率为 ． 3．（2026·北京顺义·二模）小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：列表如下             小强小明 甲 乙 甲 甲甲 乙甲 乙 甲乙 乙乙 ∵共有种等可能的结果，小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的有2种情况， ∴小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为 4．（2026·北京石景山·二模）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个．随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】依题意有：， 解得：n=3． 故选：B． 5．（2026·北京丰台·二模）在一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀．按此步骤重复操作，前4次每次摸出的都是红球，则摸第5次时摸出红球的概率是（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】有放回摸球时，每次摸球的结果互不影响，据此解答即可． 【详解】解：∵袋子中原有个红球个白球，摸球后将球放回摇匀，前四次摸球结果不影响第五次摸球的概率， ∴第五次摸球时，袋子中仍有个球，其中红球有个， ∴第五次摸出红球的概率为． 6．（2026·北京房山·二模）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则一次正面向上、一次反面向上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先后两次抛掷质地均匀的硬币，所有等可能的结果为：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共种， 其中满足“一次正面向上、一次反面向上”的结果有种， 即所求概率． 7．（2026·北京大兴·二模）一个不透明的袋子中仅有5个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球为蓝球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出球的总个数，再用蓝球个数除以总个数得到概率即可． 【详解】由题意可得，袋子中球的总个数为（个），其中蓝球的个数为 2， ∴随机摸出一个球，摸出蓝球的概率为． 8．（2026·北京平谷·二模）掷一枚均匀的硬币两次，两次均为反面朝上的概率是    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意用列举法，即可求得掷一枚均匀的硬币两次，所有等可能的结果，又由两次均为反面朝上的只有1种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵掷一枚均匀的硬币两次，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反， 又∵两次均为反面朝上的只有1种情况， ∴两次均为反面朝上的概率是：． 故选：D． 【点睛】本题考查了用列举法求概率．注意不重不漏的表示出所有等可能的结果是解此题的关键，注意：概率所求情况数与总情况数之比． 9．（2026·北京海淀·二模）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是正面向上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种， 两次都是正面向上的概率为． 故选：C． 10．（2026·北京燕山教育集团·二模）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】根据题意，画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是， 故选：B． 11．（2026·北京市西城区·二模）在一个不透明的袋子里有1个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从这个袋子中随机摸出两个球，那么摸出的两个球恰好都是黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球恰好都是黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 白 黄 黄 红 （红，白） （红，黄） （红，黄） 白 （白，红） （白，黄） （白，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，黄） 共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好都是黄球的结果有2种， ∴摸出的两个球恰好都是黄球的概率是． 12．（2026·北京密云·一模）《数学之美》是中国邮政为向数学学科致敬，于2025年3月14日发行的特种邮票，一套4枚，分别呈现了“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”，这些邮票除图案外，质地与规格完全相同．若将此套邮票背面朝上，随机抽取两张，则抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：设4枚邮票分别为（圆周率）、（勾股定理）、（欧拉公式）、（莫比乌斯带）， 从4枚邮票中随机抽取2枚，所有可能出现的结果有：，，，，，，共种等可能的结果，其中恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的结果只有这种， 抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率. 样本估计总体、方差 考点02 一、填空题 1．（2026·北京密云·一模）某种水果按照果径大小可分为四个等级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个，根据果径分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 果径范围（单位：） 个数 10 30 40 20 若该采购商采购的这批水果共计2000个，估计等级为“精品果”的个数是_____． 【答案】 【分析】先计算抽取样本中精品果的频率，再根据用样本估计总体的思想，用总体总个数乘以样本频率，得到这批水果中精品果个数的估计值. 【详解】解：由题意可得，样本中精品果的频率为， 故个水果中，精品果的个数估计为 . 2．（2026·北京市西城区·二模）北京的生活垃圾分类已进入全面实施、常态化运行的阶段．某社区共有1200户居民，为了解该社区居民对垃圾分类的了解程度，社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查，结果整理如下： 了解程度 非常了解 了解 一般了解 不了解 完全不了解 户数/户 60 30 6 3 1 根据以上信息，估计该社区1200户居民对垃圾分类“非常了解”的户数是________户． 【答案】 【分析】先求出样本中“非常了解”的居民户数占样本的频率，再用总体总户数乘以该频率，得到总体中“非常了解”户数的估计值． 【详解】解：由题意得，样本中“非常了解”的频率为：， 估计该社区1200户居民中“非常了解”的户数为：． 3．（2026·北京燕山教育集团·二模）每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 【答案】240 【分析】先计算样本中视力在范围内的频数，再计算该范围频数占样本容量的比例，最后用八年级总人数乘以该比例，即可得到估计的人数． 【详解】解：由题意可得，样本中视力在范围内的频数为， 估计名八年级学生中视力在该范围的人数为：（人）． 4．（2026·北京海淀·二模）质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 【答案】 【分析】由统计图可知，随着发球次数的增加，发球合格的频率越来越接近，利用频率估计概率，估计这台发球机发球合格的概率为. 【详解】解：由统计图可知，随着发球次数的增加，发球合格的频率越来越接近， 估计这台发球机发球合格的概率为. 5．（2026·北京平谷·二模）为深入推进健康中国行动，倡导全民健身与科学健身理念，进一步增强青少年体质健康水平，某校积极响应国家号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 若该校有名学生，请你根据以上信息估计该校最喜爱篮球运动的学生有__________人． 【答案】 【分析】本题考查的是统计知识的综合应用，灵活运用条形统计图与扇形统计图的信息是解题的关键．根据条形统计图与扇形统计图中足球项目的人数与占比，可先求出抽取的学生总数，再算出样本中篮球项目的人数与占比，进而用样本估计总体，求出全校最喜爱篮球运动的学生人数． 【详解】解：由条形图得抽取的学生中，最爱足球运动的学生有人，由扇形图得，抽取的学生中，最爱足球运动的学生占， 抽取的学生总数为人， 抽取的学生中最喜爱篮球运动的学生有人， 则在该校名学生中，最喜爱篮球运动的学生有人． 故答案为;． 6．（2026·北京大兴·二模）在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下： 甲：2，2，4，5，5； 乙：2，3，4，4，5； 丙：3，3，4，4，4． 根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，________同学发挥更稳定． 【答案】丙 【分析】先计算三组数据的平均数，再根据方差公式计算三组数据的方差，比较方差大小，根据方差越小数据波动越小发挥越稳定的性质，得到结论． 【详解】解：，，， ∴，，， ∵， ∴丙同学的方差最小，发挥更稳定． 7．（2026·北京房山·二模）某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 肺活量x 人数 2 8 16 24 根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是________． 【答案】240 【分析】先求出抽取的样本中肺活量等级为良好及以上的频率，再用九年级男生总人数乘该频率，即可估计出对应人数． 【详解】解：由题意可知，抽取的样本容量为50，样本中肺活量等级达到良好及以上的人数为（人）， ∴样本中良好及以上人数的频率为， 估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数为：（人）． 8．（2026·北京丰台·二模）某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【答案】3 【分析】比较各种房间预订数量的多少可得答案． 【详解】解：∵， ∴三人间市场需求最高， ∴最应该多设置床位数量为3的客房． 9．（2026·北京顺义·二模）某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】先分别计算甲、乙两队身高的平均数，再根据方差计算公式计算两队方差，比较方差大小，方差越小身高越整齐，即可得到结果． 【详解】解：甲的平均数， ， 乙的平均数，， ∵， ∴， ∴甲队学生身高的方差更小，甲队学生身高更整齐． 10．（2026·北京朝阳·二模）下表记录了某市一周的日最高气温和日最低气温． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 最高气温/℃ 22 27 28 24 27 30 32 最低气温/℃ 18 15 14 14 16 19 18 这一周的日最高气温的方差为，日最低气温的方差为，则________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【分析】根据方差的计算公式，分别求出一周日最高气温的方差和日最低气温的方差，比较两个方差的大小即可得出结论. 【详解】解：由表格可知，日最高气温为，共个数据. ∴日最高气温的平均数， ∴， 由表格可知，日最低气温为，共个数据. ∴日最低气温的平均数， ∴， ∵， ∴. 11．（2026·北京东城·二模）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 【答案】93 【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：（分）； ∴该参赛队的最终成绩是93分， 故答案为：93 【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键． 数据分析 考点03 一、解答题 1．（2026·北京东城·二模）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度得分统计图： b．信息识别准确度得分统计图： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 5.6 4.84 乙 7.65 7 5.6 5.74 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中________，________； (2)综合图表中的统计量，下列结论正确的是________（填正确结论的序号）； ①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多； ②从甲、乙两款软件的信息处理速度得分中各任意删去1个数据后中位数均不会发生改变． (3)使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入用来提升信息识别准确度．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则________，________4.84，________5.74（填“”“”“”）． 【答案】(1)9，7.5 (2)① (3)，， 【分析】（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和众数的定义，即可获得答案； （2）根据中位数和众数的定义，逐一分析判断即可； （3）首先确定第二次调查后，使用者对甲、乙两款软件的评分，然后根据平均数和方差的定义分别计算，，，的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：结合信息处理速度得分统计图可知，使用者对甲款软件的评分中，出现次数最多的是9分，共出现5次， ∴使用者对甲款软件评分的众数为9； 将使用者对乙款软件的评分按照从小到大的顺序排列，其中排在第10和11位的是7分和8分， ∴使用者对乙款软件评分的中位数为； （2）解：①由众数的定义可知，乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多，该结论正确； ②在甲款软件的信息处理速度得分中，任意删去1个数据后，中位数仍然是7， 在乙款软件的信息处理速度得分中，若删去得分为5分、6分、7分中的1个数据，则剩余数据的中位数为8， 若删去得分为8分、9分、10分中的1个数据，则剩余数据的中位数为7， 所以该结论不正确． （3）解：根据题意，甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分， 则新的得分数据为3，3，4，4，4，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10， 则这组数据的平均数， ， 乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变， 则新的得分数据为8，8，8，9，3，5，5，5，7，6，6，7，7，4，8，6，8，9，8，7， 按照从小到大的顺序排列，为3，4，5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9， 则这组数据的平均数， ， ∴，4.84，5.74． 2．（2026·北京朝阳·二模）某公司共有男员工800名，女员工500名，公司为了解员工的身体质量指数（），从他们的体检数据中，随机抽取了40名男员工、25名女员工的数据，并对数据进行了描述、分析，部分信息如下． a．男员工数据的频数分布表如下： 人数 6 20 9 4 1 b．男员工数据在这一组的是： 23.3  23.4  24.1  25.2  25.6  26.3  26.4  27.3  27.8 c．女员工数据是： 14.2  16.0  16.1  16.6  17.7  18.0  18.1  18.8  19.1  19.4 19.5  19.9  20.5  21.7  22.1  23.2  24.6  25.2  26.4  27.5 27.8  28.4  29.1  29.3  30.8 d．男、女员工数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男员工 23.625 22.6 女员工 22 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)如果在（含18.5和23.9）范围内，表明体重较好．记该公司男员工体重较好的人数占男员工总人数的百分比为，女员工体重较好的人数占女员工总人数的百分比为，根据抽取的员工的数据估计________（填“”“”或“”）； (3)公司把男、女员工数据合并为一组数据，进行分析． 估计该公司1300名员工数据的平均数约为________； 若公司计划对1300名员工中数据较大的前的员工进行优先关注，那么估计被优先关注的男员工约有________人，被优先关注的女员工约有________人． 【答案】(1)20.5； (2)>； (3)23；140，120 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）分别求出p，q，再比较即可； （3）①根据加权平均数的定义求解即可； ②根据样本估计总体的方法结合题意解答即可； 【详解】（1）解：女员工共抽取了25个数据，中位数是排序后第个数据，数出已排序的女员工数据，第13个数据为，因此． （2）解：体重较好的范围是： 男样本共40人：有20人（全部符合），中符合，共人，据此估计， 女样本共25人：符合条件的共9人，据此估计， ∴． （3）解：① 总体平均数：； ② 估计优先关注人数： 总人数1300，前共人， 抽样比例为：男，女， 样本总人数，样本中前共个最大数据， 根据题干可得13个最大数据中，男员工7人，女员工6人， 按抽样比例放大： 男员工：人，女员工：人． 3．（2026·北京顺义·二模）某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是：， c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）； (3)在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 【答案】(1) (2) (3)丙 【分析】（1）由中位数的定义求解即可； （2）根据题意求出，平均数和中位数的定义估算出的范围，即可比较； （3）根据加权成绩理论知识成绩实操技能成绩，分别求出四位同学的加权成绩，比较即可． 【详解】（1）解：∵，且理论知识成绩在这一组的是：， ∴理论知识成绩从高到低排列，第和第位分别是， ∴； （2）解：由题意得，， ∵实操技能成绩的平均成绩为，中位数为， ∴实操技能成绩超过平均数的人数为， ∴； （3）解：甲同学的加权成绩为（分）， 乙同学的加权成绩为（分）， 丙同学的加权成绩为（分）， 丁同学的加权成绩为（分）， ∵， ∴这四位学生中加权成绩最高的是丙． 4．（2026·北京石景山·二模）的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 (1)表中m的值为________，n的值为________； (2)已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； (3)为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 【答案】(1)； (2)B (3)4 【分析】（1）根据平均数以及众数的定义即可求解； （2）根据方差的定义分析即可； （3）根据B系统的平均数可知A系统和C系统满足条件，进而可知的取值范围，然后即可求解的取值． 【详解】（1）解：B系统的平均数：， A系统数据中，众数为：， （2）解：B系统的方差为： ， 则B系统最稳定； （3）解：B系统误差绝对值的平均数为：， 则不满足准确性标准， ∴A系统和C系统满足条件， 则A系统误差绝对值的平均数为：， ∴， 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，满足条件； 则C系统误差绝对值的平均数为：， ∴， ∵ ∴， 当时，中位数为：1，则满足条件； 故的最大整数值为：4． 5．（2026·北京丰台·二模）某校开展了校园创新大赛，比赛分为知识竞答和实践成果两个板块，每个板块评分均采用100分制（分值为整数），每名选手的个人综合得分由知识竞答和实践成果两个板块的分数按照计算得到．七年级和八年级各选派了10名选手参加．下面给出了部分信息． a．七、八年级各10名选手的知识竞答和实践成果两个板块得分情况统计图： b．七、八年级各10名选手的个人综合得分频数分布直方图（数据分7组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级知识竞答得分最高的选手，在本年级的实践成果得分中排名是第________名； (2)八年级选手中个人综合得分的最高分是________； (3)在两个年级各10名选手中，记七、八年级选手知识竞答得分的中位数分别是，，则________（填“”“”或“”），记七、八年级选手实践成果得分的方差分别是，，则________（填“”“”或“”）； (4)经计算所有选手的个人综合得分均不相同，在个人综合得分前十名的选手中，七年级人数________八年级人数（填“多于”“等于”或“少于”）． 【答案】(1)3 (2)88 (3)<，> (4)多于 【分析】（1）观察图即可得出结论； （2）分别根据知识竞答和实践成果所占的比例求出个人综合得分，比较得出答案； （3）根据中位数的定义解答，再根据方差的性质解答； （4）先判断得分超过80分的人数，再比较确定人数即可． 【详解】（1）解：观察图可知，七年级知识竞答得分最高的选手为图中最右边的点，其在实践成果得分中处于第三名； （2）解：八年级知识竞答最高得分是90分，实践成果得分是85分，所以其个人综合得分是（分）；八年级实践成果得分最高得分是90分，知识竞答得分是85分，所以其个人综合得分是（分）， 则八年级选手中个人综合得分的最高分是88分； （3）解：七年级知识竞答得分的中位数是第5,6个数的平均数，在80和85之间，可知在80和85之间；八年级知识竞答得分的中位数是第5,6个数的平均数，一个数是85，另一个超过85，可知大于85，所以；观察七年级和八年级的实践成果得分可知八年级实践成果的成绩比较集中，数据比较稳定，所以； （4）解：观察频数分布直方图可知七年级个人综合得分超过80分有6人，八年级超过80分的有5人，七年级第6名的成绩大约为（分），八年级第5名的成绩大约为（分），所以个人综合得分前十名的选手中七年级的人数多于八年级人数． 6．（2026·北京房山·二模）某校初三（1）班的体育教师计划从甲、乙、丙、丁四名男同学中选出一名同学参加校级立定跳远比赛．对这四名同学最近次立定跳远测试成绩（单位：）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲、乙两名同学次测试成绩的折线图： ．丙同学次测试成绩： 228    238    240    244    250    250    252    253    256    259 ．四名同学次测试成绩的平均数、中位数、方差、优秀（成绩）次数： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 优秀次数 (1)表中的值为________； (2)表中________（填“＞”“”或“＜”）； (3)根据这次测试成绩，制定选拔规则：首先比较优秀次数，优秀次数较多者实力更强；若优秀次数相等，则比较中位数，中位数较大者实力更强． ①这四名同学中胜出的是________； ②由于甲的第次测试发挥失常，若甲想在这次选拔中胜出，则甲的第次测试成绩至少应该达到________（结果取整数）；此时，甲同学的次测试成绩的统计量会发生变化的有________（填“平均数”“众数”或“方差”）． 【答案】(1) (2) (3)①乙同学，②，平均数、方差 【分析】（1）将甲同学的成绩从低到高排列，即可找出中位数； （2）从折线图中读出乙同学的成绩，根据方差的计算公式计算即可； （3）①依据指定的规则比较即可解得；②甲同学要想胜出，首先至少满足有6次成绩达到优秀，即设第五次的成绩至少为x，且，根据甲同学的中位数大于乙同学的中位数列出不等式即可求解；根据数据的变化即可计算出新的平均数、方差、众数，问题随之得解． 【详解】（1）解：甲同学的成绩从低到高排列：228，240，245，247，248，252，254，254，258，264， 则中位数为：； （2）从折线图中读出乙同学的成绩：250，252，242，245，254，256，244，260，255，232， 则方差为： 即， 故答案为； （3）①优秀次数多的是乙同学、丙同学，其中乙同学的中位数高于丙同学， 故这四名同学胜出的是乙同学； ②剔除甲同学的第五次成绩，余下的成绩依次排列为：240，245，247，248，252，254，254，258，264， 甲同学要想胜出，首先至少满足有6次成绩达到优秀，即设第五次的成绩至少为x，且， 根据甲同学的中位数大于乙同学的中位数，即有：， 解得：， 则能够取的最小整数为：， 即甲的第次测试成绩至少应该达到； 甲同学的成绩由228，240，245，247，248，252，254，254，258，264变为：240，245，247，248，251，252，254，254，258，264， 通过计算可知甲同学新数据的平均数为：251.3，方差为：，众数不变依旧为254， 甲同学的10次测试成绩的统计量会发生变化的有平均数、方差． 7．（2026·北京大兴·二模）五一假期，某景区为调查游客通行效率，某高峰时段工作人员在景区南、北两个检票口各随机抽取20名游客，记录他们从入园开始排队到通过检票口进入景区的等候时间（单位：分钟）．将数据整理，描述和分析，给出下面信息： a．将南、北两个检票口各20名游客等候时间t分别分成四组： A．，B．，C．，D． b．南检票口20名游客等候时间数据： 5  6  9  11  14  19  21  23  26  30  30  30  32  35  37  39  42  46  50  53 c．北检票口20名游客等候时间在C组内的数据： 31  32  32  33  35  36  39  42 d．北检票口20名游客等候时间扇形统计图如下： e．南、北检票口20名游客等候时间平均数、众数、中位数如下表： 项目 南检票口 北检票口 平均数 27.9 27.9 众数 n 32 中位数 30 p (1)写出图表中m，n，p的值：________，________，________； (2)已知当天该高峰时段从南检票口进入景区的游客约为6000人，从北检票口进入景区的游客约为8000人，估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有________人． 【答案】(1)25，30，31.5 (2)6800 【分析】（1）利用扇形统计图的数据可求得A组所占百分比，再通过北检票口20名游客中C组占8个求得该组所占百分比，进而求得B组所占百分比，即m的值，观察南检票口20名游客等候时间数据出现次数最多的即为众数，求得n的值，再通过计算求出北检票口20名游客等候时间中第10、11名游客等候时间之和的平均数即为中位数，求得p的值； （2）利用样本估计总体，分别求出北检票口超过30分钟的游客所占频率和南检票口超过30分钟的游客所占频率，再用各自的总数分别乘以对应的频率再相加即可得出结果． 【详解】（1）解：由扇形统计图可知，北检票口A组的圆心角度数为， ∴所占百分比为：， ∵北检票口20名游客等候时间在C组内的数据共有8个， ∴所占百分比为：， ∴B组所占百分比为：，即， 在南检票口20名游客等候时间数据中，出现次数最多的为30，共出现3次， ∴， 在北检票口的20名游客等候时间数据中，中位数为第10、11名游客等候时间数据之和的平均数， 而第10、11名游客等候时间为31、32， ∴． （2）解：由题可知，在南检票口20名游客等候时间数据中，超过30分钟的游客有8名， ∴频率为， 在北检票口20名游客等候时间数据中，超过30分钟的游客占比为， ∴（人）， ∴估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有6800人． 8．（2026·北京平谷·二模）平谷区教委积极引导广大学生参与各类有益活动，包括校园志愿服务、青少年科技创新、主题读书、思政教育及文体实践等，引导学生在实践中成长．为响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，2025年我区深入推进志愿共建等各项学生活动以来，我区广大学生积极参与志愿服务，助力打造文明、有序、温馨的社区环境．其中，某校有500名学生志愿者，为了解该校3月—4月期间学生参加志愿服务的情况，学校针对服务的次数随机抽取50名学生志愿者进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 志愿服务活动次数频数分布表 次数次 频数 频率 8 0.16 10 0.20 16 0.32 0.24 4 0.08 其中，参与志愿服务活动次数在这一组的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29 请根据所给信息，解答下列问题： (1)__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)随机抽取的50名学生参加志愿活动次数的中位数是__________； (4)为鼓励学生参与志愿服务，学校计划按“志愿活跃度”给不同班级分配志愿活动名额，活跃度排名规则为：先比较班级人均志愿次数，人均次数越高，排名越靠前；若人均次数相同，则比较班级志愿次数的方差，方差越小，排名越靠前．该校从甲、乙、丙三个班级各随机抽取了5名志愿者，记录他们的服务次数如下表： 志愿者1 志愿者2 志愿者3 志愿者4 志愿者5 甲班 25 26 25 25 27 乙班 23 28 26 24 29 丙班 25 27 26 26 若丙班在三个班级中活跃度排名居中，则这三个班级的排名由前到后依次为__________，此时表中（为整数）的值为__________． 【答案】(1)12 (2) (3)23 (4)乙班、丙班、甲班；25 【分析】（1）利用总数减去已知的频数即可求解； （2）根据（1）求得的的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据各组频数，将数据按从小到大排列后，找到第25个和第26个数据即可求解； （4）先计算各班的平均数，根据丙班在三个班级中活跃度排名居中，可得或或，再分别计算方差进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：略． （3）解：∵和共有（人），、和共有（人），共抽取了50名学生志愿者， ∴数据按从小到大排列后的第25个和第26个数据是内的第7个和第8个数据，均为23， ∴中位数为． （4）解：甲班平均数为， 乙班平均数为， 丙班平均数为， ∵丙班在三个班级中活跃度排名居中， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或， 当时，丙班平均数为，与甲班平均数相同， ∵甲班的方差为， 丙班的方差为， ∵， ∴甲班优于丙班， ∴三个班级的排名由前到后依次为乙班、甲班、丙班，不符合题意； 当时，丙班平均数为，与乙班平均数相同， ∵乙班的方差为， 丙班的方差为， ∵， ∴丙班优于乙班， ∴三个班级的排名由前到后依次为丙班、乙班、甲班，不符合题意； 当时，丙班平均数为， ∵， ∴三个班级的排名由前到后依次为乙班、丙班、甲班，符合题意； 综上所述，． 9．（2026·北京海淀·二模）沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是：                              ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； (2)若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； (3)将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 【答案】(1)频数分布直方图见详解，； (2)； (3)乙； (4)． 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数的计算、用样本估计总体以及平均数的应用，熟练掌握相关统计量的计算方法和直方图的解读是解答本题的关键． （1）①根据频数分布直方图中各组频数之和为，补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图；②根据中位数的定义，先确定中位数所在的组，再结合组内数据计算中位数； （2）先根据乙片区的频数分布直方图，确定“达标监测点”的频数，再用样本估计总体，计算乙片区个监测点中“达标监测点”的数量； （3）结合甲、乙两个片区的中位数，分析固沙量为在两个片区中的排名情况，从而判断所在的片区； （4）先根据乙片区的平均数求出个数据的总和，再根据剔除极值后的平均数求出剩余个数据的总和，最后根据原总和、剔除的最小值和剩余数据总和求出最大值． 【详解】（1）解：①频数分布直方图如图所示， ②共抽取了个监测点，中位数为第个监测点和第个监测点固沙量的平均值， ，， 中位数在这一组，由给出的数据排序得，中位数为， ； （2）解：乙片区抽取的监测点中，“达标监测点”有个， 个， 答：乙片区的个监测点中约有个“达标监测点”； （3）解：甲片区：中位数为，说明有个数据，比小，因此在甲片区的排名在第名之后（即名次靠后）； 乙片区：中位数为，说明有个数据，比大，因此在乙片区的排名在第名之前（即名次靠前）； （4）解：乙片区个数据的平均数为，因此总和为： 剔除一个最大值和一个最小值后，剩余个数据的平均数为，剩余数据总和为：， 根据“原总和剔除的两个数据剩余数据总和”，可得：， 解得：． 10．（2026·北京燕山教育集团·二模）为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．A课程成绩在这一组的是： 85   85   83   85   84   81   80 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）； (3)在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是__________； (4)假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人． 【答案】(1)82 (2)A (3)① (4)120 【分析】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识，熟练掌握中位数的计算方法和意义是解题的关键． （1）根据中位数的定义进行解答即可； （2）根据中位数进行判断即可； （3）根据两组的平均分和最高分分别进行判断即可； （4）根据样本估计总体的方法计算即可． 【详解】（1）解：∵A课程总人数为20， ∴中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均在这一组， ∴中位数在这一组， ∵这一组的是：80，81，83，84，85，85，85，前三组共个数据， ∴A课程的中位数为 ，即； （2）解：∵该学生的成绩大于A课程的中位数，而小于B课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是A， 故答案为：A． （3）解：①两门课程总成绩的平均数为，学生乙的总成绩为，，所以①正确； ②总成绩高于平均数的人数不一定只有10人，可能有更多人总成绩高于平均数， 因此乙不一定排在前10名，所以②错误； 故选：①； （4）解：由题意可得，人， 即估计A课程成绩不低于80分的学生有人． 11．（2026·北京市西城区·二模）某学校为了调查该校学生早上从家到校所需的时长，从中随机抽查了100名学生，记录了他们早上从家到校的时长（单位：分钟）（整数），并对这100个数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．100个数据频数分布直方图（数据分成5组：，，，，） b．时长在这一组的是： 20   20   21   21   23   23   23   24   24   24   25   25   25   26   26 26   26   27   27   27   27   27   28   28   28   29   29   29   29   29 (1)的值为________，100个数据的中位数是________，平均数约为________（用各组的组中值代表各组的数据）； (2)从中随机选取15个数据分成A，B，C三组，每组5个数据，信息如下： A组 15 15 15 17 B组 14 15 16 16 18 C组 13 17 18 18 19 已知A组与B组的平均数相等． ①的值为________； ②学校从A，B，C三组中选出一组到校从事晨检工作，要求：先比较平均数，平均数较小的组排序靠前；若平均数相等，再比较方差，方差较小的组排序靠前．在A，B，C三组的排序中，排序最靠前的是________组． 【答案】(1)14；22；； (2)①17；②A． 【分析】（1）用100减去各组数据即可求得m，根据中位数的定义和平均数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的计算公式计算后再比较即可． 【详解】（1）解： 100个数据的中位数为第和位的平均数， ∵，， ∴100个数据的中位数为， ； （2）解：①， ， ， 解得； ②， ， ∴排序最靠前的是A组． 12．（2026·北京密云·一模）水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息： ①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下： 总磷去除量 频数 3 2 8 1 ②水域总磷去除量在这一组的是： ； ③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下： (1)写出表中的值； (2)随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为________； (3)下列推断合理的是________（填序号） ①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名； ②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为 (4)号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为和；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】(1)； (2)； (3)①③； (4)乙． 【分析】（1）根据频数分布表即可求解； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据统计图和频数分布表逐一分析即可； （4）由统计图和频数分布表可知，甲种植物（）数据分布较分散，乙种植物（）数据更集中于均值附近，得到乙的方差小于甲，得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：每立方米总磷去除量在的数有3个，在的数有2个， ∴20块水域每立方米总磷去除量从小到大排列，排在第10和11的两个数是， ∴中位数为：； （3）解：①12号水域的总磷去除量是， 总磷去除量在的有6个，在的有1个， ∴在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名的，符合题意； ②由统计图可知，20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为，不符合题意； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量有个， ∴20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为，符合题意； （4）解：由统计图和频数分布表可知，甲种植物（）数据分布较分散，乙种植物（）数据更集中于均值附近， ∴乙的方差小于甲， ∴这个地区比较适合种植的净水植物是乙． 36/36 35/36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $