第01讲 集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版

第01讲 集合的概念（培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 集合的有关概念 2 知识点02 集合的元素特征 2 知识点03 元素与集合的关系 2 知识点04 常用集合及其表示 3 知识点05 集合的表示方法 3 剖题型·讲技巧 4 题型1 集合的含义 4 题型2 元素与集合的关系 5 题型3 集合中元素的特性 5 题型4 用列举法表示集合 6 题型5 用描述法表示集合 7 释疑惑·重难拓展 8 题型1元素与集合的关系求参 8 题型2 集合中元素的应用 8 知高考·真题探源 8 练好题·提分培优 11 课标要点 1、认识集合的基本概念，明晰元素和集合之间的从属关系，熟练识记各类常用数集的专属符号，并能够灵活运用符号开展相关学习与解题应用。 2、掌握集合中元素的三大基本特征，理解并掌握集合的两种常用表达方式，即列举法与描述法，能够熟练运用这两种方法规范表示各类基础集合，夯实集合学习的基础能力。 3、体会数学知识与日常生活的关联性，感受数学源于生活、用于生活的特点，逐步提升运用集合相关数学知识分析、解决实际问题的综合能力。 知识点01 集合的有关概念 元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示． 练习下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（） A．班级里身材高挑的学生  B．数值很大的正数  C．的近似小数  D．平方等于1的实数 知识点02 集合的元素特征 元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 练习已知集合，且集合中元素互不重复，则集合中元素的最多个数为（） A．6  B．3  C．4  D．5 知识点03 元素与集合的关系 元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． 练习1已知集合，若，则不可能是（） A．0  B．2  C．3  D．4 练习2已知集合，若，则实数的值为（） A．1  B．  C．  D．0 知识点04 常用集合及其表示 常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 练习1.用符号或填空： （1）______；（2）______；（3）______； （4）______；（5）______ 练习2.下列数集关系判断正确的个数为（） ① ② ③ ④ A．1  B．2  C．3  D．4 知识点05 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 练习1.用列举法表示下列集合： （1） （2）大于2且小于15的所有质数组成的集合 （3）绝对值不大于2的所有整数组成的集合 练习2.平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（） A． B． C． D． 题型1 集合的含义 下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数 A．2  B．3  C．4  D．6 【变式1】 下列说法正确的是（） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【变式2】 给出下列说法：①所有无限接近2的数构成集合；②2025年高考数学新高考Ⅰ卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于4的非负整数构成集合；⑤组成的集合含4个元素。其中正确的是（） A．①②④  B．②③⑤  C．③④⑤  D．②④ 题型2 元素与集合的关系 设集合（偶数集），（奇数集），，若，则（） A．  B．  C．  D．均不属于 【变式1】 下列关系正确的是（） A．  B．  C．  D．错误 【变式2】 已知非空数集满足：①若，则；②若，则。下列说法正确的是（） A．  B．  C．若，则  D．若，则 【变式3】 定义：若且，则称为伙伴关系集合。集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（） A．  B．  C．  D． 题型3 集合中元素的特性 【典例1】 已知集合，且，求实数的值。 【变式1】 若，则的值为（） A．  B．0  C．2  D．3 【变式2】 设，集合，若，则______。 【变式3】 已知集合，若，则的值为（） A．1  B．2  C．  D．0 题型4 用列举法表示集合 【典例1】 已知集合 (1)用列举法表示该集合；(2)若集合元素和为，验证参数合理性。 【变式1】 下列说法错误的是（） A． B．实数集可写为 C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 【变式2】 方程组的解集为（） A．  B．  C．  D． 【变式3】 下列说法不正确的是（） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 题型5 用描述法表示集合 【典例1】 集合的列举法表示为（） A．  B．  C．  D． 【变式1】 已知集合，下列判断错误的是（） A．  B．  C．  D． 【变式2】 下列描述法表示集合正确的是（） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【变式3】 直线与的交点构成的集合为（） A．  B．  C．  D． 题型一：元素与集合的关系求参 核心考点：根据元素属于集合列方程/不等式，结合集合元素互异性舍去增根 1．设集合，若，则的取值为（） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 2．已知集合，若且，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 3．已知，则实数的值为（） A．0 B．2 C．2或-4 D．-4 题型二：集合中元素的应用（互异性核心应用） 核心考点：集合中元素具有确定性、互异性、无序性，互异性为高频考点（元素互不相等） 1．已知集合，若集合中元素互不相同，则实数的值可以为（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（） A．4 B．6 C． D．5 1.【2025 新课标Ⅰ卷（全国Ⅰ）·第1题】已知全集 ，集合 ，则 中元素的个数为（） 2.【2025 新课标Ⅱ卷（全国Ⅱ）·第1题】已知集合 ，，则 （） 3.【2025 全国甲卷·文科第1题】已知集合 ，，则 （） 4.【2025 全国乙卷·理科第1题】已知集合 ，，则 （） 5.【2024 新课标Ⅰ卷（全国Ⅰ）·第1题】设集合 ，，则 （） 6.【2024 新课标Ⅱ卷（全国Ⅱ）·第1题】已知全集 ，集合 ，则 （） 7.【2024 全国甲卷·理科第1题】已知集合 ，，则 （） 8.【2024 全国乙卷·文科第1题】已知集合 ，，则 （） 9.【2023 新课标Ⅰ卷（全国Ⅰ）·第1题】已知集合 ，，则 （） 10.【2023 新课标Ⅱ卷（全国Ⅱ）·第1题】已知全集 ，集合 ，则 （） 11.【2023 全国甲卷·文科第1题】已知集合 ，则集合 的元素个数为（） 12.【2023 全国乙卷·理科第1题】已知集合 ，，则 （） 13.【2024 新课标Ⅰ卷（全国Ⅰ）·真题】已知集合 ，，则 （） 14.【2025 全国甲卷·理科第1题】已知集合 ，，则下列关系正确的是（） 15.【2023 全国乙卷·文科第1题】已知集合，，则 （） 1．已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 2．已知，则实数的值为（） A．0 B．1 C． D．2 3．下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 4．下列集合中，有限集的个数为（） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个  B．1个  C．2个  D．3个 5.若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 6.下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 7.已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 8.设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 9．已知集合，，若，则实数__________. 10．已知，则的取值范围是_____ 11．若 ，则集合 中所有元素之和为______ 12．已知集合，，则的值为________. 13．设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念（培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 集合的有关概念 2 知识点02 集合的元素特征 2 知识点03 元素与集合的关系 3 知识点04 常用集合及其表示 3 知识点05 集合的表示方法 4 剖题型·讲技巧 5 题型1 集合的含义 5 题型2 元素与集合的关系 6 题型3 集合中元素的特性 8 题型4 用列举法表示集合 9 题型5 用描述法表示集合 10 释疑惑·重难拓展 11 题型1元素与集合的关系求参 11 题型2 集合中元素的应用 12 知高考·真题探源 13 练好题·提分培优 17 课标要点 1、认识集合的基本概念，明晰元素和集合之间的从属关系，熟练识记各类常用数集的专属符号，并能够灵活运用符号开展相关学习与解题应用。 2、掌握集合中元素的三大基本特征，理解并掌握集合的两种常用表达方式，即列举法与描述法，能够熟练运用这两种方法规范表示各类基础集合，夯实集合学习的基础能力。 3、体会数学知识与日常生活的关联性，感受数学源于生活、用于生活的特点，逐步提升运用集合相关数学知识分析、解决实际问题的综合能力。 知识点01 集合的有关概念 元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示． 练习下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（） A．班级里身材高挑的学生  B．数值很大的正数  C．的近似小数  D．平方等于1的实数 【答案】D 【解析】集合的核心前提是元素具有确定性。A、B选项描述模糊，无统一判定标准；C选项未明确近似精度，元素不唯一；D选项中，平方等于1的实数只有，元素确定，可构成集合。 知识点02 集合的元素特征 元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 练习已知集合，且集合中元素互不重复，则集合中元素的最多个数为（） A．6  B．3  C．4  D．5 【答案】C 【解析】根据集合元素互异性，只要，集合四个元素均互不重复，最多有4个元素。 知识点03 元素与集合的关系 元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． 练习1已知集合，若，则不可能是（） A．0  B．2  C．3  D．4 【答案】C 【解析】集合的元素为，3不在集合中，因此不可能为3。 练习2已知集合，若，则实数的值为（） A．1  B．  C．  D．0 【答案】C 【解析】由得，解得，此时集合元素为，满足互异性，符合题意。若会出现元素重复，舍去。 知识点04 常用集合及其表示 常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 练习1.用符号或填空： （1）______；（2）______；（3）______； （4）______；（5）______ 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】根据常用数集定义判断：0是自然数；是无理数，不属于有理数集；-5是整数；是实数；3.14不是正整数。 练习2.下列数集关系判断正确的个数为（） ① ② ③ ④ A．1  B．2  C．3  D．4 【答案】B 【解析】①正确、②正确、③不是整数，错误、④0属于自然数集，错误；正确共2个。 知识点05 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 练习1.用列举法表示下列集合： （1） （2）大于2且小于15的所有质数组成的集合 （3）绝对值不大于2的所有整数组成的集合 【答案】 （1）（正整数范围内无数组解，有限列举核心解）；规范有限解：满足条件的基础解为 （2） （3） 【解析】根据取值范围筛选符合条件的元素，逐一列举，杜绝重复、遗漏，严格遵循集合元素互异性。 练习2.平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示排除点，表示排除点，同时满足即可精准剔除两点；其余选项均存在剔除范围错误的问题。 题型1 集合的含义 下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数 A．2  B．3  C．4  D．6 【答案】B 【解析】集合元素必须具备确定性。（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合；（3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合。 集合确定性判断核心方法： 判断一组对象能否构成集合，核心依据是确定性：能清晰判定任意一个对象是否属于该群体，即可构成集合，反之不可。同时需兼顾集合元素的互异性、无序性。 【变式1】 下列说法正确的是（） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【解析】A选项“擅长”标准模糊，不满足确定性；B选项七大洲对象确定、唯一，可构成集合；C选项违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素；D选项正整数不含0，正确集合为。 【变式2】 给出下列说法：①所有无限接近2的数构成集合；②2025年高考数学新高考Ⅰ卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于4的非负整数构成集合；⑤组成的集合含4个元素。其中正确的是（） A．①②④  B．②③⑤  C．③④⑤  D．②④ 【答案】D 【解析】①“无限接近”无标准，不能成集；②试卷填空题数量、内容确定，可成集；③“高端”定义模糊，不能成集；④不大于4的非负整数为，确定可成集；⑤，元素重复，仅有3个元素。故②④正确。 题型2 元素与集合的关系 设集合（偶数集），（奇数集），，若，则（） A．  B．  C．  D．均不属于 【答案】B 【解析】为偶数，为奇数，偶数+奇数=奇数，故属于奇数集。 元素与集合关系判断方法 1. 直接法：集合元素直接列举，直接比对元素是否存在； 2. 推理法：描述法集合，验证元素是否满足集合的限定条件。 【变式1】 下列关系正确的是（） A．  B．  C．  D．错误 【答案】C 【解析】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确。 【变式2】 已知非空数集满足：①若，则；②若，则。下列说法正确的是（） A．  B．  C．若，则  D．若，则 【答案】BC 【解析】若，式子无意义，A错；若，推导矛盾，故，B对；可推得，C对；可推得，D错。 【变式3】 定义：若且，则称为伙伴关系集合。集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（） A．  B．  C．  D． 【答案】BCD 【解析】伙伴关系要求元素与其倒数同时存在。A中的倒数不在集合中，不符合；B、C、D均满足伙伴关系定义。 题型3 集合中元素的特性 【典例1】 已知集合，且，求实数的值。 【答案】 【解析】由得，解得。此时集合，满足元素互异性，符合题意。 参数求解核心步骤 1. 根据元素属于集合列方程；2. 求解参数所有可能值；3. 代入验证集合元素互异性，舍去重复情况。 【变式1】 若，则的值为（） A．  B．0  C．2  D．3 【答案】A 【解析】分情况讨论：时，元素重复舍去；无整数解；符合条件，最终得。 【变式2】 设，集合，若，则______。 【答案】 【解析】时元素重复舍去；，正值舍去，得，验证集合满足互异性。 【变式3】 已知集合，若，则的值为（） A．1  B．2  C．  D．0 【答案】B 【解析】时，集合为重复舍去；，解得（舍）或，验证符合互异性。 题型4 用列举法表示集合 【典例1】 已知集合 (1)用列举法表示该集合；(2)若集合元素和为，验证参数合理性。 【答案】(1) 【解析】因式分解，解得，根据互异性列举全部元素即可。 列举法解题步骤 1. 求解集合所有元素；2. 剔除重复元素；3. 用规范列举。 【变式1】 下列说法错误的是（） A． B．实数集可写为 C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 【答案】BD 【解析】B选项花括号自带“全部”含义，表述冗余错误；D选项前者为数集，后者为点集，不是同一集合；A、C表述正确。 【变式2】 方程组的解集为（） A．  B．  C．  D． 【答案】D 【解析】解得，方程组解集为点集，需用坐标形式花括号包裹，只有D格式规范。 【变式3】 下列说法不正确的是（） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【解析】C选项违背互异性，正确解集为；D选项是元素，是集合，概念不同；A、B正确。 题型5 用描述法表示集合 【典例1】 集合的列举法表示为（） A．  B．  C．  D． 【答案】B 【解析】条件为大于1、小于等于5的自然数，符合条件的元素为。 描述法解题步骤 1. 明确元素类型与取值范围；2. 提取元素共同约束条件；3. 规范书写格式。 【变式1】 已知集合，下列判断错误的是（） A．  B．  C．  D． 【答案】A 【解析】集合，不在范围内，不属于集合。 【变式2】 下列描述法表示集合正确的是（） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【解析】B选项范围错误，应为；A、C、D的元素范围、约束条件均规范准确。 【变式3】 直线与的交点构成的集合为（） A．  B．  C．  D． 【答案】AC 【解析】联立方程解得交点，点集可用列举法或描述法表示。 题型一：元素与集合的关系求参 核心考点：根据元素属于集合列方程/不等式，结合集合元素互异性舍去增根 1．设集合，若，则的取值为（） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 答案：D 解析：解方程，因式分解得，解得或，故。 由得或。故选D。 2．已知集合，若且，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 答案：A 解析：由得，解得； 由得或，解得或； 联立两个范围，取交集得。故选A。 3．已知，则实数的值为（） A．0 B．2 C．2或-4 D．-4 答案：C 解析：两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或。 代入验证，两种情况集合元素均互异，符合集合定义。故选C。 题型二：集合中元素的应用（互异性核心应用） 核心考点：集合中元素具有确定性、互异性、无序性，互异性为高频考点（元素互不相等） 1．已知集合，若集合中元素互不相同，则实数的值可以为（） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：根据元素互异性，且，即且。 逐一验证，只有符合条件。故选A。 2．若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（） A．4 B．6 C． D．5 答案：ABD 解析：集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根，即，解得。 验证选项：ABD取值均满足不等式，C不满足。故选ABD。 1.【2025 新课标Ⅰ卷（全国Ⅰ）·第1题】已知全集 ，集合 ，则 中元素的个数为（） 答案：C 解析：由正整数集定义 ，结合条件 ，将全集列举化为：。根据补集定义， 表示全集中所有不属于集合 的元素，剔除 中元素 ，可得 ，经计数共有 个元素。 核心考点：常用数集符号、列举法与描述法互化、补集运算、元素从属关系 2.【2025 新课标Ⅱ卷（全国Ⅱ）·第1题】已知集合 ，，则 （） 答案：D 解析：先化简描述法集合 ，解方程 ，实数范围内仅有唯一解 ，因此将 化为列举法：。根据交集定义，表示同时属于集合 和集合 的公共元素，仅有 且 ，故 。 核心考点：描述法转列举法、交集运算、元素与集合从属判断 3.【2025 全国甲卷·文科第1题】已知集合 ，，则 （） 答案：B 解析：集合 表示全体实数中满足 的所有数，集合 表示全体实数中满足 的所有数。交集运算取两个取值范围的公共区间，联立不等式，解得公共范围 ，即 。 核心考点：实数集描述法、区间型集合交集运算 4.【2025 全国乙卷·理科第1题】已知集合 ，，则 （） 答案：B 解析：先求解一元二次不等式化简集合 ，对不等式因式分解得：，根据二次函数图像性质，不等式解集为 ，即 。集合 ，联立取值范围取公共部分：，故 。 核心考点：描述法集合化简、一元二次不等式求解、集合交集运算 5.【2024 新课标Ⅰ卷（全国Ⅰ）·第1题】设集合 ，，则 （） 答案：A 解析：由整数集定义 ，结合条件 ，筛选出符合条件的整数：，即 。根据并集定义， 为两个集合所有元素去重合并，合并 元素后得 ，严格遵循集合元素互异性。 核心考点：整数集符号、描述法转列举法、集合并集运算、元素互异性 6.【2024 新课标Ⅱ卷（全国Ⅱ）·第1题】已知全集 ，集合 ，则 （） 答案：A 解析： 表示全集为全体实数集，补集 的定义为：全集中所有不属于集合 的元素构成的集合。集合 包含所有大于等于 的实数，因此剩余实数范围为 ，即 。 核心考点：实数集符号、补集定义、描述法集合运算 7.【2024 全国甲卷·理科第1题】已知集合 ，，则 （） 答案：A 解析：由 可知，集合 中元素为全体偶数，集合 中元素为全体奇数。根据数的分类，奇数与偶数无任何公共元素，依据交集定义，无公共元素的两个集合交集为空集，即 。 核心考点：整数集应用、描述法集合含义、空集定义、交集运算 8.【2024 全国乙卷·文科第1题】已知集合 ，，则 （） 答案：A 解析：先化简集合 ，对一元二次方程因式分解：，解得方程根为 ，化为列举法得 。对比集合 ，公共元素为 ，故 。 核心考点：方程型描述法集合化简、交集运算 9.【2023 新课标Ⅰ卷（全国Ⅰ）·第1题】已知集合 ，，则 （） 答案：A 解析： 为自然数集（包含 ），结合条件 ，列举得集合 。根据交集定义，筛选出 公共元素，仅有 ，因此 。 核心考点：自然数集符号、列举法与描述法互化、交集运算 10.【2023 新课标Ⅱ卷（全国Ⅱ）·第1题】已知全集 ，集合 ，则 （） 答案：A 解析：根据补集定义，在全集 中剔除集合 的所有元素。全集 包含元素 ，剔除 中 后，剩余元素为 ，故 。 核心考点：列举法集合、补集基本运算 11.【2023 全国甲卷·文科第1题】已知集合 ，则集合 的元素个数为（） 答案：B 解析：根据条件 且 ，逐一列举符合条件的整数：，即 。经计数，集合内共有 个元素。 核心考点：整数集符号、描述法转列举法、集合元素计数 12.【2023 全国乙卷·理科第1题】已知集合 ，，则 （） 答案：A 解析：解不等式 ，得解集 ，即 。逐一判断 中元素：，筛选公共元素得 。 核心考点：不等式型集合化简、元素从属判断、交集运算 13.【2024 新课标Ⅰ卷（全国Ⅰ）·真题】已知集合 ，，则 （） 答案：C 解析：由自然数集定义 ，列举得 。根据集合并集运算规则，合并两集合所有元素并去重，将 与 合并，去除重复元素 ，最终得 。 核心考点：自然数集符号、列举法、并集运算、元素互异性 14.【2025 全国甲卷·理科第1题】已知集合 ，，则下列关系正确的是（） 答案：B 解析： 为有理数集，集合 表示区间 内的所有有理数。 是无限不循环小数，属于无理数，不满足有理数条件，因此 ，即 。 符号辨析： 用于元素与集合的关系， 用于集合与集合的包含关系，故C、D符号使用错误。 核心考点：有理数集符号、元素与集合从属关系、集合符号规范辨析 15.【2023 全国乙卷·文科第1题】已知集合，，则 （） 答案：A 解析：化简绝对值不等式 ，得 ，结合 ，列举得 。集合 为全体正实数，在 中仅有 满足 ，故 。 核心考点：绝对值不等式化简、整数集应用、交集运算 1．已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 2．已知，则实数的值为（） A．0 B．1 C． D．2 答案：C 解析：根据集合元素互异性，且，排除。若，得（舍去），符合条件。 3．下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 4．下列集合中，有限集的个数为（） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个  B．1个  C．2个  D．3个 答案：C 解析：有限集是元素个数为有限个的集合。（1）方程仅有1个实数解，为有限集；（2）能被5整除的整数有无数个，为无限集；（3）一周共7个星期名称，为有限集；（4）正奇数有无数个，为无限集。综上有限集共2个。 5.若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 6.下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 7.已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 8.设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 9．已知集合，，若，则实数__________. 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 10．已知，则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】代入得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 11．若 ，则集合 中所有元素之和为______ 【答案】3 【分析】由题意知是方程的解，代入方程可求出a，从而可求出方程的解，即可得解. 【详解】，则有，解得， 方程即为，解得或， 所以，所有元素之和为3. 故答案为：3 12．已知集合，，则的值为________. 【答案】/ 【分析】利用元素与集合的关系得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以是的一个解，即，解得， 经检验，满足题意. 故答案为： 13．设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $