精品解析：重庆市江津区大桥学校2025-2026学年九年级下学期第二次模拟测试数学试题

重庆市江津区大桥学校2025－2026学年九年级下学期 第二次模拟测试数学试题 （全卷共三个大题，满分：150分 测试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号内． 1. 5的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A B. C. D. 4. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 6. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 估算的值在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 8. 如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（ ） A. B. C. D. 1 9. 如图，正方形，边长为9，点E在边上，，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得，点G在边上，点H在线段上，，求的面积为（ ） A. B. C. D. 10 10. 关于xn次多项式，其中n，均为正整数，，…，均为整数，且，．下列说法： ①若，，则符合条件整式有且仅有1个； ②若，则多项式M可以二次三项式； ③若二次三项式且，则满足条件的所有整式的和为； ④若，，则满足条件的多项式M共有33个． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 若，则式子的值是____． 12. 如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为__________． 13. 在重庆市体质健康比赛中，需从某校体育老师中随机抽取名担任裁判．已知该校有名男体育老师和名女体育老师，则恰好抽中名男体育老师和名女体育老师的概率是______． 14. 若实数，同时满足，，则的值为___________． 15. 如图，在以为直径的圆O上，以弦为边作，边与圆O相切于点A，边分别与，圆O交于点E，H，连接分别交，圆O于点K，F，连接，，若，，，则圆O的直径的长度为______，的长度为______． 16. 对于一个四位数，若千位数字与个位数字的和为4，且百位数字与十位数字的差为4，则称为“巳巳如意数”．例如：因为“3621”满足“”和“”所以3621为“巳巳如意数”．最小的“巳巳如意数”是______．已知为“巳巳如意数”，将的前两位数字记为；将的后两位数字记为，若能被7整除，且为完全平方数，则满足条件的的值为______． 三、解答题：（本大题共9个小题，17~18每小题8分，19~25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上． 17. 解不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得______， 解不等式②，得______， 在同一数轴上表示不等式①、②解集： 所以，不等式组的解集为______． 18. 在学习了角平分线的性质后，小虹进行了拓展性探究．她发现，在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹） 已知：在四边形中，，，平分，平分． 求证：． 证明：∵平分，∴①．∵，∴． ∵，∴②． 在和中，，∴． ∴④． 同理可得：，∴． 19. 重庆市某校组织全校学生参加了“筑牢舌尖防线”的食品安全知识科普竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩均不低于分，用表示，共分为三组：；；），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是： ． 九年级名学生的竞赛成绩在组的数据是： ． 八、九年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中____，____，____； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生科普知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次科普竞赛活动，请估计该校八、九年级参加此次科普竞赛活动成绩优秀（）的学生人数共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高． （1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？ （2）甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？ 22. 如图，在正方形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动（点不与、重合），连接，；动点以每秒个单位长度的速度从点同时出发，沿方向匀速运动（点不与、重合），过点作交对角线于点．设运动时间为秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 为弘扬志愿服务精神，传承红色基因，杨家坪中学的志愿者们积极行动，通过清理社区周边垃圾、宣讲环保知识，将红岩精神融入实践．如图，是某社区的平面勘测图，在的北偏东方向，千米，在的正东方向，千米，在的东南方向，且在的正东方向．（参考数据：，） （1）求的长度；（结果保留小数点后一位） （2）小皆和小能作为志愿者，同时从地出发，小皆沿路线前往地，小能沿路线前往地，已知小皆与小能的速度之比为，出发0.6小时后小皆在由到的途中恰好位于小能的西北方向．求小皆从地出发多少时间后到达地（结果保留小数点后一位）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，B，交轴于点，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点为轴上的动点，在的下方，满足，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在（2）当取得最大值的条件下，点为新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的横坐标． 25. 在中，，点D在直线上． （1）如图1，连接，，点E为边上一点，点F为中点，连接，．若，求证：； （2）如图2，点E在射线上，点F是平面内一点，满足，且，连接，点G在线段上，连接，，证明：． （3）如图3，，连接，取中点M，连接，．点P是直线上一点，点Q是直线上一点，连接，．若，当取得最大值时，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市江津区大桥学校2025－2026学年九年级下学期 第二次模拟测试数学试题 （全卷共三个大题，满分：150分 测试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号内． 1. 5的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数是． 2. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．根据从正面看的图形是主视图即可求解． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：A． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查必然事件，关键是理解必然事件就是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A、旭日东升是必然事件，正确； B、守株待兔是随机事件，不符合题意； C、大海捞针是随机事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积． 【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为， ∴投影三角形的面积为． 故选：B． 7. 估算的值在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式的混合运算得出，再估算出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值在7和8之间． 8. 如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和，根据周角的定义可求正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和，再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即可求解． 【详解】解：∵正八边形的内角和为（8-2）×180°=6×180°=1080°， 正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8-1080°=2880°-1080°=1800°， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求，属于基础题． 9. 如图，正方形，边长为9，点E在边上，，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得，点G在边上，点H在线段上，，求的面积为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形性质和折叠性质，利用勾股定理求出的长，过点 作于，进而求出 的面积和边的长；连接交于点，连接 ， 交于点，证明，推出重合，再证明，结合相似三角形性质得到的长，最后利用面积公式求解即可． 【详解】解： 四边形  是正方形，边长为 ，  ，  ， ， 在 中，， 由折叠性质可知： ，   ， 在中， ，  ， 设，则 ， 在中，，即， 解得， ， 过点 作于， 则  ，  ， 在 中，，  ， 连接交于点，连接， 交于点， 由折叠性质可知，于点， ，即 ，  ， ， ， ，即重合， ， ， ，  ，  ． 10. 关于x的n次多项式，其中n，均为正整数，，…，均为整数，且，．下列说法： ①若，，则符合条件的整式有且仅有1个； ②若，则多项式M可以为二次三项式； ③若二次三项式且，则满足条件的所有整式的和为； ④若，，则满足条件的多项式M共有33个． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】依次判断四个说法，根据题目条件分类讨论，验证每个说法是否正确，统计正确个数． 【详解】已知条件：，为正整数，均为整数，为所有系数的乘积． ① 当，时，，满足，为正整数． 整数乘积为仅存在和两种情况，仅符合正整数要求，此时，但要求，不成立，因此没有符合条件的整式，①错误． ② 若，取，，，满足，乘积，是二次三项式，因此可以为二次三项式，②正确． ③ 若二次三项式，即，所有符合条件的多项式为： ，，，，． 求和得：，③错误． ④ 若，，分类计数： ：，，且，为正整数，为整数，∴，；，；，；，；共个符合条件； ：，，且，为正整数，、为整数，∴，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；共个符合条件； ：，，且，为正整数，、、为整数，∴，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；已找到个符合条件，总个数超过，因此④错误． 综上，只有个说法正确． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 若，则式子的值是____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键． 通过已知条件，将代数式变形后代入求值． 【详解】解：由，得， 所以． 故答案为：5． 12. 如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握相关知识并运用转化思想是关键． 矩形的对角线互相平分且相等，因此，的周长等同于． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 的周长为． 故答案为：． 13. 在重庆市体质健康比赛中，需从某校体育老师中随机抽取名担任裁判．已知该校有名男体育老师和名女体育老师，则恰好抽中名男体育老师和名女体育老师的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定恰好抽中名男体育老师和名女体育老师的结果数，利用概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：记名男体育老师分别为男，男，名女体育老师分别为女，女， 从名老师中随机抽取名，所有等可能的结果为： ，，，，，，共种等可能结果， 其中恰好抽中名男体育老师和名女体育老师的结果有种， 则恰好抽中名男体育老师和名女体育老师的概率是． 14. 若实数，同时满足，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得，，即可得出、的取值范围，将化简得，进一步可得关于的方程，进而可解得，，最后代入表达式计算即可． 【详解】解：实数，同时满足，， ，， 解得，，， ，即， 故将代入得，， 即． 当时，，故舍去； 当时，，解得，， 将代入得，， ． 15. 如图，在以为直径的圆O上，以弦为边作，边与圆O相切于点A，边分别与，圆O交于点E，H，连接分别交，圆O于点K，F，连接，，若，，，则圆O的直径的长度为______，的长度为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，，由切线的性质可得，求出，由正切的定义可得，结合勾股定理计算得出，，连接，设，则，再结合勾股定理计算得出，从而得出圆O的直径的长度为，即，连接，证明为等腰直角三角形，得出，，求出，作于，则为等腰直角三角形，从而可得，，作于，则为等腰直角三角形，，证明，得出，设，则，，结合勾股定理求出，，则，作于点，则为等腰直角三角形，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵边与圆O相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 如图，连接 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴圆O的直径的长度为，即， 连接， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， 作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴，， ∴， ∵， ∴， 作于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 16. 对于一个四位数，若千位数字与个位数字的和为4，且百位数字与十位数字的差为4，则称为“巳巳如意数”．例如：因为“3621”满足“”和“”所以3621为“巳巳如意数”．最小的“巳巳如意数”是______．已知为“巳巳如意数”，将的前两位数字记为；将的后两位数字记为，若能被7整除，且为完全平方数，则满足条件的的值为______． 【答案】 ①. 1403 ②. 3731 【解析】 【分析】根据“巳巳如意数”的定义，可得，，其中，且均为整数，第一问求最小四位数，优先让高位数字取最小值即可求解；第二问先表示出，结合其为完全平方数，再根据能被整除，枚举验证即可得到结果． 【详解】解：由题意，对于四位数，满足，，，，为整数， 要使四位数最小，需千位最小，最小为，此时． 再使百位最小，由得，故最小为，此时． 因此最小的“巳巳如意数”为． 由题意，，， 代入，，得 ， ， ①当时，，当时，无满足条件的完全平方数，舍去； ②当时，， 当时，，是完全平方数， ，不能被7整除，不符合； 当时，，是完全平方数， ，不能被7整除，不符合； 其余的值无符合条件的完全平方数，舍去； ③当时，， 当时，，是完全平方数， ，不能被7整除，不符合； 当时，，是完全平方数， ，能被7整除，符合条件， 此时，， ∴． 当时，，是完全平方数， ，不能被7整除，不符合； 其余的值无符合条件的完全平方数，舍去； ④当时，，当时，无满足条件的完全平方数，舍去； 综上所述，满足条件的的值为． 三、解答题：（本大题共9个小题，17~18每小题8分，19~25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上． 17. 解不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得______， 解不等式②，得______， 在同一数轴上表示不等式①、②的解集： 所以，不等式组的解集为______． 【答案】；；； 【解析】 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一个数轴上表示不等式①、②的解集： 所以，不等式组的解集为． 18. 在学习了角平分线的性质后，小虹进行了拓展性探究．她发现，在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹） 已知：在四边形中，，，平分，平分． 求证：． 证明：∵平分，∴①．∵，∴． ∵，∴②． 在和中，，∴． ∴④． 同理可得：，∴． 【答案】解：如图直线为所求作的垂线， ； ；；； 【解析】 【分析】利用尺规作，即可完成作图，由证明，得到，同理可得，即可证明问题． 【详解】画图：略． 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可得：， ∴． 19. 重庆市某校组织全校学生参加了“筑牢舌尖防线”的食品安全知识科普竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩均不低于分，用表示，共分为三组：；；），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是： ． 九年级名学生的竞赛成绩在组的数据是： ． 八、九年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中____，____，____； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生科普知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次科普竞赛活动，请估计该校八、九年级参加此次科普竞赛活动成绩优秀（）的学生人数共是多少？ 【答案】（1） （2）八年级学生科普知识竞赛的成绩较好，理由见解析（答案不唯一） （3）名 【解析】 【分析】（）根据众数、中位数的定义可求出，用九年级竞赛成绩在组的人数除以总人数可求出的值； （）根据众数或中位数的意义分析比较即可求解； （）用样本估计总体的方法列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵八年级名学生的竞赛成绩中分出现的次数最多， ∴众数， 由扇形统计图可知，九年级名学生的竞赛成绩在组的人数为人， 又∵九年级名学生的竞赛成绩由低到高排列，中位数为第和第个数的平均数， ∴中位数 ， ∵九年级名学生的竞赛成绩在组的人数为， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级学生科普知识竞赛的成绩较好，理由如下：因为八年级学生科普知识竞赛的众数分大于九年级学生科普知识竞赛的众数分，所以八年级更好； 【小问3详解】 解： （名）， 答：估计该校八、九年级参加此次科普竞赛活动成绩优秀的学生人数共名． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为 【解析】 【分析】先运用分式的混合运算法则化简，再利用零次幂、负整数次幂求得x的值，然后将x的值代入求值即可． 【详解】解： ； ∵， ∴原式． 21. 跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高． （1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？ （2）甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？ 【答案】（1）安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名； （2）甲平均每秒跳绳个 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用； （1）设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，再建立方程求解即可； （2）设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则利用时间关系建立分式方程求解即可. 【小问1详解】 解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名， 由题可知：， 解得：， ∴（名）， 答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名； 【小问2详解】 解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：甲平均每秒跳绳个. 22. 如图，在正方形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动（点不与、重合），连接，；动点以每秒个单位长度的速度从点同时出发，沿方向匀速运动（点不与、重合），过点作交对角线于点．设运动时间为秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）；， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查函数的解析式及图象、性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，解一元二次不等式等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据正方形的性质，三角形的面积公式以及等腰直角三角形的判定与性质，分情况讨论即可； （2）根据、的函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出性质； （3）根据解一元二次不等式的步骤，进行计算即可． 【小问1详解】 解：在正方形中，， ，． 当时，即点在边上， 则， ； 当时，即点在边上， 则，， ， 综上，； 由题意得，，，， 故是等腰直角三角形， ， ． ， 自变量的取值范围是， 即，． 【小问2详解】 解：函数、的图象如图所示， 函数的性质：当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，最大值为8．（答案不唯一） 【小问3详解】 解：当时， ， ， 整理得，， 即， ，，乘积为负， 此不等式无解； 当时， ， ， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 23. 为弘扬志愿服务精神，传承红色基因，杨家坪中学的志愿者们积极行动，通过清理社区周边垃圾、宣讲环保知识，将红岩精神融入实践．如图，是某社区的平面勘测图，在的北偏东方向，千米，在的正东方向，千米，在的东南方向，且在的正东方向．（参考数据：，） （1）求的长度；（结果保留小数点后一位） （2）小皆和小能作为志愿者，同时从地出发，小皆沿路线前往地，小能沿路线前往地，已知小皆与小能的速度之比为，出发0.6小时后小皆在由到的途中恰好位于小能的西北方向．求小皆从地出发多少时间后到达地（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）2.5千米 （2）1.4小时 【解析】 【分析】（1）过B作于E，过C作于F，根据矩形判定与性质得出，，在中，解直角三角形求出、的长度，在中，解直角三角形求出，即可； （2）设出发0.6小时后小皆在由到的位置为M、小能的位置N，过M作于H，根据矩形的判定与性质得出，，在中，解直角三角形求出，设小皆的速度为，小能的速度为，根据列方程为，解出x的值，最后根据时间路程速度求解即可． 【小问1详解】 解：过B作于E，过C作于F， 则四边形是矩形， ∴，， 根据题意，得，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，，， 答：的长度约为2.5千米； 【小问2详解】 解：设出发0.6小时后小皆在由到的位置为M、小能的位置N， ∵M在N的西北方向，在的东南方向， ∴， 如图，过M作于H， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵小皆与小能的速度之比为， ∴设小皆的速度为，小能的速度为， ∴， 解得， ∴小皆从地出发到达地所需要的时间为（小时）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，B，交轴于点，且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点为轴上的动点，在的下方，满足，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在（2）当取得最大值的条件下，点为新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点B、C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作，交于点Q，过点O作，交于点N，求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，求出点，得出，证明，得出，求出，设，则，求出，得出，根据二次函数的最值，求出点P的坐标即可；作轴，在点P下方取，连接，取点B关于y轴的对称点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，根据轴对称可知：，得出，根据两点之间线段最短，得出当、E、三点在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可； （3）先求出新抛物线的解析式为：，作，点E在x轴正半轴上，过点E作于点F， 设，则，证明，得出，求出，证明，得出，即，求出直线的解析式为：，令，求出此时点H的横坐标；当与y轴的交点正好为关于x轴的对称点时，，此时点符合题意，求出直线的解析式为：，令，求出点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， ∴， ∴，， 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点P作，交于点Q，过点O作，交于点N，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 设，则， ， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴ ∴此时点P的坐标为； 作轴，在点P下方取，连接，取点B关于y轴的对称点，连接，如图所示： 则，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、E、三点在同一直线上时，最小，即最小， ∵为定值， ∴此时最小，且最小值为：． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 又∵，， ∴将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位，正好得出新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线的解析式为：， 根据解析（2）可知：当取得最大值时，， ∵， ∴轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴作，点E在x轴正半轴上，过点E作于点F，如图所示： 则， 设，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）； 当与y轴的交点正好为关于x轴的对称点时，，此时点符合题意， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）； 综上分析可知：点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论． 25. 在中，，点D在直线上． （1）如图1，连接，，点E为边上一点，点F为中点，连接，．若，求证：； （2）如图2，点E在射线上，点F是平面内一点，满足，且，连接，点G在线段上，连接，，证明：． （3）如图3，，连接，取中点M，连接，．点P是直线上一点，点Q是直线上一点，连接，．若，当取得最大值时，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：如图，连接，将绕点F顺时针旋转交射线于点G，使得， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点F为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接，，将绕点B逆时针旋转得，点H在上，连接，，过点H作交于点K， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点B，H，K三点共线，即为等腰的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，将绕点F顺时针旋转交射线于点G，使得，则，，而，故，即可证明； （2）连接，，将绕点B逆时针旋转得，点H在上，连接，，过点H作交于点K，证明，，得出为等腰的中线，再证明，利用解直角三角形得出线段之间的等量关系，即可得证； （3）延长至点J，使得，连接，取的外心O，连接，，，以为边构造等边，连接，，，将问题转化为“定弦定角”问题，则点A，J，B在以点O为圆心，为半径的圆上，可求，，证明，则点C在以点N为圆心，为半径的圆上，由，得到当点M，N，C三点共线时，取得最大值，过点M作的对称点，连接，，交于点T，延长交于点R，则，，，，通过倒角可得，由勾股定理得，，倒角可证明，设，则，由勾股定理得，，解得：，再由勾股定理得到，故，故，因此最小值为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至点J，使得，连接，取的外心O，连接，，，以为边构造等边，连接，，， ∵点M为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的外心， ∴点A，J，B在以点O为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点C在以点N为圆心，为半径的圆上， ∵， 如图，当点M，N，C三点共线时，取得最大值， 如图，过点M作的对称点，连接，，交于点T，延长交于点R，则，，，， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $