专题05 点线面位置关系（6大考点期末真题汇编，吉林内蒙古专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集吉林、内蒙古多地高一下期末试题，聚焦立体几何6大高频考点，覆盖概念辨析、空间角与距离计算及探索类问题，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|点线面位置关系概念、充分必要条件判断|基础概念辨析，如线面平行性质判断| |多选|12|平行垂直判定、空间角与距离|结合正方体、圆锥等模型，如异面直线成角计算| |填空|3|二面角正切值、异面直线成角余弦值|聚焦空间角量化计算| |解答题|15|平行垂直证明、翻折问题、体积与距离计算、探索类问题|综合考查逻辑推理与空间想象，如四棱锥中面面垂直证明、动点位置探索|

专题05 点线面位置关系 6大高频考点概览 考点01点线面位置关系概念 考点02平行与垂直 考点03线线角/线面角 考点04二面角 考点05点到面距离 考点06探索类问题 地 城 考点01 点线面位置关系概念 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知，，是不同的直线，，是不同的平面，则下面命题正确的是（   ） A．，，， B．，，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】通过举出反例可判断选项A，B，D；根据线面垂直的性质可判断选项C. 【详解】对于选项A： 当时，若，，，，则由面面平行的判定定理可得：， 当时，则，平行或相交，故选项A错误； 对于选项B： 当时，若，，，，则由线面垂直的判定定理可得：， 当时，则与相交或，故选项B错误； 对于选项C：因为，，所以， 又因为，所以，故选项C正确； 对于选项D： 当时，若，，，则由面面垂直的性质可得：， 当时，则或与相交，故选项D错误， 故选：C. 2．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行. 故选：A. 3．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 【答案】C 【分析】由推论1和基本事实3可以确定平面与平面有唯一的交线，由线面平行的性质定理可推导直线与交线平行，从而确定选项. 【详解】 解：由推论1可知：，则，，过与确定一平面β， 由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b， 因为直线a∥平面α，，，所以a∥b. 故选：C． 4．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）. A．若平面垂直同一个平面，则 B．若且，则 C．若平面不平行，则在平面内不存在平行于平面的直线 D．若，且，则与所成的角和与所成的角相等 【答案】D 【分析】由线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，两个平面垂直于同一个平面，则两个平面有可能相交，也可能平行，A错误； 对于B，两条直线垂直于同一个平面，则两条直线平行，B错误； 对于C，两个平面不平行，但一个平面不存在两条相交直线平行于另一个平面，但可以存在一条平行于平面的直线，C错误； 对于D，两条平行直线与同一平面所成角相等；若两平面平行，则两条平行直线与两个平行平面所成角相等，D正确. 故选：D. 5．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出以下结论：①若，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面、直线与直线、平面与平面，之间的位置关系逐项判断即可． 【详解】对于①，若，，，则或是异面直线，故①错误； 对于②，因为，记，在内作，所以， 因为，所以，又因为，所以，所以，故②正确；    对于③，若，，则，故③正确； 对于④，如图所示，，但，故④错误.    故选：B. 6．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断面面平行，逐个选项判断是否正确. 【详解】 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以A错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以D正确； 故选：D. 7．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 8．(24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，为异面直线，，，则 【答案】C 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，由，得，而，因此，C正确. 故选：C. 二、多选题 9．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（多选）在空间中，下面叙述正确的是（   ） A．若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补 B．若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补 C．若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补 D．若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补 【答案】AC 【分析】由等角定理及二面角的定义即可判断，BD选项举反例即可. 【详解】由等角定理可知：若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补，故A正确； 对于B，在正方体，的两边分别是和，的两边分别是和，，，满足两个角的两条边分别对应垂直，但是和既不相等也不互补，故B错误； 根据二面角的定义可知：若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补，故C正确； 对与D，在正方体，平面平面，平面平面， 二面角与二面角的两个半平面就是分别对应垂直的， 但是这两个二面角既不相等，也不互补，故D错误. 故选：AC 10．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)（多选）（多选）下列选项中，正确的是（　　） A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行 B．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行 C．如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行 D．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 【答案】BC 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】解：对于A，如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，故A不正确； 对于B，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行，故B正确； 对于C，如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行，故C正确； 对于D，如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或者相交，故D不正确. 故选：BC. 11．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)（多选）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BC 【分析】选项A，根据条件得到或，即可求解；选项B，由，，得到或，再由面面垂直的判定定理即可求解；选项C，由面面平行的性质，即可求解；选项D，在正方体中，通过特例，即可求解. 【详解】对于选项A，若，，则或，所以选项A错误； 对于选项B，若，，则或，又，则，所以选项B正确； 对于选项C，若，，则，所以选项C正确； 对于选项D，在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，但，所以选项D错误. 故选：BC. 12．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（多选）是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【分析】运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断A；运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断B；运用面面平行的性质定理，即可判断C；由平行的传递性及线面角的定义，即可判断D． 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误：如图， 不妨设为直线m，为直线n， 所在的平面为，所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A错误； 对于B，设过直线的某平面与平面相交于直线，则， 由知，从而，故B正确； 对于C，如果，则，故C正确； 对于D，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，故D正确. 故选：BCD. 地 城 考点02 平行与垂直 一、多选题 1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)（多选）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，则（   ） A．直线与是相交直线 B．直线与所成的角是 C．直线平面 D． 【答案】BCD 【分析】选项A，判断两条直线是否相交需判断它们是否共面且不平行；选项B，通过平移直线，找出异面直线所成角，再利用解三角形的知识求解；选项C，利用线面平行的判定定理来判断直线与平面是否平行；选项D，利用线面垂直性质判断. 【详解】对于A，由于平面平面 故直线与是异面直线，故A错误； 对于B，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为 故直线与所成的角是，故B正确； 对于C，有前面可知平面平面，所以平面，C正确； 对于D，连接，因为， 所以，则，即， 又因为平面，平面，所以， 因为，所以面， 又因为面，所以，D正确. 故选：BCD. 2．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)（多选）如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（    ） A．存在某个位置，使得 B．平面 C．异面直线与所成的角的余弦值为 D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是 【答案】BCD 【分析】A选项，作出辅助线，假设⊥，证明出⊥平面，所以⊥，斜边，但，所以矛盾，A错误；B选项，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，在B基础上，异面直线与所成的角等于与所成的角，求出各边长，得到，C错误；D选项，当平面⊥平面时，三棱锥的体积最大，求出各边长，得到即为三棱锥的外接球的球心，半径为1，从而得到三棱锥的外接球的表面积，D正确. 【详解】A选项，连接，若⊥，而⊥，，平面， 所以⊥平面，因为平面，所以⊥， 所以是直角三角形，所以斜边， 因为，所以矛盾，所以不可能有，A错误； B选项，如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 又矩形中，为的中点， 故且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面，B正确； C选项，由B知，，故异面直线与所成的角等于与所成的角， 其中⊥，，，， 由勾股定理得， 所以，故异面直线与所成的角的余弦值为，C正确； D选项，当平面⊥平面时，三棱锥的体积最大， 取的中点，的中点，连接， 因为，所以⊥，且， 又平面 平面 ，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，由勾股定理得， 又，所以， 由勾股定理逆定理得，故， 其中，所以， 故即为三棱锥的外接球的球心，半径为1， 三棱锥的外接球的表面积是，D正确. 故选：BCD 二、解答题 3．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若点是棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）利用线面垂直性质以及菱形性质可得,，根据线面垂直判定定理即可得出平面；； （2）依题意可得四边形为平行四边形，利用线面平行判定定理即可证明平面． 【详解】（1）由平面，平面，所以， 又因为底面为菱形，所以， 易知，平面， 所以平面； （2）连接，，如下图所示： 由底面为菱形可得，且， 又因为为的中点，点是棱的中点，所以可得，且， 所以可知四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 4．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使.    (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，中点，连接，，，由已知条件推导出平面，所以，，由此能证明平面平面. （2）由已知求出直角梯形的面积，再求出高，代入棱锥体积公式求解. 【详解】（1）证明：取的中点，中点，连接，，，    又，∴，∵，∴， 又∵，∴， 又，平面，∴平面， 平面，则， ∵，为中点，， 而与不平行，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； （2）由（1）知，平面，在直角梯形中，过作，垂足为， 则为矩形，∵，，， ，在中，，得到的距离， 则四边形的面积， 在中，，求得，则为等边三角形， 可得，即. ∴. 5．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)如图所示，四边形为菱形，，，将沿折起（折起后到的位置），设，点是线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得，再利用线面平行的判定定理，即可求解； （2）根据条件得到，，利用线面垂直的判定，得平面，再利用面面垂直的判定，即可求解； （3）过点P作，根据条件得面，再求出及，利用，即可求解. 【详解】（1）连接， ∵分别是，的中点，∴， 又∵平面， ，∴面. （2）连接， 在菱形中，，所以和是等边三角形， ∴，， 又，面，所以平面， 又面，所以平面平面. （3）过点P作， 由（2）知，平面，又面，∴， 又，面，所以面， ∵，，所以， 又，所以三角形为等边三角形，∴， 又， 故三棱锥的体积. 地 城 考点03 线线角/线面角 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体性质可将平移到与相交，再由其棱长关系即可求得其余弦值为，说明即可得解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形， 即， 所以异面直线与所成的角的平面角即为， 不妨设正方体棱长为，易知； 取的中点为，连接，易知， 所以， 由正方体性质可知，，所以四边形是平行四边形， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 2．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由体积和底面积，可求出顶点 到底面 的垂直高度 ，进而由直线与平面所成角的正弦值等于该直线与平面内某条直线(投影)形成的直角三角形中，计算即可求得结果. 【详解】 是边长为2的正三角形，其面积为： 因为三棱锥的体积为1 和底面积 ， 得：解得： 设直线 与平面 所成角为，所以 故选：C 3．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，则可得为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，然后由题意可得DE，从而在中求解即可 【详解】解：连接，则，故为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，连接，则，因为E为的中点，故DE，在中， 因为，而，所以在中，，故， 故选：C． 二、多选题 4．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)（多选）如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（    ）    A．圆锥的母线长为 B．圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 C．当三棱锥的体积最大时， D．若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用圆锥的结构特征，结合线面角、异面直线的夹角求解. 【详解】对于A，圆锥的母线长为，A正确； 对于B，平面，则母线与底面所成的角等于，，B错误； 对于C，平面平面，且交线为，则点在平面上的射影在线段上， 当是弧中点，即时，点到平面的距离最大，而面积为定值， 此时三棱锥的体积最大，反之亦然，C正确； 对于D，当时，，连接并延长交圆于，连接，， 有，则，是异面直线与所成角或其补角， ，，，，D正确. 故选：ACD    5．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)（多选）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角的正弦值为 B． 平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 【答案】ABD 【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，利用平面的性质判断C，作出截面利用菱形的定义判断D. 【详解】对于A，如图所示， 取的中点，连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 故或其补角即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为， 在中，，所以， 即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确； 对于B，由选项A可知，，平面，平面， 所以 平面，故B正确； 对于C，如图所示， 连接，因为，，所以，所以四点共面， 所以直线与直线共面，故C错误； 对于D，如图所示， 取的中点，连接，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，同理，所以， 所以四边形为平行四边形， 则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形， 又，所以四边形为菱形，故D正确， 故选：ABD 三、填空题 6．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】/ 【分析】由题意将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，从而可得则为直线与所成角或其补角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，如图， 连接，，，易知，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以则为直线与所成角或其补角， 设正方体边长为， 则，，， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 7．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 【答案】/ 【分析】将直线平移至，则线面角被转化为（或其补角），进而在等腰中求即可. 【详解】如图，过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，，易知为的中点， 设正方形的边长为2，则，所以， 则， 因为，所以异面直线与所成的角即为（或其补角）， 在等腰中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 四、解答题 8．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直得出，再应用线面垂直判定定理得出线面垂直，最后面面垂直判定定理证明即可； （2）应用异面直线所成角的定义求出为异面直线与所成角，再结合边长计算求解. 【详解】（1）证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）连接，由（1）知，平面， 又平面，， 又为的中点，． 为异面直线与所成角， 在中，， 在中，，，． 又， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 9．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）点在平面上的射影恰好落在上，推导出，从而平面，进而，由此能证明平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为，结合边长即可计算求解． 【详解】（1）点在平面上的射影恰好落在上， 则平面，平面，所以． 因为四边形是矩形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，，平面， 所以平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为， 在矩形中，，， 因为平面，平面，所以 在中，因为，， ，所以， 所以直线与平面所成的角． 10．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)如图，在正方体中，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判断，结合三角形中位线性质推理得证. （2）连接，连接，利用几何法求出线面角. 【详解】（1）在正方体中，连接，由为的中点，得为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. （2）连接，连接，由平面，平面， 得，而，平面， 因此平面，是直线与平面所成的角， 在中，，又，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 11．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）首先证明，再利用线面平行的判定即可； （2）利用勾股定理的逆定理得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）合理作出辅助线，求出点到平面的距离为，再求出两极限位置的最值即可. 【详解】（1）分别为的中点，． 平面平面平面． （2）如图，连接．易得. ， . 平面平面， 平面. （3）将直三棱柱补成直四棱柱， ，设的中点分别为，，连接， 设与的交点为． ， 四边形是平行四边形，． ，即，，，四点共面． ， 四边形是平行四边形，． 由（2）可知平面平面， 由，得，即点到平面的距离为， 当点在的三边上运动时， ， 易得， 当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为， 此时取得最小值，最小值为．如图，过作，垂足为。 易得， 则， . 当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为． 故的取值范围为． 地 城 考点04 二面角 一、填空题 1．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为____________. 【答案】 【分析】由二面角的平面角定义作出所求角，解三角形，即可求得答案. 【详解】在正方形中，连接交于O点，连接， 则，即，又平面，平面， 故，而平面， 故平面，平面，则， 即得为二面角的平面角， 设正方体的棱长为2， 则， 故， 即二面角的正切值为， 故答案为： 二、解答题 2．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求四棱锥外接球的表面积； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）连接，得，由线面平行的判定定理得证； （2）（i）由题易求，可得四棱锥外接球的球心为的中点，运算得解；（ii）作交的延长线于点，连接，可证，为平面与平面的夹角，运算得解. 【详解】（1）连接，因为四边形为矩形，所以点为的中点． 又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面． （2）底面，为在底面内的射影， 直线与平面所成角为， 则，所以， 在中，可得，在中，可得． （i）设四棱锥外接球的半径为，则四棱锥外接球即其所在长方体的外接球， 所以其球心为的中点，所以，故其外接球的表面积为. （ii）作交的延长线于点，连接， 平面，平面． ，，， 则平面，平面，故， 又，与相交，则平面，平面，故， 所以为平面与平面的夹角， 在中，，，则，，所以， 在中，可得． 在中，可得，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 3．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题干数据结合勾股定理可得，根据正方形可推出线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理证明； （2）先作出二面角的平面角，然后由题干条件求解. 【详解】（1）设，则，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是， 由，即，则，显然， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面. （2） 作垂足为，作，垂足为，连接， 平面平面，，平面，平面平面， 于是平面，由平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则，又， 则为平面与平面所成角， 由， 则 4．(24-25高一下·吉林长春十一高中·期末)如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 因为，所以，则，，即， 又因为，平面，所以平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 因为平面，直线与平面所成的角为 所以，即， 因为，，所以，是等腰直角三角形， 可得，所以，即为等边三角形， 则点为中点，， 在中，，在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 5．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小. （2）判断二面角的平面角，并求得角的大小. 【详解】（1）在正方体中，连接， 由于，所以是异面直线与所成的角， 由于三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，， 所以是二面角的平面角， 根据正方体的性质可知， 所以二面角的大小为. 6．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝2，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）． (1)证明：EF⊥平面ABE； (2)求二面角D﹣BF﹣E的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理即可求证； （2）在平面AEFD中，过D作DG⊥EF交EF于G，在平面DBF中，过D作DH⊥BF交BF于H，连接GH，可得二面角D﹣BF﹣E的平面角∠DHG，计算∠DHG的余弦值即可. 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故DA⊥AB，BC⊥AB， 因为EF∥BC，故EF⊥AB． 所以在折叠后的几何体中，有EF⊥AE，EF⊥BE， 而AE∩BE＝E，故EF⊥平面ABE． （2）解：如图，在平面AEFD中，过D作DG⊥EF交EF于G． 在平面DBF中，过D作DH⊥BF交BF于H，连接GH． 因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DG⊂平面AEFD，故DG⊥平面EBCF， 因为BF⊂平面EBCF，故DG⊥BF，而DG∩DH＝D， 故BF⊥平面DGH，又GH⊂平面DGH，故GH⊥BF， 所以∠DHG为二面角D﹣BF﹣E的平面角， 在平面AEFD中，因为AE⊥EF，DG⊥EF， 故AE∥DG， 又在直角梯形ABCD中，EF∥BC且EF＝（BC+AD）＝3， 故EF∥AD，故四边形AEGD为平行四边形， 故DG＝AE＝2，GF＝1， 在Rt△BEF中，， 因为∠BFE为三角形的内角， 故，故， 故， 因为∠DHG为三角形的内角， 故． 所以二面角D﹣BF﹣E的平面角的余弦值为． 7．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)如图（1），在矩形中，，，点为的中点，为线段上一动点.过点作于点的延长线交于点. (1)求的取值范围（只需写出结果，无需推理过程）； (2)现将沿折起，使得平面平面. （i）当点为线段的中点时，求二面角平面角的余弦值； （ii）设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）令，则，即可求解； （2）（i）连接，由已知得，面，即，即证面，即二面角的平面角，在中计算即可； （ii）连接，由面，得直线与平面所成角为有，令，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）若令，则，所以， 当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以，所以； （2） （i）连接，由已知得，面，故① 又平面平面，平面平面，， 所以平面平面，所以②， 由①、②及与相交，得面， 则二面角的平面角， 由（1）知，， 所以， 当点为线段的中点时，由，则， 故， 即二面角的平面角的余弦值为. （ii）连接，由面，知直线与平面所成角为 则， 令，则 由，且得，. 当且仅当，即时，取到最大值. 地 城 考点05 点到面距离 一、多选题 1．(24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（    ） A．EF与垂直 B．平面ABCD C．异面直线与所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据，但AC与不垂直，即可判断A，根据线面平行的判定即可求解B，根据线线平行可得就是异面直线与所成的角或其补角，利用三角形的边角关系即可求解C，根据线面平行，结合等体积法即可求解D. 【详解】对A：连接，，则交于， 又为中点，可得，即，但AC与不垂直，故A错误； 对B：由，平面，平面，故平面；故B正确. 对C：由于，故就是异面直线与所成的角或其补角， 由正方体可知，即为等边三角形， 故，即异面直线与所成的角为，故C正确； 对D：由于，平面，平面，故平面， 所以点E到平面的距离等于点A到平面的距离，设为d， 由体积法可知，，故D正确. 故选：BCD. 二、解答题 2．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 3．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用条件证明四边形是正方形，继而可由与证得平面； （2）先利用条件求出的长，推得，从而得到的面积，再根据等体积即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）    如图，连接，因点为的中点，且， 则可得，易知四边形是正方形，则， 因平面，平面，故， 又平面，故平面. （2）在中，， 在中，， 又，因，则， 则的面积为，又的面积为， 设点到平面的距离为，则由可得， 则，即点到平面的距离为. 4．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 地 城 考点06 探索类问题 一、多选题 1．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)（多选）已知正方体的棱长为，点E，F是棱，的中点，点M在侧面内运动（包括边界），且与平面成角的正切值为，下列说法正确的是（    ）． A．的最小值为 B．不存在点M，使得 C．不存在点M，使得∥平面 D．所有满足条件的动线段形成的曲面面积为 【答案】ABD 【分析】利用线面角确定点的轨迹为圆弧，由圆的性质确定的最小值判断A，根据线面垂直的判定与性质用反证法判断B，证明平面∥平面，利用面面平行的性质判定C，结合扇形面积公式，求出曲面面积判断D. 【详解】由题知，在正方体中，平面， 所以，为与面所成角，且， 因为正方体的棱长为，与面所成角的正切值为， 所以，解得， 所以，点M的轨迹为以D点为圆心，2为半径的圆在侧面内的弧，如图． 此时． 对于A选项，有，当且仅当M，，D三点共线时等号成立， 故的最小值为，正确； 对于B选项，因为平面，平面，所以， 假设存在点M，使得，则，平面， 由于平面，故有， 另一方面，在侧面中，取棱的中点N， 由点E是棱的中点，进而结合平面几何知识易得， 故要使，则点N与点M重合， 由于，，显然不重合，故B正确； 对于C选项，如图，设，则易知O为中点，连接，，， 因为点E，F是棱，的中点， 所以，在中，∥，∥，， 所以，四边形为平行四边形，即∥， 因为，平面，，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，所以平面∥平面， 所以，当M为与弧的交点时，平面， 故∥平面，C错误； 对于D选项，由题知，所有满足条件的动线段形成的曲面是以A为顶点，D点为底面圆心，底面半径为2的圆锥的部分侧面， 所以，其所在的圆锥的母线长为， 因为，，， 所以，， 所以，弧的长为， 所以，结合扇形面积公式，所有满足条件的动线段形成的曲面面积为 ，故D正确． 故选：ABD. 2．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)（多选）如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（   ） A．在点运动过程中，直线与始终为异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与直线所成的角为定值 D．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 【答案】ABC 【分析】结合异面直线的定义，可判定A准确；根据三棱锥的体积，可判定B正确；根据线面垂直的性质，可判定C正确；根据线面平行的性质，可判定D不正确，即可得到答案. 【详解】对于A：由题意，在正方体中， 点在线段上运动，，平面，平面， 所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内， 所以直线与始终为异面直线，故A正确； 对于B：由三棱锥的体积，其中的面积为定值， 因为，平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：在正方体中，平面，因为平面， 所以，又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故C正确； 对于D：根据正方体的结构特征，可得， 又平面，平面，所以平面， 又由选项B的解析过程知平面，，平面， 所以平面平面， 所以当点与点重合时，平面平面， 即存在点，使得平面平面，故D错误. 故选：ABC 3．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则（    ） A．存在点使平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．三棱锥的体积是定值 D．经过四点的球的表面积 【答案】ACD 【分析】根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断A；先利用线面垂直的判定定理得平面，根据线面角的定义可知即为所求的线面角，在求解即可判断B；结合三棱锥体积公式判断C；易知经过四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D. 【详解】 连接，当是的中点时， 因为，所以． 因为平面，平面，所以平面，故A正确， 如图，在正方体中，连接， 设， 因为，分别是，的中点，所以， 根据正方体的性质可知平面，平面， 所以 ，又 ，，平面， 所以平面，所以平面， 所以为直线在平面的射影，所以即为所求的线面角， 在中，， 所以，故B错误， 因为为正方体，所以平面， 直线上的点到面的距离为，而， 所以是定值，故C正确， 设G，H分别为的中点， 则为长宽高分别为，，的长方体， 根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球， 所求球的直径满足：， 经过四点的球的表面积为，故D正确． 故选：ACD． 二、解答题 4．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设. (1)当 平面时，求实数的值； (2)当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，则为的中点，由线面平行的性质定理得 ，从而可得为的中点，进而得实数的值； （2）过点作于点，可证得平面平面，延长交于点，过点作交于点，过点作于点，则是平面与平面所成锐二面角的平面角，然后在中求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 因为平面平面， 平面，平面， 所以 ， 所以为的中点，即实数的值为； （2）在直三棱柱中，平面平面， 所以， 因为 ，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于点，因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 延长交于点，过点作交于点，过点作于点， 因为，所以， 因为，所以, 因为，所以∽， 所以，所以，得， 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是平面与平面所成锐二面角的平面角， 因为，且，，所以， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以， 因为，所以， 解得， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 5．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且. (1)求证：平面平面； (2)若、分别为线段、上的一点（端点除外），满足. ①求证：不论为何值，都有平面；②是否存在，使得为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②存在，. 【分析】（1）线面垂直的性质及已知有、，再由线面、面面垂直的判定即可证结论； （2）①由等比例的性质得，再由线面平行的判定即可证；②假设，由面面、线面垂直的性质定理得为直角三角形，再根据已知确定值，即可得结论. 【详解】（1）∵底面，底面， ∴. ∵， ∴. ∵，、平面， ∴平面， ∵， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2）①在中，，则， ∵平面，平面， ∴平面. ②当时，由（1）知平面平面， 且平面平面，平面， ∴平面，平面，则， ∴此时为直角三角形. 在中，故，则， 所以， ∴，故存在时为直角三角形. 6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，点是侧棱上一动点，且. (1)若平面，求值； (2)若平面与平面的夹角（锐二面角）的正切值为，求值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得到，进而说明为中点； （2）延长，与的延长线交于点，作出二面角的平面角，然后根据解三角的知识求解. 【详解】（1）如图，取的中点，连结，, 因为分别是、的中点，且，所以，, 因为平面，平面平面，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，故. （2）延长梯形的两腰交于，连， 因为平面，过作于，连， 则，所以是平面与平面的夹角， 所以，所以． 因为，所以，所以． 因为，所以，所以， 所以．在中，，由余弦定理，得 ， . 因为， 所以， 因为，化简整理得，解得， 且． 所以，． 7．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)靠近B的三等分点 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，结合垂直关系的转化，即可正面线面垂直； （2）根据（1）的结果，作出平面与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化，求得点到平面的距离，再根据比例关系，确定点的位置. 【详解】（1）取的中点，连结，则四边形是正方形，    则，，所以，且 所以,所以， 因为平面平面，平面平面，PA在面PAB内， 所以平面； （2）    在上取点，使，连结，在上取点，使， 在上取点，使，连结，则，且，则， 即，且， 则四边形是平行四边形，所以，且，即， 则，所以四点四点共面，连结， ，因为，所以点三点共线， 所以五点共面，即与平面交于点， 由（1）可知，平面，平面， 所以，且，，且平面， 所以平面，平面，所以， 且是等腰直角三角形，点为的中点， 所以，且，平面， 所以平面， , 所以， ，，， 所以，即， 因为，所以， 设点到平面的距离为，则， 即，所以， 因为点是的中点，所以点到平面的距离也是， 若点到平面的距离为，则, 所以存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分点. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 点线面位置关系 6大高频考点概览 考点01点线面位置关系概念 考点02平行与垂直 考点03线线角/线面角 考点04二面角 考点05点到面距离 考点06探索类问题 地 城 考点01 点线面位置关系概念 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知，，是不同的直线，，是不同的平面，则下面命题正确的是（   ） A．，，， B．，，， C．，， D．，， 2．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 4．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）. A．若平面垂直同一个平面，则 B．若且，则 C．若平面不平行，则在平面内不存在平行于平面的直线 D．若，且，则与所成的角和与所成的角相等 5．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出以下结论：①若，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．(24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，为异面直线，，，则 二、多选题 9．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（多选）在空间中，下面叙述正确的是（   ） A．若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补 B．若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补 C．若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补 D．若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补 10．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)（多选）（多选）下列选项中，正确的是（　　） A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行 B．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行 C．如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行 D．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 11．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)（多选）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 12．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（多选）是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等 地 城 考点02 平行与垂直 一、多选题 1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)（多选）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，则（   ） A．直线与是相交直线 B．直线与所成的角是 C．直线平面 D． 2．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)（多选）如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（    ） A．存在某个位置，使得 B．平面 C．异面直线与所成的角的余弦值为 D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是 二、解答题 3．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若点是棱的中点，求证：平面． 4．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使.    (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积. 5．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)如图所示，四边形为菱形，，，将沿折起（折起后到的位置），设，点是线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二棱锥的体积. 地 城 考点03 线线角/线面角 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 3．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)（多选）如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（    ）    A．圆锥的母线长为 B．圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 C．当三棱锥的体积最大时， D．若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为 5．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)（多选）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角的正弦值为 B． 平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 三、填空题 6．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 7．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 四、解答题 8．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 9．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 10．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)如图，在正方体中，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小. 11．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 地 城 考点04 二面角 一、填空题 1．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为____________. 二、解答题 2．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求四棱锥外接球的表面积； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 3．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 4．(24-25高一下·吉林长春十一高中·期末)如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 5．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 6．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝2，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）． (1)证明：EF⊥平面ABE； (2)求二面角D﹣BF﹣E的余弦值． 7．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)如图（1），在矩形中，，，点为的中点，为线段上一动点.过点作于点的延长线交于点. (1)求的取值范围（只需写出结果，无需推理过程）； (2)现将沿折起，使得平面平面. （i）当点为线段的中点时，求二面角平面角的余弦值； （ii）设直线与平面所成角为，求的最大值. 地 城 考点05 点到面距离 一、多选题 1．(24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（    ） A．EF与垂直 B．平面ABCD C．异面直线与所成的角为 D．点到平面的距离为 二、解答题 2．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 3．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 4．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 地 城 考点06 探索类问题 一、多选题 1．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)（多选）已知正方体的棱长为，点E，F是棱，的中点，点M在侧面内运动（包括边界），且与平面成角的正切值为，下列说法正确的是（    ）． A．的最小值为 B．不存在点M，使得 C．不存在点M，使得∥平面 D．所有满足条件的动线段形成的曲面面积为 2．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)（多选）如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（   ） A．在点运动过程中，直线与始终为异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与直线所成的角为定值 D．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 3．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则（    ） A．存在点使平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．三棱锥的体积是定值 D．经过四点的球的表面积 二、解答题 4．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设. (1)当 平面时，求实数的值； (2)当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 5．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且. (1)求证：平面平面； (2)若、分别为线段、上的一点（端点除外），满足. ①求证：不论为何值，都有平面；②是否存在，使得为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由. 6．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，点是侧棱上一动点，且. (1)若平面，求值； (2)若平面与平面的夹角（锐二面角）的正切值为，求值. 7．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 点线面位置关系 地 城 考点01 点线面位置关系概念 一、单选题 1．C. 2．A. 3．C． 4．D. 5．B. 6．D. 7．B 8．C 二、多选题 9．AC 10．BC 11．BC 12．BCD 地 城 考点02 平行与垂直 一、多选题 1．BCD 2．BCD 二、解答题 3．【详解】（1）由平面，平面，所以， 又因为底面为菱形，所以， 易知，平面， 所以平面； （2）连接，，如下图所示： 由底面为菱形可得，且， 又因为为的中点，点是棱的中点，所以可得，且， 所以可知四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 4．【详解】（1）证明：取的中点，中点，连接，，，    又，∴，∵，∴， 又∵，∴， 又，平面，∴平面， 平面，则， ∵，为中点，， 而与不平行，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； （2）由（1）知，平面，在直角梯形中，过作，垂足为， 则为矩形，∵，，， ，在中，，得到的距离， 则四边形的面积， 在中，，求得，则为等边三角形， 可得，即. ∴. 5．【详解】（1）连接， ∵分别是，的中点，∴， 又∵平面， ，∴面. （2）连接， 在菱形中，，所以和是等边三角形， ∴，， 又，面，所以平面， 又面，所以平面平面. （3）过点P作， 由（2）知，平面，又面，∴， 又，面，所以面， ∵，，所以， 又，所以三角形为等边三角形，∴， 又， 故三棱锥的体积. 地 城 考点03 线线角/线面角 一、单选题 1．B 2．C 3．C． 二、多选题 4．ACD 5．ABD 三、填空题 6．/ 7．/ 四、解答题 8．【详解】（1）证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）连接，由（1）知，平面， 又平面，， 又为的中点，． 为异面直线与所成角， 在中，， 在中，，，． 又， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 9．【详解】（1）点在平面上的射影恰好落在上， 则平面，平面，所以． 因为四边形是矩形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，，平面， 所以平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为， 在矩形中，，， 因为平面，平面，所以 在中，因为，， ，所以， 所以直线与平面所成的角． 10．【详解】（1）在正方体中，连接，由为的中点，得为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. （2）连接，连接，由平面，平面， 得，而，平面， 因此平面，是直线与平面所成的角， 在中，，又，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 11．【详解】（1）分别为的中点，． 平面平面平面． （2）如图，连接．易得. ， . 平面平面， 平面. （3）将直三棱柱补成直四棱柱， ，设的中点分别为，，连接， 设与的交点为． ， 四边形是平行四边形，． ，即，，，四点共面． ， 四边形是平行四边形，． 由（2）可知平面平面， 由，得，即点到平面的距离为， 当点在的三边上运动时， ， 易得， 当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为， 此时取得最小值，最小值为．如图，过作，垂足为。 易得， 则， . 当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为． 故的取值范围为． 地 城 考点04 二面角 一、填空题 1． 二、解答题 2．【详解】（1）连接，因为四边形为矩形，所以点为的中点． 又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面． （2）底面，为在底面内的射影， 直线与平面所成角为， 则，所以， 在中，可得，在中，可得． （i）设四棱锥外接球的半径为，则四棱锥外接球即其所在长方体的外接球， 所以其球心为的中点，所以，故其外接球的表面积为. （ii）作交的延长线于点，连接， 平面，平面． ，，， 则平面，平面，故， 又，与相交，则平面，平面，故， 所以为平面与平面的夹角， 在中，，，则，，所以， 在中，可得． 在中，可得，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 3．【详解】（1）设，则，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是， 由，即，则，显然， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面. （2） 作垂足为，作，垂足为，连接， 平面平面，，平面，平面平面， 于是平面，由平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则，又， 则为平面与平面所成角， 由， 则 4．【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 因为，所以，则，，即， 又因为，平面，所以平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 因为平面，直线与平面所成的角为 所以，即， 因为，，所以，是等腰直角三角形， 可得，所以，即为等边三角形， 则点为中点，， 在中，，在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 5．【详解】（1）在正方体中，连接， 由于，所以是异面直线与所成的角， 由于三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，， 所以是二面角的平面角， 根据正方体的性质可知， 所以二面角的大小为. 6．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故DA⊥AB，BC⊥AB， 因为EF∥BC，故EF⊥AB． 所以在折叠后的几何体中，有EF⊥AE，EF⊥BE， 而AE∩BE＝E，故EF⊥平面ABE． （2）解：如图，在平面AEFD中，过D作DG⊥EF交EF于G． 在平面DBF中，过D作DH⊥BF交BF于H，连接GH． 因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DG⊂平面AEFD，故DG⊥平面EBCF， 因为BF⊂平面EBCF，故DG⊥BF，而DG∩DH＝D， 故BF⊥平面DGH，又GH⊂平面DGH，故GH⊥BF， 所以∠DHG为二面角D﹣BF﹣E的平面角， 在平面AEFD中，因为AE⊥EF，DG⊥EF， 故AE∥DG， 又在直角梯形ABCD中，EF∥BC且EF＝（BC+AD）＝3， 故EF∥AD，故四边形AEGD为平行四边形， 故DG＝AE＝2，GF＝1， 在Rt△BEF中，， 因为∠BFE为三角形的内角， 故，故， 故， 因为∠DHG为三角形的内角， 故． 所以二面角D﹣BF﹣E的平面角的余弦值为． 7．【详解】（1）若令，则，所以， 当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以，所以； （2） （i）连接，由已知得，面，故① 又平面平面，平面平面，， 所以平面平面，所以②， 由①、②及与相交，得面， 则二面角的平面角， 由（1）知，， 所以， 当点为线段的中点时，由，则， 故， 即二面角的平面角的余弦值为. （ii）连接，由面，知直线与平面所成角为 则， 令，则 由，且得，. 当且仅当，即时，取到最大值. 地 城 考点05 点到面距离 一、多选题 1．BCD 二、解答题 2．【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 3．【详解】（1）    如图，连接，因点为的中点，且， 则可得，易知四边形是正方形，则， 因平面，平面，故， 又平面，故平面. （2）在中，， 在中，， 又，因，则， 则的面积为，又的面积为， 设点到平面的距离为，则由可得， 则，即点到平面的距离为. 4．【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 地 城 考点06 探索类问题 一、多选题 1．ABD 2．ABC 3．ACD 二、解答题 4．【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 因为平面平面， 平面，平面， 所以 ， 所以为的中点，即实数的值为； （2）在直三棱柱中，平面平面， 所以， 因为 ，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于点，因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 延长交于点，过点作交于点，过点作于点， 因为，所以， 因为，所以, 因为，所以∽， 所以，所以，得， 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是平面与平面所成锐二面角的平面角， 因为，且，，所以， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以， 因为，所以， 解得， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 5．【详解】（1）∵底面，底面， ∴. ∵， ∴. ∵，、平面， ∴平面， ∵， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2）①在中，，则， ∵平面，平面， ∴平面. ②当时，由（1）知平面平面， 且平面平面，平面， ∴平面，平面，则， ∴此时为直角三角形. 在中，故，则， 所以， ∴，故存在时为直角三角形. 6．【详解】（1）如图，取的中点，连结，, 因为分别是、的中点，且，所以，, 因为平面，平面平面，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，故. （2）延长梯形的两腰交于，连， 因为平面，过作于，连， 则，所以是平面与平面的夹角， 所以，所以． 因为，所以，所以． 因为，所以，所以， 所以．在中，，由余弦定理，得 ， . 因为， 所以， 因为，化简整理得，解得， 且． 所以，． 7．【详解】（1）取的中点，连结，则四边形是正方形，    则，，所以，且 所以,所以， 因为平面平面，平面平面，PA在面PAB内， 所以平面； （2）    在上取点，使，连结，在上取点，使， 在上取点，使，连结，则，且，则， 即，且， 则四边形是平行四边形，所以，且，即， 则，所以四点四点共面，连结， ，因为，所以点三点共线， 所以五点共面，即与平面交于点， 由（1）可知，平面，平面， 所以，且，，且平面， 所以平面，平面，所以， 且是等腰直角三角形，点为的中点， 所以，且，平面， 所以平面， , 所以， ，，， 所以，即， 因为，所以， 设点到平面的距离为，则， 即，所以， 因为点是的中点，所以点到平面的距离也是， 若点到平面的距离为，则, 所以存在点，使得点到平面的距离为，点为靠近点的三等分点. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $