命题大赛 江西高二数学下学期阶段检测2025-2026学年（北师大版选必一+选必二）

**基本信息** 覆盖北师大版选必一、二核心内容，原创题（如解析几何动态切线问题、数列递推证明）突出数学思维与创新意识，解答题分层设计（如函数导数三问梯度）适配高二阶段能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数运算、正态分布、相关系数等|基础概念辨析，如第5题散点图与相关系数关联| |多选题|3题|概率统计性质、函数性质、解析几何（原创）|第11题圆与抛物线切线综合，考查空间观念| |填空题|3题|方差计算、等比数列求和、函数极值|第14题函数极值点条件，强化逻辑推理| |解答题|5题|数列递推（原创）、立体几何、概率统计、椭圆、函数导数|19题函数导数三问梯度设计，提升运算能力与创新意识|

江西高二数学下学期阶段检测（北师大版选必一+选必二）（答案及解析） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C A C C D AB BC 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】选项A，，故选项A错误； 选项B. ，故选项B正确； 选项C. ，故选项C正确；     选项D. ，故选项D正确. 2．D 【分析】利用二项展开式的通项公式，再令通项中的指数为0取得的值，最后代入计算求得常数项即可. 【详解】因为， 所以，， 因为常数项的次数为0，所以，解得， 代入得. 3．C 【详解】因为，则，故. 4．C 【分析】利用正态分布关于对称的性质，结合已知概率推导所求区间的概率. 【详解】因为随机变量，因此正态曲线的对称轴为， 由对称性可知，， 已知，可得， 对称性知， 所以. 5．A 【分析】直接根据散点图及相关系数的性质判断可得. 【详解】对四个散点图分析： 对选项A：散点明显呈上升趋势，且非常接近一条直线，因此样本数据有较强的相关关系且； 对选项B：散点呈下降趋势，且比较接近一条直线，所以，一定有​； 对选项C、D：散点分布非常分散，线性相关性极弱，​都接近，都小于. 因此相关系数最大的是. 6．C 【分析】结合已知条件可得，对于选项A，B，根据等差数列前项和公式，建立关于首项和公差的等式，对公差进行分类讨论；对于选项C，D，根据等比数列前项和公式，对分类讨论即可. 【详解】选项A、B，前项和公式：， 令得：，公差或，都能取到满足条件的，得到各项不全为零的数列，故A、B都可能. 选项C、D，设公比为，且， 若：，所有项为0，不符合； 若，由等比数列求和公式可得， 由，即，解得（舍去）或： 若：，满足条件， 例如，因此公比小于0的等比数列可能； 若公比：或，恒成立，即，不符合题意， 因此公比大于0的等比数列不可能. 7．C 【分析】构造函数，通过分析函数的单调性，结合已知条件判断的大小关系. 【详解】设公共值，定义函数,， 由于对正实数恒成立，因此是单调递增函数， 其中对应 的参数分别为， 当时： 代入得， 因此，故选项D成立， 当时： 此时所有，， 对相同的，参数越大，越小，需要更大的 才能让 ， 因此越大对应越大，由 ，得 ，故选项B成立， 当时： 此时所有 ，，对相同的，参数越大，越大， 需要更小的才能让，因此越大对应越小，由， 得 ，故选项A成立，综上，只有 不可能成立. 8．D 【分析】先把原不等式变形为，将问题转化为找一条直线恒位于函数上方，求的最小值，通过研究的单调性，发现当直线与在处相切时，横截距最大，对应最小，得到切线方程，再对比直线方程，即可得解. 【详解】任意，恒成立， 恒成立，即. 令，直线，为直线的横截距， ，在上单调递增，在上单调递减，且， 时，；时，， ∴当直线与在处相切时横截距最大，有最小值，此时，， 即此时. 下证： 令，则，, 在上为正数，在上负数， 所以即在上单调递增，上单调递减， 因为，， 时，；时，， 所以在上为负数，在上为正数， 在单调递减：上单调递增，. 综上所述，当最小时，，此时. 9．AB 【详解】选项A：根据方差的运算性质，对任意常数，有， 本题中，因此，A正确． 选项B：样本相关系数的绝对值常用来度量两个随机变量线性的相关程度，其绝对值越接近1，表示线性相关程度越强，B正确． 选项C：经验回归直线一定经过样本中心点，但不一定经过其中的样本数据点，C错误． 选项D：由条件概率性质，，因此，D错误． 10．BC 【详解】对于A，，A错误； 对于B，令，则，故B正确； 对于C，，，所以，C正确； 对于D，， 令，则，D错误. 11．ABD 【分析】抛物线与圆的综合，阿基米德三角形，考查学生对于解析几何的综合运用及运算素养 【详解】设，，抛物线方程可化为，则，故当时， ，当时，，即， 因此， ，整理得，同理得 因为为和的交点，所以，即， 在直线上，故，所以直线过点，B正确 联立得，所以，，故， 所以轴，A正确 ，到的距离为，所以 C错误，D正确 12．5 【详解】因为数据1，2，3，4，a的平均数为 则, 解得或， ， ． 13．90 【分析】根据等比数列关于片段和的性质求解即得. 【详解】在等比数列中，为其前项的和， 则也成等比数列， 又因，， 则成等比数列，且公比为2， 则，解得, 故 解得. 14．1 【详解】函数的定义域为且函数没有极值点，即函数是单调函数， 所以函数至多有一个零点， 令，则或或， ∴，即， ∴. 15．（1）； （2）详见解析 【分析】（1）数列通项的求法，取对法，构造法； （2）数列前n项和的求法，裂项相消法求数列的前n项和. 【详解】（1）因为，所以， (1分) 所以， (2分) 又，所以数列是以1为首项， 2为公比的等比数列 (3分) 所以，即 (4分) 故 (5分) （2）由（1）知，，所以，所以 (6分) 所以 (8分) 所以 (11分) 因为 在上单调递增， 所以 (13分) 16．(1)已知，为中点，可得， 又平面，平面，故， 分别为中点，三棱柱中，故， 又，平面，平面. (2) (3) 【分析】（1）由及为中点，利用等腰三角形“三线合一”得；结合平面及，得到，从而由线面垂直判定定理证得平面； （2）以平面为基础，构造出二面角的平面角；利用已知边长、、，通过勾股定理与面积公式求出与，进而得到余弦值； （3）将点到平面的距离转化为三棱锥的高，利用等体积法建立方程；结合、及，计算得到所求距离. 【详解】（1）已知，为中点，可得， 又平面，平面，故， 分别为中点，三棱柱中，故， (3分) 又，平面，平面. (4分) （2）由(1)可得平面，平面，故， 过作于，连接，因为，平面， 所以平面，又平面，故， 故即为二面角的平面角， 是中点，，则，； 且，， 故， ，得， 因为平面，又平面，故， 在中：， (7分) 故，即二面角的余弦值为. (9分) （3）三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，即：， 由平面，得：， 计算的面积：，，， 为等腰三角形，底边上的高， 因此：， (13分) 设点到平面的距离为，由得：， 解得，即点到平面的距离为. (15分) 17．(1) (2) 0 2 4 6 8 ， 【分析】（1）根据概率乘法公式求解即可； （2）利用二项分布概率公式求概率分布，结合期望和方差的性质计算可得. 【详解】（1）记“学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯”， 则. (4分) （2）记为遇到红灯数，则服从二项分布， (5分) ，， (7分) ，， (9分) ， (10分) ，所以的分布列为： 0 2 4 6 8 (11分) ，， (13分) ，. (15分) 18．(1) (2) (3)直线过定点 【分析】（1）由离心率和，求得即可求解； （2）法一：通过直线和直线关于直线对称，确定直线的方程，再联立椭圆方程求得坐标，最后由列出等式求解即可；法二，设：，联立椭圆方程求得坐标，再由求得，再由，列出等式求解即可； （3）设，，：，联立椭圆方程，得到，再通过点在椭圆上，代入椭圆方程通过作差法得到，结合，得到，由斜率公式和韦达定理列出等式，即可证明. 【详解】（1）由题意， (1分) 又，代入解得：， (3分) 故椭圆方程为： (4分) （2） 法一、因为直线和直线关于直线对称，且直线的斜率为，所以， 设直线：，， 则， 整理得， (6分) 即． 因为，化简得， 由韦达定理得，，， 所以，代入直线：，得， 所以．  (8分) 因为点是直线与直线的交点，且直线和直线关于直线对称， 所以点到直线和直线的距离相等， 所以 ， 由，解得， 又点在椭圆上，所以， 解得，又，所以， 即点的坐标是．   (10分) 法二、设：，联立得，整理得， 由韦达定理得，， 因为直线和直线关于直线对称，所以， 即，整理得， 解得， 所以，：， 联立椭圆方程得， 整理得，即， 由韦达定理得，所以， 代入设直线：，得，所以，． 因为到的距离即为到直线的距离， 所以， 由，解得， 又点在椭圆上，所以， 解得，又，所以 即点的坐标是． （3）设，，：， 联立得，整理得， 由韦达定理得，， (12分) 由（2）知，， 则，所以， 变形得，所以． 因为，所以， 所以，整理得， 代入韦达定理，整理得， 即， 所以或， (15分) 当时，直线：，过定点（舍去）； 当时，直线：，过定点． 所以，直线过定点．  (17分) 19．(1)； (2)3； (3). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）对给定不等式分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最小值即可. （3）利用极值点的意义求出，再构造函数并利用导数求出值域即可. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， (2分) 所以函数的图象在处的切线方程为，即. (4分) （2）对任意的，不等式恒成立， 令函数，求导得， (6分) 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以整数的最大值是3. (10分) （3）函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不等的正根， 则，即，且， (13分) ，令函数， 求导得，函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. (17分) 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 江西高二数学下学期阶段检测（北师大版选必一+选必二）细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 基本初等函数的导数公式 0.85 2 单选题 5 求二项展开式的第k项、求指定项的系数 0.85 3 单选题 5 求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 0.85 4 单选题 5 正态曲线的性质、指定区间的概率 0.75 5 单选题 5 根据散点图判断是否线性相关、相关系数的意义及辨析、判断正、负相关 0.85 6 单选题 5 等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 0.62 7 单选题 5 对数函数单调性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 0.28 8 单选题 5 利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 0.32 9 多选题 6 相关系数的意义及辨析、计算条件概率 0.65 10 多选题 6 求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 0.65 11 多选题 6 抛物线与圆的综合 0.3 12 填空题 5 计算几个数据的极差、方差、标准差、根据方差、标准差求参数、根据平均数求参数 0.7 13 填空题 5 等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 0.7 14 填空题 5 根据极值点求参数 0.45 15 解答题 13 数列通项的求法，数列前n项和的求法 0.75 16 解答题 15 证明线面垂直、求二面角、点到平面距离的向量求法 0.48 17 解答题 15 独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、建立二项分布模型解决实际问题、二项分布的方差 0.72 18 解答题 17 椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程 0.32 19 解答题 17 利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 0.34 Sheet2 Sheet3 $ 江西高二数学下学期阶段检测（北师大版选必一+选必二） 一、单选题 1．以下求导运算错误的是（     ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，常数项为（ ） A．4 B． C．12 D． 3．函数，则（     ） A． B． C． D． 4．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 5．对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（     ） A． B． C． D． 6．已知各项不全为零的数列的前项和为，若，则不可能是（    ） A．公差大于的等差数列 B．公差小于的等差数列 C．公比大于的等比数列 D．公比小于的等比数列 7．若正实数满足，则下列大小关系中不可能成立的是（     ） A． B． C． D． 8．已知，若对任意，恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中正确的是（    ） A．若随机变量X，Y满足，则 B．两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近1 C．经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D．若事件M，N满足，，，则 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（原创）在平面直角坐标系中,为圆上的动点,过点作抛物线:的两条切线,,切点分别为,,为的中点.则下列结论正确的是（ ） A．轴 B．直线过点 C．面积的最小值为 D．面积的最大值为 三、填空题 12．已知一组数据1，2，3，4，a的方差为2，且，则__________． 13．等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 14．已知函数没有极值点，则______． 四、解答题 15．（原创）已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，数列的前项和为，证明： 16．如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 17．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟． （1）求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率． （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望和方差． 18．已知椭圆：的上顶点为，离心率为．过点的直线与交于点，点在第一象限，过点的直线与交于点．设点，直线和直线关于直线对称，直线与直线交于点． （1）求的方程； （2）若，求点的坐标； （3）设，是椭圆上的两点，在（2）的条件下，若直线的斜率为直线的斜率的2倍，求证：直线过定点． 19．已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求整数的最大值； （3）设有两个极值点，求的范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $