江西省南昌市三校（一中、十中、行知）2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试卷

· 江西省南昌市三校（一中，十中，行知）2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试卷 · 考试时长：120分钟 总分150分 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据真子集个数计算公式即可得到答案. 【详解】由题意得集合真子集的个数为. 故选：C. 2．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可． 【详解】对于A，令，，，，则，不满足，故A错误； 对于B，令，，，，则，不满足，故B错误； 对于C，当时，，不满足，故C错误； 对于D，因为，且，根据不等式性质，两边除以正数，不等号方向不变，故，故D正确． 故选：D． 3．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 4．已知，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可推出，故充分性成立； 由推得出，故必要性成立； 所以在， “”是“”的必要不充分条件. 故选：A 5．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式，求得集合A，再根据集合的交集运算，求得答案。 【详解】解不等式，则 或 ， 故或 ， 故， 故选：A 6．已知正数，满足，则的最大值是（   ） A．4 B．6 C．1 D．2 【答案】D 【分析】把所求式子展开,得,对利用基本不等式,然后代入即可求得最大值. 【详解】．因为,所以, 从而，当且仅当时,等号成立,所以的最大值是2． 故选:D 7．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知确定的区间单调性，进而得到或时，或时，即可求不等式的解集. 【详解】由，且，都有，则在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 由，则，且， 故或时，或时， 所以的解集为. 故选：D 8．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．命题“，”的否定形式是“” B．若，则 C．若函数，则 D．若函数的定义域是，则函数的定义域为 【答案】ABC 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断A，根据不等式的性质判断B，利用换元法求解析式判断C，根据抽象函数定义域法则求解判断D. 【详解】对于A项，命题“，”的否定形式是“，正确； 对于B项，因为，即，所以，可得， 正确； 对于C项，令，则，所以，所以，正确； 对于D项，因为函数的定义域是，所以， 所以函数的定义域为，错误. 故选：ABC 10．函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】变形给定函数，再利用反比例函数单调性，分类讨论求出单调区间，进而判断列式求解. 【详解】函数的定义域为， 当，即时，函数在上单调递减，不符合题意； 当，即时，为常数函数，不符合题意； 当，即时，函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，且， 因此，且，AC错误，BD正确. 故选：BD 11．记表示个元素的有限集合，表示非空数集中所有元素的和.若集合，则（    ） A． B． C． D．若，则的最小值为14 【答案】ABD 【分析】根据所给定义判断A、B，依题意可得，再由等差数列求和公式判断C，依题意可得，由等差数列求和公式求出，即可判断D. 【详解】对于A：由题可知，故A正确； 对于B：由，知的所有可能为：， 则分别为，所以，故B正确； 对于C：因为， 所以，所以，故C错误； 对于D：因为，所以， 所以， 又当时，，当时，， 所以满足的的最小值为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，，， 所以 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于常考题型. 14．已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】移项平方，令，判断其周期，利用三角代换即可求出； 【详解】定义在实数集上的函数满足， 则, 移项平方得：， 令，则，故， 相减可得， 故，即， 设，,可得 ． 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据已知求、的基本量，再由等比、等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）所得通项公式求和的通项公式；应用分组求和，结合等差、等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）由， 因为是等比数列， 则公比为，所以， 因为是等差数列， 则公差为，所以. （2）由（1）得， 则. 所以有. 16．某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间内为“体质优秀”，在内为“体质良好”，在内为“体质合格”，在内为“体质不合格”.现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下： 学生编号 1 2 3 4 5 6 测试成绩 60 85 80 78 90 91 (1)若该校高二年级有600名学生，试估计高二年级“体质优秀”的学生人数______； (2)若从这6名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析； 【分析】（1）先计算出优秀率的估计值，再由频率和频数的关系求频数； （2）可得X的可能取值为0，1，2，求出X取不同值的概率即可得出分布列及 根据随机变量的均值公式求解. 【详解】（1）高二年级随机抽取的名学生中，“体质优秀”的有3人，优秀率为， 将此频率视为概率，估计高二年级“体质优秀”的学生人数为（人）； （2）高二年级抽取的名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有人. 所以X的可能取值为0，1，2， ，，， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望 17．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，为棱的中点，. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，交于点，连接，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明平面，再结合线面垂直的性质即可得解； （3）引入参数，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由题意建立关于的方程即可求解. 【详解】（1） 如图，连接，交于点，连接. 底面是矩形，是的中点， 又为棱的中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，， 又，，平面，平面， 又平面，. ，E是棱的中点，， 又，平面，又因为平面，. （3）底面，底面为矩形，，DP，DC两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，. 设平面的法向量为， 则，取. 由（2）可知是平面的一个法向量， 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以， 解得（负值舍去），即. 18．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为点分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点.点在椭圆上，且位于轴的上方， (1)求椭圆的方程； (2)求点的坐标； (3)设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆上点到两焦点距离和求出，结合算出，得到椭圆方程. （2）先确定、坐标，设点坐标，根据向量垂直和椭圆方程联立求解，结合确定坐标. （3）由、坐标得直线方程，设坐标，根据点到直线距离公式和已知条件求出坐标. 设椭圆上点坐标，建立到的距离公式，结合椭圆范围求出距离最小值. 【详解】（1）椭圆上的点到两焦点的距离之和为， ，， 椭圆的方程为. （2）由可得点，，. 设点，则， 由已知可得， 则，或.由于，只能，于是， 点的坐标是. （3）直线的方程是，即. 设点的坐标为 则到直线的距离是. ，又，解得. 点的坐标为. 设椭圆上的点到点的距离为， 则. ， ， 当时，取得最小值. 19．已知函数，. (1)解不等式：； (2)函数，求的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2)有个零点. (3). 【分析】（1）根据不等式，构造函数，再根据对数函数的性质和正弦函数的性质，判断函数值的正负，判断不等式的解集； （2）根据函数导数和函数单调性，零点之间的关系，求出函数导数，判断函数单调性，进而根据特殊位置的函数值和零点存在定理，判断函数零点的个数； （3）根据函数导数和函数单调性的关系，构造函数，根据其导数值的正负，判断函数单调性，对参数进行分类讨论，进而求出参数的范围. 【详解】（1）设，由，解得， 即定义域为， 可知， 当时，， 所以，不满足题意； 当时，，所以，即； 当时，，不满足题意； 综上：的解集为. （2），定义域为， 易知，且， 所以是的一个零点，函数关于中心对称， 可知， 令，则， 当时，，，在上单调递减， 即在上单调递减， 可知， 所以， 即在上单调递增，在上单调递减，所以， 易知，所以， 即使得， 因为函数关于中心对称，所以. 综上有三个零点. （3）①时， 当时，，，则， 可得； 当时，； 当时，，，则， 可得； 所以时，恒成立. ②时， 当时，，， 当时，； 当时，， 所以时，恒成立. ③时， 设，可得， 设，则， 当时，，，在单调递减， 当，即时，在上，， 所以，在单调递增，， 则； 当时，， 也满足，即关于点中心对称， 所以在成立， 则； 当时，. 所以当时，恒成立. ④当时， 当时，，，在单调递减， ， ,，使得， 当时，，即，在上单调递减， 当时，，则， 所以时不恒成立. 综上：实数的取值范围为. 试卷第2页，共14页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 江西省南昌市三校（一中，十中，行知）2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试卷 · 考试时长：120分钟 总分150分 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知正数，满足，则的最大值是（   ） A．4 B．6 C．1 D．2 7．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．命题“，”的否定形式是“” B．若，则 C．若函数，则 D．若函数的定义域是，则函数的定义域为 10．函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 11．记表示个元素的有限集合，表示非空数集中所有元素的和.若集合，则（    ） A． B． C． D．若，则的最小值为14 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．函数的定义域为 ． 13．已知，，且，则的最小值为 ． 14．已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为 ． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 16．某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间内为“体质优秀”，在内为“体质良好”，在内为“体质合格”，在内为“体质不合格”.现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下： 学生编号 1 2 3 4 5 6 测试成绩 60 85 80 78 90 91 (1)若该校高二年级有600名学生，试估计高二年级“体质优秀”的学生人数______； (2)若从这6名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求的分布列与数学期望. 17．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，为棱的中点，. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 18．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为点分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点.点在椭圆上，且位于轴的上方， (1)求椭圆的方程； (2)求点的坐标； (3)设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值. 19．已知函数，. (1)解不等式：； (2)函数，求的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $