第7章 相交线与平行线——平行线的拐点模型专题突破训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以“作平行线拆分角度”为核心方法，系统梳理平行线拐点四大模型，构建从单一到多拐点的递进式解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模型梳理|4类基础模型|过拐点作平行线，利用平行性质拆分角度|从单拐点（猪蹄/铅笔头/鹰嘴）到多拐点，以辅助线方法为纽带，形成统一推理框架| |基础巩固|5道基础题|直接应用模型结论，强化图形识别能力|结合生活情境（帆船/机械臂），实现模型从抽象到具体的转化| |压轴拓展|3道综合题|动态点分析、角平分线综合、坐标系融合|通过变式探究深化模型迁移，培养几何直观与推理能力|

null平行线“拐点”模型专题突破 一、模型梳理归纳 已知：AB//CD 模型⼀：猪蹄模型（M型/凹模型） 图形结构 结论：∠APC=∠BAP+∠DCP 推理过程： 过点P作PE//AB ∵AB//CD ∴PE//AB//CD ∴∠BAP=∠APE，∠DCP=∠CPE ∴∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP 即∠APC=∠BAP+∠DCP 模型⼆：铅笔头模型（凸模型） 图形结构 结论：∠BAP+∠APC+∠DCP=360° 推理过程： 过点P作PE//AB ∵AB//CD ∴PE//AB//CD ∴∠BAP+∠APE=180° ∠DCP+∠CPE=180° ∴∠BAP+（∠APE+∠CPE）+∠DCP=360° 即∠BAP+∠APC+∠DCP=360° 模型三：鹰嘴模型（拐⻆差模型） 图形结构 结论：∠APC=（⼤⻆度−⼩⻆度） 推理过程： 过点P作PE//AB ∵AB//CD ∴PE//AB//CD ∴∠BAP=∠APE，∠DCP=∠CPE ∵∠APC=∠APE−∠CPE ∴∠APC=∠BAP−∠DCP 模型四：多拐点模型 1.向内连续多个拐点（⼀串猪蹄） 所有朝内凹⻆之和=所有朝外凸⻆之和 例如，如右图AB//CD，则有结论：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6 2.向外连续多个拐点（⼀串铅笔头） n个拐点，所有折线⻆度总和=180°(n+1) 例如，如下图AB//CD，则有结论： ∠A+∠C+∠E+∠F+∠G=180°×（3+1）=720° 方法总结：遇到任意折线拐点问题，过每个拐点单独作⼀条平⾏线拆分⻆度，再利用“两直线平行，内错角相等”或“两直线平行，同旁内角互补”找角的数量关系即可解决问题. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 二、基础巩固训练 1．如图，直线AB//CD，直角三角板EFG的顶点F在直线AB上，已知∠BFE=52°，则∠DNE的度数为 . 第1题图 第2题图 第3题图 【解答】根据模型一知∠E=∠BFE+∠DNE，所以∠DNE=∠E﹣∠BFE=90°﹣52°=38° 2．“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。”这句诗寄托了不惧险阻、扬帆逐梦的坚定信念，寓意少年当心怀远志、奋勇前行。如图是小泽同学根据诗句创作的帆船模型几何图形，已知AB//CD，∠P＝20°，∠A＝25°，则∠C的度数为 . 【解答】根据模型三知∠P=∠C﹣∠A，所以∠C=∠A+∠P=25°+20°=45° 3．如图，已知直线AB//CD，则∠1、∠2、∠3的关系是（　　） A．∠1+∠2+∠3＝360° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180° 【解答】根据模型三知∠3=∠2﹣∠4①，由“邻补角互补”得∠4=180°﹣∠1②，把②代入①整理得∠1+∠2﹣∠3＝180°，故答案选B. 4．如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若AB//CD，∠EFD＝137°，∠CFE＝50°，则∠BEF的度数为 . 图① 图② 【解答】根据“邻补角互补”得∠EFC＝180°﹣∠EFD＝180°﹣137°=43° 根据模型一知∠E=∠B+∠CFE=43°+50°=83° 5．2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗（如图①）集体完成奔跑、跳跃等动作，成为节目亮点之一．图②是某机器狗身体结构的平面示意图，AB//CD，若∠A＝110°，∠G＝124°，则∠CHG的度数为 . 图① 图② 【解答】由模型二知∠A+∠G+∠DHG=360°，所以∠DHG=360°﹣∠A﹣∠G=360°﹣110°﹣124°=126°，由“邻补角互补”得∠CHG=180°﹣∠DHG=180°﹣126°=54°. 三、压轴变式拓展 1．如图，已知直线AB//CD，点P是平面内一动点，连接PA，PC. （1）【基础探究】如图①，当点P在直线AB、CD之间时，求证：即∠APC=∠BAP+∠DCP； （2）【变式拓展】如图②，当点P运动到AB的上方时，∠APC、∠BAP、∠DCP三者之间具有怎样的数量关系，并说明理由； （3）【动态压轴】：如图③，若∠BAP、∠DCP的平分线AQ、CQ相交于点Q，的值是否为定值，若为定值，求出其值；若不为定值，请说明理由. 图① 图② 图③ 【解答】（1）过点P作PE//AB ∵AB//CD ∴PE//AB//CD ∴∠BAP=∠APE，∠DCP=∠CPE ∴∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP 即∠APC=∠BAP+∠DCP （2）过点P作PE//AB ∵AB//CD ∴PE//AB//CD ∴∠BAP=∠APE，∠DCP=∠CPE ∵∠APC=∠CPE−∠APE ∴∠APC=∠DCP−∠BAP （3）的值为定值，理由如下： 由（1）得∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AQC=∠BAQ+∠DCQ ∵∠BAP、∠DCP的平分线AQ、CQ相交于点Q ∴， ∴ ∴ 2．在综合与实践课上，同学们以“一个含45°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动： （1）【问题初探】如图①，两直线，直角三角形中，，，若，则的度数为________； （2）【实践探究】如图②，把直线向上平移，发现的值始终不变。请过点作，补全辅助线，并求出该定值； （3）【拓展延伸】如图③，，点在上，，，设，求（用含的代数式表示）. 图① 图② 图③ 【解答】（1）已知：∵ ， ∴ ∵，， ∴ （2）∵ 根据模型二得 ∵， ∴ 化简得 (3)∵ 根据模型一得 根据模型二得 ∵， ， 则， ∴， ∴， 即 ∵ ∴ 3．如图，以直角三角形AOB的直角顶点O为原点，OB、OA所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，点A(a,0)、B(0,b)满足，点C在线段AB上，且点C的坐标为（，）. （1）求A，B，C三点的坐标； （2）若动点Q从点A出发，沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t(t>0)秒.当△COQ的面积大于△AOB面积的且不超过△AOB面积的时，求t的取值范围； （3）作OD//AB，点P在线段AB上，连接OP，满足∠BOP=∠BOD.点E是线段OB上的动点，连接AE交OP于点F，试判断值是否为定值，若为定值，求出其值；若不为定值，请说明理由. 【解答】（1）∵， ∴ 解得 ∴，，. （2）∵，， ∴OA=4，OB=8 ∴ 根据题意得 即 ∴ ①当点Q在点O的右边时，AQ=t，OA=4，∴OQ=4−t ∴ ∴，解得 ②当点Q在点O的左边时，AQ=t，OA=4，∴OQ=t−4 ∴ ∴，解得 综上所述，t的取值范围是或。 （3）的值为定值，理由如下： ∠BOP=∠BOD=x， ∵OD//AD 根据模型一得 ∴ 即的值为定值. $平行线“拐点”模型专题突破 一、模型梳理归纳 己知：ABCD 模型一：猪蹄模型(M型/凹模型) 图形结构 结论：∠APC=∠BAP+∠DCP 推理过程： 过点P作PEI∥AB .ABI/CD ∴.PE∥AB/CD ∴.∠BAP=∠APE,∠DCP=∠CPE ∴.∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP 即∠APC=∠BAP+∠DCP 模型二：铅笔头模型（凸模型） 图形结构 ----5 D 结论：∠BAP4∠APC+∠DCP-360° 推理过程： 过点P作PEILAB .AB//CD ∴.PEAB/CD ∴.∠BAP+∠APE=1809 ∠DCP+∠CPE=180 ,∴.∠BAP+(∠APE+∠CPE)+∠DCP=360° 即∠BAP+∠APC+∠DCP=360° 模型三：鹰嘴模型（拐角差模型） 图形结构 、A 一D 4字 结论：∠APC-∠BAP-∠DCP(大角度-小角度) 推理过程： 过点P作PEI∥AB .AB//CD .PE//AB//CD 第1页共4页 ∴.∠BAP=∠APE,∠DCP=∠CPE .'∠APC=∠APE-∠CPE .∠APC=∠BAP-∠DCP 模型四：多拐点模型 1.向内连续多个拐点（一串猪蹄） 所有朝内凹角之和=所有朝外凸角之和 例如，如右图ABCD,则有结论：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6 A M 2>】 F 3 4 G H 6 -D 2.向外连续多个拐点（一串铅笔头) n个拐点，所有折线角度总和=180°(+1) 例如，如下图ABCD,则有结论： ∠A+∠C+∠E+∠F+∠G=180°×(3+1)=720° D 方法总结：遇到任意折线拐点问题，过每个拐点单独作一条平行 线拆分角度，再利用“两直线平行，内错角相等”或“两直线平 行，同旁内角互补”找角的数量关系即可解决问题 二、基础巩固训练 1.如图，直线AB/CD,直角三角板EFG的顶点F在直线AB上，己知∠BFE=52°，则∠DNE 的度数为 D 第1题图 第2题图 第3题图 【解答】根据模型一知∠E=∠BFE+∠DNE,所以∠DNE=∠E-∠BFE=90°-52°=38 2.“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。”这句诗寄托了不惧险阻、扬帆逐梦的坚定信念，寓 意少年当心怀远志、奋勇前行。如图是小泽同学根据诗句创作的帆船模型几何图形，已知 AB/CD,∠P=20°，∠A=25°，则∠C的度数为 【解答】根据模型三知∠P=∠C-∠A,所以∠C=∠A+∠P=25°+20°=45° 3.如图，已知直线AB1CD,则∠1、∠2、∠3的关系是() A.∠1+∠2+∠3=3609 B.∠1+∠2-∠3=1809 C.∠1-∠2+∠3=180° D.∠1+∠2+∠3=180° 【解答】根据模型三知∠3=∠2-∠4①，由“邻补角互补”得∠4-180°-∠1②，把②代入① 整理得∠1+∠2-∠3=180°，故答案选B 4.如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图.若AB/CD,∠EFD=137°，∠ CFE=50°，则∠BEF的度数为 图① 图② 【解答】根据“邻补角互补”得∠EFC=180°-∠EFD=180°-137°=43° 根据模型一知∠E=∠B+∠CFE=43°+50°=83 5.2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗（如图①）集体完成奔跑、跳跃等动作，成为 节目亮点之一.图②是某机器狗身体结构的平面示意图，AB1CD,若∠A=110°，∠G=124°， 第2页 则∠CHG的度数为 A D 图① 图② 【解答】由模型二知∠A+∠G+∠DHG=360°，所以∠DHG=360°-∠A-∠G=360°-110°- 124°=126°，由“邻补角互补”得∠CHG=180°-∠DHG=180°-126°=54°. 三、压轴变式拓展 1.如图，已知直线AB/ICD,点P是平面内一动点，连接A,PC (1)【基础探究】如图①，当点P在直线AB、CD之间时，求证：即∠APC=∠BAP+∠DCP; (2)【变式拓展】如图②，当点P运动到AB的上方时，∠APC、∠BAP、∠DCP三者之间具有 怎样的数量关系，并说明理由： (3)【动态压轴】：如图③，若∠BAP、∠DCP的平分线AQ、CQ相交于点Q, ∠APC 的值 ∠AQC 是否为定值，若为定值，求出其值：若不为定值，请说明理由 图① 图② 图③ 【解答】(1)过点P作PEILAB .AB//CD ∴.PE∥ABCD ∴.∠BAP=∠APE,∠DCP=∠CPE ∴.∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP 即∠APC=∠BAP+∠DCP 共4页 (2)过点P作PEILAB .AB//CD ∴.PE∥ABCD ∴.∠BAP=∠APE,∠DCP=∠CPE ,∠APC=∠CPE-∠APE ∴.∠APC=∠DCP-∠BAP (3) ∠APC 的值为定值，理由如下： ∠AOC 由(1)得∠APC=∠BAP+∠DCP,∠AQC=∠BAQ+∠DCQ ,'∠BAP、∠DCP的平分线AQ、CO相交于点Q ∴.∠BAP=2∠BAQ,∠DCP=2∠DCQ .∠APC=∠BAP+∠DCP =2∠BAQ+2∠DCQ =2(∠BAQ+∠DCO) =2∠AQC ..<APC =2 ∠AQC 2.在综合与实践课上，同学们以“一个含45°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活 动： (1)【问题初探】如图①，两直线m∥，直角三角形ABC中，∠BCA=90°，∠A=45°，若∠1=38°， 则∠2的度数为 (2)【实践探究】如图②，把直线向上平移，发现∠2-A的值始终不变。请过点B作BH∥m, 补全辅助线，并求出该定值： (3)【拓展延伸】如图③，AB∥CD,点E在CD上，∠FBG=3∠ABG,∠FEG=3∠CEG,设 ∠BFE=B,求∠BGE(用含B的代数式表示) 第3页 C D 图① 图② 图③ 【解答】(1)已知：，∠BCA=90°，∠1=38 .LACD=90°+∠1=90°+38°=128 .m/n,, .∠2=∠ACD=128 (2)∥n 根据模型二得∠2+∠ABC+∠BCD=360° .·∠ABC=45°，∠BCD=180°-A B ∴.∠2+45°+180°-∠1=360° 化简得∠2-1=135° (3)~m/n 根据模型一得∠ABG+∠CEG=∠BGE 根据模型二得∠ABF+∠DEF+∠BFE=360 .∠FBG=3∠ABG,∠FEG=3∠CEG 设∠ABG=x,∠CEG=y 则∠FBG=3x,∠FEG=3y ∴.∠ABF=4x,∠CEF=4y .x+y=∠BGE,4x+4y+∠BFE=360° 即4∠BGE+∠BFE=360° ,∠BFE=B ∠BGE=360°-p 4 共4页 3.如图，以直角三角形AOB的直角顶点O为原点，OB、OA所在直线为x、y轴建立平面直角 坐标系，点A(a,0)、B(0,b)满足a-4+V16-2b=0,点C在线段AB上，且点C的坐标为（二a, 2 Lp). (1)求A,B,C三点的坐标； (2)若动点Q从点A出发，沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t(t>0) 秒.当△COQ的面积大于△AOB面积的二且不超过△AOB面积的二时，求t的取值范围： (3)作OD//AB,点P在线段AB上，连接OP,满足∠BOP=∠BOD.点E是线段OB上的动点， 连接AB交OP于点R,试判断∠O十∠BAE 值是否为定值，若为定值，求出其值：若不为定 ∠OEA 值，请说明理由 B B 【解答】(1)：a-4+√16-2b=0, ,「a-4=0 a=4 16-2b=0 解得 b=8 .A4,0),B0,8),C2,4) (2)A4,0),B(0,8)C(2,4) ∴.OA=4,OB=8 六Sa4a3=2×4x8=16 根据题意得S△40B<SAcoe≤ 4 第4页 即日x16<Saoe≤4×16 6 4 ∴.2<SAcoe≤4 ①当点Q在点O的右边时，AQ=t,OA=4,∴.OQ=4-t 1 Saa0=2×4x(4-t)=8-21 .2<8-2t≤4，解得2≤t<3 ②当点Q在点O的左边时，AQ=t,OA=4,∴.OQ=t-4 1 Saco0=7×4xt-4)=2t-8 .2<2t-8≤4，解得5≤t<6 综上所述，t的取值范围是2≤t<3或5≤t<6。 ∠OA-∠BAE (3) 的值为定值，理由如下： ∠OEA ∠BOP=∠BOD=x,∠BAE=y .OD//AD 根据模型一得∠OA=∠DOF+∠1P=2x+y ∠OEA=∠DOE+∠EAP=x+y :∠OA+∠BME_2x+y+y-2x+y-2 ∠OEA x+y x+y 即∠OA-∠BAE 的值为定值 ∠OEA 共4页平行线“拐点”模型专题突破 一、模型梳理归纳 己知：ABCD 模型一：猪蹄模型(M型/凹模型) 图形结构 结论：∠APC=∠BAP+∠DCP 推理过程： 过点P作PEI∥AB .ABI/CD ∴.PE∥AB/CD ∴.∠BAP=∠APE,∠DCP=∠CPE ∴.∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP 即∠APC=∠BAP+∠DCP 模型二：铅笔头模型（凸模型） 图形结构 ----5 D 结论：∠BAP4∠APC+∠DCP-360° 推理过程： 过点P作PEILAB .AB//CD ∴.PEAB/CD ∴.∠BAP+∠APE=1809 ∠DCP+∠CPE=180 ,∴.∠BAP+(∠APE+∠CPE)+∠DCP=360° 即∠BAP+∠APC+∠DCP=360° 模型三：鹰嘴模型（拐角差模型） 图形结构 、A -D 4字 结论：∠APC-∠BAP-∠DCP(大角度-小角度) 推理过程： 过点P作PEI∥AB .AB//CD .PE//AB//CD 第1页共3页 ∴.∠BAP=∠APE,∠DCP=∠CPE .'∠APC=∠APE-∠CPE .∠APC=∠BAP-∠DCP 模型四：多拐点模型 1.向内连续多个拐点（一串猪蹄） 所有朝内凹角之和=所有朝外凸角之和 例如，如右图ABCD,则有结论：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6 A M 2>】 F 3 4 G H 6 -D 2.向外连续多个拐点（一串铅笔头) n个拐点，所有折线角度总和=180°(+1) 例如，如下图ABCD,则有结论： ∠A+∠C+∠E+∠F+∠G=180°×(3+1)=720° D 方法总结：遇到任意折线拐点问题，过每个拐点单独作一条平行 线拆分角度，再利用“两直线平行，内错角相等”或“两直线平 行，同旁内角互补”找角的数量关系即可解决问题 二、基础巩固训练 1.如图，直线AB/CD,直角三角板EFG的顶点F在直线AB上，已知∠BFE=52°，则∠DNE 的度数为 第1题图 第2题图 第3题图 2.“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。”这句诗寄托了不惧险阻、扬帆逐梦的坚定信念，寓 意少年当心怀远志、奋勇前行。如图是小泽同学根据诗句创作的帆船模型几何图形，已知 AB/CD,∠P=20°，∠A=25°，则∠C的度数为 3.如图，已知直线AB1CD,则∠1、∠2、∠3的关系是() A.∠1+∠2+∠3=3609 B.∠1+∠2-∠3=180° C.∠1-∠2+∠3=180 D.∠1+∠2+∠3=180° 4.如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图.若ABCD,∠EFD=137°，∠ CFE=50°，则∠BEF的度数为 图① 图② 5.2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗（如图①）集体完成奔跑、跳跃等动作，成为 节目亮点之一.图②是某机器狗身体结构的平面示意图，AB/CD,若∠A=110°，∠G=124°， 则∠CHG的度数为 B F D 图① 图② 第2页 三、压轴变式拓展 1.如图，已知直线AB/ICD,点P是平面内一动点，连接PA,PC (1)【基础探究】如图①，当点P在直线AB、CD之间时，求证：即∠APC=∠BAP+∠DCP: (2)【变式拓展】如图②，当点P运动到AB的上方时，∠APC、∠BAP、∠DCP三者之间具有 怎样的数量关系，并说明理由： (3)【动态压轴】：如图③，若∠BAP、∠DCP的平分线AQ、CQ相交于点Q, ∠APC的值 ∠AOC 是否为定值，若为定值，求出其值：若不为定值，请说明理由. B B P D 图① 图② 图③ 共3页 2.在综合与实践课上，同学们以“一个含45°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活 动： (1)【问题初探】如图①，两直线m∥，直角三角形ABC中，∠BCA=90°，∠A=45°，若∠1=38°， 则∠2的度数为 (2)【实践探究】如图②，把直线m向上平移，发现∠2-∠I的值始终不变。请过点B作BH∥m, 补全辅助线，并求出该定值： (3)【拓展延伸】如图③，AB∥CD,点E在CD上，∠FBG=3∠ABG,∠FEG=3∠CEG,设 ∠BFE=B,求∠BGE(用含B的代数式表示). B D 图① 图② 图③ 第3页 3.如图，以直角三角形AOB的直角顶点O为原点，OB、OA所在直线为x、y轴建立平面直角 坐标系，点A(a0)、B(0,b)满足a-4+V16-2b=0,点C在线段AB上，且点C的坐标为（二a, b). (1)求A,B,C三点的坐标： (2)若动点Q从点A出发，沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t(t>0) 秒.当△COQ的面积大于△AOB面积的二且不超过△AOB面积的二时，求t的取值范围； 8 (3)作OD//AB,点P在线段AB上，连接OP,满足∠BOP=∠BOD.点E是线段OB上的动点， 连接A交OP于点R,试判断∠OA+∠BAE 值是否为定值，若为定值，求出其值：若不为定 ∠OEA 值，请说明理由 B B E 0 共3页平行线“拐点”模型专题突破 一、模型梳理归纳 已知：AB//CD 模型⼀：猪蹄模型（M型/凹模型） 图形结构 结论：∠APC=∠BAP+∠DCP 推理过程： 过点P作PE//AB ∵AB//CD ∴PE//AB//CD ∴∠BAP=∠APE，∠DCP=∠CPE ∴∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP 即∠APC=∠BAP+∠DCP 模型⼆：铅笔头模型（凸模型） 图形结构 结论：∠BAP+∠APC+∠DCP=360° 推理过程： 过点P作PE//AB ∵AB//CD ∴PE//AB//CD ∴∠BAP+∠APE=180° ∠DCP+∠CPE=180° ∴∠BAP+（∠APE+∠CPE）+∠DCP=360° 即∠BAP+∠APC+∠DCP=360° 模型三：鹰嘴模型（拐⻆差模型） 图形结构 结论：∠APC=（⼤⻆度−⼩⻆度） 推理过程： 过点P作PE//AB ∵AB//CD ∴PE//AB//CD ∴∠BAP=∠APE，∠DCP=∠CPE ∵∠APC=∠APE−∠CPE ∴∠APC=∠BAP−∠DCP 模型四：多拐点模型 1.向内连续多个拐点（⼀串猪蹄） 所有朝内凹⻆之和=所有朝外凸⻆之和 例如，如右图AB//CD，则有结论：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6 2.向外连续多个拐点（⼀串铅笔头） n个拐点，所有折线⻆度总和=180°(n+1) 例如，如下图AB//CD，则有结论： ∠A+∠C+∠E+∠F+∠G=180°×（3+1）=720° 方法总结：遇到任意折线拐点问题，过每个拐点单独作⼀条平⾏线拆分⻆度，再利用“两直线平行，内错角相等”或“两直线平行，同旁内角互补”找角的数量关系即可解决问题. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 二、基础巩固训练 1．如图，直线AB//CD，直角三角板EFG的顶点F在直线AB上，已知∠BFE=52°，则∠DNE的度数为 . 第1题图 第2题图 第3题图 2．“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。”这句诗寄托了不惧险阻、扬帆逐梦的坚定信念，寓意少年当心怀远志、奋勇前行。如图是小泽同学根据诗句创作的帆船模型几何图形，已知AB//CD，∠P＝20°，∠A＝25°，则∠C的度数为 . 3．如图，已知直线AB//CD，则∠1、∠2、∠3的关系是（　　） A．∠1+∠2+∠3＝360° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180° 4．如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若AB//CD，∠EFD＝137°，∠CFE＝50°，则∠BEF的度数为 . 图① 图② 5．2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗（如图①）集体完成奔跑、跳跃等动作，成为节目亮点之一．图②是某机器狗身体结构的平面示意图，AB//CD，若∠A＝110°，∠G＝124°，则∠CHG的度数为 . 图① 图② 三、压轴变式拓展 1．如图，已知直线AB//CD，点P是平面内一动点，连接PA，PC. （1）【基础探究】如图①，当点P在直线AB、CD之间时，求证：即∠APC=∠BAP+∠DCP； （2）【变式拓展】如图②，当点P运动到AB的上方时，∠APC、∠BAP、∠DCP三者之间具有怎样的数量关系，并说明理由； （3）【动态压轴】：如图③，若∠BAP、∠DCP的平分线AQ、CQ相交于点Q，的值是否为定值，若为定值，求出其值；若不为定值，请说明理由. 图① 图② 图③ 2．在综合与实践课上，同学们以“一个含45°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动： （1）【问题初探】如图①，两直线，直角三角形中，，，若，则的度数为________； （2）【实践探究】如图②，把直线向上平移，发现的值始终不变。请过点作，补全辅助线，并求出该定值； （3）【拓展延伸】如图③，，点在上，，，设，求（用含的代数式表示）. 图① 图② 图③ 3．如图，以直角三角形AOB的直角顶点O为原点，OB、OA所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，点A(a,0)、B(0,b)满足，点C在线段AB上，且点C的坐标为（，）. （1）求A，B，C三点的坐标； （2）若动点Q从点A出发，沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t(t>0)秒.当△COQ的面积大于△AOB面积的且不超过△AOB面积的时，求t的取值范围； （3）作OD//AB，点P在线段AB上，连接OP，满足∠BOP=∠BOD.点E是线段OB上的动点，连接AE交OP于点F，试判断值是否为定值，若为定值，求出其值；若不为定值，请说明理由. $