精品解析：山东青岛市胶州市洋河中学2025-2026学年八年级下学期6月阶段检测数学试题

八年级下学期第二次月考测试数学卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B.     C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后能够与自身重合的图形．根据定义对各选项图形进行判断即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形沿中间竖直直线折叠后两旁的部分能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形绕中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形；找不到任何一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故符合题意． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一判断每个选项是否成立． 【详解】解：∵， A、两边同时乘以，不等号方向改变，则，故本选项不符合题意； B、两边同时减去 1，不等号方向不变，则，故本选项不符合题意； C、两边同时乘以，不等号方向改变，则，再两边加 1，则，故本选项符合题意； D、由，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式． 【详解】解：A选项的分母是常数2，不含字母，属于整式； B选项的分母是含字母x的整式，符合分式定义； C选项的分母是常数3，π是常数，属于整式； D选项是多项式，属于整式； 故选：B． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式，依据定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，故A不符合题意； B选项右边展开得，与左边不相等，变形错误，不是因式分解，故B不符合题意； C选项将多项式转化为，是几个整式的积的形式，符合因式分解的定义，故C符合题意； D选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，故D不符合题意． 故选：C． 5. 通过如下尺规作图，能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形． 故选：C． 6. 把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（　　） A. 扩大到原来的9倍 B. 扩大到原来的倍 C. 是原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，只需将扩大后的、代入原分式，化简后和原分式比较，即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将扩大后的、代入原分式可得， ， 所以，新分式的值是原分式的9倍，即分式的值扩大到原来的9倍． 7. 下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误. B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误． 8. 农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．根据题意得出，再得出，即可解答． 【详解】解：∵鸡舍周长为10， ∴， ∵，即， ∴， ∴鸡舍的面积为6， 故选：A． 9. 如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天植树棵，可得实际每天植树棵，根据“提前5天完成任务”的时间等量关系列方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵， 原计划完成任务的时间为天，实际完成任务的时间为天， 根据结果提前天完成任务，可得：． 11. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为26，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由平移的性质可得，易得，再说明，然后根据梯形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：∵将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，阴影部分的面积为26， ∴， ∴，解得：， ∴． 12. 已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】图象法求不等式的解集即可. 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 13. 若分式的值为零，则x的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式值为零的条件，分子等于零且分母不等于零，列方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得且； 故答案为：5． 14. 如图，是等腰的腰上一点，于，于，若，则_____． 【答案】##68度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，解答本题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．利用三角形外角的性质先求出的度数，然后由得到的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ∵是等腰三角形，是腰， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据不等式组解集的确定法则，得到关于a的不等式，计算求解即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ∴， ∴． 16. 若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 17. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 18. 若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，根据“只有 3个偶数解”确定参数的取值范围；解分式方程，结合“有整数解”且“分母不为 0”的条件，筛选符合要求的整数a；对筛选出的整数求和，需同时满足不等式组和分式方程的双重限制． 【详解】解：不等式组的解集为， 不等式组有且只有三个偶数解， 不等式组的偶数解为0，2，4， ， ， 为整数， 的取值为，，，，，， 解分式方程得， 由题意可知， ，即， ， 分式方程有整数解 ，y为整数， 是3的倍数， 在上述取值中只能取，， 经检验，时，；时，， 符合条件的整数解为，， 符合条件的所有整数的和为． 【点睛】在解决含有参数的不等式组的参数问题时，一定要根据已知条件确定边界的取值，可数形结合借助数轴解决，在解含参数的分式方程时要注意分母不为０． 19. 如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤．其中正确的结论有_____（填写正确的序号）． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】证明可判断①与②；进而得，证明，得，即可判断③；由及可判断④；由及可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴，故①正确； ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 三、解答题：共63分． 20. 解不等式组、解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以，去分母，得 ， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 21. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，将字母的值代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 23. 如图，已知在中，， （1）尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 【答案】（1）见解析 （2）25 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到的周长，再根据题意求得即可解答． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴的周长是25． 24. 某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 【答案】（1）A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元 （2）购买A型机器人模型至少为14台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元，结合用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同，进行列方程，解方程，最后验根，即可作答． （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，进行列不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元， 由题意可得 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ．， 答：A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得： 解得 又∵m为正整数， ∴购买A型机器人模型至少为14台． 25. 【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． （1）【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：_________． （2）【应用公式】因式分解：． （3）【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，若，则求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】把转化为，再利用立方和公式推导即可求解； 利用分组分解法先分组，再利用立方差公式因式分解，然后提取公因式即可； 由题意可证四边形和四边形都是正方形，进而可得，，，得到，即得，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：由题意得，，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是菱形， ∵，， ∴四边形和四边形都是正方形， 由勾股定理得，， ∴，， ∵，是正方形， ∴， ∵， ∴， 整理得，， ∴，即． 26. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； （3）若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】（1）①③； （2），； （3）是，理由见解析． 【解析】 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 【小问2详解】 解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期第二次月考测试数学卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B.     C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 通过如下尺规作图，能得到的是（ ） A. B. C. D. 6. 把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（　　） A. 扩大到原来的9倍 B. 扩大到原来的倍 C. 是原来的 D. 不变 7. 下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 3 D. 8 9. 如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为26，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 无法确定 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 13. 若分式的值为零，则x的值为_____． 14. 如图，是等腰的腰上一点，于，于，若，则_____． 15. 若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 16. 若关于x的分式方程 无解，则________ 17. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 18. 若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 19. 如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤．其中正确的结论有_____（填写正确的序号）． 三、解答题：共63分． 20. 解不等式组、解方程： （1） （2）． 21. 因式分解： （1）； （2）． 22. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 23. 如图，已知在中，， （1）尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 24. 某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 25. 【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． （1）【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：_________． （2）【应用公式】因式分解：． （3）【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，若，则求． 26. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； （3）若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $