精品解析：2026年河北省承德市兴隆县半壁山中学二模数学试题

承德市兴隆县半壁山中学二模数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某日这四个城市的最高和最低气温（单位：），则本日温差最大的城市是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 温差即最高气温减去最低气温，由此计算即可． 【详解】解：A.（）； B.（）； C.（）； D.（）； ∵， ∴温差最大的城市武汉， 故选：B． 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可． 【详解】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD， 由折叠可知CA＝AB， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵△ABC和△BCD关于直线BC对称， ∴CA＝AB=CD=BD， ∴四边形BACD是菱形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及学生动手操作能力：逆向思维也是常用的一种数学思维方式． 5. 在﹣，﹣，0，﹣3四个数中，满足不等式x+2＞0的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集的定义解答即可． 【详解】解：x+2＞0， 解得x＞﹣2 ∵﹣3＜﹣＜﹣2＜﹣＜0， ∴在﹣，﹣，0，﹣3四个数中，大于﹣2的数有两个， 即满足不等式x＞﹣2的有2个， 故选B． 【点睛】本题主要考查不等式解集和不等式解的概念，解决本题的关键是要熟练掌握不等式的解的概念. 6. 如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； D、无法判断四边形为平行四边形，符合题意 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可． 【详解】解：∵将△绕点逆时针旋转得到△， ∴ 故A不符合题意； ∴ ∴ 故B不符合题意； ∴ ∴ ∴ 故C不符合题意； ∵ ∴ 故D符合题意； 故选：D． 8. 某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B. 该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C. 若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D. 当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 9. “四骏齐发藏千年文脉密码”--2026年春晚吉祥物共有四位成员，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，与马年春晚“骐骥驰骋 势不可挡”的主题完美呼应，满含马到成功、前程似锦的美好寓意．正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的结果有2种， ∴这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率为． 故选：B． 10. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点D，在中利用三角函数分别求得，在中由余弦函数值，设，由勾股定理得，从而求得x的值，即可求得，则． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得： ∴， ∴． 11. 如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 12. 如图，正六边形的顶点对应的坐标分别为和，将正六边形沿轴正方向滚动，每滚动一次都会有一条边落在轴上，有下列说法： ①滚动一次后，点落在点处； ②正六边形的顶点不可能和点重合； ③在滚动过程中，顶点可能和点的重合． 其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质和旋转的性质．核心素养表现为空间观念和推理能力． 根据正多边形的内角和定理得到，，如图，连接，过点作于点，由含角的直角三角形的性质，旋转的性质，数学结合分析即可求解． 【详解】解：在正六边形中，每个内角的度数为，即， ∵顶点对应的坐标分别为和， ∴正六边形的边长为2，即， 如图，连接，过点作于点，则， ，， ，，， 滚动一次后，点落在处， 点的坐标为，①正确； 点的坐标为，每滚动一次，落在轴上的边的右侧顶点的横坐标就会增加2， 正六边形的顶点不可能和点重合，②正确； 由图可知，当正六边形滚动三次后，点的坐标为，③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的对称轴为直线进行求解即可． 【详解】解：由抛物线的对称轴为直线，可知：， ∴； 故答案为． 14. 如图、在边长为1的正方形网格中，点，，都在网格线上，且，垂足为点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 一本课外读物，嘉嘉单独购买差27元，琪琪单独购买差34元，两人合买差3元，则嘉嘉和琪琪共有______元． 【答案】55 【解析】 【分析】设这本课外读物的价格为x元，用含x的代数式分别表示嘉嘉，琪琪拥有的钱数，根据两人合买差3元的等量关系列一元一次方程，先求解书的价格，再计算两人共有的钱数． 【详解】解：设这本课外读物的价格为元， 根据题意，嘉嘉拥有的钱为元，琪琪拥有的钱为元， 两人合买差元，因此两人总钱数为元，列方程得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 因此两人共有的钱数为． 16. 如图，在菱形中，，对角线的长为16，是的中点，点是上一点，连接．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 有一个数学游戏，如图所示，一个实数从，，三个位置中任选一个出发，按照如图所标注的要求进行运算后到下一个位置，例如将按照（或）的顺序进行运算，是将经过“加”的运算得出结果． （1）4按照的顺序进行运算，列出算式并求出正确的结果； （2）将一个数经过的顺序进行运算后结果不大于2，求的负整数值． 【答案】（1）； （2）的负整数值为，． 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确计算成为解题的关键． （1）根据列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）先根据的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：列式为： ． 【小问2详解】 解：由题意得 ． ， ， ， ∴的负整数值为，． 18. 习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式 …………第一步 …………第二步 …………第三步 习题2：解方程 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解 …………第四步 （1）习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）一，一 （2）习题1：；习题2： 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减法，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的通分判断习题1的第一步；根据分式方程去分母这一步骤判断习题2的第一步； （2）习题1：根据分式的加减法则计算即可；习题2：根据解分式方程的步骤解答即可． 【小问1详解】 解：一、一； 故答案为：一，一； 【小问2详解】 习题1： 解：原式= ， 习题2：解方程 解： ， 检验：当时 是原方程的根． 19. 本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 27 18 27 28 29 31 32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： （1）补全条形图； （2）表中的 ， ， ； （3）已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 【答案】（1）见解析 （2）27；；； （3）6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 【解析】 【分析】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，理解题意，结合图形获取相关信息是解题关键． （1）结合条形统计图和扇形统计图得出合格的人数为：人，然后确定优秀的人数，补全统计图即可； （2）根据众数得定义即可确定a的值，利用优秀率的计算方法求解即可； （3）用总人数乘以相应的优秀率，然后相减即可得出结果． 【小问1详解】 解：根据题意得，合格的人数为：人， ∴优秀的人数为：人， 补全统计图如下： 【小问2详解】 根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多， ∴， ∵优秀：； ∴3月份中优秀人数为4人，6月份中优秀的人数为7人， ∴，， 故答案为：27；；； 【小问3详解】 6月份达到“优秀”的人数为：人， 3月份达到“优秀”的人数为：人， ∴人， ∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 20. 【情境】已知，求作的平分线，除了基本的尺规作图方法外，嘉嘉、淇淇两位同学提供了如下两种正确的作法． 【操作】嘉嘉、淇淇的作法如图1和图 嘉嘉 淇淇 步骤 ①利用直尺和三角板作； ②_____； ③作射线，即为所求． ①利用圆规截取； ②过点C，D作垂线，相交于点P； ③作射线，即为所求． 作图     【探究】 （1）根据图1的作图痕迹，嘉嘉的第②步应是“以点______为圆心，______长为半径画弧，与交于点P”； （2）根据淇淇的作图过程，请证明图2中的射线符合要求． 【答案】（1）C； （2）证明：， ， 又，， ， ， 在和中， ， ， ， 即平分，射线符合要求． 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由作图可知，，则有，然后可得，进而问题可求证． 【小问1详解】 解：由题可知：嘉嘉的第②步应是“以点C为圆心，长为半径画弧，与交于点P”； 【小问2详解】 略 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． （1）求m的值及直线的解析式： （2）求的面积； （3）已知经过某一定点，且与x轴交于点E，当时，直接写出该定点与点E的距离． 【答案】（1）， （2）8 （3）或 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、勾股定理求两点坐标距离，分类讨论和数形结合是解题的关键． （1）把代入中求出m的值，得到点B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）求出点的坐标为，根据三角形面积公式即可得到答案； （3）根据一次函数解析式可得过定点，根据x轴上的点E， ，则，进而根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入中，解得， ∴， 将，代入中， 得 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 令，解得， ∴点的坐标为， ∴； 【小问3详解】 ∴当时，， ∴该定点为， ∵ ∴ 当时，该定点与点E的距离为： 当时，该定点与点E距离为： 综上所述，该定点与点E的距离为或 22. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （1）如图2，当时，，求投影探头端点到桌面的距离； （2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由． （结果精确到，参考数据，，，，） 【答案】（1） （2）解：投影探头不会与桌面发生碰撞， 理由：过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， ， 在中，， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离． 投影探头不会与桌面发生碰撞． 【解析】 【分析】（1）延长交于点，易得，在中，解直角三角形得出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案； （2）过点作，交的延长线于点，由题意得出，求出，在中，解直角三角形求出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：延长交于点， ， ，， ， 在中，，， ， ，， 投影探头的端点到桌面的距离， 投影探头的端点到桌面的距离约为； 【小问2详解】 略 23. 综合与实践 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个和的面积相等． （1）【操作】请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） （2）【探究】结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： （3）【拓展】如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． （4）【应用】如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 【答案】（1）解：如图：线段，点即为所求， （2），理由如下： 如图，连接， ∵为边上的中线，为边上的中线， ∴，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴, ∴； （3） （4）当最大时，的长为． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接交于点，则是的中线，和的面积相等； （2）连接，则是的中位线，再证明即可得出结果； （3）连接，则是的中位线，再证明，从而可得，再证明，设，则，求出，由勾股定理可得，，最后由正弦的定义即可得出结果； （4）由直角三角形的性质可得，由（3）得，求出 ，由点在以点为圆心，为半径圆弧上运动，得出点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 ∵在中，，点为的中点，， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，， ∴， 即当最大时，的长为． 24. 已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． （1）求出的对称轴及的值； （2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； （3）如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 【答案】（1）对称轴为直线， （2） （3）；或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；设点，即可得到点，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得； 小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； 【小问3详解】 解：， 则， 设点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 承德市兴隆县半壁山中学二模数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某日这四个城市的最高和最低气温（单位：），则本日温差最大的城市是（　　） A. B. C. D. 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 5. 在﹣，﹣，0，﹣3四个数中，满足不等式x+2＞0的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B. 该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C. 若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D. 当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 9. “四骏齐发藏千年文脉密码”--2026年春晚吉祥物共有四位成员，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，与马年春晚“骐骥驰骋 势不可挡”的主题完美呼应，满含马到成功、前程似锦的美好寓意．正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 如图，正六边形的顶点对应的坐标分别为和，将正六边形沿轴正方向滚动，每滚动一次都会有一条边落在轴上，有下列说法： ①滚动一次后，点落在点处； ②正六边形的顶点不可能和点重合； ③在滚动过程中，顶点可能和点的重合． 其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是______. 14. 如图、在边长为1的正方形网格中，点，，都在网格线上，且，垂足为点，则______． 15. 一本课外读物，嘉嘉单独购买差27元，琪琪单独购买差34元，两人合买差3元，则嘉嘉和琪琪共有______元． 16. 如图，在菱形中，，对角线的长为16，是的中点，点是上一点，连接．若，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 有一个数学游戏，如图所示，一个实数从，，三个位置中任选一个出发，按照如图所标注的要求进行运算后到下一个位置，例如将按照（或）的顺序进行运算，是将经过“加”的运算得出结果． （1）4按照的顺序进行运算，列出算式并求出正确的结果； （2）将一个数经过的顺序进行运算后结果不大于2，求的负整数值． 18. 习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式 …………第一步 …………第二步 …………第三步 习题2：解方程 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解 …………第四步 （1）习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 19. 本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 27 18 27 28 29 31 32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： （1）补全条形图； （2）表中的 ， ， ； （3）已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 20. 【情境】已知，求作的平分线，除了基本的尺规作图方法外，嘉嘉、淇淇两位同学提供了如下两种正确的作法． 【操作】嘉嘉、淇淇的作法如图1和图 嘉嘉 淇淇 步骤 ①利用直尺和三角板作； ②_____； ③作射线，即为所求． ①利用圆规截取； ②过点C，D作垂线，相交于点P； ③作射线，即为所求． 作图     【探究】 （1）根据图1的作图痕迹，嘉嘉的第②步应是“以点______为圆心，______长为半径画弧，与交于点P”； （2）根据淇淇的作图过程，请证明图2中的射线符合要求． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点C． （1）求m的值及直线的解析式： （2）求的面积； （3）已知经过某一定点，且与x轴交于点E，当时，直接写出该定点与点E的距离． 22. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离； （2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由． （结果精确到，参考数据，，，，） 23. 综合与实践 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个和的面积相等． （1）【操作】请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） （2）【探究】结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： （3）【拓展】如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． （4）【应用】如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 24. 已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． （1）求出的对称轴及的值； （2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； （3）如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $