专题01 相交线与平行线（期末真题汇编，福建专用）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 专题聚焦相交线与平行线，涵盖16大高频考点，汇编福建多地期末真题，注重情境化与能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|占比约60%|对顶角、垂线段最短、三线八角等基础考点|结合《墨经》小孔成像、Unitree机器人等科技文化情境| |解答题|占比约40%|平行线判定与性质综合、平移性质应用|设计多问探究题，如光的反射定律证明、动态角度关系分析，贴合期末命题趋势|

专题01 相交线与平行线 16大高频考点概览 考点01 对顶角 考点02 邻补角 考点03 垂线和垂线段 考点04 点到直线的距离 考点05三线八角 考点06 平行线 考点07平行线的判定 考点08 平行线的性质定理 考点09 平行线的性质探究角度之间的关系 考点10 平行线性质求角度 考点11 平行线判定与性质求角度和证明 考点12 定义、命题、定理 考点13 图形的平移 考点14 根据平移性质求解 考点15根据平移性质解决实际问题 考点16 平移作图 ( 地 城 考点01 对顶角 ) 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）下列各图中，和是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，判断即可． 【详解】解：A.和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； B.和没有公共顶点，所以不是对顶角； C.和没有公共顶点，所以不是对顶角； D.和有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角； 故选：D 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得，，若P，D，B三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，直线被直线所截，下列角中，大小与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解；由题意得，， 故选：B． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，有一个破损的三角形零件（部分），可利用图中的工具直接测得夹角的度数，依据的数学原理是_______． 【答案】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等，根据“对顶角相等”可知，图中要测量的角的度数就是图中量角器所示的度数． 【详解】解：利用图中的工具直接测得夹角的度数，依据的数学原理是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 5．（24-25七年级下·福建福州·期末）据《墨经》记载，两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．在图2的“小孔成像”实验中，线段与交于点O，若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，根据对顶角的性质得出，结合已知可求出的度数，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故答案为∶ ． ( 地 城 考点0 2 邻补角 ) 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直线、的夹角的度数是___________． 【答案】/80度 【分析】本题考查了两之间的夹角，邻补角，根据邻补角互补求出，即可求解． 【详解】解：∵直线和相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴直线、的夹角的度数是， 故答案为： 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知和互为邻补角，若，则____． 【答案】 【分析】本题考查邻补角，由邻补角的性质得到，又，即可求出． 【详解】解：∵和互为邻补角， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． ( 地 城 考点0 3 垂线 和垂线段 ) 1．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，点C在直线上，点A到直线的距离为4，连接，则的长度不可能为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：∵点A到直线的距离为4， ∴， 的长度不可能是3， 故选：D． 4．（24-25七年级下·福建福州·期末）宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是正确理解点到直线的距离．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短， 故选：C． 5．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，要把小河里的水引到田地A处，则作，垂足为B，沿挖水沟，水沟最短，理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】此题主要考查垂线段的性质．由题意知是点A到l的距离最短是的长度，即垂线段最短． 【详解】解：要把小河里的水引到田地A处，则作，垂足为B，沿挖水沟，水沟最短，理由是垂线段最短． 故选：B． 6．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是（    ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是垂线段最短． 故选：A ( 地 城 考点0 4 点到直线的距离 ) 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）数学来源于生活又应用于生活．下列现象中能用“点到直线的距离”来解释的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断． 【详解】解：A、能用“两点之间线段最短”来解释，不能用“点到直线的距离”来解释，故A不符合题意； B、可以用“点到直线的距离”来解释，故B符合题意； C、D中的现象可以用“两点确定一条直线“来解释，不能用“点到直线的距离“来解释． 故选：B． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，，，则点到直线的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6.25 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点C到直线的距离即为的长求解即可． 【详解】解：∵， ∴点到直线的距离是5． 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，点在直线外，点，在直线上，若，，则点到直线的距离可能为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：∵点在直线外，， ∴点到直线的距离小于且大于 故选：D． ( 地 城 考点0 5 三线八角 ) 1．（甘肃省兰州市某校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）如图，下列结论不正确的是（　　） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查对顶角、同位角、内错角、同旁内角，解题的关键根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A. 与是内错角，故该选项正确，不符合题意； B. 与不是同位角，故该选项不正确，符合题意； C. 与是内错角，故该选项正确，不符合题意； D. 与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，的同位角为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同位角的定义，根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 【详解】解：的同位角为， 故选：A 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，与是（    ）    A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角的概念进行判断即可． 【详解】解：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角， 则与符合内错角的定义，它们是内错角， 故选：C． 【点睛】本题考查内错角的概念，解决本题的关键是熟练掌握内错角的概念． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，直线a，b被直线c所截，的同旁内角是__________． 【答案】∠6 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角． 【详解】解：∵直线a、b被直线c所截， ∴∠3的同旁内角是∠6． 故答案为：∠6． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的概念，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． ( 地 城 考点0 6 平行线 ) 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的概念的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的概念，即可求判断． 【详解】解：由图观察，直线与直线有交点，直线与直线没有交点， ∴其中可能与直线平行的直线是， 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期末）观察如图所示的长方体，与棱平行的棱是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形，平行线的判定；解题的关键是理解题意．根据长方体的特征，即可得到与棱平行的棱． 【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有棱、棱、棱， 故选：B． ( 地 城 考点0 7 平行线的判定 ) 1．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图，在四边形中，点E在的延长线上，连接交于点F，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（  ） A．①或② B．①或④ C．②或④ D．②或③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是明确平行线的判定方法． 根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，可以判断各个小题中的结论是否符合题意． 【详解】解：， ，不能判断，故①不符合题意； ， ，故②符合题意； ， ， ，故③符合题意； ， ，不能判断，故④不符合题意； ∴能判断的是②或③， 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的三个判定方法是解答本题的关键；根据平行线的判定，结合图形可考虑同位角相等或同旁内角互补来解答． 【详解】解：当时，可有； 也可以是或． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理：_____． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键．根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：依据的数学道理是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，射线交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据垂直找角之间的关系，再利用角之间的关系找边之间的关系． （1）根据垂直的定义可得：，根据平角是可得：，从而可求； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可知，根据同角的余角相等可得：，根据同位角相等，两直线平行，可证结论成立． 【详解】（1）解：， ， ，， ． （2）解：， 理由如下， ， ， ， 又， ， ． 5．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，已知为上一点，直线过点D，点E与点C在异侧，且．作射线，满足点G与点E在同侧，且，求证：．以下是其证明的大致过程，请将对应的内容或依据补全． 证明：与互为对顶角， （ ）． ， ， ． ， （ ）， （ ）． 【答案】对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了对顶角相等，角的计算，平行线的判定． 根据对顶角相等，角的计算，平行线的判定补全证明过程即可． 【详解】证明：与互为对顶角， （对顶角相等）． ， ， ． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 6．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，．判断与的位置关系，并证明．    【答案】，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定，先求出，根据内错角相等、两直线平行，可证． 【详解】解：，证明如下： ， ， ， ， ． ( 地 城 考点0 8 平行线的性质定理 ) 1．（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，直线，直线截直线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，根据两直线平行，同旁内角互补求角度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）如图，小言将一块直角三角板摆放在直尺上，若，则____． 【答案】/58度 【分析】本题重点考查了平行线的性质，平角的计算．根据直角三角形的性质及直尺的两边相互平行解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 4．（24-25七年级下·福建三明·期末）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为____________度． 【答案】75 【分析】首先计算的度数，再根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：75． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质并能灵活应用是解题关键． 5．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，，．    (1)求的度数； (2)如果是的平分线，那么与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)60° (2)，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出，即可得出答案； （2）求出，根据平行线的性质求出，求出，即可得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：， 理由是：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． ( 地 城 考点0 9 平行线的性质探究角度之间的关系 ) 1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，直线，与分别交于点M，N，，平分交于点P．点E在线段上，平分交于点F．若，则下列各角的度数一定等于x的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．设，，先利用角平分线的定义可得，，从而利用角的和差关系可得，，结合，进而可得，，从而可得，进而可得，可得，即，即可求解． 【详解】解：设，， ∵平分，平分 ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 则，即：， 可得：，即：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建厦门·阶段检测）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【详解】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，再沿方向修建．若直线，若，则的值是___________． 【答案】7 【分析】本题考查了方位角，平行线的性质，掌握方位角，平行线的性质，找出题干中式子之间的关系是解本题的关键． 由平行可得，再利用得出，，代入即可求出． 【详解】解：如图，取，，三点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即， ． 故答案为：7． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据，得出，根据，，可得，进而得出，根据两直线平行同旁内角互补，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)否 (2)图见解析，，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）根据角的定义即可解答； （2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下四种情况： 当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，α与β之间的数量关系为或或． 6．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知直线，，过点C作交于点P，点M在直线上，如图1． (1)求证：平分． (2)点Q是线段上一动点，连接． ①当平分时，如图2，求证：； ②如图3，若点Q在线段上，且，点H在射线上，连接，当时，试判断此时与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②，理由见解析 【分析】（1）证明，结合，结合，可得答案； （2）①证明，结合角平分线可得，可得； ②证明，可得，，可得，，证明，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴交于，点是直线上且不与A、B两点重合的动点． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点D、点E分别是线段、x轴负半轴上的动点，过E作，连接．若，请探究与之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形的面积不小于三角形的面积的2倍，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据，得，，根据求解即可； （2）过点D作，则，推出得，据此可得 ； （3）分三种情况：①当点C在第一象限时，②当点在第二象限时，③ 当点C在第四象限时，分别得到的长，然后利用列出不等式求解，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：如图1所示，过点D作， 则， ∴， ∴； （3）解：分三种情况： ①当点C在第一象限时，作轴于点，则，如下图所示： ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第一象限且不与、重合，则， ∴； ②当点在第二象限时，如下图所示，则， ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第二象限且不与、重合，则， ∴不存在点，使得； ③ 当点C在第四象限时，则， ∴， ∴ 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点C在第四象限且不与A、B重合，则， ∴； 综上所述，若，的取值范围是且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用特殊点解决问题． ( 地 城 考点 10 平行线性质求角度 ) 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数. 本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出，． 【详解】解: ， ， ， ， ， ． 故选：． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图所示的是一杆杆秤，在称物品时，提绳与秤砣绳互相平行，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．根据邻补角的定义可得的度数，再由平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则∠的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵直尺的对边平行， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后折射到水底处，是的延长线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等．根据，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图，，直线c是截线，，则的度数为（  ） A．35 B．55 C．125 D．135 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直接根据两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级下·福建厦门·期末）当平行光线从水中射向空气时，折射后也是平行的．如图，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，关键是两直线平行，同位角相等．先根据得出的度数，再由得出的度数，根据即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ，， ． ，， ． ． 故答案为：13． 7．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直线，现将一块三角尺的顶点放在直线上，若，则的度数为_____． 【答案】/62度 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论等知识．作，证明，得到，进而得到，即可求出． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 8．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．如图2，是甘肃敦煌“天空之镜发电站”，是将太阳光线反射到固定位置的光学装置．其工作原理如图3，为垂直于地面的集热塔，H为吸热器，为可绕支点E旋转的定日镜（角度可实时调整），太阳光线通过定日镜，将反射光线射到吸热器H上．若正午时刻太阳光线与的夹角，则反射光线与集热塔所形成的的度数为______． 【答案】/72度 【分析】本题考查的是平行线的性质，垂直的定义，先过作于，求解，结合反射原理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 9．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直线，点在上，平分，平分，分别交直线于点．若，，则的度数为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 过点作，根据平行线的性质可得，，根据角平分线的定义可得，，进而可得，，再根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵ ∴ ∵，， ∴， ∵平分，平分，，， ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 10．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，直线，点在直线上，的两边与直线分别交于B、C两点．若，则的大小为_______． 【答案】/30度 【分析】此题考查了平行线的性质，平角的概念． 如图所示，首先根据平行线的性质得到，然后结合平角的概念求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点G在两条平行线之间，与的角平分线交于点H．若，则的度数为_______．                                         【答案】/42度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过点作，易得，同理得到，结合角平分线的定义，即可得出结果． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵与的角平分线交于点H， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H． ①若，试判断与的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质几何角平分线的定义即可说明结论； （2）①，则，，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义得到，由（1）可知，最后根据，推出，进而得到，即可得到结论；②由①得，求出，过点M作，则，然后分当点M在线段上时，当点M在线段的延长线上时，分情况分别求得即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， 又平分， ， ． （2）解：①，理由如下： 设， ，， ，，， ， ， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ． ②同①设，则， ， 过点M作，则， 当点M在线段上时，如图所示， ， ， ， ， ， ， ； 当点M在线段的延长线上时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． ( 地 城 考点 11 平行线判定与性质求角度和证明 ) 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数不变，理由见解析 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，点分别是三角形的边上的点，，．若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质求解即可，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，平分，且． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）由和平分可得，再由可得，即可得到； （2）设，由（1）得，则，，则，，根据，求出，则，由得，即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ． （2）解：设， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，求的度数； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（可用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，，解题的关键是∶ （1）如图，过B作，根据平行线的性质求出，根据光的反射定律并结合已知求出，根据平行线的性质求出，然后根据角的和差关系求解即可； （2）①过E作，根据平行线的传递性可得出，根据平行线的性质得出，，根据光的反射定律求出，进而求出，，然后根据平行线的性质求解即可； ②由①可求当和重合时，，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解∶由题意得， ， 如图，过B作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①根据题意，得，， 过E作， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过E作， ∴， ∴，， 当和重合时，则， ∴， 当时，如图， 由①可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图，过E作， 同理可求出， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期末）补全求解过程，并在括号内填写理由． 如图，已知平分，，，试求的度数． 解：平分，（已知） ．（角平分线的定义） ，（已知） ① ．（等量代换） ．（ ② ） ．（ ③ ） ，（已知） ④ ． 【答案】①；②内错角相等，两直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；④50 【分析】本题主要考查了角平分线定义、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．利用角平分线定义、等量代换推出平行线，再依据平行线性质求角的度数． 【详解】解：平分，（已知） ．（角平分线的定义） ，（已知） ．（等量代换） ．（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，同旁内角互补） ，（已知） 答案为：①；②内错角相等，两直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ ． 6．（24-25七年级下·福建莆田·期末）如图，，，，平分，求的度数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质． 由可得，，进而由角平分线的性质得到，由得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ，， 平分， ， ． ， ． 7．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，直线l与，分别交于点E，F直角三角形的顶点M，N分别在直线，上，． (1)______． (2)如图2，，的角平分线交直线于点． ①若，求证：； ②过点N作交于点Q，连接，补全图形．若，比较线段，的长度，并说明理由． 【答案】(1) (2)①详见解析；②，详见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，垂线段最短． （1）利用平行线的性质求解； （2）①证明，可得结论． ②利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图1中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①证明：如图2中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：图形如图所示， 结论：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． ( 地 城 考点 12 定义、命题、定理 )1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．相等的两个角是对顶角 C．如果，，那么 D．如果，那么和互为邻补角 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．根据对顶角，领补角，同位角及实数相关运算逐项分析各选项是否为真命题． 【详解】A、只有当两直线平行时，同位角才相等．若两直线不平行，同位角不一定相等，故A为假命题． B、对顶角相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），故B为假命题． C、根据实数的大小传递性，若且，则必有，故C为真命题． D、邻补角需满足相邻且互补，而仅互补不一定相邻（如平行线的同旁内角），故D为假命题． 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）下列命题属于真命题的是（   ） A．对顶角相等，两直线平行 B．互补的角是邻补角 C．若，则 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及对顶角、邻补角、平方性质及平行线判定定理．根据顶角、邻补角、平方性质及平行线判定定理，进行判断即可． 【详解】解：A．对顶角相等是正确性质，但“两直线平行”与对顶角无关，命题错误，故A不符合题意； B．互补的角不一定是邻补角（可能不相邻），如平行线的同旁内角互补但不是邻补角，命题错误，故B不符合题意； C．若，则或，结论不全面，命题错误，故C不符合题意； D．根据平行线判定定理，同旁内角互补时两直线平行，命题正确，故D符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）在同一平面内，下列命题中假命题的是（    ） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线相交 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知有三条直线a，b，c，若，，则 【答案】B 【分析】逐一分析各选项的正确性，依据平面几何的基本定理判断是否为假命题。 【详解】A. 垂线段最短是公理，正确，为真命题。 B. 过直线外一点可作无数条直线与已知直线相交，而选项B限定“有且只有一条”，明显错误，为假命题。 C. 平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题。 D. 同一平面内，若两直线均垂直于第三条直线，则它们平行，正确，为真命题。 4．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．同角的余角相等 D．如果，，那么 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及同位角、对顶角、余角的性质及平行公理．需逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等．本选项的命题是假命题． B、对顶角相等，本选项的命题是真命题． C、同角的余角相等，本选项的命题是真命题． D、根据平行公理有：如果，，那么，本选项的命题是真命题． 故选：A． 5．（24-25七年级下·福建福州·期末）判断命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了举例说明命题的真假，有理数的分类，要证明命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，需找到满足n是正数但n不是整数的反例，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、1是正数且是整数，不满足反例条件，不符合题意； B、是正数且不是整数，满足反例条件，符合题意； C、0不是正数，不满足条件，不符合题意； D、是负数，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级下·福建厦门·期末）下列命题中，假命题是（   ） A．负数没有平方根 B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 C．同旁内角互补 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假，根据平方根的定义、平行线的性质以及对顶角的性质逐一判断各命题的真假． 【详解】解：A．在实数范围内，平方根的定义要求被开方数非负，因此负数没有平方根，此命题为真命题． B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，此命题为真命题． C．只有当两直线平行时，同旁内角才互补．若未限定“两直线平行”，则此命题不成立，故为假命题． D．对顶角的定义决定了它们始终相等，此命题为真命题． 综上，假命题为选项C． 故选：C． 7．（24-25七年级下·福建南平·期末）下列命题中，真命题是（  ） A．同位角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．对顶角相等 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断命题的真假．根据平行线的性质，角的分类，对顶角，平方根，逐一分析各选项是否符合真命题的条件． 【详解】解：A．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定成立，原命题为假命题，故本选项不符合题意． B．两个锐角的和可能为锐角、直角或钝角，例如（锐角），原命题为假命题，故本选项不符合题意． C．对顶角的定义是两边互为反向延长线的角，根据几何基本定理，对顶角相等，故为真命题，故本选项符合题意． D．0的平方根是0，因此存在平方根，原命题为假命题，故本选项不符合题意． 故选：C 8．（24-25七年级下·福建厦门·期末）数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是______． 【答案】 【分析】本题考查的是数字类的逻辑推理，利用规则进行列表，从而可得答案. 【详解】解：五人依次记为，从开始报数： 如下表： （小明） （小华） 第一轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数 第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手 第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数 第六轮 报数 拍手 报数 报数 报数 ∵小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．” ∴游戏结束时对应的数字是； 故答案为： 9．（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与定理，平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 任选取两个作为已知条件，第三个作为结论，都可以组成一个真命题，选择一种情况，即可写出已知、求证；由平行线的性质推出，得到，判定，推出，由对顶角相等得到，即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ． ( 地 城 考点 13 图形的平移 )1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）下列各字的甲骨文写法中，能近似看成由其中部分图形平移而成的是（    ） A．北 B．山 C．众 D．石 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； B、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； C、可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项符合题意； D、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移．理解并掌握平移变换的性质是解题关键． 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小、方向，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A、能通过基本图形平移得到； B、能通过基本图形平移得到； C、不能通过基本图形平移得到； D、能通过基本图形平移得到． 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）每条边都相等，每个内角也都相等的六边形是正六边形．如图，连接正六边形顶点可以得到很多能完全重合的三角形．观察下列每组图形中的两个阴影三角形，可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的一组图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义及性质，掌握平移的定义、平移的性质是解题的关键．解题时，根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．可以通过向右下方平移得到，故符合题意； B．不能通过平移得到，故不符合题意； C．不能通过平移得到，故不符合题意； D．不能通过平移得到，故不符合题意． 故选：A． 4．（24-25七年级下·福建福州·期末）传统建筑的窗棂设计样式繁多、精巧美观，体现了中国建筑设计的独特艺术表现力和文化内涵．下面四幅在福州三坊七巷窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用平移设计图案，解题的关键是理解平移变换的定义．根据平移变换的定义判断即可． 【详解】解：根据平移变换的定义可知选项C，可以由一个基本图案（图中红线框内部分）平移得到． 故选：C． ( 地 城 考点 14 根据平移性质求解 ) 1.（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，点在线段上，沿射线方向平移到，如果，，那么平移距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移前后对应点连线的长度等于平移的距离．根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：平移的距离为， 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点为点，则平移的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移，平移前后两个图形的对应点连线平行或在同一条直线上，对应点连接的线段长度相等，等于平移的距离，将三角形沿射线方向平移得到三角形，平移的距离是线段的长或线段的长，只有线段的长度符合题意． 【详解】解：将三角形沿射线方向平移得到三角形， 点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， 平移的距离是线段的长或线段的长． 故选：A． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，将线段向右平移，得到线段，连接，，，下列线段中长度为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 故选：C． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，将直角沿方向平移得到，若平移的距离为5，，，则阴影部分的面积为（   ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．根据平移的性质可得三角形也是直角三角形，则，再求出，然后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积计算即可． 【详解】解：沿方向平移得到，平移的距离为7， 是直角三角形，， ， ， ， ； 故选：B． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，将直角三角形沿射线的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为_____． 【答案】5 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 先根据平移的性质得出，再由，，即可由求解． 【详解】解：连接， 直角三角形沿边的方向平移到的位置， ， ∴， ，， ∴， 即点与点的距离为5． 故答案为：5． 6．（24-25七年级下·福建福州·期末）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为______ 【答案】48 【分析】本题考查了整式加减的应用、平移的性质，利用平移的性质将不规则图形的周长转化为规则图形的周长是解题关键．如图（见解析），设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图①中长方形的周长为40，求得，根据图②中长方形的周长为58，求得，根据平移的性质可得没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，由此即可得． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， ∵图①中的长方形纸片的周长为40， ∴， ∴， 如图，图②中的长方形的周长为58， ∴， ∴， 由平移的性质可知，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为 ， 故答案为：48． 7．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，将沿方向平移得到，若则平移的距离是______． 【答案】6 【分析】本题考查了图形平移的性质，解题的关键是明确平移距离等于对应点之间的距离，且对应点连线长度相等． 根据平移性质可知，平移距离等于对应点间的距离，即；结合点E在之间，可得，而，通过这些关系建立等式求解平移距离． 【详解】解：设平移的距离为x． 由平移的性质可知，对应点之间的距离等于平移距离，即． ∵点E在之间， ∴． 又∵，且， ∴． 化简得，解得． 故答案为：6． 8．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，将沿着射线的方向平移到的位置，点是的中点．若平移的距离为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，中点定义，由沿着射线的方向平移到的位置，则，又点是的中点，则可求出，然后通过线段和差即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将沿着射线的方向平移到的位置， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，线段沿射线方向平移至线段，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质和平行线的性质，根据平移的性质可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：根据平移的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，将周长为12的沿方向向右平移个单位长度得到，若四边形的周长为18，则________． 【答案】3 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，结合周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∵的周长， ∴四边形的周长， ∴； 故答案为：3． 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若四边形的周长为，则三角形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的平移变换，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质即可求解． 【详解】解：三角形沿方向平移， ∴，， ∵四边形的周长是，即， ∴， ∴三角形的周长为， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形分别为点A，B的对应点，且点E在边上，若，则的长是__________． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质作答即可． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移得到三角形分别为点A，B的对应点，且点E在边上， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如下图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】21 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据阴影面积等于梯形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：，， ， ∵梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ， ， ∴． 故答案为：21． 14．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在三角形中，，将沿方向平移的长度得到，已知，，．    (1)______； (2)求图中阴影部分的面积， 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平移的性质，梯形面积，掌握平移的性质是解题的关键． （）由平移性质可得，，然后通过线段和差即可求解； （）由（）得，通过平移性质可得，，然后通过，即，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：由（）得：， ∵将沿方向平移的长度得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 15．（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学活动《二元一次方程的“图象”》的实践中，我们知道了在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解，可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现其他点也落在这条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． 进一步，我们归纳结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的“图象”，二元一次方程的“图象”是一条直线． 在平面直角坐标系中，二元一次方程的“图象”是直线，其中．将线段向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到线段，其中C是点A的对应点． (1)记直线为二元一次方程的“图象”，求a，b的值； (2)我们知道“把一个图形平移得到新图形，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）”．请利用这一性质，说明； (3)已知点满足．连接，点M在线段上，且．过点M作的平行线交于点N，若平分，根据图形特征，我们知道，请用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，证明见解析 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，平移的性质，平行线的判定与性质及平面直角坐标系． （1）利用平移的规律得到，代入中，建立方程组即可解答； （2）根据平移的规律得到线段向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段，即可说明； （3）根据题意，得点P在直线上，且位于第一象限或第三象限两种情况，根据平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得，     ∴，     解得； （2）解：∵，且，， ∴线段向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段，     其中点B是点A的对应点，点D是点C的对应点， ∴； （3）解：根据题意，得点P在直线上，且位于第一象限或第三象限．   设． ∵， ∴，     ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴．    当点P在第一象限时， ∵， ∴， ∵．     ∴，即；                               当点P在第三象限时， ∵， ∴， ∴，即；                                 综上，或． ( 地 城 考点 15 根据平移的性质解决实际问题 ) 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是公园某一段步行区的示意图，可抽象成长方形，长，宽．为方便观赏，公园特意修建了如图所示的步行小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，若沿着小路的正中间步行，从入口到出口步行的路线（图中虚线）的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 所以从入口A到出口B步行的路线（图中虚线）的长为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样， 故选：． ( 地 城 考点 16 平移作图 ) 1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知长方形四个顶点的坐标依次是，， ，． (1)在图中画出长方形； (2)将长方形平移，得到长方形，其中任意一点平移后的对应点为，请画出平移后的长方形，并写出点的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析，点的坐标为 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）直接描点连线即可． （2）根据平移的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，长方形即为所求． （2）解：由题意知，长方形向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度得到长方形， 如图，长方形即为所求． 由图可得，点的坐标为 2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，将平行四边形ABCD向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到平行四边形．画出平移后的图形，并写出平移后各个顶点的坐标． 【答案】图见解析， ，，，． 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移，理解并掌握平移的法则是解题关键． 首先将各点按照题意平移，然后顺次连接各点，并写出坐标即可． 【详解】解：作图如图所示： 平行四边形四个顶点的坐标分别是，，，． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）在如图所示的正方形网格中，将三角形平移得到三角形，使点A平移到点D处，点B、C对应点分别是点E、F． (1)画出三角形，分别写出下列各点的坐标：点D___________；点E___________；点F___________； (2)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标为___________． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，熟练掌握平移的规律，是解题的关键． （1）根据点A和点D的位置可知平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度，据此确定B、C对应点E、F的位置，然后作图即可； （2）根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形； 根据图形可知：；；； （2）解：点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标为． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，经过平移后得到，且点的对应点为，点B对应点E，点C对应点F． (1)请画出，并写出顶点E与F的坐标； (2)点是轴负半轴上一点，如果要使的面积不超过10，请写出Q点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)图见解析，，的坐标分别为：， (2) 【分析】本题考查作图－平移变换、三角形的面积、求不等式的解集，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）设点Q的坐标为，，根据题意可列不等式为，进而可得答案． 【详解】（1）如图，为所求作的三角形； ，的坐标分别为：， （2）设点Q的坐标为，， ∵的面积不超过10， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴Q点纵坐标m的取值范围为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01相交线与平行线 ☆16大高频考点概览 考点01对顶角 考点02补角 考点03线和睡线段 考点04点到直线的距离 考点05三线八角 考点06平行线 考点07平行线的判定 考点08平行线的性质定理 考点09平行线的性质探究角度之间的关系 考点10平行线性质求角度 考点11平行线判定与性质求角度和证明 考点12定义、命题、定理 考点13图形的平移 考点14根据平移性质求解 考点15根据平移性质解决实际问题 考点16平移作图 目目 考点01 对顶角 1. (24-25七年级下·福建福州期末)下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是() A <2 D >2 2.(25-26七年级上·福建泉州·期末)光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形ABFE为盛满水的 水槽，一束光线从点P射向水面上的点D,折射后照到水槽底部的点C.测得α=50°，B=30°，若P,D, B三点在同一条直线上，则∠BDC的度数为() A.40° B.30° C.20° D.10° 3.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，直线α，b被直线c所截，下列角中，大小与∠1相等的是() 1/26 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 4.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，有一个破损的三角形零件（部分），可利用图中的工具直接测 得夹角的度数，依据的数学原理是 120 5.(24-25七年级下·福建福州期末)据《墨经》记载，两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上 第一个“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示.在图2的“小孔成像”实验中，线段AC与 BD交于点O,若LA0B+∠C0D=60°，则∠BOC的度数为 B 图1 图2 目目 考点02 邻补角 1. (24-25七年级下·福建福州期末)如图，直线AB、CD的夹角的度数是 100° 2.(25-26七年级上福建福州期末)已知∠1和∠2互为邻补角，若∠1=80°，则∠2=· 2/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 垂线和垂线段 1.(24-25七年级下·福建漳州期末)如图，直线AB和CD相交于点0,0E10C,若∠A0C=58°，则 LEOB的大小为() D A.290 B.32° C.45 D.58° 2.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，点0在直线AB上，OC⊥OD.若∠A0C=120°，则∠BOD的 大小为() D A.30° B.40° C.50 D.60° 3.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，点C在直线BM上，点A到直线BM的距离为4，连接AC, 则AC的长度不可能为() B C M A.6 B.5 C.4 D.3 4.(24-25七年级下，福建福州期末)宇树科技Unitree B2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收 到需尽快上岸的指令后，选择路线AB到达岸边.其中蕴含的数学原理是() 4机器人 B 河岸 A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 3/26 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C.垂线段最短 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，要把小河里的水引到田地A处，则作AB⊥1，垂足为B,沿 AB挖水沟，水沟最短，理由是() B ◆A A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.两点之间线段最短 D.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6.(24-25七年级下·福建福州·期末)如图，要在河岸1上建一个水泵房引水到A处.可过点A作AB11于 点B,则将水泵房建在B处最节省水管长度.其理由是() A A.垂线段最短 B.经过一点有无数条直线 C.两点之间，线段最短 D,两点确定一条直线 目目 考点04 点到直线的距离 1.(24-25七年级下福建福州期末)数学来源于生活又应用于生活.下列现象中能用“点到直线的距离 来解释的是() 跳 B 弯曲河道改直 测量跳远成绩 木板上弹墨线 ● ● 两钉子固定木条 4/26 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25七年级下·福建福州期末)如图，AB⊥1，AC⊥2，CD⊥1， AB=4,BC=3,AC=5,CD=6.25,则点C到直线Z的距离是() B D A.3 B.4 C.5 D.6.25 3.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，点P在直线1外，点A,B在直线1上，若PA=5,PB=7,则 点P到直线的距离可能为() B A.7 B.6 C.5 D.4 目目 考点05 三线八角 1. (甘肃省兰州市某校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷)如图，下列结论不正确的是() D C 3 6 4 B F A.∠5与∠6是内错角 B.∠1与∠4是同位角 C.∠3与∠4是内错角 D.∠2与∠3是同旁内角 2.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，∠α的同位角为() p 5/26 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4 3.(24-25七年级下·福建福州期末)如图，∠1与∠2是() b 2 C A.对顶角 B.同位角 C.内错角 D.同旁内角 4.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，直线a,b被直线c所截，∠3的同旁内角是 6 目目 考点06 平行线 1.(24-25七年级下福建福州期末)如图，直线，b,c,d,e在同一平面内，且直线a,b,c,d交于一 点0，其中可能与直线e平行的直线是() A.a B.b C.c D.d 2.(24-25七年级下·福建漳州期末)观察如图所示的长方体，与棱A4平行的棱是() D B A Di A.AD B.BB C.AD D.AB 6/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点07 平行线的判定 1. (24-25七年级下·福建南平.期末)如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，连接AE交CD于 点F,对于给出的四个条件：①∠1=∠3；②∠4=∠B;③L2+∠5=180°；④∠D+LBCD=180°.其中能 判断AB∥CD的是() A 4 C A.①或② B.①或④ C.②或④ D.②或③ 2.(24-25七年级下·福建福州期末)如图，为使AB∥DC成立，请写出一组角的数量关系作为条件 D 4 1 2人5 B E 3.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这 个工具画平行线的道理： 4.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，在四边形ABCD中，射线CE交AD于点F,连接BF, BF⊥CE. B (1)若∠DFC=50°，求∠AFB的度数； (2)若∠FBC+∠AFE=90°，判断直线AD和BC的位置关系，并说明理由. 5.(24-25七年级下·福建福州期末)如图，已知∠ABC,D为AB上一点，直线EF过点D,点E与点C在 AB异侧，且LABC=2LADF.作射线DG,满足点G与点E在AB同侧，且∠EDG=∠ADF,求证： DG∥BC,以下是其证明的大致过程，请将对应的内容或依据补全. 证明：：∠ADF与∠BDE互为对顶角， 7/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADF=∠BDE(_). :∠BDG=_+LEDG, ∠EDG=∠ADF, ∠BDG=∠ADF+∠ADF=2∠ADF. :∠ABC=2∠ADF, ∠BDG=∠ABC(_), .DG IBC(_)· E B C 6.(23-24七年级下福建厦门期末)如图，己知∠DEB=100°，∠BAC=80°，判断DF与AC的位置关系， 并证明. D E B 目目 考点08 平行线的性质定理 1.(24-25七年级下·福建宁德期末)如图，直线α∥b,直线c截直线，b.若∠1=37°，则∠2的度数是 a b A.37° B.53° C.143° D.163° 2.(24-25七年级下福建龙岩期末)如图，小言将一块直角三角板摆放在直尺上，若∠1=32°，则∠2= 8/26 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 3.(24-25七年级下.福建漳州期末)如图，在ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作 DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=LCFA,CF=I,则BF=· D B 4.(24-25七年级下·福建三明·期末)将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为 度 5. (24-25七年级下.福建厦门期末)如图，AD∥BC,∠1=∠C,∠B=60°. (1)求∠C的度数； (2)如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由. 目目 考点09 平行线的性质探究角度之间的关系 1.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，直线AB,CD与MN分别交于点M,N,AB∥CD,MP平分 ∠AMN交CD于点P.点E在线段PN上，MF平分∠EMN交CD于点F.若∠MEN=2x,则下列各角的度 数一定等于x的是() M A B A.∠AMP B.∠PME C.∠PMF D.∠EMN 2.(24-25七年级下·福建厦门阶段检测)如图，己知直线AB∥CD,直线EF分别交直线AB,CD于点E, F,EM平分∠AEF交CD于点M,G是射线MD上一动点（不与点M,F重合），EH平分∠FEG交CD于 9/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 点H.设lMEH=a,LEGF=B.有下列四个式子：①2a=B;②2a-B=180°；③a-B=30°；④ 2a+B=180°.其中正确的是() B A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④ 3.(24-25七年级下·福建厦门期末)某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东α°方向到B 村，从B村沿北候西B方向到C村，再沿CE方向修建，若直线4BCE,若4a-4B=7,则产的值 是 E >0 K B 4. (24-25七年级下·福建厦门期末)如图，AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2.求证：∠E+∠ECD=180°. D E 5.(24-25七年级下·福建福州期末)如图1，直线MN上点P位于点Q的左侧，点A,B位于MN的上方， 点C,D位于MN的下方，在点A,B,C,D位置变化的过程中始终保持∠CPD=∠AQB=45°. D M N M- 图1 图2 备用图 10/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)∠AQB和LCPD是否可能为对顶角 (填“是”或“否”)； (②)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当PC∥BQ时，请在图2中补全图形，试判断AQ与PD的位置 关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当PC∥AQ时，若设∠DPQ=a,∠BQN=B,直接写出a与B之间的数量关系. 6.(24-25七年级下，福建福州期末)己知直线AB∥CD,∠ACB=∠A,过点C作CP⊥AC交AB于点P, 点M在直线CD上，如图1. M HD BO P 图1 图2 图3 (I)求证：CP平分∠DCB. (2)点Q是线段AP上一动点，连接CQ. ①当CQ平分∠MCP时，如图2，求证：∠ACQ=二∠BCP; ②如图3，若点Q在线段BP上，且∠BCQ=2∠QCP,点H在射线CD上，连接QH,当 3∠CQH+∠BPC=270°时，试判断此时QH与AC的位置关系，并说明理由. 7.(24-25七年级下·福建龙岩期末)在平面直角坐标系中，直线MN与x轴、y轴交于A(6,0)、B(0,4), 点C(m,n)是直线AB上且不与A、B两点重合的动点， B B D A 0 M M 图1 备用图 (I)求三角形A0B的面积； (2)如图1，点D、点E分别是线段OB、x轴负半轴上的动点，过E作EF∥AB,连接DE·若∠ABO=x°， 请探究∠BDE与∠DEF之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形B0C的面积不小于三角形A0C的面积的2倍，求m的取值范围. 11/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点10 平行线性质求角度 1. (24-25七年级下·福建福州期末)图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其 中AB∥CD∥I,∠BCD=60°，∠BAC=50°，若AM∥BC,则∠MAC的度数为() M D 图1 图2 A.60° B.70° C.50 D.110 2.（24-25七年级下·福建福州期末)如图所示的是一杆杆秤，在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平 行，若La=98°，则∠B的度数为() A B B D A.78° B.82° C.98 D.108 3.(24-25七年级下·福建福州期末)如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=66°，则∠2 的度数为() A.66° B.34° C.24° D.14° 4.(24-25七年级下·福建福州·期末)如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空 气射入水中，改变方向后折射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1=32°，∠2=50°，则∠GFH的度数 是() E 空气 F -B 水 、H 2 D 12/26 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.16° B.18° C.25° D.32° 5.(24-25七年级下·福建南平.期末)如图，a∥b,直线c是截线，∠1=55°，则∠2的度数为()。 A.35 B.55 C.125 D.135 6.（24-25七年级下.福建厦门期末)当平行光线从水中射向空气时，折射后也是平行的.如图，∠1=45°， ∠2=58°，则∠3的度数为° 3 空气 7.（24-25七年级下·福建福州期末)如图，直线m∥n,现将一块三角尺的顶点A放在直线n上，若 ∠1=28°，则∠2的度数为 -n A 8.(24-25七年级下·福建福州期末)如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面 内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角.这就是光的反射定律.如图2，是甘 肃敦煌“天空之镜发电站”，是将太阳光线反射到固定位置的光学装置.其工作原理如图3，G为垂直于地 面CG的集热塔，H为吸热器，AB为可绕支点E旋转的定日镜（角度可实时调整)，太阳光线DE通过定 日镜AB,将反射光线EH射到吸热器H上.若正午时刻太阳光线DE与AB的夹角∠DEB=54°，则反射光 线EH与集热塔IG所形成的LEHG的度数为 13/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 法线 入射光线 反射光线 H 反射面 0 光的反射定律 图1 图2 图3 9.(24-25七年级下·福建福州期末)如图，直线AB∥CD,点E,F在AB上，EG平分∠AEM,FH平分 ∠BFM,分别交直线CD于点G,H.若LEGH=x°，∠FHG=y°，则∠M的度数为 。（用含 x,y的代数式表示)· B D 10.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，直线a∥b,点A在直线b上，∠BAC=108°，∠BAC的两边与 直线a分别交于B、C两点.若∠1=42°，则∠2的大小为一· B C 2 b A 11.(24-25七年级下福建南平期末)如图，已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，点G在两条平行 线AB,CD之间，∠AEG与∠CFG的角平分线交于点H.若∠EGF=84°，则∠H的度数为 B G D 12.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，AD∥BC,∠BCD的平分线CG交AD于点G. G B 备用图 (I)试说明：∠DGC=∠DCG; (②)如图，线段CG上有一点P,满足LCDP=3LPDG,过点A作AH∥CG交BC于点H. 14/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①若∠BAH=2∠PDG,试判断AB与AD的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线CG上取一点M,使得∠PDM=∠BAH,直线DM交直线BC于点Q,求 ∠AGC-∠GM的值. ∠BAH 目目 考点11 平行线判定与性质求角度和证明 1. (24-25七年级上福建泉州期末)如图1，E点在BC上，∠A=∠D,∠ACB+∠BED=180°. D B 图1 图2 图3 (I)求证：AB∥CD; (2)如图2，AB∥CD,BG平分∠ABE,与LEDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，请直接 写出∠DEB的度数， (3)保特(2)中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK,DN平分∠CDE,作BP∥DN,则 ∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由. 3.(24-25七年级下.福建福州期末)如图，AB∥CD,DE平分∠ADC,且∠ADE=∠ABC. D (I)求证：DE∥BC; (②)连接BD,若BD⊥AD,且∠CBD=∠CDB,求∠DAB的度数. 4.(24-25七年级下·福建泉州期末)如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面 内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角”等于入射角i,这就是光的反射定律. 15/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 法线 入射光线 反射光线 30 A D M反射面O M反射面O 九六共、元 图1 图2 图3 (I)如图2，入射光线A0经镜面MON反射后的光线与墙相交于点B,若LA0B=110°，求∠OBN的度数； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面MN上，激光笔发出的光束BE射到镜面CD上， 经反射后与天花板形成的点记为F,激光笔AB与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角 ∠DCM=a. ①若a=20°，求反射光束EF与天花板所形成的角∠AFE的度数； ②若20°≤a≤70°，请直接写出反射光束EF与天花板所形成的角∠AFE的度数（可用含a的式子表示）· 5.（24-25七年级下·福建漳州期末)补全求解过程，并在括号内填写理由. 如图，已知AC平分∠BAD,∠1=∠2，∠BCD=130°，试求∠B的度数， 解：：AC平分∠BAD,(已知) :∠1=∠CAB,(角平分线的定义) :∠1=∠2，（已知） ·①=∠2.（等量代换） :AB∥CD.(②) .∠BCD+∠B=180°.（③） :∠BCD=130°，（已知） .∠B=180°-∠BCD=④°. D 6.(24-25七年级下·福建莆田期末)如图，AB‖CE,FG∥AC,∠B=70°，CE平分∠ACD,求∠1的 度数. A E F人 G 16/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25七年级下，福建厦门期末)如图，AB∥CD,直线1与AB,CD分别交于点E,F直角三角形 PMN的顶点M,N分别在直线AB,CD上，∠P=90°. M M\E 图1 图2 (I)∠AMP+∠PNC= (2)如图2，PN∥EF,∠NME的角平分线MO交直线CD于点O. ①若∠PMN=40°，求证：∠M0N=∠EFC+25°： ②过点N作NQ∥PM交EF于点Q,连接NE,补全图形.若PN∥OM，比较线段NE,NQ的长度，并说 明理由. 目目 考点12 定义、命题、定理 1.(24-25七年级下·福建厦门期末)下列命题是真命题的是() A.同位角相等 B.相等的两个角是对顶角 C.如果a>b,b>c,那么a>c D.如果∠1+∠2=180°，那么∠1和∠2互为邻补角 A.对顶角相等，两直线平行 B.互补的角是邻补角 C.若a2=b2,则a=b D.同旁内角互补，两直线平行 3.(24-25七年级下·福建福州期末)在同一平面内，下列命题中假命题的是() A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B.过直线外一点有且只有一条直线与己知直线相交 C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.己知有三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b 4.(24-25七年级下·福建龙岩期末)下列命题中，假命题是() A.同位角相等 B.对顶角相等 17/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.同角的余角相等 D.如果a∥b,b∥c,那么a∥c 5.(24-25七年级下福建福州期末)判断命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，只需举出一个反 例.反例中的n可以是() A.1 B.0.5 c.0 D.-0.5 6.(24-25七年级下.福建厦门期末)下列命题中，假命题是() A.负数没有平方根 B.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 C.同旁内角互补 D.对顶角相等 7.(24-25七年级下福建南平期末)下列命题中，真命题是() A.同位角相等 B.两个锐角的和是钝角 C.对顶角相等 D.0没有平方根 8.（24-25七年级下·福建厦门期末)数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成 一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规 则，则游戏结束.某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮(5个数)都有人拍手有人报数.小 明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错.”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错.” 则游戏结束时对应的数字是 B C(小明) D E(小华) 第一轮 1报数 报数 拍手 报数 报数 第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数 第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手 第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数 第六轮 报数 拍手 报数 29报数 报数 9.(24-25七年级下·福建福州期末)在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①∠C=∠D,②AC∥DF,③∠1=∠2中选取两个作为己知条件，第三个作为结论，组成一个 18/26 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 真命题 请你选择一种情况，写出己知、求证、并加以证明. D M 目目 考点13 图形的平移 1.(24-25七年级下·福建厦门期末)下列各字的甲骨文写法中，能近似看成由其中部分图形平移而成的是 2. (24-25七年级下.福建福州期末)下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是() 父.已已 . 3.(24-25七年级下·福建福州·期末)每条边都相等，每个内角也都相等的六边形是正六边形.如图，连接 正六边形顶点可以得到很多能完全重合的三角形.观察下列每组图形中的两个阴影三角形，可以通过平移 其中一个三角形得到另一个三角形的一组图形是() 4.(24-25七年级下·福建福州期末)传统建筑的窗棂设计样式繁多、精巧美观，体现了中国建筑设计的独 特艺术表现力和文化内涵.下面四幅在福州三坊七巷窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过 平移得到的是() 19/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D 柿蒂纹 海棠纹 四钱纹 如意纹 目目 考点14 根据平移性质求解 1.(24-25七年级下·福建泉州期末)如图，点E在线段BC上，ABC沿射线BC方向平移到aDEF,如果 BC=7cm,EC=4cm,那么平移距离为() A.3cm B.4cm C.7cm D.I1cm 2.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF,点B的 对应点为点E,则平移的距离是() D E A.线段BE的长B.线段BC的长C.线段BF的长D.线段EC的长 3.（24-25七年级下·福建厦门期末)如图，将线段AB向右平移2cm,得到线段CD,连接AC,BD, BC,下列线段中长度为2cm的是() A.AB B.CD C.AC D.BC 4.(24-25七年级下·福建泉州期末)如图，将直角ABC沿BC方向平移得到△DEF,若平移的距离为5， AB=10,DH=4,则阴影部分的面积为() 20/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D H B E A.50 B.40 C.30 D.20 5.(24-25七年级下·福建泉州·期末)如图，将直角三角形ABC沿射线AC的方向平移到三角形DEF的位 置，若CD=8,AF=I8,则点B与点E的距离为 D th. 6.(24-25七年级下·福建福州期末)将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形 和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 2 5 图① 图2 7.(24-25七年级下·福建漳州期末)如图，将aABC沿BA方向平移得到DEF,若DB=14,AE=2,则平 移的距离是 D B 8.(24-25七年级下·福建泉州期末)如图，将ABC沿着射线BA的方向平移到△DEF的位置，点E是 AB的中点.若平移的距离为4cm,则BD的长为 cm 21/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B 9.(24-25七年级下.福建厦门期末)如图，线段AB沿射线AE方向平移至线段CD,LBAC=70°，则 ∠DCE= C E 10.(24-25七年级下·福建泉州期末)如图，将周长为12的ABC沿BC方向向右平移k(k>0)个单位长 度得到△DEF,若四边形ABFD的周长为18，则k=· D B E 11.(24-25七年级下·福建福州期末)如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF,若四边 形ABFD的周长为18cm,则三角形ABC的周长为： B E 12.（24-25七年级下·福建福州期末)如图，将三角形ABC沿BA方向平移得到三角形DEF,D,E分别为点 A,B的对应点，且点E在边AB上，若BE=4,则AD的长是 D 13.(24-25七年级下·福建泉州期末)如下图，将梯形ABCD沿直线AB的方向平移到梯形A'B'C'D'的位置， 其中AD∥BC,∠ABC=90°，DC交BC于点E.若BE=6,CE=2,BB'=3,则图中阴影部分的面积 是 22/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C 14. (24-25七年级下·福建泉州期末)如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，将ABC沿AB方向平移 AD的长度得到aDEF,已知EF=16,BE=6,CG=4. F A D B E (1)BG= (2)求图中阴影部分的面积， 15.(24-25七年级下·福建福州期末)在数学活动《二元一次方程的“图象”》的实践中，我们知道了在平 x=1 面直角坐标系中，二元一次方程x-y=0的一个解 可以用一个点L,)表示出来.标出一些以方程 x-y=0的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现其他点也落在这条直线上，在这条直线 上任取一点，这个点的坐标就是方程x-y=0的解。 进一步，我们归纳结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的“图象”，二元 一次方程的“图象”是一条直线. 在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程x-y=-1的“图象”是直线AB,其中A(-1,0),B(0,1).将线段AB向 右平移1个单位，再向下平移2个单位得到线段CD,其中C是点A的对应点. (I)记直线CD为二元一次方程ax+by=2的“图象”，求a,b的值； (②)我们知道“把一个图形平移得到新图形，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）”.请利用这 性质，说明AB∥CD; 23/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)己知点P(m,n)满足am+bn=2,mn>0.连接AP,点M在线段AP上，且∠ACM=∠APC.过点M作 CD的平行线交AC于点N,若MN平分∠AMC,根据图形特征，我们知道∠OAB=45°，请用等式表示 ∠AMC与∠CAO之间的数量关系，并证明， 目目 考点15 根据平移的性质解决实际问题 1. (2425七年级下·福建泉州期末)如图是公园某一段步行区的示意图，可抽象成长方形ABCD,长 AB=12m,宽BC=5m.为方便观赏，公园特意修建了如图所示的步行小路（图中非阴影部分），小路的宽 均为1m,若沿着小路的正中间步行，从入口A到出口B步行的路线（图中虚线）的长为() B A.24m B.22m C.20m D.18m 2. (24-25七年级下，福建泉州期末)有一块长为m,宽为bm的长方形草地，计划在里面修一条小路， 共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移m得到的.四条小路的面积从左 至右依次用S,S2,S,S,表示.则关于四条小路面积大小的说法正确的是() A.S最大 B.S最大 C.S4最大 D.四个一样大 目目 考点16 平移作图 1.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知长方形ABCD四个顶点的坐标 依次是A-4,3),B(-4,1,C(-1,1,D-1,3. 24/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5 3 5-4-3-2-10 12345 3 4 5 (I)在图中画出长方形ABCD; (2)将长方形ABCD平移，得到长方形4，B,C,D,其中任意一点P(x,)平移后的对应点为P（x,+3,y-4), 请画出平移后的长方形A,B,C,D,并写出点D的坐标。 2.(24-25七年级下·福建厦门期末)如图，将平行四边形ABCD向右平移1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到平行四边形A'B'CD'.画出平移后的图形，并写出平移后各个顶点的坐标. 4 D 3 3 AZ1王 B -3-21 234567 2 3 3.(24-25七年级下·福建福州期末)在如图所示的正方形网格中，将三角形ABC平移得到三角形DEF, 使点A平移到点D处，点B、C对应点分别是点E、F. 3 2 -5-4-3-2-10 2345 2 3 =4 25/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)画出三角形DEF,分别写出下列各点的坐标：点D ；点E ；点F (2)若点P(x,y)是三角形ABC内部一点，则三角形DEF内部的对应点P的坐标为 4.(24-25七年级下，福建厦门·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A(-2,2),B(2,0),C(3,3),ABC经 过平移后得到aDEF,且点A的对应点为D(4,-2),点B对应点E,点C对应点F. 5 3 A 2 B 5-4-3-2-10 1 2345 一4 5 (1)请画出aDEF,并写出顶点E与F的坐标； (2)点Q是y轴负半轴上一点，如果要使△DEQ的面积不超过10，请写出Q点纵坐标的取值范围. 26/26