2025-2026学年福建各地名校卷期末专项汇编中难题不等式与方程

**基本信息** 汇编福建福州三牧中学、厦门一中、泉州五中名校期中期末中难题，聚焦不等式与方程综合应用，含选择、填空、解答题，覆盖解不等式组、方程组及实际应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|含参数不等式组整数解、新定义"幸运点"|结合坐标系、新定义，如"幸运点"判断象限| |填空|5|方程组与不等式综合、新定义"关联解"|设计卡片数字推理、"关联解"求参数范围| |解答|31|地铁碳币计算、文创购买方案、几何与方程综合|情境时代化（低碳出行、智能机器人），综合应用层次分明|

2025-2026学年福建各地名校卷期末专项汇编中难题 不等式与方程 福建福州市福州三牧中学等校2025-2026学年第二学期七年级期中考试卷 福建福州华伦中学2025-2026学年第二学期七年级期中适应性练习 数学科 福建福州现代中学2025-2026学年第二学期数学学科七年级期中考试卷 福建福州立志中学2025-2026学年第二学期期中考试七年级数学试卷 福建福州延安中学2025-2026学年第二学期期中考七年级数学试卷 福建省福州市仓山区2025—2026学年第二学期校内期中进阶练习七年级数学 福州屏东中学2025-2026学年第二学期七年级3月适应性练习 数学试题 福建省福州第十九中学2025-2026学年下学期七年级期中考数学试卷 福州第十九中学2025-2026学年第二学期3月七年级数学校本练习 福建福州屏东中学 2025-2026 学年第二学期中试卷 七年级 数学 福建省福州屏东中学2024-2025学年七年级下学期6月期末考试数学试题 福建省福州市仓山区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷 福建省福州市长乐区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题 福建省福州杨桥中学2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题 福建省福州台江区2024-2025学年下学期七年级期末考试数学试卷 福建省福州市晋安区2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷 福建省福州第一中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷 福建省福州市鼓楼区格致中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷 福建省厦门市第一中学2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷 福建省厦门市双十中学2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题 福建省厦门市同安区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题 福建省福州延安中学2024—2025 学年下学期期末考试七年级数学试卷 福建省福州第十九中学2024--2025学年下学期七年级数学期末考试卷 福建省厦门市思明区2024-2025学年七年级下学期数学期末考试卷 福建省厦门地区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 福建省泉州第五中学2024~2025学年下学期七年级期末考试数学试卷 福建省泉州第七中学2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题 福建厦门第一中学2025—2026学年下学期期中考试七年级数学试卷 福建省莆田市城厢区莆田擢英中学2025-2026学年耀英中学七年级下学期期中考试数学试题 1．（2026七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（    ） ①“幸运点”不可能在第二象限； ②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”； ④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 2．（2026七年级下·福建福州·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026七年级下·福建福州·期中）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·福建厦门·期末）从五个数a，b，c，d，e中抽取三个数相加，得到以下五个等式：，，，，，已知，则以下四个数中，最小的是（   ） A．a B．b C．c D．d 5．（2025七年级下·福建泉州·期末）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025七年级下·福建福州·期末）若关于的不等式组恰有4个整数解，且关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　） A．27 B．24 C．19 D．17 7．（2025七年级下·福建福州·期末）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025七年级下·福建福州·期末）国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 9．（2025七年级下·福建福州·期末）已知实数，满足，．若，则的最大值为（　　） A．30 B．32 C．34 D．50 10．（2026七年级下·福建福州·期中）若关于x的不等式＞0的解集是x＜，则关于x的不等式＞的解集是（　　） A．x＜ B．x＜ C．x＞ D．x＞ 二、填空题 11．（2026七年级下·福建福州·期中）如果方程组的解满足，则的取值范围是__________． 12．（2025七年级下·福建福州·期末）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是______（填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 13．（2025七年级下·福建福州·期末）定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“关联解”．例如：已知方程和不等式，对于未知数x，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“关联解”．如果是关于x的方程与关于x的不等式组的“关联解”，则n的取值范围________． 14．（2025七年级下·福建福州·期末）已知关于的方程组，其中，若，则的取值范围为______． 15．（2025七年级下·福建福州·期末）为鼓励学生居家锻炼，李老师组织线上仰卧起坐接力活动．4人为一组，每人自主设定个人目标（单位：次），组内任意2人之间均需接力一场，且每场接力2人都达到个人目标即停止，记录每场接力成绩（2人所做仰卧起坐次数之和）．小贾、小易、小冰、小丁为一组，他们六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106．若他们设定的个人目标分别记为，，，，其中，且．根据以上信息，得到三个结论：①，；②六场接力成绩由小到大可以依次表示为：，，，，，；③，，，的值分别为46，40，52，54．其中正确结论的序号是______． 三、解答题 16．（2025七年级下·福建厦门·期末）厦门地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用厦门地铁购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化．累计规则如下： ①使用厦门地铁刷卡时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额1：10比例进行碳币累计．例如，当票价为2元时，实付金额为元，累计增加18碳币． ②每日可在厦门地铁签到一次，每次签到可累计增加10碳币． ③用户可以用碳币在厦门地铁上兑换各项权益． 为响应低碳出行的号召，小沧决定使用厦门地铁刷卡乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择． 单程出行方式 总碳排放量 方式一 地铁8站（票价4元）电动车骑行 方式二 地铁9站（票价5元）电动车骑行 注：假设地铁每站碳排放量一样． 结合上述信息，回答下列问题： (1)若小沧连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币？ (2)求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量； (3)为尽可能多地兑换各项权益，小沧每月需要累计增加不低于1830碳币．他每月工作20天，在总碳排放量不超过千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月中方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由．（每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式） 17．（2025七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，连接． (1)若，，求线段的长； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，求m，c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 18．（2025七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， O为坐标原点． 已知点，， 连接． (1)若，，则线段___________； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 19．（2025七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 “不是菜鸟的盐小勺”系列文创商品设计独特、美观大方，将盐城黄海湿地生态之美活灵活现的注入到勺嘴鹬的形象当中．潮间带艺术村某商店有书签、冰箱贴、帆布包、毛绒玩具四种文创商品．已知1个毛绒玩具的价格是38元，1个帆布包的价格为36元，1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 素材2 小丽在该店购买了1套盐小勺书签和4个冰箱贴，一共花费了116元． 素材3 数学王老师打算给学生购买数学社团奖品，他准备用560元在该商店购买上述文创商品若干件． 问题解决 任务1 该店1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 任务2 若王老师只购买书签和冰箱贴两种商品，请问有哪几种购买方案？ 任务3 若王老师四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，王老师购买了多少个毛绒玩具？ 20．（2025七年级下·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接．若a，b满足．平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D． (1)填空：______，______，点D的坐标为______； (2)如图2，延长线段至点．连接，请利用，，的面积关系，求出m，n满足的关系式； (3)过点D作射线轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，连接交x轴于点Q，设运动时间为t秒，的面积为S，若，求t的取值范围． 21．（2025七年级下·福建福州·期末）已知在方程组中，、均为正数． (1)求出、的值（用含代数式表示）； (2)求出的取值范围； (3)当为何正整数时，求：的最大值？ 22．（2026七年级下·福建福州·期中）阅读以下材料：对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题： (1)________； (2)若，则的取值范围为________； (3)若，则________． 23．（2026七年级下·福建福州·期中）定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”．将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，解答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，32，33中，“互异数”为__________； ②计算：__________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字） (2)如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c； (3)如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围__________ 24．（2026七年级下·福建福州·期中）已知三个正整数，，满足，且． (1)请利用不等式的性质，证明：； (2)求，，的值． 25．（2026七年级下·福建福州·期中）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元． (1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？ (2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？ 26．（2025七年级下·福建福州·期末）我市某校为加强学生的体育锻炼，开展球类运动和比赛，需要购买若干个排球和篮球．两次购买排球和篮球的支出情况如表： 排球（个） 篮球（个） 总支出（元） 第一次 2 1 240 第二次 3 2 410 (1)求排球和篮球的单价各多少元？ (2)学校决定一次性购买排球和篮球共60个，且总费用不超过4500元，学校最少可以购买多少个排球？ 27．（2025七年级下·福建厦门·期末）同安作为闽南地区的历史文化名城，不仅有悠久的历史，还有众多特色美食和旅游景点周边文创产品．在同安特色文旅商品店中，同安封肉造型冰箱贴和北辰山景区文创书签很受欢迎．已知购买2个同安封肉冰箱贴和1个北辰山书签需要46元，购买1个同安封肉冰箱贴和2个北辰山书签需要38元． (1)同安封肉冰箱贴和北辰山书签的单价分别是多少元？ (2)小嘉有200元，打算用来购买这两种文创商品共15个，则小嘉最多可以购买多少个同安封肉冰箱贴？ 28．（2025七年级下·福建厦门·期末）“五一”黄金周，厦门市成为了国内热点旅游城市．许多游客常选“馅饼”和“椰子饼”作为伴手礼．已知购买3盒馅饼和2盒椰子饼共花费96元；购买1盒馅饼和4盒椰子饼共花费92元． (1)求馅饼和椰子饼的单价各是多少； (2)某商场的两家饼铺推出不同的促销方案：甲店全场九折；乙店100元任选6盒，不足6盒的部分按原价计费．小明打算购买馅饼和椰子饼共7盒（两种都购买），现有三种购买方案： 方案A：全部都在甲店购买，设购买x盒馅饼，则费用为 ； 方案B：全部都在乙店购买，则最低费用为 ； 方案C：在乙店购买6盒后，再到甲店购买1盒，则最低费用为 ； 试探究哪种购买方案更划算． 29．（2025七年级下·福建厦门·期末）（1）计算： （2）解方程组： （3）解不等式组： 30．（2025七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 31．（2025七年级下·福建福州·期末）某文具店计划购买一批笔记本和文具盒，店主小辉用6000元购进笔记本和文具盒在自家店铺销售，销售完后共获利1350元，进价和售价如下表： 价格 笔记本 文具盒 进价（元/件） 10 15 售价（元/件） 18 (1)小辉购进笔记本和文具盒各多少件？ (2)该商店第二次以原价购进笔记本和文具盒，购进笔记本件数不变，而购进文具盒件数是第一次的2倍，笔记本按原售价出售，而文具盒进行降价销售．若所有笔记本和文具盒全部售完，要使第二次销售活动获利不少于1230元，则第二次每件文具盒售价至少为多少元？ 32．（2025七年级下·福建福州·期末）已知：a，b，c是三个非负数，且满足，． (1)求c值（用含a的代数式表示c）； (2)求代数式的最大值． 33．（2025七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，为线段的中点． (1)求证：（表示三角形的面积，下同）； (2)点从原点出发以每秒2个单位长度向轴正方向运动，设运动的时间为秒，若，求的取值范围； (3)平移线段到线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解（，分别为点的横坐标与纵坐标），求． 34．（2025七年级下·福建福州·期末）解不等式组 35．（2025七年级下·福建泉州·期末）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 36．（2025七年级下·福建泉州·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)问方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； (3)若方程和至少有一个是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 37．（2025七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？ 素材1：我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算制作自己的手工制品，他们买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2：现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 问题解决： (1)求出长方体收纳盒的高度． (2)若按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 38．（2025七年级下·福建泉州·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 39．（2025七年级下·福建福州·期末）对于实数x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如，，．已知． (1)求m，n的值： (2)若关于t的不等式恰好有4个正整数解，求实数P的取值范围． (3)在第（2）题的条件下，已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，求的最小值． 40．（2025七年级下·福建福州·期末）如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 端午节期间，某商店销售A、B两种品牌的粽子．某班一次购买A种粽子20个，B种粽子30个，共花费660元；已知A种品牌粽子的单价比B种品牌粽子的单价，求A、B两种粽子的单价各是多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌粽子的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①低2元    ②高2元 [迁移类比] （2）请根据上面（1）中补充的条件，用列二元一次方程方程组的方法，求A、B两种品牌粽子的单价． [拓展探究] （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：该班决定再次购进A、B两种品牌的粽子共50个，此次刚好遇到商店“限时抢购”的活动，A种品牌的粽子单价打8折，B种品牌的粽子单价优惠2元．若此次购买A、B两种品牌粽子的总费用不超过540元，且购买A种品牌的粽子数量不多于B种品牌的粽子数量的，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 41．（2025七年级下·福建厦门·期末）定义：使方程(组)和不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式 (组)的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，， (2)若关于x，y的二元一次方程组 和不等式组有“梦想解”， 求m的整数解． 42．（2025七年级下·福建福州·期末）三坊七巷文创商店近期推出了许多新的文创产品，以更好地宣传三坊七巷的历史文化．景点内的爱心树钥匙扣、三条簪冰箱贴、佛跳墙玩偶等旅游纪念品深受广大游客们的喜爱．某商店准备购进两种旅游纪念品，已知进6件件需要540元；进5件件需要310元．纪念品销售单价分别定为77元，42元． (1)纪念品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过2060元的资金购进两种纪念品共50件，且种纪念品的数量不少于24件，商店共有几种进货方案？ (3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件纪念品售价优惠元，纪念品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这50件纪念品获得总利润最大的进货方案． 43．（2025七年级下·福建福州·期末）【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出x，y的值，再代入，求出的值． 方法二：将①，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】 为了得到方法二，可以将①，可得． 令等式左边，比较系数可得求得． 【解决问题】 (1)对于方程组利用方法二的思路，求的值； (2)已知实数a，b，满足，，且取最大值时，求的值． 44．（2025七年级下·福建福州·期末）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 45．（2025七年级下·福建厦门·期末）为了拓宽学生视野，某校计划组织900名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动．某旅游公司有两种型号的客车可以租用，已知1辆型车和1辆型车可以载乘客85人，3辆型车和2辆型车可以载乘客210人． (1)一辆型客车和一辆型客车分别可以载乘客多少人？ (2)若租用型客车和型客车（两种都租）刚好能装载这900名师生，请求出所有的租车方案？ (3)该校计划租用两种型号的客车共22辆，其中型客车数量的一半不少于型客车的数量，共有多少种租车方案？ 46．（2025七年级下·福建福州·期末）身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供．碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如下表： 分解的营养物质 氧气消耗量/克 二氧化碳生成量/克 释放热量/千焦 1克碳水化合物 1 1.5 15 1克脂肪 3 3 45 请解答下列问题： (1)研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2.5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克． (2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟） 47．（2025七年级下·福建福州·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法， 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x的方程的解为负数． (1)求a的取值范围． (2)已知，且，求的取值范围． 48．（2026七年级下·福建福州·期中）阅读理解： 【形成概念】我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合” 【初步感知】 （1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【问题解决】 （2）若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围 49．（2026七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)请直接填空： ________，B点坐标为________； (2)点是线段上一动点，求x，y之间满足的关系式（含x的式子表示y）； (3)如图2，将直线沿x轴向左平移，当平移后的直线经过点，点D是点A的对应点时，解决如下问题： ①在直线上是否存在点P，使得三角形的面积等于18？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； ②已知是直线上一动点，且点Q位于第二象限，若三角形的面积不大于9，求n的取值范围． 50．（2025七年级下·福建福州·期末）根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案． 购买方案 门票类型 A B C 购买数量                            51．（2025七年级下·福建厦门·期末）学校要购买，两种型号的足球，若买2个型足球和3个型足球，则要花费600元，若买1个型足球和4个型足球，则要花费550元． （1）求，两种型号足球的销售单价各是多少元？ （2）学校拟购买，两种型号的足球共20个，某体育用品商店有两种优惠活动：活动一，一律打九折；活动二，购物不超过1500元不优惠，超过1500元的超出部分打七折．通过计算说明型号足球最多购买几个时，选择活动一更划算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C C D B B D B 1．D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限、加减消元法、求不等式组的解集 【详解】解：结论①：一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，即幸运点满足．若“幸运点”在第二象限，则应满足，即，此不等式组无解，因此“幸运点”不可能在第二象限，故结论①符合题意； 结论②，若“幸运点”在坐标轴上，则当在轴上时，，即，解得．当在轴上时，，此时，因此或，故结论②不符合题意； 结论③，对于方程组由①+②，得 ，整理得，因此以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”，故结论③符合题意； 结论④，，当时，，，此时点为“幸运点”，故结论④符合题意． 综上可知，正确的结论是． 2．C 【知识点】已知点所在的象限求参数、加减消元法、求不等式组的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】当时，方程为，再把两个方程相加可判断①，由两个方程相减，再建立方程可判断②；解方程组求解可判断③；解方程组可得，再建立不等式组可判断④． 【详解】解：当时， 方程组为， 解得： 代入，与已知矛盾，故①不符合题意； ∵， （4）（3）得：； ∵， ∴，解得，故②符合题意； ∵ ∴（3）+（4）得：； 而可得； ∴， ∴，故③符合题意； ∵， 解方程组可得：， 若点落在第三象限，需满足且， 即， 解可得：； 解可得：， ∴不等式组无解， ∴将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限；故④符合题意； 综上所述，正确的有3个． 3．C 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组得到其解集，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推导m的取值范围即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有3个， ∴整数解为1、0、， ∴； 故选C 4．C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据，可得，再由，可得，然后根据，可得到，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四个数中，最小的是c． 故选：C 5．C 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分别解两个不等式，确定解集的公共部分存在的条件，进而求出m的取值范围． 【详解】解第一个不等式， 得； 第二个不等式， 若不等式组有解，需满足和有公共部分， 即， 解得， 当时，与无解， 故选C． 6．D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组及一元一次方程整数解问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． 表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有4个整数解确定的取值范围，再由方程的解为正整数，求出满足条件的整数k，从而求解． 【详解】解： 解得：， ∴ ∵不等式组恰有4个整数解， ∴4个整数解为1，2，3，4， ∴， 解得：， 解方程， 得： ∵关于的一元一次方程有非负整数解 ∴ ∴ ∴ ∴符合条件的所有整数的值有8，9 ∴． ∴符合条件的所有整数的和为17． 故选择：D． 7．B 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 8．B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 9．D 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】根据题意，得，，根据，得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，． ∴， 又∵， ∴ 解得： ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，得出是解题的关键． 10．B 【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】根据＞0的解集是x＜，可以判断a和b的符号情况，再根据a和b的符号求不等式＞的解集． 【详解】∵关于x的不等式＞0的解集是x＜ ∴a＜0 ∴ ∴ ∴b＜0 ∴＞ ∴ ∴ 故答案选：B． 【点睛】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质3是解题的关键． 11． 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】由方程组可得出，结合，可得，解出的取值范围即可． 【详解】解：， 得， 即， 若， 可得， 解得． 12．B 【知识点】不等式的性质、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键．由题意得到关于①②③④⑤的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 则，，，，， 得：，； 得：，； 得：，； 得：，； 得：，； ，且， B卡片上的数最大． 故答案为：B． 13． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了方程的解、不等式组的解法以及新定义问题．熟练掌握方程的解的定义、解一元一次不等式组的方法是解题的关键．本题可根据“关联解”的定义，先求出方程的解，再将此解代入不等式组，从而得到关于的不等式组，最后求解该不等式组得到的取值范围． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴． ∵是不等式组的“关联解”， 将代入不等式组可得： ，即． 把代入上述不等式组得． 解不等式： ， ， ， ． 解不等式： ， ， ， ． 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 14． 【知识点】求不等式组的解集、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组的，解方程组求出与的关系式，进而根据题意列出关于的不等式组，解不等式组即可求解，解题的关键是根据题意列出不等式组． 【详解】解：， ①②，得， ，得， ∵，， ∴， 解得， 故答案为： 15．②③/③② 【知识点】不等式的性质 【分析】根据可知最小，最大，所以，，故①错误，由，可知，故②正确，根据，，求出，，，，故③正确，选出正确的选项即可． 【详解】解：∵， ∴最小，最大， ∵六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106， ∴，，故①错误， ∵ ∴，故②正确， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，故③正确， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质列出并求出，，，的值是解答本题的关键． 16．(1)这五天共累计增加410碳币 (2)乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为 (3)一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一），详见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、不等式组的方案选择问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组； （1）利用这五天共累计增加碳币的数量（选择方式一单程出行累计增加碳币数每次签到可累计增加碳币数），即可求出结论； （2）设乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为，根据采用方式一、方式二单程出行的总碳排放量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设一个月中选择次方式一出行，则选择次方式二出行，根据“总碳排放量不超过42.2千克，且每月需要累计增加不低于1830碳币”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （碳币）． 答：这五天共累计增加410碳币； （2）解：设乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为， 根据题意得：， 解得：． 答：乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为； （3）解：一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一），理由如下： 设一个月中选择次方式一出行，则选择次方式二出行， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可以为25，26，27，28，29，30， 一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一）． 17．(1) (2)①，；②，且 【知识点】求不等式组的解集、坐标系中的平移、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了平行于坐标轴的线段长、平移变换、动点三角形面积问题、一元一次不等式的应用等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键． （1）可求，，可得A、B纵坐标相同，故线段轴，即可求解； （2）①由得，则可得，，由平移的性质可得，，则可得，，进而可求出c的值 ②分四种情况讨论：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ），先列出S与b的关系式，再根据列不等式求出b的范围即可． 【详解】（1）解：若，， 则，， 则轴， ． （2）解：①若， 则， ∴，， ∴将点A向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到B点． ∴平移线段，使点A，B的对应点分别为点，， ∴，， ∴将点P向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到Q点． ，， 解得，． ②由①得，． （ⅰ）如图，当时， ， ∵， ， 解得， 时，成立； （ⅱ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅲ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅳ）如图，当时， ， ， ， 解得， ∴当时，成立； 综上，当时，b的取值范围是：，且． 18．(1) (2)①；②且 【知识点】坐标系中的平移、用一元一次不等式解决几何问题、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）可求，，可得A、B纵坐标相同，故线段轴，即可求解； （2）①由得，则可得，，由平移的性质可得，，则可得，，进而可求出c的值 ②分四种情况讨论：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ），先列出S与b的关系式，再根据列不等式求出b的范围即可． 【详解】（1）解：若，， 则，， 则轴， ． （2）解：①若， 则， ∴，， ∴将点A向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到B点． ∴平移线段，使点A，B的对应点分别为点，， ∴，， ∴将点P向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到Q点． ，， 解得，． ②由①得，． （ⅰ）如图，当时， ， ∵， ， 解得， 时，成立； （ⅱ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅲ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅳ）如图，当时， ， ， ， 解得， ∴当时，成立； 综上，当时，b的取值范围是：且． 【点睛】本题主要考查了平行于坐标轴的线段长、平移变换、动点三角形面积问题、一元一次不等式的应用等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 19．任务1： 1套书签的售价为36元，则1个冰箱贴的售价为20元；任务2：有3种方案，①购买15套书签，购买1个冰箱贴；②购买10套书签，购买10个冰箱贴；③购买5套书签，购买19个冰箱贴；任务3：王老师购买了4个毛绒玩具 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题关键是： 任务1：设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； 任务2：设王老师购买x套书签，购买y个冰箱贴，根据总费用为560元列出二元一次方程，然后根据x、y都是正整数求解即可； 任务3：设购买a套书签、b个冰箱贴、c个帆布包、d个毛绒玩具，根据四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，列出方程组，整理可得，，根据四种文创商品都购买，得出，解不等式求出b的整数解，即可求解． 【详解】解∶ 任务1：设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的售价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答： 1套书签的售价为36元，则1个冰箱贴的售价为20元； 任务2 ：设王老师购买x套书签，购买y个冰箱贴， 根据题意，得， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴，，， ∴有3种方案，具体如下： ①购买15套书签，购买1个冰箱贴； ②购买10套书签，购买10个冰箱贴； ③购买5套书签，购买19个冰箱贴； 任务3：设购买a套书签、b个冰箱贴、c个帆布包、d个毛绒玩具， 根据题意，得 由②得，， 把代入①，并化简，得 把代入，得， ∵四种文创商品都购买， ∴， 解得， ∴整数b的值为6， ∴，， ∴王老师购买了4个毛绒玩具． 20．(1)4，， (2) (3)或 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根的非负性，坐标与图形，坐标与平移，解一元一次不等式，准确作出辅助线是解题关键 （1）根据非负数的性质可得a，b的值，进而根据平移的性质得出从A到C的平移方式是，先左平移2个单位，再向上平移3个单位，即可得出D点坐标； （2）延长线段至点，则E在第三象限，则，过点E作轴于点F，得到，进而分别表示出三个三角形的面积，根据即可求解； （3）根据得出，进而根据得出表达式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， ∵平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D、点C的坐标为， ， 从A到C的平移方式是：先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 将先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到，即， 故答案为：4，，； （2）如图，延长线段至点，则E在第三象限，则，过点E作轴于点F， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）如图所示： ， 依题意，，则， ， ， ， ， ， ， ，即或， 解得：或． 21．(1) (2) (3)当时，的最大值为 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、已知字母的值 ，求代数式的值、求不等式组的解集 【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答； 根据已知可得，，从而可得，然后进行计算即可解答； 把，代入中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：、均为正数． ，， ， 解得：， 的取值范围为：； （3）解：，， ， ，为正整数， 当时，有最大值，且， 当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22．(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、新定义下的实数运算 【分析】（1）（2）利用材料中的定义即可解答； （3）先说明的条件是，利用此规律列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，解得：． （3）解：设，则， ∵ ∴，即， ∵， 当且仅当时等号成立， ∴的条件是。 ∵， ∴，解得：， ∴． 23．(1)①；② (2)， (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字问题(二元一次方程组的应用)、列代数式、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）①由“互异数”的定义可得； ②根据定义计算可得； （2）根据，结合题意，列出二元一次方程组，即可求x和y的值，进而求得的值； （3）根据“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，分类讨论f，根据满足的互异数有且仅有3个，求出t的取值范围． 【详解】（1）解：①∵如果一个两位数的十位数字为，个位数字为，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”， ∴，，中，“互异数”为， ② （2）解：，且， ， ， ， 联立 解得， 故， ； （3）当时，，此时为不是互异数； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 满足的互异数有且仅有个， ． 24．(1) 见解析 (2) ，， 【知识点】不等式的性质 【分析】（1）先由，且，，为正整数得，则，，由此可得； （2）由（1）中结论可得，进而可得，同理得，则，结合可得，进而再求出的值即可． 【详解】（1）证明：，且，，为正整数， ， ， 又， ，， ，， ∴； （2）解：∵，且为正整数， ， 将代入，得， 同理：，则， ，且为正整数， ， 将代入，得， 综上所述：，，． 25．(1)每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； (2)最多能购买A型机器人台． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，根据购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，根据总费用不超过50000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元； （2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台， 由题意得：， 解得：， 答：最多能购买A型机器人台． 26．(1)排球的单价是70元，篮球的单价是100元 (2)学校最少可以购买50个排球 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设排球的单价是x元，篮球的单价是y元，利用总价=单价×数量，结合两次购买排球和篮球的支出情况，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校可以购买m个排球，则购买个篮球，利用总价=单价×数量，结合总价不超过4500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设排球的单价是x元，篮球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：排球的单价是70元，篮球的单价是100元； （2）解：设学校可以购买m个排球，则购买个篮球， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为50． 答：学校最少可以购买50个排球． 27．(1)同安封肉冰箱贴18元，北辰山书签10元 (2)小嘉最多可以购买同安封肉冰箱贴6个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．解题的关键是根据题目中的数量关系设立未知数，列出方程组和不等式进行求解，同时注意实际问题中未知数的取值应为正整数． （1）设两种商品的单价为未知数；根据两次购买的总价列出二元一次方程组；解方程组得到单价． （2）设购买冰箱贴的数量为未知数，并用该未知数表示书签的数量；根据总金额限制列出一元一次不等式；解不等式，结合正整数取值确定最大值． 【详解】（1）解：设同安封肉冰箱贴单价x元，北辰山书签单价y元 根据题意得：  ，解得 答：同安封肉冰箱贴18元，北辰山书签10元． （2）解：设购买同安封肉冰箱贴m个，则购买北辰山书签个， 根据题意得：   化简得：，   ， 因为m是最大的正整数，所以m取6． 答：小嘉最多可以购买同安封肉冰箱贴6个． 28．(1)馅饼的单价为20元，椰子饼的单价为18元 (2)元；118元；元；当购买一盒馅饼时，方案A更划算，当购买的馅饼大于1盒时，方案C更划算 【知识点】列代数式、用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列代数式等等，正确理解题意是解题的关键． （1）设馅饼的单价为x元，椰子饼的单价为y元，根据购买3盒馅饼和2盒椰子饼共花费96元；购买1盒馅饼和4盒椰子饼共花费92元建立方程组求解即可； （2）方案A中，购买椰子饼，分别计算出两种饼的费用，求和可得方案A的费用；方案B中，6盒饼需要100元，剩下一盒饼为椰子饼时费用最低；方案C中，6盒饼需要100元，剩下一盒饼为椰子饼时费用最低；比较出方案A与方案C的费用大小关系即可得到答案． 【详解】（1）解：设馅饼的单价为x元，椰子饼的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：馅饼的单价为20元，椰子饼的单价为18元； （2）解：方案A的费用为元； 方案B的最低费用为元； 方案C的最低费用为元； 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当购买一盒馅饼时，方案A更划算，当购买的馅饼大于1盒时，方案C更划算． 29．（1）；（2）；（3） 【知识点】求不等式组的解集、加减消元法、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算、解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （3） 分别求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，即可确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 原方程组的解为； （3） 解不等式得：， 解不等式得： 原不等式组的解集为． 30．(1)见解析； (2)①见解析；②，，． 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，则，据此可证明结论； （2）①同理可得，则，则可证明，则，据此可证明结论；②根据①可得或，则或或，再讨论a、m的值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵a，m均为整数，且，，， ∴或， ∴或或， 当时， ∵， ∴，即，不符合题意； 当时， ∵， ∴，即， ∵，且c、b都是整数， ∴， ∴，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，，． 31．(1)小辉购进笔记本300件，文具盒200件； (2)第二次每件文具盒售价至少为元． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设小辉购进笔记本x件，文具盒y件，根据总进价为6000元，利润为1350元建立方程组求即可即可； （2）设第二次每件文具盒售价为m元．根据第二次的利润不少于1230建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设小辉购进笔记本x件，文具盒y件， 根据题意，得， 解得， 答：小辉购进笔记本300件，文具盒200件． （2）解：设第二次每件文具盒售价为m元． 根据题意，得， 解得， 答：第二次每件文具盒售价至少为元． 32．(1) (2)最大值是18 【知识点】列代数式、一元一次不等式组的其他应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数和不等式组的应用能力． （1）用含有a的式子表示出b，c， （1）再代入代数式化为只含有a的式子，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出a的取值范围，最后将a的最大值代入代数式进行求解． 【详解】（1）解：， ， 把代入得， ， ． （2）解：， ， ，b，c是三个非负数， ，，， ， 当取最大值3时，有最大值18， 即的最大值是18． 33．(1)详见解析 (2)或 (3)3 【知识点】根据三角形中线求面积、利用平移的性质求解、用一元一次不等式解决几何问题、坐标与图形综合 【分析】本题考查了三角形面积公式、平移的性质、一元一次不等式的应用、二元一次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，设点到直线的距离为，分别表示出，，判断即可得解； （2）设，由（1）得，求出，由题意得，再表示出，结合题意建立不等式求解即可； （3）设，，由平移的性质求出，，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵为线段的中点， ∴， 设点到直线的距离为，则， ∴； （2）解：由点，得，， ∴ 设，由（1）得， ∴， 解得，， ∴ 由题意得， ∴或， ∴或， 解得或， ∴的取值范围为或；（写也可以） （3）解：点，的坐标分别是方程，的一组解， ∴可设，， ∵线段由线段平移得到， ∴， 解得 ∴，， ∴． 34． 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 35．，见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 由①得： 由②得： 此不等式组的解集为：． 在数轴上表示为： 36．(1)是，理由见解析 (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解“相伴方程”的定义是解题的关键． （）求出方程的解和不等式组的解集，进而根据“相伴方程”的定义判断即可； （）求出方程的解和不等式组的解集，根据“相伴方程”的定义得到关于的不等式，解不等式即可求解； （）求出两个方程的解，再分、和三种情况，根据“相伴方程”的定义解答即可求解； 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解方程，得， 解不等式组，得， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2）解：解方程，得， 解不等式组，得， ∵方程是不等式组的相伴方程， ∴， 解得； （3）解：解方程，得， 解方程，得， 当时，解不等式组，得， ∵方程和至少有一个是关于的不等式组的相伴方程， ∴或， 解得或， ∴； 当时，解不等式组，得， 此时两个方程都不是不等式组的相伴方程； 当时，不等式组无解，不合题意； 综上，的取值范围为． 37．(1)长方体的高度为 (2)见解析 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． （1）根据“底面长与宽之比为”列方程求解； （2）根据“按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解． 【详解】（1）解：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； （2）设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：，，，， ∴共有4种方案： ①图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ②图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ③图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ④图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 38．解集为：，数轴表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 数轴上表示如下： 39．(1) (2) (3)8 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出不等式求出，然后根据恰好有4个正整数解列出不等式求解即可； （3）首先解方程组得到，然后求出，表示出W，然后求出，，进而求解即可． 【详解】（1），． 解得； （2）， ， 解得 关于t的不等式恰好有4个正整数解 ， 解得 （3）， a，b，c为三个非负实数， 解得． ， ， 的最小值8． 【点睛】本题主要考查了新运算法则、 解二元一次方程组、解不等式组等知识点，理解新运算法则是解答本题的关键． 40．（1）①；（2）A种粽子单价为12元，B种粽子单价为14元；（3）A种粽子26个，B种粽子24个更节省资金，计算见解析 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、不等式组的方案选择问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）根据已知方程中的代数式可得答案； （2）设A种粽子单价为x元，B种粽子单价为y元，根据购买A种粽子20个，B种粽子30个，共花费660元；A种品牌粽子的单价比B种品牌粽子的单价低2元建立方程组求解可得答案； （3）设A种粽子a个，B种粽子个，结合此次购买A、B两种品牌粽子的总费用不超过540元，且购买A种品牌的粽子数量不多于B种品牌的粽子数量的，再建立不等式组求解即可. 【详解】解：（1）设A种品牌粽子的单价为x元，根据方程可得B种品牌粽子的单价为元 ∴例题中被覆盖的条件是① （2）设A种粽子单价为x元，B种粽子单价为y元， 依题意得， 解得． ∴A种粽子单价为12元，B种粽子单价为14元； （3）设A种粽子a个，B种粽子个，依题意得 ， 解得． a为正整数， 或26． 当时，总费用为， 当时，总费用为， A种粽子26个，B种粽子24个更节省资金． 41．(1) (2)或 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、加减消元法 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或． 42．(1)纪念品A每件的进价为50元，纪念品B每件的进价为30元 (2)该商店有5种进货方案 (3)当时，购进A种纪念品28件，B种纪念品22件时，销售这50件纪念品获得总利润最大；当时，选择各方案销售这50件纪念品获得总利润相同；当时，购进A种纪念品24件，B种纪念品26件时，销售这50件纪念品获得总利润最大 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查的是方程、不等式组的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型． （1）设纪念品A每件的进价为x元，纪念品B每件的进价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程求解即可． （2））设A纪念品购进a件，根据不等关系：购进A商品所需的费用+购进B商品所需的费用，A种纪念品的数量，列出不等式，解不等式，再根据a取整数，即可求得进货方案； （3）设总利润为w元，购进A种纪念品a件，求得w关于x的函数关系式为，对m的取值讨论即可求得总利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设纪念品A每件的进价为x元，纪念品B每件的进价为y元， 由题意可得：， 解得： 答：纪念品A每件的进价为50元，纪念品B每件的进价为30元； （2）解：设购进纪念品A有a件，则纪念品B有件， 由题意可得： 解得． 又∵a为整数， ∴a可以为24，25，26，27，28， ∴该商店有5种进货方案； （3）解：设销售这50件纪念品获得总利润为w元， 则， 若，即时，w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时； 若，即时，w的值不变； 若，即时，w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当时，购进A种纪念品28件，B种纪念品22件时，销售这50件纪念品获得总利润最大； 当时，选择各方案销售这50件纪念品获得总利润相同； 当时，购进A种纪念品24件，B种纪念品26件时，销售这50件纪念品获得总利润最大． 43．(1) (2) 【知识点】加减消元法、已知式子的值，求代数式的值、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了加减消元法， （1）模仿方法二，找到，，由即可求解； （2）模仿方法二可得，由取最大值时，需 取最大值、 取最小值，由此得出，，整体代入即可求解． 【详解】（1）解： 可以将①，可得． 令等式左边，比较系数可得 解得． 由得， 即； （2）∵ ∴取最大值时，需 取最大值、 取最小值， ∵，， ∴取最大值时，，， ∵． 44．（1）；（2），见解析 【知识点】实数的混合运算、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 45．(1)一辆A型客车可以载乘客40人，一辆B型客车可以载乘客45人 (2)2种方案，具体见解析 (3)4种方案，具体见解析 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设一辆A型车可以载x名乘客，一辆B型车可以载y名乘客，根据“1辆A型车和1辆B型车可以载乘客85人，3辆A型车和2辆B型车可以载乘客210人”可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“租用型客车和型客车（两种都租）刚好能装载这900名师生”题意列出方程，根据a、b为正整数讨论求解即可； （3）设租用m辆A型车，则租用辆B型车，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种租车方案． 【详解】（1）解：设一辆A型客车可以载乘客x人，一辆B型客车可以载乘客y人． 根据题意，得， 解得， 答：一辆A型客车可以载乘客40人，一辆B型客车可以载乘客45人； （2）解：设租用a辆A型客车，租用b辆B型客车， 根据题意，得，则， ∵a、b是正整数， ∴或， 故有两种租车方案：方案一：租用9辆A型客车，租用12辆B型客车；方案二：租用18辆A型客车，租用4辆B型客车 （3）解：设租用m辆A型客车，则租用辆B型客车， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴m的值可以为15，16，17，18， ∴共有4种租车方案： 方案一：租用15辆A型客车，7辆B型客车， 方案二：租用16辆A型客车，6辆B型客车， 方案三：租用17辆A型客车，5辆B型客车， 方案二：租用18辆A型客车，4辆B型客车． 46．(1)小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克 (2)小祺至少需要分配43分钟进行快走 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车，由此列不等式求解，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克， 根据题意，得， 解得， 答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克． （2）解：设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车， 根据题意，得， 解得， ∵结果精确到1分钟， ∴的最小值为43， 答：小祺至少需要分配43分钟进行快走． 47．(1) (2) 【知识点】一元一次方程解的综合应用、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了已知一元一次方程解的情况求参数取值范围、解特殊不等式组等．正确理解题意是解题关键． （1）先求解关于x的一元一次方程，根据解的情况建立关于参数的不等式，即可求解； （2）由，，可得的取值范围，同理可得的取值范围，故可求的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解为负数， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 48．（1）组合（Ⅰ）是“无缘组合”； 组合（Ⅱ）是“有缘组合”； （2） 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围． 【详解】解：（1）（Ⅰ）∵， ∴， ∵， ∴， ∵2不在范围内， ∴（Ⅰ）组合是“无缘组合”； （Ⅱ）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． ∵在范围内， ∴（Ⅱ）组合是“有缘组合”； （2）解方程， 去分母，得， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1得：， 解不等式， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵关于x的组合是“无缘组合， ∴， 解得：． 49．(1)， (2) (3)①存在，P点坐标为或②n的取值范围是 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、利用算术平方根的非负性解题、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，得到且并求解，即可解题； （2）由（1）知，点坐标为 ，B点坐标为，设x，y之间满足的关系式为，利用待定系数法求出关系式即可解题； （3）①根据平移的性质得到平移后的直线解析式，设P点坐标为，根据三角形的面积等于18，建立等式求解，即可解题； ②根据题意可得且，，利用三角形的面积不大于9建立不等式求解，得到，进而得到，即可解题． 【详解】（1）解：， 且， 解得，， B点坐标为； 故答案为：，． （2）解：由（1）知，点坐标为 ，B点坐标为， 点是线段上一动点，设x，y之间满足的关系式为， ， 解得， x，y之间的关系式为； （3）解：直线沿x轴向左平移，平移后的直线经过点， 即直线与直线平行， 设平移后的直线为， 有， 解得， 平移后的直线为， ①存在， 设P点坐标为， 三角形的面积等于18， ， 整理得， 即或， 解得或， P点坐标为或； ②是直线上一动点，且点Q位于第二象限， 且，， 三角形的面积不大于9， ， 即， 则有， ， 综上所述，n的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移规律，一元一次不等式运用，一次函数点的坐标特征，解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质． 50．任务1：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元；任务2：1210元；任务3：方案①：购买场馆门票10张，场馆门票12张，场馆门票8张；方案②：购买场馆门票10张，场馆门票11张，场馆门票9张 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】任务1：设场馆的门票价格为元，场馆的门票价格为元，根据两种购买方案所需金额建立方程组，解方程组即可得； 任务2：设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，从而可得关于的函数关系式，再根据到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数求出的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得； 任务3：设购买场馆门票张，场馆门票张，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，根据预算可得，由此可得，再求出的取值范围，根据为正整数分析求解即可得． 【详解】解：任务1：设场馆的门票价格为元，场馆的门票价格为元， 由题意得：， 解得， 答：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元； 任务2：设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人， 由题意得：， 要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数， ， 解得， 又为正整数， 由一次函数的性质可知，当时，取最小值，最小值为， 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元； 任务3：设购买场馆门票张，场馆门票张，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人， 购买门票总预算为1100元， ，即， 均为正整数，要让去场馆的人数尽量的多， ， ，即， 又要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数， ，即， 解得， ， ①当时，，符合题意， ②当时，，符合题意； 所以有两种购买方案，方案①：购买场馆门票10张，场馆门票12张，场馆门票8张；方案②：购买场馆门票10张，场馆门票11张，场馆门票9张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和函数关系式是解题关键． 51．（1），两种型号足球的销售单价各是150元/个，100元/个；（2）型号足球最多购买4个时，选择活动一更划算． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】(1)设A型足球的销售价格为x元/个，B型足球的销售单价为y元/个，根据“若买2个A型足球和3个B型足球，则要花费600元，若买1个A型足球和4个B型足球，则要花费550元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； (2)设购买总金额为m（m＞1500）元，求出当两种优惠活动所需费用相同时m的值，设该校购买A型足球a个，则购买B型足球（20-a）个，分总价小于m，解之即可得出结论． 【详解】解：(1)设A型足球的销售价格为x元/个，B型足球的销售单价为y元/个， 依题意，得：， 解得：． 答：A型足球的销售价格为150元/个，B型足球的销售单价为100元/个． (2)设购买总金额为m（m＞1500）元， 若两种优惠方案所需费用相同，则0.9m＝1500+0.7（m﹣1500）， 解得：m＝2250． 设该校购买A型足球a个，则购买B型足球（20﹣a）个， 当优惠活动一所需费用较少时，150a+100（20﹣a）＜2250， 解得：a＜5；此时a的最大整数值是4 答：型号足球最多购买4个时，选择活动一更划算． 【点睛】 本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $