22.5 数据变化趋势的刻画（教学课件）数学新教材冀教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“数据变化趋势的刻画”，核心知识点为用一次函数近似描述线性相关关系。课堂导入结合警察推断身高、《黄帝内经》记载等实例，衔接坐标系与一次函数知识，搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 其亮点在于融入传统文化与生活案例，通过“数学眼光”观察数据分布规律，“数学思维”推理拟合直线画法与解析式求解，“数学语言”表达预测结果。采用“整理数据-散点图-拟合直线-求函数-预测”完整建模流程，小结明确知识与方法，助力学生提升数据分析和建模能力，教师可高效开展教学。

22.5 数据变化趋势的刻画 第二十二章 数据的收集整理与描述 冀教版（新教材）·八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 熟练读懂折线统计图，会根据实际数据绘制折线统计图；掌握复合条形图和复合折线图的绘制方法，并能通过图例区分不同组的数据.理解不同统计图在描述数据特征上的本质差异，学会根据数据的类型特点与分析的实际目的，灵活选择最恰当的统计图表进行呈现。 理解折线统计图的核心作用 —— 反映数据增减变化趋势；理解统计表、不同统计图在数据描述上各自的优势与特点。体验统计图在现实生产生活中的应用价值，提升数据分析、读图用图的数学素养，感受统计与生态文明、社会发展的联系。 能够综合运用条形图和扇形图有效读取关键信息、深度分析数据关系，并能根据图表中的数据完成百分比、总数等相关数学计算。能从统计图中读取数据蕴含的信息（如增减趋势、大小比较），并能基于数据作出简单的推断与决策 （1）求极差，即数据中最大值与最小值的差. （2）决定组距与组数 ：组距=极差/组数. (3) 决定分点： 登记频数，计算频率，列出频率分布表. （5）画出频数分布直方图. 计算最大值和最小值的差，可以知道这组数据的变动范围． (4) 列出频数分布表； 组距：把所有数据分组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距． 绘制频数分布直方图的一般步骤： 知识回顾 注意： 1、组距和组数没有确定标准，当数据在 1000个以内时，通常分成5~12组； 2、在等距离分组中，在作频数分布直方图时，用小长方形的高表示频数。 坐标系与图象 知识回顾 1.平面直角坐标系 由横轴（x轴）和纵轴（y轴）组成，它们相互垂直并把平面分成四个象限，是确定平面内点位置的重要工具。 2.有序数对 平面内任何一个点的位置，都可以用一对有顺序的数(x， y)来表示。其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标，顺序不能随意调换。 3.描点三步走 列表，描点，连线 4.一次函数定义 形如y = kx + b（其中k、b是常数，且 k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。当 b=0 时，即为正比例函数。 5.一次函数图像 一次函数的图像是一条直线。通常取图像与坐标轴的两个交点 (0, b) 和 (-, 0)，即可画出这条直线。 6.一次函数解析式的确定 已知两点坐标可用待定系数法列二元一次方程组求； 4 新知导入 警察在破案时常根据脚印的长度来推断出罪犯的大致身高,考古学家也会根据古代人脚印的长度来确定古代人的大致身高. 猜测:人的身高和脚长存在一定的对应关系,人的脚越长，身高越高. 人脚印的长度与身高有什么关系? 在现实生活中,有一些量随着另一个量的变化呈现出一种大致的直 线变化趋势,但又与一次函数描述的确定关系不同.那么,如何描述这 种变化趋势和关系呢? 新知导入 编号 1 2 3 4 5 6 7 身高/cm 160 158 172 162 170 165 176 脚长/cm 22.6 22 24.3 23 24.5 24 25.1 身高与脚长之比(保留两位小数) 7.08 7.18 7.08 7.04 6.94 6.88 7.01 我们随机测量了以下几人的身高以及他们的脚长,计算身高与脚长的比值,将结果记录下表: ——我们多学习用近似一次函数刻画整体变化趋势。 如果将身高和对应的脚长作为点坐标(𝒙,𝒚)，在平面直角坐标系中标出对应点位置， 这些点会呈现怎样的分布状态？ 会在一条直线上面？ 能直观反映身高和对应的脚长两个变量的变化关系吗？ 读一读 原文: “黄帝曰:愿闻众人之度,人长七尺五寸者, 其骨节之大小长短,各几何?伯高曰:……足长一尺二寸,广四寸半 . ……肘至腕长一尺二寸半,腕至中指本节长四寸……” 伯高说: 成人身长以七尺五寸长计算， ……足长一尺二寸,宽四寸半 . ……肘至腕关节长一尺二寸半, 腕至中指本节长四寸…… 新知探究 探究点1 黄帝内经》小臂长与身高 我国现存最早的医学文献典籍 《黄帝内经》中的 《灵枢:骨度第十四》记载了黄帝与伯高的一段对话, 这段话说到了身高与各骨骼长度的对应关系 . 翻译 黄帝说: 我想听听普通人的骨度,成人身长以七尺五寸长计算,其骨节的大小、长短各是多少呢? 新知探究 探究点1 黄帝内经》小臂长与身高 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 小臂长/ cm 23.0 23.3 24.0 24.5 24.8 25.0 25.6 26.0 26.5 27.0 身高/ cm 156.2 158.1 159.8 160.2 161.3 163.2 164.5 167.2 169.5 170.0 (1)表格数据中小臂长和身高得对数据如何转化为点？ 建立平面直角坐标系，横轴为小臂长，纵轴为身高，逐个描出 10 个数据点，得到散点图。 第一步：收集数据 小丽在班里用抽签的方式选取了10 名女生，测量了她们的小臂长和身高，数据如下表所示: 新知探究 探究点1 黄帝内经》小臂长与身高 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . 154 0 156 158 160 162 164 168 170 166 x/cm y/cm 23.0 27.0 23.5 24.5 24.0 25.5 26.5 25.0 26.0 27.5 第二步：描 点 将表格中数据作为点坐标在平面直角坐标系里描点 新知探究 探究点1 黄帝内经》小臂长与身高 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . 154 0 156 158 160 162 164 168 170 166 x/cm y/cm 23.0 27.0 23.5 24.5 24.0 25.5 26.5 25.0 26.0 27.5 （2）所有数据点落在同一条直线上吗？数据变化有什么规律？ 第二步：描 点 小臂长增大，身高整体变大，点自左下向右上分布，近似呈直线上升。 不在同一条直线上； 10 新知探究 探究点2 拟合直线的画法 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . 154 0 156 158 160 162 164 168 170 166 x/cm y/cm 23.0 27.0 23.5 24.5 24.0 25.5 26.5 25.0 26.0 27.5 （3）你能用一条直线来描述这种变化趋势吗? 第三步：确定图形 从图形可以看出,身高y随小臂长x的增长呈大致的直线增长趋势. 可以画一条直线，使其整体上与图中的数据点较接近 11 新知探究 探究点2 拟合直线的画法 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . 154 0 156 158 160 162 164 168 170 166 x/cm y/cm 23.0 27.0 23.5 24.5 24.0 25.5 26.5 25.0 26.0 27.5 （4）绘制近似趋势直线的基本原则是什么？ 第三步：确定图形 直线上下两侧的散点数量大致均等，整体贴近大多数数据点，不需要经过全部数据点 12 新知探究 探究点2 拟合直线的画法 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . 154 0 156 158 160 162 164 168 170 166 x/cm y/cm 23.0 27.0 23.5 24.5 24.0 25.5 26.5 25.0 26.0 27.5 （4）绘制近似趋势直线的基本原则是什么？ 第三步：确定图形 两个变量无严格一一对应的函数关系，但整体近似沿直线变化，这种关系称为线性相关关系，可用一条拟合直线刻画整体变化趋势。 13 新知探究 探究点3 待定系数法求近似解析式 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . 154 0 156 158 160 162 164 168 170 166 x/cm y/cm 23.0 27.0 23.5 24.5 24.0 25.5 26.5 25.0 26.0 27.5 （4）如果能用一条直线，应怎样确定这条直线以及对应的一次函数呢? 第四步：确定函数 ①在拟合直线上选取了两点 、 注意：选取的两点不一定是表格中的原始数据，可在拟合直线上任意选取读数清晰的点。 14 新知探究 探究点3 待定系数法求近似解析式 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . （4）如果能用一条直线，应怎样确定这条直线以及对应的一次函数呢? 第四步：确定函数 ②设近似一次函数为y=kx+b，将选的 、代入得： 解得： ∴近似一次函数解析式： 15 新知探究 探究点3 待定系数法求近似解析式 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . （5）该解析式和之前学的精准一次函数有什么区别？ 第四步：确定函数 近似一次函数解析式： 精准一次函数的所有点都满足关系式，此式为近似模型，计算出的数值是估算值，和实际数据存在合理误差。 16 新知探究 探究点4 预测求值与误差分析 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . （6）小红的小臂长为 26cm. 请用得到的一次函数推测她的身高 第五步：应用近似函数 近似一次函数解析式： 误差主要原因： ① 人体骨骼发育存在个体差异； ② 拟合直线为人为近似选取； ③ 测量工具、读数过程存在不可避免的误差。 解：当x= 26cm时 ， （7）小红实际身高为。与实际身高 166cm 进行比较,思考为什么会有误差？ 新知探究 探究点4 预测求值与误差分析 议一议 实验：测量小臂长推算出人的身高 . 近似一次函数解析式： 刻画数据变化趋势建模步骤： →整理数据 →绘制散点图 →画拟合直线 →求近似一次函数 →估算预测。 01. 描点作图 建立平面直角坐标系，以横轴为年份对应值t，纵轴为收入R，将已知数据作为坐标点，在坐标系中逐一画出散点图。 02. 绘制近似直线 观察散点的分布趋势，用直尺画一条直线，使散点尽可能均匀分布在直线两侧，这条直线即为近似的趋势线。 03. 选取关键坐标点 在画出的近似直线上选取两个容易读取的点，例如端点或与网格线交点，用于后续计算。 04. 求解一次函数解析式 利用待定系数法，将选取的两点坐标代入一次函数通用式 y = kt + b，解二元一次方程组，计算出系数 k 和 b 的值，从而确定函数的具体解析式。 05. 代入求值，完成预测 验证值代入已求出的函数解析式中，计算得出函数值， 新知探究 探究点4 预测求值与误差分析 归一归 刻画数据变化趋势建模步骤： 典例分析 例1.通常来说，广告支出越多，商品销售收入越高，下表记录了一家公司某产品的广告支出与销售收入的数据. 广告支出/万元 1 2 4 5 7 销售收入/万元 12 20 25 30 40 绘制趋势图描述销售收入随广告支出增加的变化趋势，并预测当广告支出为 8 万元时，销售收入是多少. 解:绘制趋势图如图所示. 预测当广告支出为8万元时，销售收入是43万元.(答案合理即可) 典例分析 例2. 销量某冷饮店连续 7 天统计日平均气温与冰淇淋日销量，数据如下： 日平均气温 /℃ 18 20 22 24 26 28 30 冰淇淋日销量 / 盒 42 48 55 61 67 73 79 问题： (1) 绘制散点图，说明销量随气温的变化趋势； (2) 画出拟合直线，求近似一次函数解析式； (3) 预估日平均气温为时，冰淇淋的日销量。 (1) 描点后可见：散点从左下向右上排布，气温越高，销量整体越大，呈正线性相关； 18 20 22 24 26 28 30 30 40 50 60 70 80 销量 日平均气温 0 (2)设直线解析式为y=kx+b： 选取拟合直线上两点、， 代入， 解得： ∴解析式为：； 典例分析 例2. 销量某冷饮店连续 7 天统计日平均气温与冰淇淋日销量，数据如下： 日平均气温 /℃ 18 20 22 24 26 28 30 冰淇淋日销量 / 盒 42 48 55 61 67 73 79 问题： (1) 绘制散点图，说明销量随气温的变化趋势； (2) 画出拟合直线，求近似一次函数解析式； (3) 预估日平均气温为时，冰淇淋的日销量。 18 20 22 24 26 28 30 30 40 50 60 70 80 销量 日平均气温 0 (3) 解析式为：𝒚≈𝟑.𝟎𝟖𝒙−𝟏𝟑.𝟒𝟒 当𝒙=𝟑𝟐时， （盒）。 新知巩固 据国家统计局网站数据,从 2016 年至 2022 年某省全体居民人均可支配收入 R (万元)的数据如下表所示: 教材 P195页 (1 )用统计图直观表示 R 随年份增加的变化趋势 . (2 )请确定一个一次函数,近似表示 R 随 t 的增大而增长的趋势 . (3 )推测 2024 年该省全体居民人均可支配收入 . 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 对应的 t 值 0 1 2 3 4 5 6 R /万元 1.97 2.15 2.34 2.57 2.71 2.94 3.09 解：(1 )用统计图直观表示 R 随年份增加的变化趋势 . 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 1.5 2 2.5 3 3.5 0 R /万元 年份 新知巩固 据国家统计局网站数据,从 2016 年至 2022 年某省全体居民人均可支配收入 R (万元)的数据如下表所示: 教材 P195页 (1 )用统计图直观表示 R 随年份增加的变化趋势 . (2 )请确定一个一次函数,近似表示 R 随 t 的增大而增长的趋势 . (3 )推测 2024 年该省全体居民人均可支配收入 . 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 对应的 t 值 0 1 2 3 4 5 6 R /万元 1.97 2.15 2.34 2.57 2.71 2.94 3.09 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 1.5 2 2.5 3 3.5 0 R /万元 年份 (2) 选取拟合直线上两点、，联立， 解得， 解析式为； 新知巩固 据国家统计局网站数据,从 2016 年至 2022 年某省全体居民人均可支配收入 R (万元)的数据如下表所示: 教材 P195页 (1 )用统计图直观表示 R 随年份增加的变化趋势 . (2 )请确定一个一次函数,近似表示 R 随 t 的增大而增长的趋势 . (3 )推测 2024 年该省全体居民人均可支配收入 . 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 对应的 t 值 0 1 2 3 4 5 6 R /万元 1.97 2.15 2.34 2.57 2.71 2.94 3.09 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 1.5 2 2.5 3 3.5 0 R /万元 年份 (3 )当时， =0.185 2024371=3.44 预测 2024 年该省全体居民人均可支配收入为3.44万元。 1.空气质量指数（简称为AQI）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示． AQI数据 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 301以上 AQI类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某同学查阅资料，制作了近五年1月份北京市AQI各类别天数的统计图如下图所示． 根据以上信息，下列推断不合理的是（    ） A．AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月 B．AQI数据在0～100之间的天数最少的是2014年1月 C．这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动最大 D．2018年1月的AQI数据的月均值会达到“中度污染”类别 拓展提升 1.空气质量指数（简称为AQI）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示． 根据以上信息，下列推断不合理的是（    ） A．AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月 B．AQI数据在0～100之间的天数最少的是2014年1月 C．这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动最大 D．2018年1月的AQI数据的月均值会达到“中度污染”类别 解:A、AQI为“优”最多的天数是天，对应为年月，故A对； B、AQI在0~100之间天数最少的为2014年1月，故B对； C、观察折线图，类别为“优”的波动最大，故C对； D、2018年1月的AQI在“中度污染”的天数为1天，其他天AQI均在“中度污染”之上，因此D推断不合理． D 拓展提升 真题感知 2.（2025福建福州质检）《国家节水行动方案》中提出:到2022年，全国用水总量控制在6700亿立方米以内.小明根据国家统计局公布的2010~2022年全国用水总量(单位:亿立方米)的有关数据绘制了如下统计图，并添加了一条靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的发展趋势. 根据统计图信息，下列推断不合理的是( ) A.《国家节水行动方案》确定的2022年节点目标已完成 B.2010~2013年全国用水总量呈上升趋势 C.根据2010~2022年全国用水总量的发展趋势， 估计2023年全国570058用水总量约为5700亿立方米 D.根据2020~2022年全国用水总量的发展趋势， 估计2023年全国年份用水总量约为6 100亿立方米 C 真题感知 1.（2025.潮州统测）如图是某批乒乓球的质量检验优等品频率的折线统计图，这批乒乓球的质量检验优等品的频率稳定值约是（保留两位小数）（    ） A．0.91 B．0.95 C．0.98 D．0.97 解：这批乒乓球“优等品”频率稳定值约是0.95， B 知 识 总 结 两个变量的关系分为两类： 确定性函数关系（所有点共线）、近似线性相关（散点近似沿直线分布）； ② 刻画数据变化趋势的固定步骤： 整理数据→画散点图→拟合直线→待定系数求近似一次函数→估算预测。 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 数形结合思想： 由散点的图形特征抽象出一次函数表达式； 实际问题数学建模思想： 用一次函数简化现实零散数据，实现数据的合理预估。 易 错 提 醒 课堂小结 ① 拟合直线不必经过所有数据点，不用刻意迁就个别偏离的点； ② 近似函数计算出的结果是估计值，不能等同于真实数值； ③ 看清自变量的实际意义，代入数值时不要代错。 课后练习 1. 从班里随机选取 10 名男生,测量他们的手掌长 x(cm )和身高 y(cm ) . (1 )设计统计表记录数据,并在平面直角坐标系中描出点(x , y ) . (2 )请确定一个一次函数,近似表示 y 与 x 之间的关系 . (3 )在班中随机选择一名男生,测量他的手掌长和身高,比较身高的推测值与实际身高,说明误差的大小 . 教材 P186~187 页 A 组 解：（1）实测样本数据表格： 手掌长 /cm 17.0 17.6 18.2 18.7 19.1 19.5 20.0 20.4 20.9 21.3 身高 /cm 161 163 165 168 170 172 174 176 178 180 （2）取拟合直线上两点、， 联立解得， 解析式为； （3）实测某男生手掌长， 预估身高； 误差原因：个体发育差异、拟合直线人为近似选取、测量工具与读数存在误差。 课后练习 2. 实验表明,对于同一树种,一般树的胸径越大,树就越高 .由于测量树高比测量胸径困难,因此研究人员希望由胸径推测树高 . 在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据,如下表所示: 胸径 /cm 18.1 20.1 22.3 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 树高 /m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.3 22.6 请用直线近似刻画树的高度随胸径增大而增长的趋势,并推测树的胸径为 50cm 时树的高度 . 教材 P186~187 页 A 组 选取拟合直线上两点、 联立解得 解析式为 ； 17 19 21 23 25 27 29 31 33 18 19 20 21 22 0 23 树高 /m 胸径 /cm 当时， 。 谢谢聆听 $