专题08 一次函数的实际问题和几何问题（期末真题汇编，福建专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用与几何综合，精选福建多地期末真题，覆盖6大高频考点，注重真实情境与数学建模结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约30题|实际问题（方案选择/利润/行程/梯度计价）、几何综合（一次函数与菱形/正方形结合）|以采购水杯、海鲜礼盒等现实情境设计问题，融入方案优化、利润最值等综合应用；几何题结合动点、图形翻折考查函数与几何性质综合运用|

专题04 一次函数的实际问题和几何综合 6大高频考点概览 考点01 实际问题-方案选择 考点02 实际问题-利润问题 考点03 实际问题-行程问题 考点04 实际问题-梯度计价问题 考点05 实际问题-其它问题 考点06 一次函数与几何综合 地 城 考点01 实际问题-方案选择 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【答案】(1)，； (2)当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于20件和大于20件两种情况列出方程即可； （2）根据x不同的取值范围，分别求出当、、时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：，， ∴， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：当时，， 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用6000元购进了若干台A型打印机，用10000元购进了相同数量的B型打印机．已知B型打印机比A型打印机的单价贵200元． (1)B型打印机的单价是多少元？ (2)为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过20台，则每台B型打印机享九折优惠；若一次性购买超过20台，则前20台享九折优惠，超过的部分享八折优惠．设购买B型打印机x台，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式． (3)在（2）的优惠方案下，若购买A型、B型打印机共35台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】(1)500 (2) (3)购买A型打印机14台，B型打印机21台．最少花费13600元． 【分析】（1）根据两种打印机购买的数量相同建立分式方程即可求解． （2）分购买B型打印机20台以下与超过20台两种情况予以讨论． （3）根据题意先确定购买B型打印机的台数的范围，然后列出购买两种打印机所需的总费用的函数解析式，利用函数的增减性与自变量的范围进行最小值的讨论． 【详解】（1）设B型打印机的单价为x元，则A型打印机的单价为元，根据题意可列方程： 解得： 答：B型打印机的单价为500元． （2）根据题意，当一次性购买B型打印机不超过20台时，即时，； 当一次性购买B型打印机超过20台时，即时，； ∴y关于x的函数关系式是： （3）设购买B型打印机x台时，才能使花费最少，则购买A型打印机为台，依据题意得：， 解得： 设购买两种型号的打印机，总花费为y元，因 ，所以B型打印机花费元，A型打印机花费元， ∴ 即 因为一次函数，y随x的增大而增大， 故当x=21时，y值最小．此时 最小值为 即购买A型打印机14台，B型打印机21台时，花费最少，最少花费13600元． 【点睛】本题考查了分式方程与一次函数的应用，解题的关键是正确列出分式方程与函数解析式． 1．（24-25八年级下·福建莆田·期末）2025年6月，全国各地持续高温催生“清凉消费”热潮，空调、冰箱等制冷家电需求激增，某商城为积极响应群众迫切需求，切实保障市场供应，计划批量采购冰箱和空调．已知每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元．地 城 考点02 实际问题-利润题 (1)求每台冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商城购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】(1)每台电冰箱进价为2000元，每台空调进价为1600元 (2)当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元 【分析】本题主要考查一元一次方程和一次函数的应用，根据题意确定相等关系并据此列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每台冰箱的进价为x元，每台空调的进价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购进冰箱a台，利润为y元，根据题意，列出函数关系式，再求出a的取值范围，然后根据一次函数解析式解答，即可． 【详解】（1）解：设每台冰箱的进价为x元，每台空调的进价为元， 由题意得，， 解得 ， 此时， 答：每台电冰箱进价为2000元，每台空调进价为1600元． （2）解：设购进冰箱a台，利润为y元， 由题意可得， ， 根据题意得： ， 解得：， ∵， ∴y随a的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为元 ， 此时台， 答：当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）为迎接2025年中国国际渔业博览会，石狮市某渔业公司计划推出A，B两款海鲜礼盒，总产量为20000个．经过成本核算与市场调研，公司制定了营销策略：每个A款礼盒的成本为25元，售价为35元，每个B款礼盒的成本为150元，售价为180元，且生产的两款礼盒全部售出．设A款礼盒生产x个，售出两款礼盒获得的总利润为W元． (1)直接写出总利润W与x之间的函数关系式； (2)若A款海鲜礼盒的产量不少于B款海鲜礼盒产量的3倍，求可获得的最大利润． 【答案】(1) (2)公司可获得最大利润为300000元 【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，根据题意列出函数解析式和不等式是解题关键． （1）根据总利润=销售两款礼盒所获得的利润之和列出函数解析式； （2）根据A款海鲜礼盒的产量不少于B款海鲜礼盒产量的3倍列出不等式求出x的取值范围，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：根据题意得：， 与x之间的函数关系式为； （2）解：款海鲜礼盒的产量不少于B款海鲜礼盒产量的3倍， ， 解得， 又， ， 在中，， 随x的增大而减小， 当时，W最大，最大值为300000， 公司可获得最大利润为300000元． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）为迎接国际玩具博览会，某厂家计划生产塑料积木套装和环保积木套装两款产品，总产量为套．厂家经过市场调研，制定了定价和产量．相关信息如表： 成本（元/套） 定价（元/套） 产量（单位：套） 塑料积木套装 ① 环保积木套装 总利润与的关系式：② (1)请直接写出表格中的①，②； (2)若环保积木套装的产量不少于塑料积木套装产量的倍，且生产的产品全部售出，求厂家可获取的最大利润． 【答案】(1)①；② (2)厂家可获取的最大利润为元 【分析】（1）利用“塑料积木套装的产量总产量环保积木套装的产量”，可用含的代数式表示出塑料积木套装的产量，利用“总利润每套塑料积木套装的利润塑料积木套装的产量每套环保积木套装的利润环保积木套装的产量”，可找出关于的函数关系式； （2）由环保积木套装的产量不少于塑料积木套装产量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：∵总产量为套，且环保积木套装的产量为套， ∴塑料积木套装的产量为套， ∴总利润与的关系式为：， 故答案为：①；②； （2）根据题意得：， 解得：， 由（1）知：总利润与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为：（元）， 答：厂家可获取的最大利润为元． 【点睛】本题考查列代数式、列函数关系式、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）近几年，全国旅游呈现出快速复苏的良好势头，据某监测数据显示，今年五一期间泉州旅游同比增长接近，世界文化遗产开元寺是热门的旅游景点之一，吸引了大量游客．西街某商店为迎接即将到来的暑假旅游积极备货，已知该商店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多2元，用400元购进甲种纪念品和用320元购进乙种纪念品的数量相同． (1)每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少元？ (2)专卖店将每个甲种纪念品的售价定为15元，每个乙种纪念品的售价定为12元，根据市场调查，商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种纪念品共500个，假设这500个纪念品能够全部卖出，求该商店获得销售利润最大的进货方案． 【答案】(1)每个甲种纪念品的进价是10元，每个乙种纪念品的进价是8元 ． (2)购进100个甲种纪念品，400个乙种纪念品． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数式． （1）设每个甲种纪念品的进价是x元，则每个乙种纪念品的进价是元，根据用400元购进甲种纪念品和用320元购进乙种纪念品的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购进m个甲种纪念品，则购进个乙种纪念品，根据商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种纪念品，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，求出m的取值范围，再设这500个纪念品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个甲种纪念品的销售利润购进甲种纪念品的数量+每个乙种纪念品的销售利润购进乙种纪念品的数量，列出一次函数式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设每个甲种纪念品的进价是x元，则每个乙种纪念品的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种纪念品的进价是10元，每个乙种纪念品的进价是8元； （2）设购进m个甲种纪念品，则购进个乙种纪念品， 由题意得：， 解得：， 设这500个纪念品全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，此时， 答：该商店获得销售利润最大的进货方案是：购进100个甲种纪念品，400个乙种纪念品． 5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）某企业计划购买两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运吨，且型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同． (1)求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，购买金额不超过万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？ 【答案】(1)每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨； (2)购买型机器人台，型机器人台时，购买总金额最低是万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，由题意得，然后解方程并检验即可； （）设购买型机器人台，购买总金额为万元，由题意得，解得，然后得出，最后由一次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合实际， ∴（吨）， 答：每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨； （2）解：设购买型机器人台，购买总金额为万元， 由题意得：， 解得：， 由， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，此时， ∴购买型机器人台，型机器人台时，购买总金额最低是万元． 6．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）“一盘白斩人间味，舌上余香魂梦留”反映了百姓对肉质鲜美、色香味齐全的河田鸡的喜爱．长汀河田鸡是世界五大名鸡，是长汀的支柱产业之一．某代理商计划销售两种真空包装的河田鸡阉鸡型和型，经调查，用16000元采购型的件数是用7500元采购型的件数的2倍，一件型的进价比一件型的进价多10元． (1)求一件河田鸡阉鸡型，型的进价分别为多少元？ (2)该代理商购进型，型共200件进行试销，其中型的件数不大于型的件数，且不小于80件，已知型的售价为240元/件，型的售价为220元/件，且全部售出．设购进型件，求代理商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，代理商决定在试销活动中每售出一件型，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，该代理商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为13840元，求的值． 【答案】(1)一件河田鸡阉鸡型的进价为160元，则一件型的进价为150元 (2) (3)的值为12 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的实际应用，正确的列出分式方程，求出函数解析式，是解题的关键： （1）设一件河田鸡阉鸡型的进价为元，则一件型的进价为元，根据用16000元采购型的件数是用7500元采购型的件数的2倍，列出分式方程进行求解即可； （2）根据型的件数不大于型的件数，且不小于80件，列出不等式组求出的范围，根据总利润等于两种河田鸡阉鸡的利润之和，列出函数关系式即可； （3）根据题意，列出新的函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设一件河田鸡阉鸡型的进价为元，则一件型的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：一件河田鸡阉鸡型的进价为160元，则一件型的进价为150元； （2）型的件数不大于型的件数，且不小于80件， ， 解得， ， 与之间的函数解析式为； （3）设该代理商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的收益是元， 根据题意得：， 当时，随的增大而增大， 时，最大， ， 解得（舍去）； 当时，元，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 时，最大， ， 解得； 综上所述，的值为12． 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）初春时节，草莓飘香，某水果店根据销售经验购进奶油草莓与普通草莓共50千克，且普通草莓在数量不少于奶油草莓在，能恰好无损耗全部售出．现奶油草莓进价为26元/千克，普通草莓进价为20元/千克．奶油草莓销售单价为36元/千克，普通草莓销售单价为28元/千克，设奶油草莓有千克，全部售出两种草莓的总利润为元． (1)请直接写出与的函数关系式； (2)该水果店应如何进货，可使两种草莓全部售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)购进奶油草莓40千克、普通草莓10千克，可使两种草莓全部售完后获得利润最大，最大利润是480元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，根据题意列出一次函数解析式，是解题的关键． （1）根据题意列出函数解析式即可； （2）先根据普通草莓在数量不少于奶油草莓在，列出不等式，求出，然后根据一次函数的增减性，求出结果即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 随着的增大而增大， 当时，（千克），（元）． 故购进奶油草莓40千克、普通草莓10千克，可使两种草莓全部售完后获得利润最大，最大利润是480元 8．（24-25八年级下·福建厦门·期末）生态公园计划在园内的坡地上造一片有两种树的混合林，需要购买这两种树苗2000棵，种植两种树苗的相关信息如表． 品种 成活率 劳务费（元/棵） 3 4 已知购买种树10棵，种树5棵，需要花费250元；已知购买种树5棵，种树10棵，需要花费275元． (1)A，B两种树的单价分别是多少？ (2)若要求这批树苗种植后至少成活1960棵，生态公园能把造这片林的总费用控制在多少元？ 【答案】(1)A种树的单价是15元，B种树的单价是20元 (2)生态公园能把造这片林的总费用控制在不超过45000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，正确找出题中数量关系是解答本题的关键． （1）设A种树的单价为x元，B种树的单价为y元，根据“购买A种树10棵，B种树5棵，需要花费250元”，可列方程；根据“购买A种树5棵，B种树10棵，需要花费275元”，可列方程，得方程组，求解即可； （2）设购买A种树苗m 棵，则购买B种树苗棵，根据“这批树苗种植后至少成活1960棵”，A种树苗的成活率为，B种树苗的成活率为，可列不等式确定A种树苗数量的范围，再根据总费用的表达式求出费用的控制范围． 【详解】（1）解：设A种树的单价为x元，B种树的单价为y元，根据题意得： ， 解得， 答：A种树的单价是15元，B种树的单价是20元； （2）解：设购买A种树苗m 棵，则购买B种树苗棵，根据题意得： ， 解得， 造这片林的总费用， ∵， ∴y随m 的增大而减小， ∴当时，y有最大值，为（元）， 所以，生态公园能把造这片林的总费用控制在不超过45000元． 9．（24-25八年级下·福建厦门·期末）红星美凯龙某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型电脑的利润为2300元． (1)求每台A型空调和B型空调的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中B型空调的进货量不超过A型电脑的2倍，且限定商店最多购进A型空调70台，实际进货时，厂家对A型空调出厂价下调m（）元，若商店保持同种空调的售价不变，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B型空调各多少台，销售总利润最大． 【答案】(1)每台A型空调的销售利润为100元，每台B型空调的销售利润为150元 (2)该商店购进A型空调70台，B型空调30台，销售总利润最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）每台A型空调的销售利润为m元和B型空调的销售利润为n元，根据题意列方程求解即可； （2）先求出y与x的函数关系式，然后求出自变量x的取值范围，且x为正整数，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：每台A型空调的销售利润为m元和B型空调的销售利润为n元， 根据题意，得， 解得：， 答：每台A型空调的销售利润为100元，每台B型空调的销售利润为150元． （2）解：由题意，得， ， ， ，且x为正整数， 当时，， y随着x的增大而增大， 当时，y取最大值， 此时， 该商店购进A型空调70台，B型空调30台，销售总利润最大． 10．（24-25八年级下·福建莆田·期末）某厂生产 A，B两种果醋，每天两种果醋共生产600瓶，每种果醋每瓶的成本和利润如下表所示，设每天共获得利润为 y元，每天生产A 种果醋x瓶． A B 成本(元) 5 利润(元) 2 (1)请写出y关于x的函数关系式； (2)该厂每天投入生产果醋成本至少为2 370元，且生产B种品牌果醋不少于全天产量的，那么每天至少获利多少元，最多获利多少元？ 【答案】(1) (2)每天至少获利990元，最多获利1050元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出函数关系式和不等式组是解题的关键． （1）根据利润等于每一瓶的利润等于销售量求出A、B的利润，二者求和可得答案； （2）根据每天投入生产果醋成本至少为2370元，且生产B种品牌果醋不少于全天产量的列出不等式组求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， 解得， ∵， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为元， 当时，y有最大值，最大值为元， 答：每天至少获利990元，最多获利1050元． 11．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）某校准备购进一批篮球和足球供训练使用．若购买7个篮球和4个足球共需花费1440元；若购买10个篮球和8个足球共需花费2400元． (1)求篮球和足球的单价各是多少元？ (2)现学校拟购买篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的，问：最多需花费多少元？ 【答案】(1)一个篮球的售价是120元，一个足球的售价是150元 (2)最多需花费13860元． 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程组和函数关系式，是解题的关键： （1）设篮球和足球的单价各是元和元，根据购买7个篮球和4个足球共需花费1440元；若购买10个篮球和8个足球共需花费2400元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买足球个，花费的费用为元，根据题意列出不等式，求出的范围，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可。 【详解】（1）解：设篮球和足球的单价各是元和元， 由题意，得：， 解得：． 答：一个篮球的售价是120元，一个足球的售价是150元． （2）解：设购进足球a个，则购进篮球个，总花费为w， 根据题意可得，， 解得，， ∵， ∵ ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，即（元）． ∴最多需花费13860元． 地 城 考点03 实际问题-行程问题 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）小华8：00从家出发沿直线匀速前往图书馆．几分钟后，爸爸发现小华未携带图书馆出入卡，随即离家沿相同路径匀速追赶小华，追上小华后在原地休息交谈片刻，并以原速度沿原路返家．小华获得出入卡后以原速度的倍继续前行，在8：20到达图书馆．如图反映了小华和爸爸之间的距离与小华离家的时间之间的对应关系，则下列结论正确的是(   ) A．爸爸往返用时 B．爸爸追上小华后，交谈了 C．爸爸的速度为 D．图书馆离小华家 【答案】C 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．A．根据爸爸返回到家所用时间计算即可；B．根据图象计算即可；C．求出爸爸的速度与小华提速前的速度之比，设小华提速前的速度为将爸爸的速度和小华提速后的速度分别用含的代数式表示出来，根据～二人相距列关于的一元一次方程并求解，从而求出爸爸的速度即可；D．利用路程速度时间，根据小华提速前后路程之和为图书馆离小华家的距离列式计算即可． 【详解】解：爸爸用时返回到家， 则爸爸往返用时， ∴A不正确，不符合题意； 爸爸追上小华后，交谈了， ∴B不正确，不符合题意； 小华用时从家到相遇地点， 爸爸的速度与小华提速前的速度之比为， 设小华提速前的速度为，则爸爸的速度为，小华提速后的速度为， 根据图象，得， 解得， ， 爸爸的速度为， ∴C正确，符合题意； 图书馆离小华家， ∴D不正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在一条沿山而建的游览路线上依次有三处观景台，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，到达处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略不计）按原路原速前往处，结果小圆比小方早2分钟到达处，两人均匀速运动，如图是两人距处路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象．根据上述信息，下列说法错误的是（   ） A．小方的速度为米/分钟 B．小圆的速度为300米/分钟 C．线段所在直线函数解析式为 D．出发分钟或分钟后，两人之间路程相距200米 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用、路程速度时间的关系等知识，利用速度路程时间，找准小方、小圆的路程和时间，可求出小方、小圆的速度；得出点G的坐标，设直线的解析式为：，将F，G的坐标代入，求解方程组即可得线段所在直线函数解析式；两人之间路程相距200米，根据题意可知存在四种情况，然后分别计算即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴小圆的速度为：（米/分钟）， 故选项B正确； ∴小圆从B地到C地用时：（分钟）， ∴， ∴， ∴小方的速度为（米/分钟）， 故选项A正确； 设线段所在直线函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴线段所在直线函数解析式为， 故选项C正确； 由题意可知，相距300米，相距900米， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 当时，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，即小方、小圆朝相反方向走， ∴令， 解得， ∵当时，小方从处徒步前往处，小圆从处往处骑行， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∵当时，小方从继续徒步前往处，小圆从处往处骑行， ∴或， 解得或． ∵当时，小方从继续徒步前往处，小圆到达处停止， ∴， 解得． 综上，出发分钟或分钟或分钟或分钟后，两人之间的路程相距200米， 故选项D错误． 故选：D． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校，李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离/km与离开学校的时间x/h之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 离开学校的时间/h 离学校的距离/km ____ ___ ___ ②填空：李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______； ③当时，请直接写出关于的函数解析式； (2)同宿舍的张强和李华一起从陈列馆出发匀速骑行直接回学校，如果张强的速度为，那么他在回学校的途中遇到李华时离学校的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①见解析②28③ (2)张强在回学校的途中遇到李华时离学校的距离是 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键： （1）①根据图象及速度路程时间、路程速度时间计算即可； ②根据速度路程时间计算即可； ③根据路程速度时间计算即可； （2）分别写出李华从陈列馆回学校途中减速后与的函数关系式、张强与的函数关系式，二者联立关于和的二元一次方程组并求解即可． 【详解】（1）解：李华在最初内的速度为， 当时，， 当时，， 当时，． 填表如下： 离开学校的时间 离学校的距离/ 李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为． 故答案为：． 当时，， 当时，关于的函数解析式为． （2）李华从陈列馆回学校途中，减速后的骑行速度为，则， 张强离学校的距离与李华离开学校的时间之间函数关系式为， 当二人相遇时，得， 解得． 答：张强在回学校的途中遇到李华时离学校的距离是． 地 城 考点04 实际问题-梯度计价问题 1．（24-25八年级下·福建漳州·期末）为响应绿色出行号召，漳州市某新能源充电站采用“峰谷电价+阶梯服务费”的收费模式．已知充电时段分为峰时（8：00-22：00）、谷时（22：00-次日8：00），其基础电价和阶梯服务费标准如下： 收费项目 收费标准 基础电价 峰时：元/度；谷时：元/度． 阶梯服务费 充电量不超过度时，服务费为元/度；超过度后，超出部分的服务费提升至元/度． 问题解决： (1)设充电量为度，总费用为元．请写出在峰时充电时，关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，试问他此次充了多少度电？ (3)为推广谷时充电，该充电站推出以下优惠政策：谷时充电量超过20度的部分，基础电价降低．请问推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省多少费用？ 【答案】(1) (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，他此次充了度电 (3)推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，根据题意获取信息是解题关键． （1）根据题意，可得总费用与充电量的函数表达式为分段函数，且总费用为基础电费与服务费之和，按充电量和分别列出函数式即可； （2）先求出若陈先生某次谷时充电支付了元，其充电量，根据题意，求得当充电量时，谷时充电的总费用，令，解一元一次方程，即可求解； （3）先分别计算原谷时充电度的总费用和优惠政策后，充电度的总费用，再进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得： 当充电量度时，， 当充电量度时，， 在峰时充电时，关于的函数表达式为． （2）解：当充电量度时，最大总费用为元元， 陈先生某次谷时充电支付了元，其充电量， 在谷时充电时，当时，总费用， 令，得：，解得：． 答：若陈先生某次谷时充电支付了元，他此次充了度电． （3）解：原谷时充电度的总费用为：元， 优惠政策后，充电度的总费用为：元， 元． 答：推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省元． 地 城 考点05 实际问题-其它问题 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）文博校园科艺节上，同学们在操场进行无人机表演，甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示，表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续___秒． 【答案】24 【分析】 本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机离操场地面的高度y与表演时间x的函数解析式，再分情况讨论，即当时，，当时，，解得x的值，作差即可． 【详解】 解：设， 将，分别代入， 即， 解得：， 则， 设， 将，分别代入， 即， 解得， ， 当时，， 即， 解得：， 当时，， 即， 解得：， (秒）， 答：在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续24s． 故答案为：24． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，拇指与小指伸展时，两指尖的最大距离称为指距．某项研究表明：一般情况下人的身高(单位：)是指距(单位：)的一次函数．测得指距与身高的几组对应值如下表所示： 指距 身高 小华的身高是，一般情况下，他的指距为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．利用待定系数法求出与的函数关系式，当时，求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为、为常数，且， 将，和，分别代入， 得， 解得， 与的函数关系式为， 经检验，其他数据也符合该关系式， 当时，得， 解得， 他的指距为 故答案为：． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）初夏时节，正是枇杷成熟的时候，枇杷园给每位入园采摘枇杷的顾客配一个篮子，每位顾客采摘枇杷需付总金额元与采摘枇杷质量的关系如表： 采摘枇杷质量 需付总金额元 请根据上表中的数据写出需付总金额元与采摘枇杷质量之间的关系式：______ ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是根据图表信息，设函数解析式为：，然后把表的值数值代入，解出，，即可． 【详解】设总金额（元）与采摘琵琶质量的关系式为：， ∴， 解得：， ∴关系式为：． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）【主题】利用“浮力秤”测量物体浸入水的深度． 【项目情境】“曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 【项目探究】如图①所示，将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，得到了一组数据如下： 【实验数据】 物体质量/kg 0 浸入水中深度/m 【问题解决】设放进杯中的物体质量为，杯子浸入水中的深度为． (1)根据表中数据在给出的坐标网格中描出相应的点，并在图②中画出函数图象； (2)求放入杯中物体质量在范围内时，杯子浸入水中的深度y与放入物体质量x之间的函数表达式； (3)若量杯的高度为，此“浮力秤”可以称质量为的物体吗? 【答案】(1)见解析 (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，描点法画一次函数图象，待定系数法求解函数解析式等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）利用描点法画出函数图像即可； （2）观察函数图象可知y与x为一次函数关系，设y关于x的函数表达式为，利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）当时，求出，根据，超过了此浮力称的最大量程，即可做出判断． 【详解】（1）解：描出相应点及画出函数图象如解图所示； （2）观察函数图象可知y与x为一次函数关系， 设y关于x的函数表达式为， 将；代入， ， 解得， 关于x的函数表达式为； （3）当时，， 解得， ，超过了此浮力称的最大量程， 若量杯的高度为，此“浮力秤”不可以称质量为的物体． 5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 素材 如图，某路段段需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通仅设置红灯与绿灯． 素材 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材 红绿灯，每秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段． 问题解决 任务 甲车经过段的速度为______； 任务 在图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象； 任务 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，设红绿灯由绿灯变为红灯后的秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求关于的解析式； 【答案】任务1：；任务2：见解析；任务3： 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一次函数的性质，理清题意，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数是解题关键． 任务1、根据函数图象（图2）中的数据，即可作答； 任务2、根据函数图象（图2）中的数据，得出、、的路程，再结合图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间，进而求出经过、、时的时间，即可作图； 任务3、设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，记车在段等待红灯至离开点A需要y秒，则可得，再整理即可． 【详解】解：任务1：段的路程为：（米）， 甲车经过段的时间为：（秒）， 则甲车经过段的速度为：； 故答案为：8； 任务2：根据函数图象（图2）中的数据，可知：、、， 根据图4中可得乙车经过段的时间：， 乙车经过段的时间为：， 甲车经过段的速度为：， 则乙车经过段的速度为， 即乙车经过段的时间为： ∴， 即补全函数图象如图． 任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒， 记车在段等待红灯至离开点A需要y秒， 则， 6．（24-25八年级下·福建厦门·期末）本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生活．期末时，青少年宫计划购买A，B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生．这两款盲盒的销售信息如表三： 表三 盲盒种类 单价（元／个） 优惠方案 A款盲盒 20 优惠方案一：A款盲盒满30份及以上打八五折 优惠方案二：B款盲盒满18份及以上打八折 优惠方案三：总费用满800元立减100元 （备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用）| B款盲盒 15 目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B两款中选一款，其中30人已作明确选择，剩余17人可以接受任意一款．若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元． (1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？ (2)若剩余17人中选择A款盲盒有人，购买这两款盲盒的总费用为元，求的最小值． 【答案】(1)选A款和B款盲盒的分别有18、12人 (2)700 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设选A款和B款盲盒的分别有x、y人，根据“按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元”列方程组求解即可； （2）根据题意，得出选择A款盲盒有人，选择B款盲盒有人，然后分两种情况讨论：①当时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后比较得出最小值；②当时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后比较得出最小值，最后比较①、②两种情况即可求解． 【详解】（1）解∶设选A款和B款盲盒的分别有x、y人， 根据题意，得， 解得， 答：选A款和B款盲盒的分别有18、12人； （2）解：∵剩余17人中选择A款盲盒有人， ∴选择A款盲盒有人，选择B款盲盒有人， ①当时，，， 若选方案一、二， 则， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； 若选方案三，则， 解得， 此时， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； ∵， ∴当时，y的最小值为700； ②当时，，， 若选方案一、二， 则， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； 若选方案三，则， 解得， 此时， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； ∵， ∴当时，y的最小值为755； ∵， ∴当时，y的最小值为700． 7．（24-25八年级下·福建泉州·期末）学校积极推行“光盘行动”，鼓励学生珍惜粮食，减少浪费．食堂管理员王老师为了评估行动效果并优化收餐流程，记录了八年级某班五天的午餐情况（数据如下表），请你作为“校园数学顾问”协助分析． 星期 一 二 三 四 五 用餐人数x（人） 46 49 48 47 50 总剩饭量y（克） 1150 1230 1200 1170 1250 任务一：评估人均剩饭量 （1）这个班级五天用餐的总人数是　　　； （2）计算该班这五天内用餐人员，每人每日平均的午餐剩饭量． 任务二：预测剩饭趋势 （3）王老师发现剩饭量与用餐人数有关，他将用餐人数x作为自变量，总剩饭量y作为因变量，建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据上表描出这些数值所对应的点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，这一个函数的类型最有可能是　　　（填“一次函数”或“反比例函数”）． （4）利用上表中星期一和星期五的数据，求出总剩饭量y（克）与用餐人数x（人）之间的函数关系式，并根据你所求的函数关系式，预测某日学校用餐人数为800人时，可能的总剩饭量． 【答案】（1）人；（2）；（3）一次函数；（4）， 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）计算表格中人数和即可； （2）根据平均数的定义进行计算即可； （3）根据这些点所构成的大致的图象的形状进行判断即可； （4）利用两点，求出一次函数的关系式，在把代入计算y的值即可． 【详解】解：（1）（人）， 故答案为：240人； （2）， 答：该班这五天内用餐人员，每人每日平均的午餐剩饭量是； （3）根据这些点所构成的大致的图象，这个函数的类型最有可能是一次函数， 故答案为：一次函数； （4）周一，周五，设y与x函数关系式为，则， ， 解得， 所以y与x的函数关系式为， 当时，， 即：y与x的函数关系式为，预测某日学校用餐人数为800人时，可能的总剩饭量为． 8．（24-25八年级下·福建厦门·期末）溶氧量（单位：）指的是水中氧气的溶解量，溶氧量是水中生物在水中生存的重要指标之一．某地区以某种水产养殖为主要产业，当地技术人员研究了溶氧量对该种水产品生长情况的影响及溶氧量随时间变化的规律，结果如下： ①最适宜该种水产品生长的溶氧量为，长时间低于会影响生长速度，低于将出现呼吸不顺畅的现象，溶氧量的警戒浓度为，低于该值就有可能导致水产品死亡． 一般来说，水中的溶氧量每天至少需要18小时不低于，其它时间不低于． ②一天内水中的溶氧量会随时间的变化而变化，太阳下山后由于光合作用停止，溶氧量将逐渐降低，在日出前达到一天中最低的溶氧量，日出后逐渐升高至饱和溶氧量，随后保持不变．工作人员通过实验检测，收集该季节正常天气下，该地区若干个时刻x（单位：时）对应的溶氧量y（单位．）的数据，结果如表． 不同时刻对应的溶氧量 时刻x（时） 0 1 2 3 7 10 13 16 17 18 溶氧量 6 5.5 5 4.5 3.6 5.4 7.2 9 9 9 (1)请估计在日出前水中的溶氧量y与时刻x之间的函数关系式； (2)该季节正常天气下，判断是否会出现溶氧量达到警戒浓度的现象？并说明理由； (3)为保障该种水产品的生长速度，养殖户购入一款增氧设备，开启该设备后能够使水中的溶氧量在原有变化规律的基础上每小时再匀速增加上升至饱和浓度，请估计该季节正常天气下是否需要开启该设备，若需要开启，最迟几点开启？ 【答案】(1)(x为日出前时刻) (2)不会出现溶氧量达到警戒浓度的现象，理由见详解 (3)需要；最迟7时开启 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据表格得到日出前和日出后的表达式是解题的关键． （1）先根据日出前水中的溶氧量y随着x的数据变化得出y关于x符合一次函数的特点，然后利用待定系数法求出日出前y与时刻x之间的函数关系式． （2）计算出最低含氧量与警戒浓度比较即可得出答案． （3）同理求出则（x为日出后时刻），再根据题意令时，解得，根据一次函数的性质可知时，含氧量不低于，同理令（x为日出前时刻）的，解得，可知从时到凌晨点，含氧量不低于；然后根据水中的溶氧量每天至少需要18小时不低于，再进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据太阳下山后由于光合作用停止，溶氧量将逐渐降低，在日出前达到一天中最低的溶氧量，日出后逐渐升高至饱和溶氧量，随后保持不变，可知，表格中属于日出前时间，观察表格，可知，每过一个小时，其含氧量降低，在日出前水中的溶氧量y随着x的变化而均匀的变化，符合一次函数的特点， 故设， 把点，代入得： ， 解得：， 则（x为日出前时刻） （2）解：不会出现溶氧量达到警戒浓度的现象，理由如下： 由（1）可知，（x为日出前时刻）， 代入，， 时，，根据表格，可知时，含氧量为，故可知，点开始日出，那么最低溶氧量为时的，高于警戒浓度为，且日出后逐渐升高并保持饱和溶氧量，故所有时刻溶氧量均不低于． （3）解：由（2）可知，表格中时，属于日出后的时间，观察表格，可知，每过3小时，含氧量增加，符合一次函数特点，故设日出后水中的溶氧量y与时刻x之间的函数关系式为：， 把点，代入得： ， 解得：， 则（） 由（1）可知，日出前每过一个小时，其含氧量降低，从表格中可知，时，含氧量为6，时，含氧量为9，从到，有6小时，含氧量下降了，刚刚好符合每过一个小时，其含氧量降低，那么可知，日出前的时间为点到早上6点，日出后的时间为早上6点到下午18点， 根据题意令时，代入，解得， ∵，即随的增大而增大， ∴时，含氧量不低于， 由（1）得（x为日出前时刻） 令，解得， ∵，即随的增大而减小， ∴时，含氧量不低于， ∴在时刻是低于的， ∵水中的溶氧量每天至少需要18小时不低于， 即低于的时间不超过6小时， ∵ ∴需要开启， ∵点 此时8点的含氧量为 如果是8点开始开启该设备， ∵开启该设备后能够使水中的溶氧量在原有变化规律的基础上每小时再匀速增加上升至饱和浓度， 每分钟增加 ∴ 即8点20分才能达到， 因此最迟7时开启． 9．（24-25八年级下·福建泉州·期末）项目式学习：饮水机中的数学建模 项目主题 探究高铁站饮水机接水策略中的数学问题 项目背景 新课标倡导“跨学科学习”理念，生活中常见的饮水机接水问题蕴含物理热传递原理与数学建模思想．小明在接水时发现：温水与开水混合时，开水放出的热量等于温水吸收的热量（不计热损失），可简化为数学关系：开水体积开水降低的温度温水体积×温水升高的温度．请通过数学建模及项目素材，探索解决以下问题． 项目素材 类型 温水 开水 实物照片 水流速度    初始温度 目标容量 水杯 最佳饮用温度 （含端点） 物理原理 若混合后水温为，则有：其中、分别为开水和温水的体积． 问题解决 项目一 接水时间计算：小明先接温水20秒，再继续接开水直至水杯接满还需______秒． 项目二 温度与接水时间的函数关系：设接温水时间为秒，接开水时间为秒，水杯总容量为，则__________（用含的代数式表示） 项目三 优化接水策略：若想在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度，应如何安排接温水和接开水的时间？ 【答案】项目一：20；项目二：；项目三：安排接温水32秒，接开水4秒 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求一次函数解析式，解题的关键是理解题意，求出一次函数解析式． 项目一：根据接水速度和接水总量列式计算即可； 项目二：根据接开水速度和接温水速度，接水总量为，列出函数解析式即可； 项目三：根据，得出，求出，根据，得出，求出，根据，结合一次函数增减性进行求解即可． 【详解】解：项目一：∵小明先接温水20秒， ∴再继续接开水直至水杯接满还需的时间为： （秒）； 项目二：设接温水时间为秒，接开水时间为秒，水杯总容量为，则： ； 项目三：， ， 即， ， 水温达到最佳饮用温度，即， ， 解得， ∵， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为36秒， 此时，y＝4， 所以应安排接温水32秒，接开水4秒． 10．（24-25八年级下·福建泉州·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.3万元，用15万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价分别是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共20个，要求乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的3倍，若每个充电桩的安装费用为0.1万元，求该停车场安装好这批充电桩所需的最少总费用． 【答案】(1)甲、乙两种型号充电桩的单价分别是1.5万元和1.2万元 (2)27.5万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，找准等量关系，是解决此题的关键． （1）设乙型号充电桩的单价为x万元，则甲型号充电桩的单价为万元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲型的充电桩购买x个，安装甲、乙型充电桩总费用为w万元，根据题意列出不等式解得，然后表示出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设乙型号充电桩的单价为x万元，则甲型号充电桩的单价为万元， 依题意得：， 解得： 经检验，为原方程的解，且符合题意； 答：甲、乙两种型号充电桩的单价分别是1.5万元和1.2万元． （2）解：设甲型的充电桩购买x个，安装甲、乙型充电桩总费用为w万元， 则乙型的充电桩购买个， 依题意得： 解得： 又 随x的增大而增大， 又， ∴当时，w有最小值， w最小（万元） 答：安装好这批充电桩所需的最少总费用是27.5万元． 11．（24-25八年级下·福建福州·期末）某主题公园周边的酒店于暑期旅游旺季（7月1日－8月31日）推行优惠举措．酒店的标准三人间日常标价为500元／天，标准双人间日常标价为400元／天．当团体入住人数达30人及以上时，可尊享七折优惠．一个36人的旅游团计划于7月15日入住该酒店．且要求所租赁的客房需满员入住．鉴于酒店客房资源统筹调配的实际需求，规定需同时租赁两种不同类型的客房． (1)若该旅游团中24人住三人间，其余人住双人间，则一天的住宿费是______元； (2)设三人间共住了人，该旅游团一天的住宿费为元，请求出与的函数解析式； (3)第（1）小题中一天的住宿费是否为最低费用？若是，请说明理由；若不是，请设计一种能使住宿费用最低的方案，并求出最低费用． 【答案】(1)4480 (2) (3)不是，使住宿费用最低的方案是30人住三人间，6人住双人间，最低费用是4340元 【分析】本题考查的是列函数解析式，一次函数的性质的应用； （1）根据入住的人数列式计算即可； （2）根据三人间共住了人，则二人间住了人，再列函数关系式即可； （3）根据（2）中的函数解析式，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：该旅游团中24人住三人间，其余人住双人间，则一天的住宿费是： （元）； （2）解：由题意可得： （3）解：∵x须是3的非负整数倍，须是2的非负整数倍， ∵36是2的整数倍， ∴x须是2的非负整数倍， ∴x须是6的非负整数倍， 当时，（人）， 当时，（人）， 当时，（人）， 当时，（人）， 当时，（人）， 当时，（人）， 当时，（人）， ∵规定需同时租赁两种不同类型的客房， ∴， ∵8， ∴y随x的增大而减小， 当时， 使住宿费用最低的方案是30人住三人间，6人住双人间，最低费用是4340元． 12．（24-25八年级下·福建福州·期末）“观形以立见，析数以穷理”．在数学学习的过程中，我们常常借助“形”直观地捕捉问题的关键特征，形成初步判断；再凭借严谨的逻辑推理，用“数”进行精准验证． 【问题情境】如图1，某县为推进垃圾分类，计划在一条长的主干道旁新建一座智能垃圾分类回收站T．主干道两侧有M，N两个大型社区，分别通过支路连接到主干道的C，D两点，我们把沿公路A，B两点之间的路程记作（即），其中，，．    【问题解决】T应建在主干道旁何处时，使T沿公路分别到M，N两个社区的路程之和最小．设A，T之间的路程为，T沿公路分别到M，N两个社区的路程之和为． 【探究一】（1）当T的建在A，C之间（含端点，即），通过取点测量，得到右表x与y的几组对应值，请根据表中的数据，求出y关于x的函数解析式及y的最小值； 【探究二】（2）当T建在C，D之间（不含端点，即），小明同学用以下方法探究y的函数解析式及y的最小值： ① ； ∴T建在C，D之间的任一处时，路程之和y都为； ①请补全上面小明探究过程所缺的内容；（填代数式） ②当T建在D，B之间（含端点，即）时，求出y关于x的函数解析式及y的最小值； ③根据以上探究一、二的过程，请回答：在A，B主干道之间，T最终应该建在何处时y最小？最小值是多少？ 【拓展探究】（3）如图2，新建商圈Q与主干道的连接点为E，其中，．基于商圈大量的垃圾处理需求，要求T建在主干道旁且不小于，设A，T之间的路程为，T沿公路分别到M，N，Q三个社区的路程之和为，求z关于x的函数解析式，探究T应该修建在何处时，才能使得z最小？最小值是多少？    【答案】（1），最小值为7.5；（2）①②，最小值为7.5③y最小值为7.5，T建在，之间（含端点）y最小；（3）建在主干道旁，且处，最小，最小值为13 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，通过分区间讨论函数关系，利用一次函数性质求解最值，充分体现了分类讨论和数形结合思想． （1）根据表格数据判断函数类型为一次函数，利用待定系数法求解函数解析式，再根据函数增减性求最小值． （2）①根据线段关系补全式子；②分区间讨论函数解析式并求最小值；③综合前面结果得出结论． （3）由题意得出，根据题意求出z的函数解析式，结合一次函数性质求得z的最小值． 【详解】解：（1）根据表格数据，设，把，代入得， ， 所以， 经检验，其他数据也符合该解析式； 因为，随增大而减小，所以当时，； （2）① 故答案为：； ②由①可得， 当时， ，随增大而增大，所以当时，； ③综上，，y最小值为7.5，建在，之间（含端点）y最小； （3）∵T建在主干道旁，且不小于， ∴， 此时，， ∵，随增大而增大， ∴当时， ∴建在主干道旁，且处，最小，最小值为13． 13．（24-25八年级下·福建厦门·期末）古时候没有时钟，人们是怎么记时的呢？水钟在中国又叫作“刻漏”、“漏壶”，是古代一种极为重要的计时器具，其原理是利用漏壶记录把水漏完的时间．青铜漏壶（如图），汉代文物，现藏于中国国家博物馆，它的运行由一块浮标控制，当水从底部的一个小出口慢慢流出时，浮标也一点点地下沉．浮标与一根圆杆相连接．圆杆在下沉时指示柄随之移动． 安安同学根据漏壶原理制作了一个简易漏壶，记录数据如下： 时间 0 1 2 3 4 5 壶底到水面高度 48 46 44 42 40 38 (1)壶底到水面高度与时间的关系是什么？请你求出关系式． (2)若开始记录的时间是上午8时，那什么时刻水面高度达到？ 【答案】(1) (2)晚上点时水面高度达到． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由表中数据可知，与满足一次函数关系，设，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）当时，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由表中数据可知，与满足一次函数关系，设， 将和代入； 得，解得， ，经检验符合题意； （2）解：当时，， 解得， ∴， 晚上点时水面高度达到． 14．（24-25八年级下·福建莆田·期末）根据以下思考，探索完成任务． 皮克公式的探索与应用 问题 背景 在单位面积为1的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形． 素材1 如图，探索格点多边形的面积时，把多边形分割成小正方形和三角形，分别计算各个面积并相加，可求出多边形的面积． 素材2 奥地利数学家皮克证明格点多边形的面积公式，格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界上的格点数有关，面积公式可表示为（其中为常数）． 问题解决 任务1 探索皮克公式 在素材2中的两个网格图中，分别画出两个边长不同，且内部只含有4个格点的格点正方形，并根据所画的格点正方形，直接写出应满足的数量关系； 任务2 应用皮克公式 在单位面积为1的正方形网格纸（共110个格点）中，画一个内部有18个格点的格点多边形，满足格点多边形之外的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数，求该格点多边形的最大面积． 【答案】任务1：；任务2：40 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解二元一次方程组，解一元一次不等式，正方形的判定，勾股定理及其逆定理，正确理解题意是解题的关键． 任务1：根据题意画出满足题意的正方形和正方形，根据得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案； 任务2：根据任务1所求可得，则S随b的增大而增大，再求出该多边形外部的格点数为个，据此列出不等式求出b的范围即可得到答案． 【详解】解：任务1：如图，在正方形的内部有4个格点，在正方形的边上有12个格点，且其面积为 如图，在正方形的内部有4个格点，在正方形的边上有4个格点，且其面积为， ∴ ， 解得， ∴； 任务2：∵该多边形内部有18个格点， ∴， ∴， ∴S随b的增大而增大， ∵共110个格点， ∴该多边形外部的格点数为个， ∵格点多边形之外的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数， ∴， ∴， ∴当时， 有最大值，最大值为． 15．（24-25八年级下·福建厦门·期末）幸福社区推出智能可回收物投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品、其中奖励积分y(分)与投放质量的函数关系如图所示． (1)当投放质量不超过时，每千克可回收物可以赚取 积分： (2)求AB段所在直线的函数解析式，并求出投放可回收物时，可以获得多少积分? 【答案】(1)10 (2)；350 【分析】本题考查一次函数图象的应用，理解题意、从图象中获得必要的数学信息是解题的关键． （1）根据段图象，直接求解； （2）利用待定系数法求一次函数解析式，再求时，的值． 【详解】（1）当投放质量不超过10 kg时，由，可知每千克可回收物可以赚取10积分． （2）设AB段所在直线的函数解析式为， 代入，，可得， 解得， ， 当时，， 答：AB段所在直线的函数解析式为，当投放可回收物时，可以获得350积分． 16．（24-25八年级下·福建厦门·期末）综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． 任务1利用“，；，”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； 任务1：先判断是一次函数，再利用待定系数法求解即可； 任务2：把代入函数关系式求出t，再进一步求解即可； 任务3：设经过的函数解析式为，根据题意得到w关于a的绝对值式子，再分类讨论求解． 【详解】解：任务1： 由表中数据可得：约过10分钟，水面高度h减少约1cm， 所以水面高度h是流水时间t的一次函数，设， 把，；，代入，得 ，解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数关系式是； 任务2：当水面高度为时，即，， 解得， 分钟小时， ∴当甲容器中的水面高度为时是小时，即； 任务3： 设经过的函数解析式为， 则 当时，， 当时，， 则当时，， 当时，， 综上，当时，w最小，此时函数的解析式是． 17．（24-25八年级下·福建三明·期末）随着科技事业的不断发展，无人机广泛应用于多种领域，在农业方面，无人机可以帮助精准施肥和喷洒农药，从而提高生产效率．某农业公司计划购进，两种型号的无人机共10架用来喷洒农药，其中型无人机4万元/架，型无人机3万元/架．已知型机比型机平均每小时多喷洒2公顷农田，且型机喷洒24公顷农田所用时间与型机喷洒16公顷农田所用时间相等． (1)求，两种型号的无人机平均每小时分别喷洒农田多少公顷？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒55公顷农田，那么该公司如何购买型和型无人机，才能使购买总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷，则种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷 (2)该公司购买型无人机架，型无人机架，才能使购买总成本最低，最低成本为万元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用及一次函数的实际应用． （1）设种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷，则种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷，根据型机喷洒24公顷农田所用时间与型机喷洒16公顷农田所用时间相等．列出分式方程求解即可； （2）设购买种型号的无人机架，则购买种型号的无人机架，根据这批无人机每小时至少喷洒55公顷农田列出一元一次不等式组，求出的取值，设购买总成本为，得到，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷，则种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷， 根据题意：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则（公顷/小时） 答：种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷，则种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷； （2）解：设购买种型号的无人机架，则购买种型号的无人机架， 根据题意：， 解得：， ∵为非负整数， ∴或或， 设购买总成本为， 则， ∵， ∴当取最小值时，有最小值，最小值为（万元）， 则（架） 答：该公司购买型无人机架，型无人机架，才能使购买总成本最低，最低成本为万元． 41．（24-25八年级下·福建福州·期末）为了丰富校园社团活动，某学校计划采购一批乐器．已知购买3把吉他和2架电子琴共需2800元；购买1把吉他和1架电子琴共需1200元． (1)求吉他和电子琴两种乐器的单价； (2)若学校准备购买若干把吉他和若干架电子琴，总数量为40，且电子琴数量不少于吉他数量的倍．设购买吉他a把，两种乐器所需总费用为W元，求W与a之间的函数关系式，并求出总费用的最小值． 【答案】(1)吉他的单价为400元，电子琴的单价为800元 (2)，元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设吉他的单价为x元，电子琴的单价为y元，根据“购买3把吉他和2架电子琴共需2800元；购买1把吉他和1架电子琴共需1200元”建立方程组求解即可； （2）先根据“总数量为40，且电子琴数量不少于吉他数量的倍”建立不等式求出的范围，再表示出总费用关于的一次函数，根据一次函数的性质求解最小值． 【详解】（1）解：设吉他的单价为x元，电子琴的单价为y元， 依题意得， 解得：， 答：吉他的单价为400元，电子琴的单价为800元． （2）解：依题意得：， 解得： ∵ ， 随a的增大而减小 ∴当时，W取最小值 答：最低总费用为25600元． 地 城 考点06 一次函数与几何综合 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知直线恒过定点，点在第一象限内，且点Q恒在直线上，直线与x，y轴分别交于A、B两点，直线与直线交于点，当线段长度最小时，下列结论中正确的是________． ①点Q坐标为；②；③点M的坐标为；④ 【答案】①②③④ 【分析】本题是两条直线相交或平行问题，考查了直线恒过定点的求法、待定系数法求函数的解析式，线段最短问题、两直线垂直的判定、直线交点坐标等知识．把解析式变形为，即可求得定点，利用勾股定理求得，即可判断④；由点可知直线为，由线段长度最小时，直线，即可得到直线的解析式为，解析式联立求得点Q坐标为，即可判断①；求得，，，利用勾股定理的逆定理即可判断②；利用待定系数法求得直线的解析式，与直线的解析式联立即可求得点M的坐标为，即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故④正确； ∵点在第一象限内，且点Q恒在直线上， ∴直线为， ∵线段长度最小时，直线， ∴直线的解析式为， 解，得， ∴点Q坐标为，故①正确； ∵，，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，故②正确； ∵直线与x，y轴分别交于A、B两点， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 解，得， ∴点M的坐标为． 故答案为：①②③④． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，直线与轴、轴交于、两点，的平分线所在的直线的解析式是___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，三线合一，求出的坐标，勾股定理求出的长，构造等腰三角形，求出点坐标，待定系数法求出的解析式即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 取，则：， ∵是的角平分线， ∴垂直平分， ∴为的中点， ∴， 设直线的解析式为，则：， 解得：， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知在平面直角坐标系中，点是函数图像上一点，交轴于点．设点的横坐标为，点的纵坐标为，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的综合应用，先过P作x轴、y轴的垂线，构造正方形以及全等三角形，分和两种情况得出关系式，再根据a的取值范围，求得b的取值范围． 【详解】解：当时，如图，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T， ∵点P在函数的图象上， ∴，且， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点P的横坐标为a， ∴， ∵，点Q的纵坐标为b， ∴， ∴， 又∵，且中，， ∴， 解得，， ∴， 解得； 当时，如图，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T， 同理可得， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在菱形中，，点以的速度从点出发，沿的路线匀速运动，到点运动停止，的面积与运动时间的函数图象如图所示，现给出以下结论：①点从点运动到点的时间为；②菱形的周长为；③当时，或13；④当时，．其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数的性质，勾股定理． 由菱形的性质即可判断①②，分别求出直线、直线的解析式，即可判断③，作交延长线于，根据求出相关数据，即可判断④． 【详解】解：由图可知， 从点运动到点的时间为， ∵菱形四边相等， ∴从点运动到点B的时间为， ∴点从点运动到点的时间为，故①正确； ∵点以的速度从点出发，从点运动到点B的时间为， ∴， ∴菱形的周长为，故②正确； 如图，可知，，， 设直线解析式为，直线解析式为， 分别将代入，，代入， 可得：直线解析式为，直线解析式为， 将分别代入两解析式得：，， 解得或，故③错误； 当时，， 如图，作交延长线于 ∴，即 当时，，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 5．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与y轴，x轴分别交于A，B，点D是第一象限内的图象上的一个动点，过点D作轴于E点，轴于F点，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、矩形的判定与性质，掌握求解的方法是关键； 连接，如图，先判断四边形是矩形，即可得到，可得当最小时，最小，进而得到当时，最小，然后求出，再利用等积法求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵轴于E点，轴于F点，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 对于直线，当时，，即， 当时，，解得，即， 则， 当时， ∵， ∴； 即的最小值是； 故答案为：． 6．（24-25八年级下·福建南平·期末）已知点，过点A作直线的垂线，垂足为H，则长度的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，垂线段最短，勾股定理；由知，直线必过定点，则，即的最大值为线段的长． 【详解】解：对于，令，则， 即直线必过定点， 则，即的最大值为线段的长； 由点A、点B的坐标知，， 由勾股定理得：， 故的最大值为． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期末） 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，且点A的坐标为，四边形是正方形． (1)求点D的坐标； (2)若点P是线段上的一个动点（点A，B除外），试探究：在x轴上方是否存在另一个点Q，使得以O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）把代入即可求得的值，得出一次函数解析式，过点作轴于点，证明，即可求得和的长，则的坐标即可求得； （2）分当时；当时两种情况进行讨论，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点， 把代入，得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 正方形中，， ， 又直角中，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：存在． ①如图2，当时，四边形为菱形． 则垂直平分， ∴的纵坐标是， 把代入中，得，即的坐标是， 则点的坐标为． ②如图3，当时，四边形为菱形． 设，， ∴， ∴， 解得 (舍)或， 则点的坐标为； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，平面直角坐标系中两点间距离公式，全等三角形的判定与性质以及菱形的性质，解题的关键是注意进行分类讨论． 8．（24-25八年级下·福建厦门·期末）定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则________； (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式； (3)一次函数（，，k、b为常数），其中k、b满足，当一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点时，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)或且 【分析】（1）将点E的坐标代入衍生函数求值即可； （2）根据点的坐标得出；根据衍生函数分别求出M，N两点的坐标，再根据面积的关系求出k的值，然后求出一次函数的解析式即可； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，把点在一次函数得：， 解得：； 当，把点在一次函数得：， 解得：； 故答案为：； （2）解：∵过， ∴，则， ∴， 设，， ∵，，，， ∴，， 把，代入得： ， 整理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：∵，满足， ∴，则 ∴当时，，即过定点， ∴一次函数的衍生函数过点和， ∴且点在内， 设衍生函数图象与y轴的交点为G， 点G沿y轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点， 将代入得：， 解得，， ∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． 点G沿y轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点， ∴且时，图象与有两个交点，符合题意． 综上：或且时，图象恰好与有两个交点． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质，以及正确理解题目所给“衍生函数”的定义是解题的关键． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，两点，且，． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求出直线的解析式； (3)如图2，点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，若以，，，为顶点且为边的四边形为矩形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数综合、待定系数法、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）解方程即可得到结论； （2）求出点、点和点的坐标，根据全等三角形的判定和性质定理得到点的坐标，即可求出直线的解析式； （3）分别过点、作交直线于，作，分别过点、作交直线，作，则四边形、四边形均为矩形，根据全等三角形的性质得到，，，求得的解析式，进而得到直线的解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，解得：， ∴点的坐标为； （2）解：对于直线， 当时，， ∴,, 即，； ∴， ∴， ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∴,， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； （3）解：如图，分别过点、作交直线于，作交直线于， 分别过点、作交直线于，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形， ∵，，点为线段的中点，， ∴，即， 且， ∵≌， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴，， ∴ ∴点为线段的中点， ∵，， ∴，即， 设直线的解析式为，则有， ∴， ∴直线的解析式为； ∵，， ∴， 可设直线的解析式为， 将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：； 联立和得： ， 解得， ∴． 综上，以，，，为顶点且为边的四边形为矩形时，点的坐标为或． 10．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线；与直线交于点，与y轴交于点 (1)求直线的函数表达式； (2)若点P是直线上一点，且点P在y轴左侧，，求点P的坐标； (3)若点M在射线OA上，且∘，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）设直线的函数表达式为，把，代入解出k，b的值，即可得直线的函数表达式为； （2）设，其中，利用面积公式建立方程求出； （3）在x轴正半轴上取点K，使，连接，过A作于H，过H作轴，过B作于T，过A作于G，延长交x轴于N，证明，得，设，建立方程组求出点的坐标，即可求得直线的解析式为，求出点的坐标，再根据角的关系可得，即知和N关于y轴的对称点，即，故直线的解析式为，联立求出点M的坐标 【详解】（1）设直线的函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 直线的函数表达式为； （2）设，其中，如图： ，， ， ∵， ∴； ∴， 解得 ， ∴； （3）在x轴正半轴上取点K，使，连接，过A作于H，过H作轴，过B作于T，过A作于G，延长交x轴于N，如图： ∴，AH⊥BK， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ， ∴， 设， 又，， ∴， 解得， ∴， 由，得直线的解析式为， 令得，， 解得， ∴， ∵，，即， ∴， 为关于y轴的对称点， ∴， 由，得直线BM的解析式为， 联立，解得， 点M的坐标为． 11．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点为直线上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当点的横坐标比纵坐标大时，求的面积； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的面积为 (3)点F的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形判定与性质等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）求出，由一次函数的图象经过点，可得，故直线的解析式为； （2）求出，，可得，再求出，即可得； （3）当F在右侧时，设交y轴于G，由，可得，设，由，有，解得，知，可得直线的解析式为，联立，可解得，当在左侧时，，即轴，即可得． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 一次函数的图象经过点， ， 直线的解析式为； （2）解：如图： 在中，令得， ， 在中，令得， ， ， 在中，令得：， 解得， ， ， 的面积为9； （3）解：当F在右侧时，设交y轴于G，如图： ， ， 设，则，， ， ， 解得， ， 由，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得， ； 当在左侧时， ∵， ∴，即轴， ， 在中，令得， ； 综上所述，点F的坐标为或 ． 12．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，点D为的中点． (1)请求出点D的坐标； (2)在线段上取一点E，使得，连接、．求证：； (3)在（2）的条件下，直线交x轴于点F，点P为直线上的动点．设的值为W，试求出W的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)32 【分析】（1）根据正方形的性质可得点B的坐标为，再利用中点的含义可得答案； （2）连接，在正方形中，，求解，，，再利用勾股定理的逆定理可得结论； （3）作点A关于的对称点N，连接、分别交于点H、P，由对称性可知，，，当N、P、F三点共线时，W取最小值，求解点H的坐标为，点N的坐标为，进一步可得答案． 【详解】（1）解：在正方形中，轴，轴， 又， 点B的坐标为， 点D为的中点， 点D的坐标为； （2）证明：连接，在正方形中，， ，， ， ， 点D为的中点， ， 在中，， 在中，， 在中，， ， 为直角三角形，且， 即． （3）解：作点A关于的对称点N，连接、分别交于点H、P， 由对称性可知，，， ，为的最小值， 即当N、P、F三点共线时，W取最小值， 由题意知，，，，， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为， 当时， 点F的坐标为， 同理可得，直线的解析式为， ，， ∴ 设直线的解析式为 把代入得， 直线的解析式为 由 解得， 点H的坐标为， 又 ，， ，， 点N的坐标为， ， 的最小值为32． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，一次函数的几何应用，轴对称的性质，本题的难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 13．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象记作直线，与x轴相交于点，一次函数的图象记作直线． (1)求k的值； (2)点M，N分别在直线，上，将线段进行平移得到线段，使得点P，Q分别落在直线，上，连接，． ①若点，求点Q的坐标； ②若直线：（n，t为常数，）将四边形分成面积相等的两部分．试探究是否存在一组常数n，t，使得无论m取何值，直线都经过x轴上的某一个定点，若存在，请求出n，t的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)①，②存在，，，过定点 【分析】（1）根据一次函数过点代入得到方程，结合已知条件求得k值即可； （2）由（1）知一次函数，，①根据点M在直线上求得m，即可得一次函数，，联立求得交点为，结合平移的性质可知四边形为平行四边形，则点M和点Q的中点为直线和交点，设点，根据中点列出方程组求解即可； ②由一次函数和得：，结合平行四边形的性质可得直线经过直线和直线的交点，列出方程组求得直线经过直线和直线的交点为，进一步得到和，联立求得n和t，即可得，可求得与x轴的交点． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴， ∵ ∴， 则； （2）解：由（1）知，则一次函数，， ①∵点在直线， ∴，解得， 则一次函数，， 联立得， 解得， 则直线和交点为， 如图所示， ∵线段进行平移得到线段， ∴四边形为平行四边形， 则点M和点Q的中点为直线和交点， 设点， 则解得， ∴； ②存在，理由如下， ∵一次函数，， ∴直线： ， ∵直线将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线经过直线和直线的交点， 联立，解得， ∵直线经过直线和直线的交点， ∴ ∴， ∵与m的值无关， ∴， ∵无论m取何值，直线都经过x轴上的某一个定点， ∴， 则， ∵无论m取何值， ∴， 则，解得， 则， 则， 令，则，解得， 即过定点， ∴存在，，，过定点． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，涉及一次函数的性质、解二元一次方程组、平移的性质、平行四边形的判定和性质和过定点的性质，解题的关键是熟悉一次函数的性质和过定点的求解方式． 14．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求k和b的值和点C的坐标； (2)点D是射线CO上的一点，且，求点D的坐标； (3)若点E在直线AB上，点F在y轴上，点M在坐标平面上，当四边形BFEM是正方形，求点E的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式，再令，即可得所求； （2）设点D的坐标，根据列出方程求解即可； （3）因为E在直线上，可设，四边形是正方形，即为，的等腰直角三角形，过两点向F点所在的y轴引垂线，构造一线三垂直的全等三角形，根据全等三角形对应边相等，利用点坐标表示出线段长之后，列方程求解即可；此题要注意E是直线上一点，所以要分类讨论E在B点的上方还是在B点下方． 【详解】（1）解：直线经过点和点，   ， 解得， ， 当时，， 点； （2）设点D的坐标， 则， ， ， ， ， ， 点D的坐标为； （3）当点E在点B的下方，如下图所示： 作轴于点G，作轴于点H， 则， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 设， 则， ， ， ， ， ， 点； 当点E在点B的上方，如下图所示： 作轴于点G，作轴于点H， 设 同①可得 则， ， ， ， ， ， 点． 综上，当四边形是正方形，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法三角形面积，正方形性质及应用，全等三角形判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知直线（，为常数）过定点，且交轴于点，交轴于点． (1)①求定点的坐标； ②求面积的最小值； (2)若，点在内都且到各边距离之和为，问：是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【分析】（1）①将解析式整理得出，得出直线过定点，与取值无关，令，求出的值，即可求解； ②分别求用含的代数式表示出点和点的坐标，根据三角形的面积公式求出，即可求解； （3）先求出解析式为，求出点和点的坐标，根据勾股定理求出的长，连结，，，设点的坐标为，根据得出，即可得出，分情况讨论，根据菱形的性质，列出方程求出的值，即可求出点的坐标，根据菱形的对角线互相平分，结合中点坐标即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：① 直线过定点，与取值无关， ， ． ∴直线过定点． ②当定点P为中点时，面积最小 理由：对于，，如图： 令得， 令得， 即点的坐标为，点的坐标为， ， 即面积的最小值为24． （2）解：，直线解析式为， 令得，令得， 即点的坐标为，点的坐标为， 故，， 在中，； 连结，，，设点的坐标为， 则 即 整理得， 即， 故； ∵以、、、四点为顶点的四边形是菱形， 情况一：若为边，点在内部，这样的菱形不存在； 情况二：若为对角线，取中点，则， 如图，四边形是菱形， 则，点是的中点， ∵，，， ∴ 解得：； ， ∵点是的中点，， ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合运用，勾股定理，菱形的性质，中点坐标，完全平方公式等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 16．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，且点在第一象限内，过点作轴于点．        (1)如图1，过点作轴于点，若四边形为正方形，求的值； (2)已知点，，点在轴上．当点在直线上方时，延长交直线于点，连接，，，． i．如图2，若，，判断四边形的形状，并说明理由； ii．如图3，点在轴上，平面内找一点（不与重合），连接，使，，连接，．求证：． 【答案】(1) (2)i．四边形是菱形；ii．见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得，根据点到坐标轴的距离，可得，解方程，即可求解； （2）i．根据，，得出，根据，得出，求得，进而求得的纵坐标，根据轴，得出的纵坐标，待定系数法求得直线的解析式求得的横坐标，得出，结合，即可得出结论； ii．根据，得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，，证明得出，结合得出垂直平分，即，根据即可得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴ ∵轴，轴，点，且点在第一象限内， ∴ ∴ 解得：； （2）i．∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵轴，点， ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为， 将，代入可得， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为； ∵轴，延长交直线于点， ∴的纵坐标为， 将代入，得 解得： ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ii．如图，连接 ∵， ∴， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分，即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，一次函数与结合图形综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂直平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探索完成以下任务 探索“美好距离” 素材 定义：在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，过点作于点，过点作于点，连接，称线段的长为线段关于直线和的“美好距离”． 图形 问题解决 任务1 已知点，，利用图1探索以下问题： ①直线的解析式是________________________________； ②求线段关于轴和轴的“美好距离”； ③求线段关于直线和直线的“美好距离”． 任务2 如图2，线段在直线上运动（点的横坐标大于点的横坐标），且，直接写出线段关于轴和轴的“美好距离”的最小值． 【答案】任务1：①；②；③；任务2：线段关于轴和轴的“美好距离”的最小值是 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据新定义，求出的坐标，勾股定理进行求解即可；③设直线与轴交于点，直线与直线交于点， 过点作直线于点，连接，，求出点，点坐标，推出四边形是矩形，得到，勾股定理求出的长，即可； （2）延长，交于点，易得四边形是矩形，得到，设，求出，勾股定理结合完全平方的非负性，求出最值即可． 【详解】任务1：①设直线的解析式为：， ∴，解得：； ∴； 故答案为：； ②作轴，作轴，则：，， ∴， ∴线段关于轴和轴的“美好距离”为； ③解：如图，设直线与轴交于点，直线与直线交于点， 过点作直线于点，连接，， 当时，， ∴； 由，得， ， ，，， ， ； 直线与直线平行， ， ， 又， 四边形是矩形， ，直线， 则线段关于直线和直线的“美好距离”是的长，即 ； 线段关于直线和直线的“美好距离”是． 任务2：线段关于轴和轴的“美好距离”的最小值是． 如图2，延长，交于点，直线交轴分别于点， ∵， ∴时，；时，， ∴， ∴， 轴，轴， ， ， 四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ， ， 设，则， ， 当时，， 的最小值为． 18．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．与轴交于点，与直线交于点．已知点的坐标为，点在点A的左侧且． (1)直接写出直线的解析式：______和直线的解析式：______； (2)在直线上，是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，或 【分析】本题考查了一次函数与面积的综合题，一次函数的交点问题，求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数与面积的综合题是解题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设，先联立方程组求出点E的坐标，再根据面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：把和的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为； ，， ， ， 设直线的解析式为， 把和的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为． 故答案为：；． （2）解：存在， 设， 联立方程组， 解得， ， ， ， ， 解得或9 ， 当时，， 当时，， 或， 存在点，使得，且或． 19．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，是的边上的中线． (1)直接写出：点的坐标是___________； (2)已知点在轴的正半轴上，，将沿翻折得到，点的对应点为点．若有一动点， ①当点落在内部（不包含边）时，求的取值范围； ②是否存在点，使取得最大值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】本题考查了坐标与图形，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，折叠性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握相关性质，准确作出辅助线为解题关键． （1）过点C作轴于点D，轴于点F，判定出为的中位线，根据中位线性质即可得出结果； （2）①作折叠后得到的，过点作于于，先判定出四边形为矩形，四边形为正方形，求出直线的表达式为，进而得出结果；②先得到直线垂直平分线段，则，当点三点共线时，有最大值，直线的表达式为，列出方程组求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点D，轴于点F， ，， ， ， ， 为的中点， ， ； （2）①如图1，作折叠后得到的，过点作于于， 由折叠可知， ， 四边形为矩形 ， ． ，则四边形为正方形， ， ， 设直线的表达式为， 将．分别代入中，得 ，解得：， 直线的表达式为 由可知，点在直线上， 如图2，要使点落在内，则当时， 解得． ②如图3，存在点，使得有最大值，理由如下： 由①可知，直线的表达式为，点在直线上， 又点在直线上， 直线垂直平分线段． ． 当点三点共线时，有最大值， 即． 此时，点为直线和直线的交点． 过点的直线的表达式为． 解方程组， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，折叠性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握相关性质，准确作出辅助线为解题关键． 20．（24-25八年级下·福建泉州·期末）阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线．通常也称为直线，其中称为直线的斜率，它表示直线关于坐标轴的倾斜程度．特别地，当时，直线．所以，直线可由直线或直线经过平移或旋转而得到．那么，已知直线上的两点和，如何求出的值呢？ 将两点的坐标分别代入，得到①，②．把上面两式相减，消去，得到，当时，求得． 因此，当时，直线的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，特别地，当时，直线与轴平行（或垂直于轴），此时直线的斜率不存在． 【理解运用】 (1)已知点，，易求得直线的斜率___________，其解析式为___________； (2)已知点，，其中为常数，且．若直线与直线平行，求的值； (3)判定点，，三点是否在同一直线上？并说明理由． 【答案】(1)2； (2) (3)点不在同一条直线上，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数解析式的相关计算，解题关键是运用斜率公式及一次函数性质求解 ． （1）已知和两点坐标，根据材料中给出的斜率公式，将两点坐标代入，算出直线的斜率．再设直线的解析式为，把求出的值和点的坐标代入解析式，通过解方程算出的值，进而得到直线的解析式 ． （2）因为直线与直线平行，根据两直线平行斜率相等，可知直线的斜率等于．然后利用斜率公式，结合点和的坐标列出关于的方程，解方程得出的值 ． （3）可通过计算直线和直线的斜率，若斜率相等则三点共线，否则不共线；也可以先求出直线的解析式，再把点的横坐标代入解析式，看得到的纵坐标是否与点的纵坐标相等，相等则在直线上，否则不在，从而判断三点是否共线． 【详解】（1）解：已知， 根据斜率公式，可得 ． 设直线的解析式为， 把，代入得，即， 解得． 所以解析式为 ． （2）解：设直线的斜率为， 直线与平行， ． 即， 解得； （3）解：点不在同一条直线上，理由如下： 法一：由题意知， 点不在同一条直线上． 法二：由题意知，， 直线经过点， 直线的表达式为， 即， 当时，， 点不在直线上． 故点不在同一条直线上． 21．（24-25八年级下·福建厦门·期末）约定：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点(1，2)，所以正比例函数就是“族函数”．已知一次函数（为常数，） (1)已知一次函数是族函数，求之间的关系． (2)当时，无论取何值，一次函数必为族函数．若直线平分的面积，其中点的坐标分别为，，，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)已知一次函数和都是“族函数”．当时，一次函数的函数值满足，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据定义将点代入即可求解； （2）由题意可得，因为无论k取何值，一次函数必为族函数，可求，，则，因此可知直线经过的中点，求出k的值即可； （3）根据题意可求，，则，当时，y随x值的增大而增大，，得到，当时，y随x的增大而减小，，得到，，求出k的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数是族函数， ∴； （2）解：k是定值，理由如下： ∵， ∴， ∵一次函数必为族函数， ∴， ∴， ∵无论k取何值，一次函数必为族函数， ∴，， ∴， ∴直线必经过A点， ∵直线平分的面积， ∴直线经过的中点， ∴， 解得； （3）解：∵一次函数和都是“族函数”， ∴， ， 解得，， ∴经过点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y随x值的增大而增大，， ∵， ∴， ∴（舍）； 当时，y随x的增大而减小，， ∵， ∴，， ∴（舍）或， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂定义，根据所给的取值范围确定不等关系是解题的关键． 22．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，已知，直线经过两点，另有一条直线． (1)判断四边形的形状，并证明． (2)当，且时，直线与直线的交点坐标为______； (3)当时． ①若直线与四边形相交，则的取值范围是______；若直线平分四边形的面积，则______； ②若直线与直线交于点轴，垂足为轴，垂足为，记，当时，求的取值范围． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析 (2) (3)①，0；② 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质、平行四边形的判定、解绝对值方程、一次函数图象的交点问题等知识点， 熟练掌握一次函数的图象及性质以及平行四边形的性质是解题的关键． （1）由题意可得，再结合， 即可确定四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质求出直线的解析式为，， 由， 可求， 当时， 可求直线l与直线的交点坐标即可． （3）①当直线l经过点A时，， 当直线l经过点C时， ， 所以时， 直线l与四边形相交；由直线l平分四边形的面积， 则直线l经过点B， 可求；②先求， 再求，， 则， 当时， ， 则； 当时，， 则；当时， ， 则； 即可求． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵， ∴轴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：当时，直线． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵直线经过A点， ∴，解得， ∴线的解析式为， ∵经过C点， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴直线， 联立，解得： ∴直线l与直线AC的交点坐标为． （3）解：①当时，直线． 当直线l经过点A时，，解得：， 当直线l经过点C时，，解得， ∴当时，直线l与四边形相交， ∵直线l平分四边形的面积， ∴直线l经过平分四边形的对角线交点， ∴，解得：； 故答案为∶ ；0； ②当时，解得：， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 当时， ， 则； 当时，， 则； 当时， ， 则． 综上，． 23．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，A，B是直线与两坐标轴的交点，直线过点A，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标． (2)点D是折线上一动点． ①尺规作图：当点D是线段的中点时，在如图1中的y轴上找一点E，使最小（用无刻度的直尺和圆规画出点E的位置，保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标； ②探究是否存在点D，使为直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①图见解析，； ②存在，D点的坐标为或． 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，将点A坐标代入求出m可得直线的解析式，然后即可求出点C坐标； （2）①如图1，作，连接交y轴于E，点E即为所求，根据点A，B坐标求出，，求出直线的解析式，即可得到E点的坐标； ②当点D在AB上时，由得，根据等腰直角三角形的性质得到点D横坐标，进而可得点D坐标；当点D在上时，设交y轴于点F，证明，根据全等三角形的性质求出点F坐标，然后求出直线的解析式，联立解析式求出点D坐标即可． 【详解】（1）解：在中， 令，得； 令，得，则 ∴， 把代入，则 得， ∴直线解析式为：． 即直线的解析式为：． 在中， 令，得，， ∴C点的坐标为； （2）①如图，作，连接交y轴于E，点E即为所求； ∵点D是的中点，， ∴， 点B关于y轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得：， 故直线的解析式为：， 令，得 ∴E点的坐标为； ②存在，D点的坐标为或； 当点D在上，时， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵，， ∴点D的横坐标为， 把代入得：， ∴D； 当点D在上，时，如图，设交y轴于点F． ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， 代入， ， 得， 解得：， ∴直线的解析式为y=x＋3， 依题意，联立， 解得： ∴点D的坐标为 综上，D点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用是解题的关键． 24．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知矩形，其中点A， B，C．给出如下定义：若点P关于直线的对称点在矩形的内部或边上，则称点P为矩形关于直线l的“关联点”． 例如，图1中的点D，点E都是矩形关于直线的“关联点”． (1)如图2， 在点 中， 是矩形关于直线 的“关联点”的为 ； (2)如图2，点 是矩形关于直线的“关联点”，求a的取值范围； (3)如图3，若在直线上存在点Q，使得点Q是矩形关于直线 的“关联点”，请直接写出b的取值范围 ．（不写过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义，坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）画出各点关于直线 的对称点进行判断即可； （2）画出矩形关于直线的对称图形，根据新定义，得到点在矩形的边上或内部，进而得到，且，进行求解即可； （3）画出矩形关于直线的对称图形，根据直线上存在点Q，使得点Q是矩形关于直线 的“关联点”，得到直线与矩形的对称图形有交点，求出临界值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，如图： 由图可知，只有点的对称点在矩形的边上或内部， 故答案为：； （2）如图，画出矩形关于直线的对称图形， ∵点 是矩形关于直线的“关联点”， 则：在矩形的边上或内部， ∴且， 解得：； （3）如图，画出矩形关于直线的对称图形， ∵在直线上存在点Q，使得点Q是矩形关于直线 的“关联点”， ∴直线与矩形必有交点， ∴当过点时，，解得：； 当过点时，，解得：； ∴； 故答案为：． 25．（24-25八年级下·福建莆田·期末）已知直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点．若直线与交于点，且点不在线段上，则称点为线段的“相伴点”． (1)线段的两个端点分别为和，则在点中，选择一个是线段的“相伴点”，并说明理由； (2)是直线上的两个动点． ①点是线段的“相伴点”，且点的纵坐标为6，求点的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为，其中．当点在直线上运动时，生成线段的“相伴点”．若所有线段的“相伴点”中，有且只有1个点在正方形上，求的值． 【答案】(1)是线段的“相伴点”，理由见解析 (2)①或；②或． 【分析】（1）分两种情况：当直线经过点，直线经过点时，当直线经过点，直线经过点时，利用待定系数法分别求出对应情形下两函数的解析式，进而求出两直线的交点坐标即可得到结论； （2）根据题意可求出，，再分两种情况：当直线经过点，直线经过点时， 当直线经过点，直线经过点时，利用待定系数法分别求出对应情形下两函数的解析式，再分别求出对应情形下两函数的函数值为6时的自变量的值，令两个自变量的值相等建立方程求出c的值即可得到答案； ②由①可得当直线经过点，直线经过点时， 直线的解析式为，直线的解析式为，则可求出线段的“相伴点”的坐标为，故线段的“相伴点”在直线上运动，则正方形与直线有且只有一个交点；当直线经过点，直线经过点时，则直线的解析式为，直线的解析式为，同理线段的“相伴点”在直线上运动，则正方形与直线有且只有一个交点，据此可得答案． 【详解】（1）解：是线段的“相伴点”，理由如下： 当直线经过点，直线经过点时，则， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 联立，解得， ∴此时直线与直线的交点坐标为， ∵线段的两个端点分别为和， ∴此时直线与直线的交点不在线段m上，符合题意； 同理可得当直线经过点，直线经过点时， 直线与直线的交点坐标为， ∵不在线段m上， ∴是线段的“相伴点”； （2）解：①∵是直线上的两个动点， ∴， ∴，， 当直线经过点，直线经过点时，则，， ∴，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∵点是线段的“相伴点”，且点的纵坐标为6， ∴， 解得， ∴， ∴点N的横坐标为； 当直线经过点，直线经过点时，则，， ∴，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∵点是线段的“相伴点”，且点的纵坐标为6， ∴， 解得， ∴， ∴点N的横坐标为； 综上所述，点N的横坐标为或； ②由①可得当直线经过点，直线经过点时， 直线的解析式为，直线的解析式为， 联立，解得， ∴线段的“相伴点”的坐标为， ∴线段的“相伴点”在直线上运动， ∵所有线段的“相伴点”中，有且只有1个点在正方形上， ∴正方形与直线有且只有一个交点， 如图所示，当直线恰好经过点C时符合题意， ∴， 解得； 当直线经过点，直线经过点时，则直线的解析式为，直线的解析式为， 联立，解得， ∴线段的“相伴点”的坐标为， ∴线段的“相伴点”在直线上运动， ∵所有线段的“相伴点”中，有且只有1个点在正方形上， ∴正方形与直线有且只有一个交点， 如图所示，当直线恰好经过点E时符合题意， ∴， 解得； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确理解“相伴点”的定义和利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26．（24-25八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足． (1)求，的值； (2)是直线上一点，且，不在直线上． ①连接，，，不论点在直线的何处，的面积始终等于，求直线的解析式； ②在①的条件下，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）结合非负性得出，则，即可作答． （2）①设点到的距离为，因为的面积等于，且，把数值代入进行计算得，再求出直线的解析式为，故设直线的解析式为，然后进行分类讨论以及作图，运用面积之间的关系进行列式计算，即可作答． ②当时，点关于直线的对称点为，连接，，再证明，得出点的坐标为，求出直线的解析式为，依题意联立，得出点的坐标为；当时，如图所示，点关于直线的对称点为，连接，，同理证明然后得直线的解析式为，联立，解得点的坐标为，即可作答． 【详解】（1）解： ，，， ∴， 解得； （2）解：①设点到的距离为 的面积等于， ， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ， ∴， ， 即直线与直线之间的距离恒为 直线 直线经过点， 设直线的解析式为 把，分别代入， 得 ∴ 直线的解析式为 ∵直线 设直线的解析式为， ∵直线与轴相交于点， ∴ 此时， 则， 当时，如图 ∴， 即， ， 当时，则， 则， 此时不符合题意，故舍去 当时，如图 则 即 即直线的解析式为或 ②当时，如图所示，点关于直线的对称点为，连接， ， 过点作轴交轴于点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 点的坐标为 设直线的解析式为 把，代入， 得 ∴ 直线的解析式为 依题意联立， 解得 点的坐标为 当时，如图所示，点关于直线的对称点为，连接，， 过点作轴交轴于点 同理可得 ， 点的坐标为， 设直线的解析式为 把，代入， 得 ∴ 直线的解析式为 联立， 解得 点的坐标为 综上所述，满足条件的点的坐标为或 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，一次函数的几何综合，求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 27．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知平面直角坐标系内有平行四边形，其中顶点坐标为，，，． (1)判断平行四边形的形状； (2)连接， ①若一次函数与该平行四边形有交点，试求出t的取值范围； ②已知，连接，直线与x轴交于点F，当A，B，F三点共线时，求的面积． 【答案】(1)矩形 (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，根据点的坐标特征得出点与点、线段与线段之间的关系是解题关键； （1）由题意得轴；轴；推出，即可判断； （2）根据，求出，；①求出临界状态当一次函数与矩形交于点时，当一次函数与矩形交于点时的t即可求解； ②由题意得；根据，，，推出是的中点，即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴轴； ∵，， ∴轴； ∴，即， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， 解得：（舍） ∴，； ①当一次函数与矩形交于点时， 则； 当一次函数与矩形交于点时， ，解得：； ∴若一次函数与该平行四边形有交点，则； ②由题意得：点F为轴上的点， ∵轴； ∴当A，B，F三点共线时，； ∵，，； ∴是的中点， ∴，解得：； ∴； ∴ 28．（24-25八年级下·福建泉州·期末）综合与实践 如图1，光反射时，反射光线、入射光线与法线在同一平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角．这一结论在物理学中称为光的反射定律． 如图2，某学习小组将平面镜放在轴上，激光笔放在点处，点的坐标为，从光源处发出一束光线在平面镜上发生反射，当点为入射点，入射角为时，此时反射光线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)若，当入射点从点移动到点时，求反射光线与轴的交点移动的距离． 【答案】(1)点的坐标为 (2)反射光线与轴的交点移动的距离为5 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，对称的性质，一次函数的应用，掌握光的反射定律是解答本题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，根据题意得：， ，，利用等腰三角形的性质得到，，即可解答；     （2）当入射点在点时，反射光线与轴的交于点，，作点关于轴的对称点，连接，则，求出点的坐标为，点的坐标为，进而求出直线的函数解析式为，即可解答 ． 【详解】（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则由光的反射定律得：， 点的坐标为， ，，     轴，轴， ，     ， ， ，     ，             同理：，即点的坐标为． （2）解：当入射点在点时，反射光线与轴的交于点，，作点关于轴的对称点，连接，则， ， ， 点，，三点共线，         ，， ，即点的坐标为， 又轴，， 点的坐标为，         设直线的函数解析式为：， 则有， 解得，         直线的函数解析式为：， 当时，，即的坐标为，     ， ，         故反射光线与轴的交点移动的距离为5． 29．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求m和k的值； (2)若动点在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m，直线m分别与直线，交于点D，C，过点D作轴，交直线于点E． ①用含t的代数式表示点D，E的坐标：D（______），E（______）； ②当时，求t的值； ③以，为边作矩形，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②或；③是， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是利用函数图象上点的坐标特征、矩形性质，结合方程与代数运算求解． （1）将点坐标代入直线解析式求，再把坐标代入直线解析式求． （2）①利用直线解析式和点横坐标求坐标，依据轴及直线解析式求坐标．②先求坐标，得出的绝对值表达式，结合列方程求解．③根据矩形性质确定坐标，设直线解析式，代入和坐标列方程组，求解得直线解析式，判断所在直线． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴． 把代入，得 ， ∴． （2）解：①轴，轴，且， 直线，当时，， ， 直线，当时，， ， ， ，． 故答案为：，． ②直线：，当时，， ， ， ， ， 解得或， 的值为或． ③作直线， 设直线的解析式为， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 顶点始终落在一条固定的直线上，这条直线的解析式为． 30．（24-25八年级下·福建福州·期末）阅读材料，完成下列问题： 【背景】 重心是一个物体受力的平衡点，每一个平面图形都有重心．例如： 名称 线段 三角形 平行四边形 圆 图形 且 重心位置 中点 中线交点 对角线交点 圆心 【探究】 “探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．例如：如图1，是一个呈“L”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成左、右两个矩形，重心分别为． 【应用】 (1)如图1，若，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则点的坐标为_____，点的坐标为_____，计算得此“L”形的重心坐标为_____． (2)如图2，直角梯形，求直角梯形的重心坐标． 【答案】(1)，，重心坐标为 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的关知识点． （1）根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可； （2）过点作轴于点，取中点，连接交于点，连接交于点，可得为等腰直角三角形，为正方形，则由题意得点分别为，正方形的重心，求出直线，直线，联立求出，再求出，，然后由重心坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． （2）解：过点作轴于点，取中点，连接交于点，连接交于点， ∵直角梯形， ∴， ∴为等腰直角三角形，为正方形， 则由题意得点分别为，正方形的重心， ∵为中点，为中点， ∴， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 同理可求：， 则联立， 解得：， ∴， ∵为正方形的重心，，， ∴， ∵， ∴直角梯形的重心坐标的横坐标为：，纵坐标， ∴直角梯形的重心坐标的横坐标为． 31．（24-25八年级下·福建福州·期末）当m，n是正实数，且满足时，就称点为“和谐点”．例如，当时，因为，又，则点是“和谐点”． (1)对于①和②能得到“和谐点”的是______（填写序号）； (2)“和谐点”中的m，n是否可以都为正整数？请说明理由； (3)已知点与点M都在直线上，点B，C都是“和谐点”，且点B在线段上．若，，求线段的长． 【答案】(1)② (2)不可以，理由见解析 (3)1 【分析】（1）根据“和谐点”定义进行判断即可； （2）根据是和谐点，得出，m，n为正实数，求出，根据，得出不为正整数，从而得出答案； （3）根据和谐点定义得出，说明和谐点P在直线上根据点B、C是和谐点，得出点B、C都在直线上，根据M在上，且B在线段上，得出点为与直线的交点，且点M在A点的右侧，联立方程，求出点，根据勾股定理求出，作轴于点F，则，求出，，根据勾股定理求出． 【详解】（1）解：①， ∵，， 又∵， ∴不能得出“和谐点”； ②， ∵，， 又∵， ∴能得到“和谐点”； （2）解：不可以，理由： 是和谐点， ，m，n为正实数， ， 当m为正整数时，， ， 不为正整数， 不可以都为正整数； （3）解：由已知可得，m、n为正实数， ， ， 和谐点， 和谐点P在直线上， 点B、C是和谐点， ∴点B、C都在直线上， 在直线上， ， ， 又M在上，且B在线段上， 点为与直线的交点，且点M在A点的右侧，如图所示： 联立方程， 解得， ∴点， 由勾股定理得， ， 作轴于点F，则， 直线与y轴交于点， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，新定义运算，勾股定理，解题的关键是理解题意，熟练掌握新定义． 32．（24-25八年级下·福建南平·期末）已知，在平面直角坐标系中，，，，点D在线段上（不与端点重合），点F在y轴正半轴上，且，直线，交于点E． (1)当点D的坐标为时，求点E的坐标； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质． （1）分别求出直线，直线的函数解析式，联立求解即可； （2）先证明，进而根据得到即可求证； （3）过点O作，垂足为N，过点O作，垂足为H，根据得到，可知平分，即可求出的度数． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，把，代入得 解得直线： 直线的函数解析式为，把，代入得 解得 得直线： 联立与      解得 点E坐标为 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵ ∴ ∴； （3）解：过点O作，垂足为N，过点O作，垂足为H， ∵ ∴． ∴平分 ∴ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04 一次函数的实际问题和几何综合 ☆6大高频考点概览 考点01实际问题-方案选择 考点02实际问题-利润问题 考点03实际问题-行程问题 考点04实际问题-梯度计价问题 考点05实际问题-其它问题 考点06一次函数与几何综合 目地城赠点01 实际问题方案选择 1.(2425八年级下·福建福州期末)某校要采购一款水杯，了解到有A,B两家超市可供选择，此款水杯 在A,B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折. 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付”元，去B超市购买应付”元. )分别求出片，”关于x的函数关系式： (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算. 2.(24-25八年级下·福建厦门期末)随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用6000元购进了若 干台A型打印机，用10000元购进了相同数量的B型打印机.已知B型打印机比A型打印机的单价贵200 元 (I)B型打印机的单价是多少元？ (2)为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过20台，则每台B型打印 机享九折优惠；若一次性购买超过20台，则前20台享九折优惠，超过的部分享八折优惠.设购买B型打 印机x台，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式 (3)在(2)的优惠方案下，若购买A型、B型打印机共35台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机 1/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数量的3，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？ 目垫城诗点2 实际问题-利润题 1.(24-25八年级下·福建莆田·期末)2025年6月，全国各地持续高温催生“清凉消费”热潮，空调、冰 箱等制冷家电需求激增，某商城为积极响应群众迫切需求，切实保障市场供应，计划批量采购冰箱和空调 已知每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元. (1)求每台冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100台， 要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商城购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利 润为多少？ 2.(24-25八年级下·福建泉州期末)为迎接2025年中国国际渔业博览会，石狮市某渔业公司计划推出 A,B两款海鲜礼盒，总产量为20000个.经过成本核算与市场调研，公司制定了营销策略：每个A款礼盒 的成本为25元，售价为35元，每个B款礼盒的成本为150元，售价为180元，且生产的两款礼盒全部售 出.设A款礼盒生产x个，售出两款礼盒获得的总利润为W元 (I)直接写出总利润W与x之间的函数关系式： (②)若A款海鲜礼盒的产量不少于B款海鲜礼盒产量的3倍，求可获得的最大利润. 3.(2425八年级下·福建福州：期末)为迎接国际玩具博览会，某厂家计划生产塑料积木套装和环保积木 套装两款产品，总产量为1200套.厂家经过市场调研，制定了定价和产量.相关信息如表： 成本（元/套） 定价（元/套) 产量（单位：套） 塑料积木套 50 100 ① 装 环保积木套 100 120 装 总利润W与x的关系式：② (1)请直接写出表格中的①，②： (②)若环保积木套装的产量不少于塑料积木套装产量的3倍，且生产的产品全部售出，求厂家可获取的最大 利润. 4.(24-25八年级下·福建泉州期末)近几年，全国旅游呈现出快速复苏的良好势头，据某监测数据显示， 2/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 今年五一期间泉州旅游同比增长接近30%，世界文化遗产开元寺是热门的旅游景点之一，吸引了大量游客」 西街某商店为迎接即将到来的暑假旅游积极备货，己知该商店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的 进价比每个乙种纪念品的进价多2元，用400元购进甲种纪念品和用320元购进乙种纪念品的数量相同. ()每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少元？ (2)专卖店将每个甲种纪念品的售价定为15元，每个乙种纪念品的售价定为12元，根据市场调查，商店计 划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种纪念品共500个，假设这500个纪念品能够全部卖出，求该商店 获得销售利润最大的进货方案 5.(2425八年级下·福建泉州期末)某企业计划购买AB两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型 机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运480吨货物与B型机器人每天搬运540 吨货物所需台数相同 (I)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.5万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购AB两种型号的机器人共 20台，必须满足每天搬运的货物不低于1660吨，购买金额不超过36万元.请你求出最节省的采购方案， 购买总金额最低是多少万元？ 6.(2425八年级下·福建龙岩·期末)“一盘白斩人间味，舌上余香魂梦留”反映了百姓对肉质鲜美、色 香味齐全的河田鸡的喜爱.长汀河田鸡是世界五大名鸡，是长汀的支柱产业之一，某代理商计划销售两种 真空包装的河田鸡阉鸡A型和B型，经调查，用16000元采购A型的件数是用7500元采购B型的件数的2 倍，一件A型的进价比一件B型的进价多10元， (1)求一件河田鸡阉鸡A型，B型的进价分别为多少元？ (2)该代理商购进A型，B型共200件进行试销，其中A型的件数不大于B型的件数，且不小于80件，己知 A型的售价为240元/件，B型的售价为220元/件，且全部售出.设购进A型x件，求代理商销售这批商品 的利润少与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围： (3)在(2)的条件下，代理商决定在试销活动中每售出一件A型，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资 金m元，该代理商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为13840元，求m的值， 7.(2425八年级下·福建福州期末)初春时节，草莓飘香，某水果店根据销售经验购进奶油草莓与普通 草莓共50千克，且普通草莓在数量不少于奶油草莓在4，能恰好无损耗全部售出.现奶油草莓进价为26 元/千克，普通草莓进价为20元/千克.奶油草莓销售单价为36元/千克，普通草莓销售单价为28元/千克， 设奶油草莓有x千克，全部售出两种草莓的总利润为'元 (1I)请直接写出y与x的函数关系式： 3/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)该水果店应如何进货，可使两种草莓全部售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 8.(24-25八年级下·福建厦门期末)生态公园计划在园内的坡地上造一片有A,B两种树的混合林，需要 购买这两种树苗2000棵，种植A,B两种树苗的相关信息如表. 品种 成活率 劳务费（元/棵） 95% B 99% 已知购买A种树10棵，B种树5棵，需要花费250元；已知购买A种树5棵，B种树10棵，需要花费275 元 (I)A,B两种树的单价分别是多少？ (2)若要求这批树苗种植后至少成活1960棵，生态公园能把造这片林的总费用控制在多少元？ 9.(24-25八年级下·福建厦门期末)红星美凯龙某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元， 销售8台A型和10台B型电脑的利润为2300元. (1)求每台A型空调和B型空调的销售利润： (2)该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中B型空调的进货量不超过A型电脑的2倍，且限定 商店最多购进A型空调70台，实际进货时，厂家对A型空调出厂价下调(50<m<100)元，若商店保 持同种空调的售价不变，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B 型空调各多少台，销售总利润最大。 10.(24-25八年级下·福建莆田期末)某厂生产A,B两种果醋，每天两种果醋共生产600瓶，每种果醋 每瓶的成本和利润如下表所示，设每天共获得利润为y元，每天生产A种果醋x瓶. A B 成本（元） 5 3.5 利润（元） 2 1.5 (I)请写出y关于x的函数关系式： (2)该厂每天投入生产果醋成本至少为2370元，且生产B种品牌果醋不少于全天产量的50%，那么每天至 少获利多少元，最多获利多少元？ 11.(24-25八年级下·福建龙岩·期末)某校准备购进一批篮球和足球供训练使用.若购买7个篮球和4个 4/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 足球共需花费1440元；若购买10个篮球和8个足球共需花费2400元. (1)求篮球和足球的单价各是多少元？ 3 (②)现学校拟购买篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的，问：最多需花费多少元？ 目地 城点03 实际问题-行程问题 1.(2425八年级下·福建厦门期末)小华8：00从家出发沿直线匀速前往图书馆.几分钟后，爸爸发现 小华未携带图书馆出入卡，随即离家沿相同路径匀速追赶小华，追上小华后在原地休息交谈片刻，并以原 速度沿原路返家.小华获得出入卡后以原速度的1.2倍继续前行，在8：20到达图书馆.如图反映了小华和 爸爸之间的距离(m)与小华离家的时间(min)之间的对应关系，则下列结论正确的是(） Ay/m 1184----- 021620t/min A. 爸爸往返用时l6min B.爸爸追上小华后，交谈了3min C.爸爸的速度为200m/min D.图书馆离小华家1760m 2.(2425八年级下·福建莆田期末)在一条沿山而建的游览路线上依次有A,B,C三处观景台，小方从B 处徒步前往C处，同时小圆从B处骑车前往A处，到达A处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略 不计)按原路原速前往C处，结果小圆比小方早2分钟到达C处，两人均匀速运动，如图是两人距B处路 程y(米)与时间x(分钟)之间的函数图象.根据上述信息，下列说法错误的是() 5/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y/米 900 G 300- D E x/分钟 A小方的速度为12 米分钟 B.小圆的速度为300米/分钟 C.线段FG所在直线函数解析式为y=300x-900 56 88 D.出发15分钟或5分钟后，两人之间路程相距200米 3.(2425八年级下·福建厦门期末)在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情 境 y/km 20 12 6 0.6 1 1.5 4.5 55.5h 己知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km,陈列馆离学校20km,李华从学校出发， 匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然 后回学校；回学校途中，匀速骑行05h后减速，继续匀速骑行回到学校，给出的图象反映了这个过程中李 华离学校的距离ym与离开学校的时间xh之间的对应关系 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 离开学校的时间h 0.1 0.5 0.8 1 6137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 离学校的距离km 2 12 ②填空：李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 km/h: ③当4.5≤x≤5时，请直接写出'关于x的函数解析式： (2)同宿舍的张强和李华一起从陈列馆出发匀速骑行直接回学校，如果张强的速度为24km/h，那么他在回 学校的途中遇到李华时离学校的距离是多少？（直接写出结果即可)， 离开学校的时间h 0.1 0.5 0.8 3 离学校的距离/km 2 10 12 12 20 目地 城点04 实际问题-梯度计价问题 1.(2425八年级下·福建漳州期末)为响应绿色出行号召，漳州市某新能源充电站采用“峰谷电价+阶梯 服务费”的收费模式.已知充电时段分为峰时(8：00-22：00)、谷时(22：00-次日8：00)，其基础电 价和阶梯服务费标准如下： 收费项目 收费标准 基础电价 峰时：1.2元/度；谷时：0.5元度 阶梯服务 充电量不超过30度时，服务费为0.8元/度：超过30度后，超出部分的服务费提升至1.2元 费 度. 问题解决： (I)设充电量为x度，总费用为'元.请写出在峰时充电时，y关于x的函数表达式，并指出自变量x的取 值范围； (2)若陈先生某次谷时充电支付了56元，试问他此次充了多少度电？ (3)为推广谷时充电，该充电站推出以下优惠政策：谷时充电量超过20度的部分，基础电价降低20%.请 问推出优惠政策后，陈先生在谷时充电50度能节省多少费用？ 目地 城赠点05 实际问题-其它问题 1. (2425八年级下·福建福州：期末)文博校园科艺节上，同学们在操场进行无人机表演，甲、乙两架无 人机离操场地面的高度y(单位：米)与表演时间x(单位：秒)的图象如图所示，表演开始时甲、乙离地 的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续 7/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 秒 y 60 20 2.(2425八年级下·福建厦门期末)如图，拇指与小指伸展时，两指尖的最大距离称为指距.某项研究 表明：一般情况下人的身高y(单位：cm)是指距x(单位：cm)的一次函数.测得指距x与身高y的几组对 应值如下表所示： 指距x/cm 15 18 21 24 身高y/cm 124 151 178 205 小华的身高是l69cm,一般情况下，他的指距为一_cm 3.(2223七年级下·四川成都期末)初夏时节，正是枇杷成熟的时候，枇杷园给每位入园采摘枇杷的顾 容配一个篮子，每位顾容采摘枇杷需付总金额川元)与采摘枇杷质量 (kg) 的关系如表： x(kg) 采摘枇杷质量 2 需付总金额（元） 33 63 18 请根据上表中的数据与出需付总金额以元)与采摘批把质景“(@)之间的关系式： 4.(24-25八年级下·福建厦门期末)【主题】利用“浮力秤”测量物体浸入水的深度. 【项目情境】“曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把 8/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “浮力秤”. 【项目探究】如图①所示，将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量 的物体，观察杯子浸入水中的深度，得到了一组数据如下： 图① 【实验数据】 物体质量/ 0 0.3 0.6 0.9 1.2 kg 浸入水中深 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 度/m 【问题解决】设放进杯中的物体质量为kg,杯子浸入水中的深度为m (I)根据表中数据在给出的坐标网格中描出相应的点，并在图②中画出函数图象； Ay/m 0.10- 0.08 0.06 0.04 0.02 0.30.60.91.2kg 图② 2)求放入杯中物体质量在0kg~1.2kg范围内时，杯子浸入水中的深度y与放入物体质量x之间的函数表达 式 3)若量杯的高度为0.15m,此“浮力秤”可以称质量为2kg的物体吗？ 5.(2425八年级下·福建泉州期末)根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 9/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 素 如图1，某路段(4-B-C-D段)需要维修，临时变成双向交替通行，故在A,D 材 处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）. 甲车先由A→D通行，乙车再由D→A通行，甲车经过AB,BC,CD段的时间分 素 材 别为10s,10s,8s,它的路程m)与时间⊙的关系如图2所示；两车经过8C 2 段的速度相等，乙车经过AB段的速度是10m/s. 素 红绿灯1,2每114秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图3，且每次双向 材 红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段， y(m) 红绿灯2 220H B C M N 140 甲 o0 维修路段 红绿灯1 60H 图1 10.20 28t(s) 图2 个y(m) 红绿灯1 绿灯 红灯 红灯 红灯 绿灯 红绿灯2 绿灯 红灯绿灯红灯 红灯时间（秒） 807乃 0 30 58 88114144 10 1(s) 图3 图4 问题解决 任 务 甲车经过BC段的速度为 m/s; 1 任 务 在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程 (m)与时间付)之间的函数图象， 2 10/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 丙车沿NM方向行驶，经过DA段的车速与乙车经过时的速度相同，在DN段等红 任 灯时车辆开始行驶后速度为8m/s,等红灯时车流长度每秒增加2m,设红绿灯2由 务 绿灯变为红灯后的x秒后丙车到达，丙车在DN段从开始等待至离开点A需要y 秒，求y关于x的解析式： 6.(2425八年级下福建厦门期末)本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生 活.期末时，青少年宫计划购买A,B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生.这两款盲盒的销售 信息如表三： 表三 盲盒种 单价（元/个） 优惠方案 类 A款盲盒 20 优惠方案一：A款盲盒满30份及以上打八五折 优惠方案二：B款盲盒满18份及以上打八折 B款盲盒 15 优惠方案三：总费用满800元立减100元 (备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用) 目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A,B两款中选一款，其中30人己作明确选择， 剩余17人可以接受任意一款.若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元. (1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？ (2)若剩余17人中选择A款盲盒有m人，购买这两款盲盒的总费用为y元，求y的最小值 7.(24-25八年级下·福建泉州期末)学校积极推行“光盘行动”，鼓励学生珍惜粮食，减少浪费.食堂 管理员王老师为了评估行动效果并优化收餐流程，记录了八年级某班五天的午餐情况（数据如下表），请 你作为“校园数学顾问”协助分析. 星期 四 用餐人数x 46 49 48 47 50 (人) 总剩饭量y 1150 1230 1200 1170 1250 (克) 任务一：评估人均剩饭量 11/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)这个班级五天用餐的总人数是 (2)计算该班这五天内用餐人员，每人每日平均的午餐剩饭量. 任务二：预测剩饭趋势 (3)王老师发现剩饭量与用餐人数有关，他将用餐人数x作为自变量，总剩饭量y作为因变量，建立如图 所示的平面直角坐标系，请你根据上表描出这些数值所对应的点，发现这些点大致位于同一个函数的图象 上，这一个函数的类型最有可能是（填“一次函数”或“反比例函数”）· y(克) 1250 1225 1200 1175 1150 4647484950x(八) (4)利用上表中星期一和星期五的数据，求出总剩饭量y(克)与用餐人数x(人)之间的函数关系式， 并根据你所求的函数关系式，预测某日学校用餐人数为800人时，可能的总剩饭量， 8.(2425八年级下福建厦门期末)溶氧量（单位：mgL)指的是水中氧气的溶解量，溶氧量是水中生 物在水中生存的重要指标之一，某地区以某种水产养殖为主要产业，当地技术人员研究了溶氧量对该种水 产品生长情况的影响及溶氧量随时间变化的规律，结果如下： ①最适宜该种水产品生长的溶氧量为5mgL，长时间低于5mgL会影响生长速度，低于3mgL将出现呼吸 不顺畅的现象，溶氧量的警戒浓度为2.5mgL，低于该值就有可能导致水产品死亡. 一般来说，水中的溶氧量每天至少需要18小时不低于5mgL,其它时间不低于3mgL. ②一天内水中的溶氧量会随时间的变化而变化，太阳下山后由于光合作用停止，溶氧量将逐渐降低，在日 出前达到一天中最低的溶氧量，日出后逐渐升高至饱和溶氧量，随后保持不变.工作人员通过实验检测， 收集该季节正常天气下，该地区若干个时刻x(单位：时)对应的溶氧量y(单位.mgL)的数据，结果 如表 不同时刻对应的溶氧量 12/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时刻x 01 2 3 7 10 13 (时) 6 7 6 溶氧量 5. 4. 3. 5. 7. 6 5 9 9 y(mg/L) 5 5 (I)请估计在日出前水中的溶氧量y与时刻x之间的函数关系式： (②)该季节正常天气下，判断是否会出现溶氧量达到警戒浓度的现象？并说明理由； 3)为保障该种水产品的生长速度，养殖户购入一款增氧设备，开启该设备后能够使水中的溶氧量在原有变 化规律的基础上每小时再匀速增加2.4gL上升至饱和浓度，请估计该季节正常天气下是否需要开启该设 备，若需要开启，最迟几点开启？ 9.(24-25八年级下·福建泉州期末)项目式学习：饮水机中的数学建模 项 目 探究高铁站饮水机接水策略中的数学问题 主 题 项 新课标倡导“跨学科学习”理念，生活中常见的饮水机接水问题蕴含物理热传递原理与数学建模 目 思想.小明在接水时发现：温水与开水混合时，开水放出的热量等于温水吸收的热量（不计热损 背 失)，可简化为数学关系：开水体积×开水降低的温度温水体积×温水升高的温度.请通过数学建 景 模及项目素材，探索解决以下问题 类型 温水 开水 实物照片 水流速度 20ml/s 15ml/s 介 温水 开水 目 初始温度 30℃ 100℃ 水流速度⊙ ⊙水流速度 20mL/s③0c》 100C 15mL/s 素 目标容量 700ml水杯 材 出水口 最佳饮用温度 36℃~40℃（含端点） 13/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 物 若混合后本温为心，则有：0-=-30共中.分别为开水温水的休 理 原 积(nm) 理 问题解决 项 目 接水时间计算：小明先接温水20秒，再继续接开水直至水杯接满还需_秒 项 温度与接水时间的函数关系：设接温水时间为x秒，接开水时间为y秒，水杯总容量为700ml,则 目 J= (用含x的代数式表示) 二 项 优化接水策略：若想在最短时间内接满水且水温达到最佳饮用温度，应如何安排接温水和接开水 目 的时间？ 三 10.(24-25八年级下·福建泉州期末)为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种 型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.3万元，用15万元购买甲型充电桩与用12万元 购买乙型充电桩的数量相等 (1)甲、乙两种型号充电桩的单价分别是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共20个，要求乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购 买数量的3倍，若每个充电桩的安装费用为01万元，求该停车场安装好这批充电桩所需的最少总费用. 11.(24-25八年级下·福建福州期末)某主题公园周边的酒店于暑期旅游旺季(7月1日-8月31日)推 行优惠举措.酒店的标准三人间日常标价为500元/天，标准双人间日常标价为400元/天.当团体入住 人数达30人及以上时，可尊享七折优惠.一个36人的旅游团计划于7月15日入住该酒店.且要求所租赁 的客房需满员入住.鉴于酒店客房资源统筹调配的实际需求，规定需同时租赁两种不同类型的客房、 (1)若该旅游团中24人住三人间，其余人住双人间，则一天的住宿费是元： (②)设三人间共住了x人，该旅游团一天的住宿费为)元，请求出'与x的函数解析式： 3)第(1)小题中一天的住宿费是否为最低费用？若是，请说明理由；若不是，请设计一种能使住宿费用 14/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 最低的方案，并求出最低费用. 12.(2425八年级下·福建福州期末)“观形以立见，析数以穷理”·在数学学习的过程中，我们常常借 助“形”直观地捕捉问题的关键特征，形成初步判断；再凭借严谨的逻辑推理，用“数”进行精准验证. 【问题情境】如图1，某县为推进垃圾分类，计划在一条长10km的主干道A-C-D-B旁新建一座智能 垃圾分类回收站T.主干道两侧有M,N两个大型社区，分别通过支路连接到主干道的C,D两点，我 们把沿公路4，B两点之间的路程记作而（丽=4C+CD+DB),其中4C=4m,MC=23m、 ND=3.2km 【问题解决】T应建在主干道A-C-D-B旁何处时，使T沿公路分别到M,N两个社区的路程之和最 小.设A,T之间的路程AT为xkm,T沿公路分别到M,N两个社区的路程之和为km. 【探究一】(1)当T的建在A,C之间（含端点，即0≤x≤4），通过取点测量，得到右表x与y的几 组对应值，请根据表中的数据， 求出y关于x的函数解析式及y的最小值； x/km 0 1.0 2.0 3.0 4.0 y/km 15.5 13.5 11.5 9.5 7.5 【探究二】(2)当T建在C,D之间（不含端点，即4<x<6),小明同学用以下方法探究y的函数解 析式及y的最小值： y=CM+(aT-4C)+(AD-AT)+DN=2.3+(-4)+①+3.2=75： .T建在C,D之间的任一处时，路程之和y都为7.5km: 15/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①请补全上面小明探究过程所缺的内容；（填代数式） ②当T建在D,B之间（含端点，即6≤x≤10）时，求出y关于x的函数解析式及y的最小值： ③根据以上探究一、二的过程，请回答：在A,B主干道之间，T最终应该建在何处时y最小？最小值 是多少？ 【拓展探究】(3)如图2，新建商圈0与主干道B的连接点为B,其中Q正=1.5km, BE=1km.基于 商圈大量的垃圾处理需求，要求T建在主干道DE旁且DT不小于Ikm,设A,T之间的路程AT为xkm ,T沿公路分别到M,N,Q三个社区的路程之和为zkm,求z关于x的函数解析式，探究T应该修建在 何处时，才能使得z最小？最小值是多少？ M B 13,(24-25八年级下·福建厦门期末)古时候没有时钟，人们是怎么记时的呢？水钟在中国又叫作“刻 漏”、“漏壶”，是古代一种极为重要的计时器具，其原理是利用漏壶记录把水漏完的时间.青铜漏壶 (如图)，汉代文物，现藏于中国国家博物馆，它的运行由一块浮标控制，当水从底部的一个小出口慢慢 流出时，浮标也一点点地下沉.浮标与一根圆杆相连接，圆杆在下沉时指示柄随之移动. 安安同学根据漏壶原理制作了一个简易漏壶，记录数据如下： 16/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时间) 0 1 2 4 5 壶底到水面高度 4 4 48 44 40 38 y/(cm) 6 ()壶底到水面高度与时间的关系是什么？请你求出关系式， (2)若开始记录的时间是上午8时，那什么时刻水面高度达到20cm? 14.(24-25八年级下·福建莆田期末)根据以下思考，探索完成任务. 皮克公式的探索与应用 问题 在单位面积为1的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点 背景 的多边形称为格点多边形. F 如图，探索格点多边形ABCDEF E 的面积时，把多边形分割成小正方 素材1 形和三角形，分别计算各个面积并 相加，可求出多边形的面积. 奥地利数学家皮克证明格点多边形 的面积公式，格点多边形的面积S 与格点多边形内的格点数a和边界 素材2 上的格点数b有关，面积公式可表 示为S=ma+nb-1(其中m,n为 常数). 问题解决 在素材2中的两个网格图中，分别画出两个边长不同，且 任务1 探索皮克公式 内部只含有4个格点的格点正方形，并根据所画的格点正 方形，直接写出S,a,b应满足的数量关系： 任务2 应用皮克公式 在单位面积为1的正方形网格纸（共110个格点）中，画 17/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一个内部有18个格点的格点多边形，满足格点多边形之外 的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数，求该格点 多边形的最大面积. 15.(24-25八年级下·福建厦门·期末)幸福社区推出智能可回收物投放箱，居民投放可回收物可以赚取积 分克换生活用品、其中奖励积分（分与投放质量*(g)的函数关系如图所示 分A 200 100 10 14 永g (1)当投放质量不超过10g时，每千克可回收物可以赚取积分： 2)求AB段所在直线的函数解析式，并求出投放20g可回收物时，可以获得多少积分？ 16.(24-25八年级下·福建厦门期末)综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的 容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标 记刻度，以便通过刻度直接读取时间， 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后每隔 10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 节流阀 记录时间 8:00 8:10 8:20 8:30 t/min 流水时间 0 10 20 30 18/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 h/cm 水面高度 (观察值) 30 29 28.1 27 其中“t=0,h=30”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差. 任务1利用“1=0，h=30;t=10,h=29”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式. 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为l5cm时是几点钟？ 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优化函数解析式， 减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与 对应的观察值之差的绝对值之和，记为"；w越小，偏差越小. 0,30) 任务3确定经过 的一次函数解析式，使得"的值最小. 17.(24-25八年级下·福建三明期末)随着科技事业的不断发展，无人机广泛应用于多种领域，在农业方 面，无人机可以帮助精准施肥和喷洒农药，从而提高生产效率.某农业公司计划购进A，B两种型号的无 人机共10架用来喷洒农药，其中A型无人机4万元/架，B型无人机3万元/架.已知A型机比B型机平均 每小时多喷洒2公顷农田，且A型机喷洒24公顷农田所用时间与B型机喷洒16公顷农田所用时间相等. (1)求A,B两种型号的无人机平均每小时分别喷洒农田多少公顷？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒55公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使 购买总成本最低？并求出最低成本。 41.(24-25八年级下·福建福州期末)为了丰富校园社团活动，某学校计划采购一批乐器.已知购买3把 吉他和2架电子琴共需2800元；购买1把吉他和1架电子琴共需1200元. (1)求吉他和电子琴两种乐器的单价： (2)若学校准备购买若干把吉他和若干架电子琴，总数量为40，且电子琴数量不少于吉他数量的1.5倍.设 购买吉他a把，两种乐器所需总费用为W元，求W与a之间的函数关系式，并求出总费用的最小值. 目地城诗点06 一次函数与几何综合 1.(2425八年级下福建度门期末)己知直线：y=:+3k+1(k≠0)恒过定点P),点 19/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m, 3+2 在第一象限内，且点Q恒在直线l,上，直线，与x,y轴分别交于A、B两点，直线PB与 直线0交于 M(P,4）, 当线段°长度最小时，下列结论中正确的是 53 ①点0坐标为2'2：②0010P:③点M的坐标为N5,3):④0P=2 4 2.(24-25八年级下福建泉州期末)如图，直线y= 一3+8与x轴、y轴交于AB两点，∠BAO的平 分线所在的直线AM的解析式是 B 3.(2425人年级下福建厦门期末)已知在平面直角坐标系中，点1(20)P是函数'=(>0)图像上 厂交'轴于点2.设点P的横坐标为”，点2的纵坐标为°，若0P<105,则力的取值范 PQ⊥APy h 一点， 围是 4.(2425八年级下福建泉州期末)在菱形ABCD中，∠BAD<90°，点P以2cm/s的速度从A点出发， 沿A→D→C→B的路线匀速运动，到点B运动停止，△ABP的面积(cm)与运动时间(S的函数图象如 图所示，现给出以下结论：①点P从点A运动到点B的时间为15s;②菱形ABCD的周长为4Ocm;③当 24时，1=3或13，④当/=125时，4P=185cm S=2 其中正确的是 (写出所有正确结论的序 号). 20137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 As/cm2 40 10 3 5。(2425八年级下福建厦门期末)如图，平面直角坐标系中，直线y=一4x+3与y轴，x轴分别交于 A,B,点D是第一象限内的图象上的一个动点，过点D作DEIy轴于E点，DF⊥x轴于F点，连接EF, 则线段EF长的最小值为 yA 6 5 4 A 3 2 B 1F23456x 6.(2425八年级下·福建南平·期末)已知点A(0,1),过点A作直线y=x-k(k≠0)的垂线，垂足为H, 则AH长度的最大值为一 3 7,(2425八年级下福建厦门期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=一x+b分别与x轴，y轴交 于点A,B,且点A的坐标为4,0)，四边形ABCD是正方形. B (1)求点D的坐标： (2)若点P是线段AB上的一个动点（点A,B除外），试探究：在x轴上方是否存在另一个点Q,使得以 21/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O,B,P,Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 8.(2425八年级下福建厦门期末)定义：对于给定的一次函数y=:+b(k≠0，k、b为常数)，把形 [x+b(x≥0) 如'一+(x<0)(k≠0，kb为带数)的函数称为一次函数y=:+b(k≠0，太b为常数)的衍生 函数.己知口ABCD的顶点坐标分别为 (-2,1)B(3,1)C(5,3)D(0,3) M D B B 备用图 E(n,5 )点 在一次函数"=x+3的衍生函数图象上，则” (②)如图，一次函数y=+b(k≠0，k、b为常数)的衍生函数图象与平行四边形ABCD交于MN、P、 3 Q四点，其中P点坐标是(-1,2)，并且S△a=4,求该一次函数的解析式： 3)一次函数y=+b(k≠0，，kb为常数)，其中k、b满足3张+b=2,当一次函数y=+b(k≠0， k、b为常数)的衍生函数图象与平行四边形ABCD恰好有两个交点时，求b的取值范围 9.(24-25八年级下·福建福州期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象分别交x轴， y轴于A,B两点，直线CD分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点D,C两点，且CD⊥AB,OC=OA. 22137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA C A D D 图1 图2 (I)直接写出点A的坐标为一： (2)求出直线CD的解析式： 3)如图2，点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点，若以O,M,N,P 为顶点且OM为边的四边形为矩形时，请求出点N的坐标， 10.(24-25八年级下福建泉州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线； {,y=-x与直线交于点 A(-1,1) B(0,3). 与y轴交于点 备用图 (1)求直线的函数表达式： 2)若点P是直线2上一点，且点P在y轴左侧， S=2Sa0,求点P的坐标： 3)若点M在射线OA上，且∠ABO+∠MBO=45°。，求点M的坐标. 11.(24-25八年级下福建福州期末)如图，平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象分别交x轴、 y A.B y=-x+b C.F 轴于点，一次函数 的图象经过点B,并与”轴交于点C,为直线C上的动点。 BC 23/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C (1)求直线BC的解析式： (②)当点F的横坐标比纵坐标大2时，求△ABF的面积： 3)当∠FAB=∠ABO时，求点F的坐标 12.(24-25八年级下·福建泉州期末)如图，在平面直角坐标系xO少中，正方形OABC的顶点A、C分别 在x轴、y轴上，BC=4,点D为AB的中点. B D A (I)请求出点D的坐标： (2)在线段OA上取一点E,使得OE=3,连接CE、DE.求证：DE LCD: B)在（②）的条件下，直线CD交x轴于点P,点P为直线DE上的动点，设(PA+PF) 的值为W,试求出 W的最小值. 13。(24-25八年级下福建厦门期末)在平面直角坐标系中，一次函数=-+3m(m> 的图象记作直 线，4与x轴相交于点 (3m,0 ，一次函效少=x-m-2的图象记作直线 (1)求k的值： ②点M,N分别在直线，上，将线段MN进行平移得到线段PD,使得点P,Q分别落在直线二，上， 连接N№，MP. ①若点 M(1,5) 求点Q的坐标： 24137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 @若直线，片=+：以f为常数， n+t>0 MNOP )将四边形 分成面积相等的两部分.试探究是否 存在一组常数n,t,使得无论m取何值，直线都经过x轴上的某一个定点，若存在，请求出n,t的值及 该定点的坐标；若不存在，请说明理由 14。(2425八年缓下福建泉州期未)如图，在平面直角坐标系中，直线y=:+b经过点1(20)和点 B(1,2),与y轴交于点C, B (1)求k和b的值和点C的坐标： 1 2)点D是射线C0上的一点，且Sa0=2,求点D的坐标： (3)若点E在直线AB上，点F在y轴上，点M在坐标平面上，当四边形BFEM是正方形，求点E的坐标. 15.(24-25八年级下福建泉州期末)已知直线1：y=:+3张+4(k>0,k为常数)过定点P,且交x轴 于点A,交y轴于点B. 备用图 (1)①求定点P的坐标： ②求△OAB面积的最小值： 4 ②)若k=3,点C在△OAB内都且到△OAB各边距离之和为6，问：是否存在点D,使得以AB、C~ D四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由. 25/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(24-25八年级下福建厦门期末)在平面直角坐标系0中，点 A(n+6,2n+3 ,且点A在第一象限 内，过点A作AB上y轴于点B. B 0 图1 图2 图3 (I)如图1，过点A作AC⊥x轴于点C,若四边形ABOC为正方形，求n的值： ②已知点E(06),F2,0),点D在'轴上.当点A在直线EF上方时，延长AB交直线EF于点P,连接 AD,PD,AE,AF. i.如图2，若AD=AE,DE=AB,判断四边形ADPE的形状，并说明理由： ⅱ.如图3， 点M(6-0)在轴上，平面内找一点99不与P重合)，连接40，使40=M, ∠BMF=∠FAQ BO BM BQ⊥BM 连接， .求证： 17.(2425八年级下·福建龙岩·期末)根据以下素材，探索完成以下任务 探索“美好距离” 定义：在平面直角坐标系中，已知线段4B和直线，，过点4 于点M,过点B作N14于 AM⊥I N 素材 MN 于点，连接， 称线段 MN 的长为线段1B关于直线和的“美好距离”. 26/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 12 yA 6 5 3 D C 2 人 图形 上1上上上上》 111 -3-2-19123456x-3-2-1912456x -2F -2H -3 -3F 图1 图2 问题解决 已知点 A3,1)B(-L,5) 利用图1探索以下问题： 任务1 ①直线AB的解析式是 ②求线段AB关于x轴和V轴的“美好距离”： ③求线段AB关于直线y=一x和直线y=x的“美好距离”. 如图2，线段CD在直线y=-x+5上运动（点C的横坐标大于点D 任务2 的横坐标)，且CD=V , 直接写出线段CD关于轴和'轴的 “美好距离”的最小值. 18.(24-25八年级下福建福州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=:+bk≠0)与x轴交于 点13,0).与'轴交于点B(03),与直线CD交于点E.已点D的坐标为@)，点C在点4的左侧且 27137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=6 (I)直接写出直线AB的解析式：和直线CD的解析式： 15 ②)在直线CD上，是否存在一点p,使得S.即=2，若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。 19.(24-25八年级下福建泉州期末)如图，平面直角坐标系0y中，己知点 8.0)B(0.3),0C是 △AOB的AB边上的中线. B A (1)直接写出：点C的坐标是 (②)已知点Q在y轴的正半轴上，∠0QC=45°，将△OCQ沿C2翻折得到△DC0,点O的对应点为点D. T a,a+ 若有一动点 ①当点T落在△DCQ内部（不包含边）时，求a的取值范围： ②是否存在点T,使 TO-TD 取得最大值.若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。 20.(24-25八年级下·福建泉州期末)阅读与理解 【阅读材料】 y=+b(k≠0) 一次函数 的图象是一条直线.通常也称为直线'=+b,其中称为直线的斜率，它表示 直线关于坐标轴的倾斜程度.特别地，当k=0时，直线y=b.所以，直线y=kx+b可由直线 28/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=kx(k≠0) 或直线”=b 经过平移或旋转而得到.那么，已知直线上的两点 ,）和B( ,如何求 出k的值呢？ 将B 丙点的坐标分别代入=+b,得到=+b①.片=，+b。 +0②.把上面两式相减，消去b,得 到男男=(，-x)当5，≠5时，求得=片出 x2一x 因此，当，≠时，直线4B的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，特别地，当 =”时，直线与'轴平行（或垂直于轴），此时直线的斜率*不存在. 【理解运用】 (1)已知 P2,3),5,9),易求得直线P的斜率- ,其解析式为 E(2,3)F(m,5) (2)已知点 其中m为常数，且m≠2.若直线F与直线)=3x- 平行，求m的值： 6)荆定点4,2），B(25),C(48)=点是香在同一直线上？并说明理由. (m,n 21.(24-25八年级下·福建厦门期末)约定：如果函数的图象经过点 ,我们就把此函数称作“ (m,n) 画数”。比如：正比例函致=2的图象经过点，。所以正比例居致=2就是。L2 族函 数”.已知一次函数y=x+b(k为常数，k≠0) )已知一次函数'=c+b是84 )族函数，求，b之间的关系。 ②)当b=1-大时，无论人取何值，一次函数)=c+b必为《 (c,d) 族函数.若直线'=+b平分△M4BC的面 积，其中点4B,C的坐标分别为1d0,B4-e0),C(0),本是否为定值？如果是，请求出该定值： 如果不是，请说明理由： 6)已知一次函数'=2x+4y=+l和=c+b都是。mm）族函数”.当m≤x≤水时，一次面数 29/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x+b的函数值y满足-3<y<k+ 2,求k的取值范围 22.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，已知 a,0,B(m+6,m+2),C(m,m+2)4B/0c,直线 y=-x+n A.C l:y=kx+t 经过两点，另有一条直线 B 备用图 (I)判断四边形OABC的形状，并证明。 (2)当t=3,且1⊥AC时，直线1与直线AC的交点坐标为一： 1 6)当k=2时. ①若直线I与四边形OABC相交，则t的取值范围是一；若直线I平分四边形OABC的面积，则t= ②若直线1与直线AC交于点D.DE1镇，垂足为E,DFLy轴，垂足为R,记w=DF-DE,当 2 -9≤t<9时，求w的取值范围. 23.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，A,B是直线 :y=-x+6 与两坐标轴的交点，直线 12:y=2x+m 过点A,与x轴交于点C. VA D B B B (图1) (备用图) 30/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求直线的解析式及点C的坐标. (②)点D是折线B-A-C上一动点 ①尺规作图：当点D是线段AB的中点时，在如图1中的y轴上找一点E,使ED+EB最小（用无刻度的直 尺和圆规画出点E的位置，保留作图痕迹，不要求写作法和证明)，并求出点E的坐标： ②探究是否存在点D,使△BCD为直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 24。（24-25人年级下福建厦门期末)在平面直角坐标系0中，已知矩形018C,其中点45,0)，D (5,4).c0,4 .给出如下定义：若点P关于直线：x=的对称点P在矩形OABC的内部或边上，则称点 P为矩形OABC关于直线l的“关联点”. 例如，图1中的点D,点E都是矩形OABC关于直线：x=3的“关联点”. 8 7 6 5 5 c B 3 -E ·P2 2 D D' 1 B P 2-10 12345678x -6-5-4-3-2-1012345678x ·P4 2 x=3 x=-1 图1 图2 31/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 水 5 B 3 2 1 -8-7-6-5-4-3-2-1012345678 图3 (1)如图2，在点 R(4,1),B(3,3),B(-2,0),P(-6-2)中，是矩形0ABC关于直线1：x=-的“关联 点”的为_： (2)如图2，点 P(-a+l,a-1) 是矩形OABC关于直线：x=-l的“关联点”，求a的取值范围： ③)如图3，若在直线y=2x+b上存在点Q,使得点0是矩形0ABC关于直线1：x=2的“关联点”，请直 接写出b的取值范围_·（不写过程） :y=x+乃经过线段m的一个端点，直线 y=-2x+n2 25.(24-25八年级下·福建莆田期末)已知直线 经过线段m的另一个端点。若直线与交于点M,且点M不在线段m上，则称点M为线段m的“相件 点” 3 -2012345 -2 -3引 ()线段m的两个端点分别 0,-2）知（0,4).则在点 和 ,(2,0),M,(2,-2),M,(-2,2)中，选择一个是线段m 的“相伴点”，并说明理由： 2)A(c,a),B(c+3,b)是直线y=3上的两个动点. 32137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①点V是线段AB的“相伴点”，且点N的纵坐标为6，求点N的横坐标： ②正方形CDEF的四个顶点的坐标分别为 (S,s),D(s,-S),E(3s,-s),F(3s,s) 其中8>0.当点4B在直 线上运动时，生成线段AB的“相伴点”.若所有线段AB的“相伴点”中，有且只有1个点在正方形 CDEF上，求s的值. 26。(24-25八年级下福建福州期末)在平面直角坐标系x0中，点A,B的坐标分别为 a,0)(0,b) 且a,b满足(a+4)+B-3=0 (I)求a,b的值： ②P(x,八是直线上一点，且A,B不在直线上. 25 ①连接AB,BP,4P,不论点p在直线1的何处，△ABP的面积始终等于4，求直线！的解析式： ②在①的条件下，当AP+BP的值最小时，求点P的坐标. 27.(2425八年级下福建厦门期末)已知平面直角坐标系内有平行四边形，其中顶点坐标为 A(-2,t+4) B(-2,t)C(m,t)D(m,t+4)(m>-2） (1)判断平行四边形ABCD的形状； Q)连接BD.BD=2V3 ①若一次函数y=x-1与该平行四边形有交点，试求出t的取值范围： ②已 E(2,-1-4),连接DE,直线DE与x轴交于点R,当4，B,F三点共线时，求△BFD的面积 28.(24-25八年级下·福建泉州期末)综合与实践 如图1，光反射时，反射光线、入射光线与法线在同一平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧： 反射角等于入射角.这一结论在物理学中称为光的反射定律. 如图2，某学习小组将平面镜AB放在x轴上，激光笔放在点P处，点P的坐标为 10,4) 从光源P处发出 一束光线在平面镜AB上发生反射，当点A为入射点，入射角为45°时，此时反射光线与y轴交于点C. 33137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 法线光屏 反射 入射 光线 反射角入射角 光线 平面镜 图1 图2 1)求点C的坐标： (2)若AB=4,当入射点从点A移动到点B时，求反射光线与'轴的交点C移动的距离. 29.（(24-25八年级下福建龙岩期末)在平面直角坐标系中，直线：y=-x+3与直线：y=(依≠0)交 M(1,m 于点 ,直线与x轴，y轴分别交于点4，B, M E D P 备用图 (1)求m和k的值： P(t,0)t≠1 (2)若动点 在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m,直线m分别与直线，交于点D,C, 过点D作DE∥x 轴，交直线2于点E. ①用含t的代数式表示点D,E的坐标：D(),E(); ②当CD=2时，求t的值； ③以CD,DE为边作矩形CDEF，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？ 若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由、 30.(24-25八年级下·福建福州期末)阅读材料，完成下列问题： 34/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【背景】 重心是一个物体受力的平衡点，每一个平面图形都有重心.例如： 名 线段 三角形 平行四边形 圆 称 A D 且 D 图 Ao B 0 形 AO BO OC OE OF =2 OD 重 心 中点 中线交点 对角线交点 圆心 位 置 【探究】 “探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部 分的面积分别为5，，重心分别为 M(y),M,(G）. 原图形的重心坐标 M(x,),则有 =型y=8+ S+S2, S+S,·例如：如图1，是一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角）， 延长线段FE将图形分割成左、右两个矩形，重心分别为 M1(x,y),M2(2,2) 35/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 y B 4 3 D 2 ●.M C 012345678x 图1 图2 【应用】 (1)如图1，若AF=2,AB=5,BC=6,CD=2,以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐 M M, 标系，则点的坐标为一，点的坐标为一，计算得此“工”形的重心坐标为。 AOCB,A(4,4),B(8,4),C(8,0) (2)如图2，直角梯形 求直角梯形AOCB的重心坐标. m Pm,- 31.(24-25八年级下福建福州期末)当m,n是正实数，且满足m-n=mn时，就称点（n)为“和 1 1 1 谐点”.例如，当m=l,n=2时，因为m-n=2mm=2,又 =2,则点(，2）是“和谐点”· 1 m= 2 (1)对于①[m=1和②1 1能得到“和谐点”的是 一（填写序号）； n=2 n= 3 m Pm, (2)“和谐点” （n)中的m,n是否可以都为正整数？请说明理由； (3)已知点 0,5)与点M都在直线=-+b上，点B,C都是“和谐点”，且点B在线段1M上.若 MC=V5,AM=32,求线段BC的长. 32.(24-25八年级下福建南平期末)己知，在平面直角坐标系x0y中，A(-4,0),B(4,0),C(04),点 D在线段AO上（不与端点重合），点F在y轴正半轴上，且OD=OF,直线BF,CD交于点E. 36137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D -2,0) (1)当点D的坐标为 时，求点E的坐标； (2)求证：BE⊥CD: (3)求∠OEB的度数. 37137