精品解析：福建省厦门市思明区2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试题

福建省厦门市思明区2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试题 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A B. C. D. 2. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 3. 估计 的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 4. 如图，为平面直角坐标系内一点，M是x轴上一点，直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大时，点M的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A. B. C. 3 D. 6. 某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表： 阅读时间（h） 6 7 8 9 10 11 12 人数（人） 5 6 9 10 6 3 1 九年（1）班学生阅读时间的中位数和众数是（ ） A. 8，9 B. ，9 C. ，10 D. 8，10 7. 为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点是边上一个动点（不与点，点重合），连接，作交于点，垂足为点，连接，记，，，，四边形的面积分别为，，，，，方方通过探究，得到以下两个结论：①，②．则下列选项中，正确的是（ ） A ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 9. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根．则该三角形的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 8或9或10 10. 如图1所示，正方形中，点E是边的中点，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→E的路线匀速运动到点E停止，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x变化关系的图像，根据图中的数据，可知点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：______________． 12. 将直线关于轴对称后，所得直线过点，则直线的函数表达式为______． 13. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即里），出西门往前直走2里到B处（即里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A．如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，，那么这座方城每一面的城墙长是__________里． 14. 直线与线段有公共点，已知点，，则的取值范围__________. 15. 如图，矩形纸片中，已知，点B落在点F处，折痕为，则的长为_____． 16. 如图，矩形中，，，点P是边上的动点（不与C、D重合），以为边作菱形，使，若矩形有第二个顶点在菱形的边上，则_______． 三、解答题：（本大题9个小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 19. 在中，，点O是所在平面内一点，连接，延长到点E，使得，连接，过点B作与平行，并使，且，连接DE．若，且，，问的大小为多少度？ 20. 为了解学生的暑期每日学习时间情况，学校开学进行了问卷调查．现从高二、高三的学生中各随机抽取20名学生的问卷调查进行收集、整理、描述、分析．所有学生的学习时长均高于2小时（时间用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：高二年级20名学生的学习时长为：2.1，2.2，3，3，4.5，5.2，7，8，8，8，8，8.5，9，10，12，12，12.5，13，13，14． 高三年级20名学生的学习时长在C组的数据是：8.2，8.6，9，9.4，9.6，10． 高二、高三所抽取学生的学习时长统计表 年级 高二年级 高三年级 平均数 8.15 8.15 中位数 8 众数 7.5 高三所抽取学生的学习时长统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____________，_____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校高二、高三年级中哪个年级学生的学习时长较好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校高二年级有名学生、高三年级有名学生参加了此次问卷调查，估计该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是多少？ 21. 如图，在中，延长至点E，使，连接交于点O，连接，． （1）求证：； （2）若 ①若，，求的面积； ②连接，求证：． 22. 经重庆市发改委统筹考虑重庆电力供需状况、电网负荷特性、居民用电习惯等，在保持价格总水平基本稳定的前提下，现制定分时电价标准，分成三个时段计费，即高峰时段、低谷时段和平段． 1．高峰时段：、，在平段电价基础上提高元/千瓦时． 2．低谷时段：，在平段电价基础上降低元/千瓦时． 3．平段：、、，平段电价为国家规定的销售电价． （1）某家庭8月份总电量400千瓦时，其中平段电量为总电量．低谷电量占总电量，根据相关政策，使用新方案计算电费，低谷时段电费恰好是高峰时段电费的，则平段电价为多少元/千瓦时？ （2）电力公司采用新能源节约成本，9月份将所有时段电费单价在（1）中的费用的情况下均降低相同费用，若该家庭9月份高峰时段费用与低谷时段费用一样，而低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，则降价后高峰时段电价为多少元/千瓦时？ 23. 阅读材料：我们知道，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理： ． 因为，所以，当时，取得最小值． （1）求多项式的最小值，并写出对应的x的取值． （2）求多项式最小值． 24. 小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． （1）求小山与亭台之间距离；（结果保留根号） （2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 25. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点从点出发沿运动，点从点出发沿运动，点从点出发沿运动． （1）如图1，将沿折叠，点恰好落在点处，则点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）如图2，若，两点以相同的速度同时出发运动，使，求的值； （3）如图3，已知点为的中点，若，两点以相同的速度同时出发运动，连接，作于，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省厦门市思明区2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试题 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判定．最简二次根式是指被开方数不能化简的二次根式．据此判定即可． 【详解】解：A、，可化简，原式不是最简二次根式； B、，可化简，原式不是最简二次根式； C、，可化简，原式不是最简二次根式； D、不可化简，原式是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 2. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、设，则， ， ∴，解得：， ， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； B、∵， ， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵， ， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 估计 的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法，不等式的基本性质，掌握二次根式的乘法法则和夹逼法是解题的关键．先化简后得，再估算，进而可得答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：B． 4. 如图，为平面直角坐标系内一点，M是x轴上一点，直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大时，点M的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大，得出直线一定经过第一、三象限，根据，M是轴上一点，得出点M一定在x轴负半轴上，从而得出答案． 【详解】∵直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大， ∴该函数图象一定经过一、三象限，即直线一定经过一、三象限， ∵，M是x轴上一点， ∴M一定在x轴负半轴上， 故选：A 5. 如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于H，连接； ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表： 阅读时间（h） 6 7 8 9 10 11 12 人数（人） 5 6 9 10 6 3 1 九年（1）班学生阅读时间的中位数和众数是（ ） A. 8，9 B. ，9 C. ，10 D. 8，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据可知该班有学生40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决． 【详解】解：由表格可得，读书时间为9小时最多，故一周读书时间的众数为9， 该班学生一周读书时间的第20个数8和第21个数是9， 故该班学生一周读书时间的中位数为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了众数和中位数的求法，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数． 7. 为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在解答时根据降价率建立等量关系建立方程是方程．设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为，根据题意建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为，由题意，得， 解得：（舍去），， 故选A． 8. 如图，在正方形中，点是边上一个动点（不与点，点重合），连接，作交于点，垂足为点，连接，记，，，，四边形的面积分别为，，，，，方方通过探究，得到以下两个结论：①，②．则下列选项中，正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解题关键是面积关系的正确变形．由正方形，，得，得，得，由，即可得． 【详解】解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， 得， 得， 由， 得． 故选：A 9. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根．则该三角形的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 8或9或10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程．求出一元二次方程的解，根据方程的两根为等腰三角形的腰和底的长，分类讨论求解即可． 【详解】解：， ， 或， ∴， 当腰为2，底为4时，因为，不符合三角形三边的关系，舍去， 当腰为4，底为2时，三角形的周长为． 故选：B． 10. 如图1所示，正方形中，点E是边的中点，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→E的路线匀速运动到点E停止，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x变化关系的图像，根据图中的数据，可知点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用开始为0，到最大值为，也就是P到达B点时，即,从而求得边长，由点E是边的中点可知,即当点P在点E时，点P的运动路程为，，再由勾股定理可求得,最后求得y即可解答 【详解】解：根据图2可知， 当点P到A点时，， 当点P到B点时，，，即则 当点P到E点时，点P的运动路程为,，由勾股定理可得,则 所以点Q的坐标为 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形中的动点问题，找到图中的关键点及对应的关键数是解题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，乘方二行负整数指数幂的意义，先根据二次根式的性质，乘方二行负整数指数幂的意义化简，再算加减． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 将直线关于轴对称后，所得直线过点，则直线的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据直线，得出直线与轴交点坐标为，结合点关于轴对称得到点，再设直线的函数表达式为，分别代入和，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，令，则， ∴直线与轴交点坐标为， ∴点关于轴对称得到点， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点， ∴把和分别代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 13. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即里），出西门往前直走2里到B处（即里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A．如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，，那么这座方城每一面的城墙长是__________里． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理；先根据正方形的性质得出，再根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设正方形是每一面城墙的长度为里， 正方形的中心为O， ， ， ， 解得：，或（不合题意，舍去）， ， 故答案为：8． 14. 直线与线段有公共点，已知点，，则的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据过点k取最大值，过点k去最小值计算即可． 【详解】∵过点k取最大值， ∴ ∵过点k去最小值， ∴， 解得， 故的取值范围， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解析式的确定，交点的意义，熟练掌握求解析式是解题的关键． 15. 如图，矩形纸片中，已知，点B落在点F处，折痕为，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】由折叠得，于是，在中， ，设，在中，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是翻折而成， ∴， ∴， 在中， ， 设， 在中，，即， 解得，则AB=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查矩形的折叠，矩形的性质，勾股定理；根据折叠得到线段相等是解题的关键． 16. 如图，矩形中，，，点P是边上的动点（不与C、D重合），以为边作菱形，使，若矩形有第二个顶点在菱形的边上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论，①当点在上时，根据矩形的性质与菱形的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得； ②当点在菱形的边上时，如图，过点作交的延长线于点，线段上截取，过点作于,证明，根据等面积法即可求解． 【详解】解：①当点上时，如图， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ； ②如图，当点在菱形的边上时，如图，过点作交的延长线于点， 设，四边形是菱形， ， 中，， ， ，， ， 线段上截取，过点作于, ，, 即， 解得（负值舍去），经检验符合题意， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：（本大题9个小题，共86分） 17 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简二次根式，先计算乘法，再算加法． （2）运用平方差公式再算加减． 【小问1详解】 原式=； 【小问2详解】 原式=． 【点睛】本题考查了实数的运算，二次根式的加减，平方差公式． 18. 如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而推出，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形； 19. 在中，，点O是所在平面内一点，连接，延长到点E，使得，连接，过点B作与平行，并使，且，连接DE．若，且，，问的大小为多少度？ 【答案】或 【解析】 【分析】分点O在内部和点O在外部两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质，结合中位线性质，等腰三角形的判定和性质，求出即可． 【详解】解：当点O在内部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点，A为的中点， ∴， ∴； 当点O在外部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示： 同理可得：， ∴， ∵，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、A、O、M四点共圆， ∴， ∵为的中点，A为的中点， ∴， ∴； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，垂直平分线性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论，作出图形，构造全等三角形解决问题． 20. 为了解学生的暑期每日学习时间情况，学校开学进行了问卷调查．现从高二、高三的学生中各随机抽取20名学生的问卷调查进行收集、整理、描述、分析．所有学生的学习时长均高于2小时（时间用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：高二年级20名学生的学习时长为：2.1，2.2，3，3，4.5，5.2，7，8，8，8，8，8.5，9，10，12，12，12.5，13，13，14． 高三年级20名学生的学习时长在C组的数据是：8.2，8.6，9，9.4，9.6，10． 高二、高三所抽取学生的学习时长统计表 年级 高二年级 高三年级 平均数 8.15 8.15 中位数 8 众数 7.5 高三所抽取学生的学习时长统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____________，_____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校高二、高三年级中哪个年级学生的学习时长较好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校高二年级有名学生、高三年级有名学生参加了此次问卷调查，估计该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是多少？ 【答案】（1）8，，30 （2）整体上看高三年级学生学习时长较好，理由见解析 （3）该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是1980人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图和统计表，中位数、众数、平均数，样本估计总体等知识，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （）根据表格及题意，由众数、中位数的定义即可求出a、b的值，由1减去其他组的百分比即可求出m的值； （）根据平均分、中位数分析即可得出结果； （）分别利用两个年级的总人数乘以对应的的学生的百分比即可进行求解． 【小问1详解】 解：在高二年级20名学生的学习时长中，8出现的次数最多，共出现4次，故高二年级20名学生的学习时长的众数， 高三年级20名学生的学习时长中， A组：（人）， B组：（人）， C组：人，所占百分比为 D组：（人）所占百分比为，则， ∴八年级的中位数为第个同学竞赛成绩的平均数， 即高三年级20名学生的学习时长的中位数是第10个和11个数据的平均数，即， 故答案为：8，，30 小问2详解】 高三年级学生学习时长较好，两个年级平均数相同，高三年级的中位数高于高二年级的中位数8，整体上看高三年级学生学习时长较好； 【小问3详解】 （人）， 答：该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是人． 21. 如图，在中，延长至点E，使，连接交于点O，连接，． （1）求证：； （2）若 ①若，，求的面积； ②连接，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明得出，即可得出结论； （2）①由勾股定理求出，再由平行四边形的面积公式计算即可得解；②证明四边形是矩形，再由勾股定理计算即可得解． 小问1详解】 证明：∵， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴的面积为； ②证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴． 22. 经重庆市发改委统筹考虑重庆电力供需状况、电网负荷特性、居民用电习惯等，在保持价格总水平基本稳定的前提下，现制定分时电价标准，分成三个时段计费，即高峰时段、低谷时段和平段． 1．高峰时段：、，在平段电价基础上提高元/千瓦时． 2．低谷时段：，在平段电价基础上降低元/千瓦时． 3．平段：、、，平段电价为国家规定的销售电价． （1）某家庭8月份总电量400千瓦时，其中平段电量为总电量．低谷电量占总电量，根据相关政策，使用新方案计算电费，低谷时段电费恰好是高峰时段电费的，则平段电价为多少元/千瓦时？ （2）电力公司采用新能源节约成本，9月份将所有时段电费单价在（1）中的费用的情况下均降低相同费用，若该家庭9月份高峰时段费用与低谷时段费用一样，而低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，则降价后高峰时段电价为多少元/千瓦时？ 【答案】（1）平段电价为元/千瓦时 （2）降价后高峰电价元/千瓦时 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用； （1）设平段电价为元/千瓦时，则高峰电价为元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时， 利用低谷时段电费恰好是高峰时段电费的，建立方程求解即可； （2）设降价元/千瓦时，9月份高峰时段费用为万元，利用低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设平段电价为元/千瓦时，则高峰电价为元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时，则 解得； 答：平段电价为元/千瓦时． 【小问2详解】 解：高峰电价元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时， 设降价元/千瓦时，9月份高峰时段费用为万元， 则， 解得 经检验是原方程的解， 降价后高峰电价元/千瓦时， 答：降价后高峰电价元/千瓦时． 23. 阅读材料：我们知道，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理： ． 因为，所以，当时，取得最小值． （1）求多项式的最小值，并写出对应的x的取值． （2）求多项式的最小值． 【答案】（1），最小值； （2）2 【解析】 【分析】此题考查的是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式． （1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴当时，取得最小值； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值2． 24. 小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． （1）求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） （2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】（1）小山与亭台之间的距离米 （2）小玲先到达寺庙处 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）作于点，在中求出，然后在中即可求解； （2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案． 【小问1详解】 作于点， 由题意知，，，，， 在中， 在中，，， 小山与亭台之间的距离米 【小问2详解】 延长，作于点，作于点，则， 由题意知，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， 在中，，米， 在中，， 米， 米， 且两人速度一致， 小玲先到． 答：小玲先到达寺庙处． 25. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点从点出发沿运动，点从点出发沿运动，点从点出发沿运动． （1）如图1，将沿折叠，点恰好落在点处，则点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）如图2，若，两点以相同的速度同时出发运动，使，求的值； （3）如图3，已知点为的中点，若，两点以相同的速度同时出发运动，连接，作于，直接写出的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的非负性以及平方的非负性，即可得，，，由题意得：，．在中，，，，即可得，，即，设，则，利用勾股定理得，即可得，即可求解； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作，使，连接，，证明得出，进而证明，，得出，，，设，则，根据勾股定理得出一元二次方程，解方程得出，进而即可求解． （3）连接，交于点，连接，，取的中点，连接，，证明，可得，即点为矩形的中心，勾股定理求得，进而根据当点，，三点在一条直线上时，取得最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：， 又，， ，， ，； ，，． ，． 四边形为矩形， ，． 将沿折叠，点恰好落在点处， ，， ， ； ， 设，则， ， ， ． ． ． 故答案为：，； 【小问2详解】 延长交轴于点，延长交轴于点，过点作，使，连接，，如图， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ． ，两点以相同的速度同时出发运动， ， 为等腰直角三角形， ， ， 和为等腰直角三角形， ，，， ，，为等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， 设，则， ， ， ． 负数不合题意，舍去， ， ． 【小问3详解】 连接，交于点，连接，，取的中点，连接，，如图， ，两点以相同的速度同时出发运动， ． ， ． 在和中， ， ， ， 即点为矩形的中心， 点为的中点，为的中点， ． ，为的中点， ． ， 当点，，三点在一条直线上时，取得最大值， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，构造合理的辅助线，掌握矩形的性质，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$