专题04 矩形（期末真题汇编，福建专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 福建多地八年级下期末矩形专题试题汇编，覆盖7大高频考点，以选择、填空、解答题梯度呈现，融合折叠变换、坐标几何与实际应用，适配期末复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|占比约60%|考点01-04（角度、线段计算、折叠、斜边中线）|结合矩形性质与坐标（如福州期末坐标求线段长）| |解答题|占比约40%|考点05-07（证明、性质应用、综合）|含尺规作图（厦门期末作矩形）、折叠探究（福州期末折叠结论判断）|

专题04 矩形 7大高频考点概览 考点01 利用矩形性质求角度 考点02 利用矩形性质求线段 考点03 矩形与折叠问题 考点04 斜边中线等于斜边一半 考点05 证明四边形是矩形 考点06 矩形的性质证明 考点07 矩形性质与判定的综合应用 地 城 考点01 利用矩形性质求角度 1．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在四边形中，点，，，分别为各边的中点，按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形是（  ） A．对角线不相等的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线垂直的平行四边形 D．对角线垂直且相等的平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定与性质，正确拼出矩形是解题的关键． 拼成的四边形为矩形，根据矩形是对角线相等的平行四边形，即可解答． 【详解】解：按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形如图，其中点重合于点O， ∴拼成的四边形为矩形，则矩形是对角线相等的平行四边形． 故选B． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）下列关于矩形的说法，正确的是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．矩形的对角线平分一组对角 C．矩形的邻边一定不相等 D．矩形的邻边互相垂直 【答案】D 【详解】此题考查了矩形的性质，根据矩形的性质判断即可．掌握矩形的性质是解题的关键． 【分析】A．矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项说法错误，不符合题意； B．矩形的对角线不一定平分一组对角，故此选项说法错误，不符合题意； C．当矩形为正方形时，矩形的邻边相等，故此选项说法错误，不符合题意； D．矩形的邻边互相垂直，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·福建莆田·期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 【详解】解：矩形具有一般平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角得到，三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 地 城 考点02 利用矩形性质求线段 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，矩形的对角线相交于点，，，则长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质．由矩形的性质得出，，证明为等边三角形，得出，据此计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）在矩形中，对角线、相交于点，，则等于（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，理解性质定理是关键．根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，点B坐标为，与y轴相交于点D，若轴，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，两点间距离公式，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．连接，设交于点M，根据矩形的性质可知，由于轴，得到D的坐标，再利用两点距离公式求解即可． 【详解】解：如图，当轴时，连接，设交于点M， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴即， ∵轴， ∴轴， ∵点D在y轴上， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，若，则的长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的性质可得出，，根据即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 故选：B 5．（24-25八年级下·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点点B的坐标是，则线段的长度为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键； 本题由两点之间的距离计算公式求出的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解； 【详解】解：连接，如图：   ， ∵顶点B的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； 故选：C 6．（24-25八年级下·福建厦门·期末）八年级（1）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图，计划用红花摆成两条对角线，如果一条对角线用了25盆红花，那么还需要从花房运来红花_____盆． 【答案】24 【分析】此题主要考查矩形的性质的实际应用问题．首先根据题意，矩形的对角线相等，一条对角线用了25盆红花，可判定另一条对角线也是25盆红花，又因为两条对角线有一个交点，所以还需要24盆红花即可． 【详解】解：根据题意，矩形的对角线相等， ∵一条对角线用了25盆红花， ∴另一条对角线也是25盆红花， 又∵两条对角线有一个交点 ∴还需要24盆红花即可． 故答案为：24． 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等且相互平分，据此即可作答，掌握矩形的对角线相等且相互平分是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在矩形中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交分别于点E，F，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意知，，，是线段的垂直平分线，，设，则，在中，由勾股定理得，，即，解方程，再证明，则；进而即可求解．本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理．全等三角形的判定与性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交分别于点E，F ∴是线段的垂直平分线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ∵ ∴ ∵， ∴ ； 故答案为： 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）图1、图2是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2中分别画出符合要求的图形．（所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合）． (1)在图1中画出一个以线段为一边的平行四边形，使其周长为20． (2)在图2画出一个周长为20，面积为24的矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网络作图：在格点图中画特殊四边形，掌握特殊四边形的判定与性质是关键． （1）由勾股定理得，则其邻边，只要把线段向右平移5个单位长度即可，且其周长为20； （2）画出长为6宽为4的长方形即可，矩形的面积即为24． 【详解】（1）解：如图平行四边形即为所求． （2）解：如图矩形即为所求． 10．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，． (1)求作矩形，点在上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点，求证：点为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—基本作图，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先作平分交于，再分别以、为圆心，、为半径作弧，两弧交于点，最后连接、，即可得到矩形； （2）由等腰三角形的性质可得，，由矩形的性质可得，，推出，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：如图，矩形即为所作， ； （2）证明：∵，平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点为的中点． 11．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知：如图，在矩形中，，垂足是，点是点关于的对称点，连接． (1)求和的长； (2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）当点分别平移到线段上时，求出相应的的值． 【答案】(1)， (2)当点落在上时，；当点落在上时， 【分析】本题考查了轴对称与平移变换、矩形、勾股定理等知识点．在计算过程中，注意识别平移过程中的不变量． （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值； 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得： ， 在中，， 由勾股定理得： （2）解：设平移中的三角形为，如图： 由对称点性质可知，． 由平移性质可知，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ， ， 又易知， 为等腰三角形， ， ，即． 地 城 考点03 矩形与折叠问题 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，已知，则的长为（　　） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，由翻折可知：，设，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， 由翻折可知：， 设，则， 在中， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为___． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．过点E作轴于点F，由可得，，由长方形与折叠的性质可得，从而，设，则，，在中，根据勾股定理得，代入即可解得，根据的面积可求得，进而在中，根据勾股定理可求得，结合点E的位置可得点E的坐标． 【详解】解：过点E作轴于点F， ∵， ∴，， ∵在长方形中，， ∴， ∵由折叠有， ∴， ∴， 设，则，， ∵在长方形中，， ∴在中，， 即， 解得， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵或， ∴， 即， ∴， ∵轴， ∴在中，， ∴点E的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点E是上一点，且，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在上．若，则的长是______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形和折叠的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 首先根据题意求出，然后根据折叠的性质得到，，、，易证是等边三角形，进而求出，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵对折矩形纸片使与重合，得到折痕， ∴，， ∴， ∵将沿折叠，点A的对应点F恰好落在上， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为3． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在矩形中，是射线上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为．当直线恰好经过点时，的长为_________． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，勾股定理是关键． 根据矩形与折叠的性质，数形结合，分类讨论，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 如图所示，直线恰好经过点， ∴， ∴在中，， 设，则， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴； 如图所示， 同理，， ∵折叠， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，点是上一点，连接，将沿着折叠，使得点落在上的点处，连接，若，，三点共线，现给出以下结论：点是的中点；；是等边三角形；．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠，等边三角形的判定与性质，根据矩形与折叠，等边三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点落在上的点处，，，三点共线，四边形是矩形， ∴，，，，故正确； ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴是等边三角形，故正确； ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴，故错误； 如图，作，交于点，设到的距离为，则到的距离为， ∴， 综上可知：正确， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点A的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．已知点的坐标为，且矩形中，则点的横坐标为_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查矩形性质、折叠性质、勾股定理以及平面直角坐标系的相关知识．解题关键在于利用折叠性质得到相等的线段，结合勾股定理建立方程求解线段长度，进而确定点的坐标． 首先由点A坐标和长度求出长，然后根据折叠性质可知，，在中求出（即），最后在中设未知数，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意四边形，四边形都是矩形， ，，， 点A的坐标为，， ， ． 在中，，， ． D点坐标为，E点纵坐标为10， 由折叠性质可知．． ， 设，则，． 在中，根据勾股定理得： ，即． 解得． ， 点E的横坐标为3． 故答案为：3． 7．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，点E是边上的一点，沿直线翻折，点C落在边上的点F处．    (1)求作点E和点F（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查折叠问题，尺规作图-复杂作图，勾股定理，矩形的性质，掌握折叠前后对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）以点B为圆心，为半径作弧，与的交点即为点F，再作的角平分线与交于点E； （2）设，由翻折可知，，用勾股定理解和即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：点E和点F为所求作的点．    （2）解：连接，设， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ∴． 在中 ， ∴， 在中， ， ∴， 解得， 即． 8．（24-25八年级下·福建福州·期末）折纸是一种充满数学魅力的艺术形式，从“数学眼光发现、数学思维思考、数学语言表达”三个维度分析折纸问题，把纸张看作平面图形，折痕视为直线，从而将折纸问题转化为几何图形的变换问题． 【操作发现】 如图1，在矩形中，按如下步骤操作： ①如图1—，第一次折叠矩形使与重合，与重合，展平纸片得到折痕； ②如图1—b，第二次折叠，点落在上，折痕与交于点； ③如图1—，第三次折叠，点与点重合； ⑤如图1—，展平纸片； （1）判断的形状，并说明理由； 【初步探究】 （2）在（1）的基础上，如图2，作的平分线交于点，连接，求证：； 【深入探究】 （3）在图2上补全图形，过点作的平行线，分别交于点，试判断的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）连接，由折叠知，，垂直平分，得，得是等边三角形，得，得，即得是等边三角形； （2）由折叠知，得，由角平分线定义得，得，连接，过作于，于，得，由，得，得，得，得，得，即得； （3）由，可得四边形是矩形，推出，由，得，得，由，得，由，得，得，由，即得． 【详解】（1）解：是等边三角形． 理由：连接，如图， 由折叠知垂直平分， ，， ， 是等边三角形． ． ． 矩形中，， ． 由折叠可知，， 是等边三角形． （2）证明：由（1）可知，是等边三角形， ， 由折叠知， 矩形， ， ； 平分， ， ， 连接，过作于于，如图， ， 四边形为矩形， ； 平分， ， 又垂直平分， ． ． ， ． 即． 是等腰直角三角形． ． ． ． （3）解：，理由如下： 如图，在（2）的图中过点作的平行线，分别交于点， 在矩形中，， ， ， 四边形是矩形， ． 由（2）得，， ． 是等边三角形， ． ． 由（2）得， ． ． 在中，， ． 【点睛】本题考查了矩形折叠问题，熟练掌握矩形性质，折叠性质，等边三角形判定和性质，勾股定理，角平分线定义和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形判定和性质是解题的关键． 9．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）折纸是我国传统的民间艺术，精美的折纸背后离不开数学原理，这吸引了无数数学教育工作者以折痕为研究对象，关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质．如图，矩形纸片中，． (1)折叠矩形纸片，折痕为（点N在矩形的边上），使得点C落在边上的点M．请在图1中画出折痕，得到______°； (2)现要折出角，小明同学采用下面的方法： 步骤一：对折矩形纸片，折痕为，使得与重合，然后把纸片展平，如图2； 步骤二：再一次折叠纸片，折痕为（点P在矩形的边上），使得______． 请将步骤二补充完整，在图2中画出折痕，并证明所折出的角为． 【答案】(1)45 (2)点C落在上，点C的对应点为点N，证明见解析 【分析】（1）由折叠可得，即可求解； （2）由折叠的性质得出垂直平分，第二次折叠可得，进而得为等边三角形，则可得出结论． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：， 故答案为：45； （2）解：步骤2：使得点C落在上，点C的对应点为点N， 证明：∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，连接 ∴垂直平分， ∴， ∵再一次折叠纸片，使点C落在上，得到折痕，点C的对应点为点N， ∴，         ∴， ∴为等边三角形，     ∴．         【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 地 城 考点04 斜边中线等于斜边一半 1．（24-25八年级下·福建宁德·期末）为迎接校园运动会，小明设计了如图所示的彩旗，其中，点为中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握知识点是解题的关键． 关键直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可解答． 【详解】解：∵，点为中点， ∴． 故选B． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在搬运班级储物柜时，小明与同学将储物柜靠在墙上稍作休息，思考如下问题：如图，墙面 与地面垂直，柜子侧面为矩形 ，其中 ， ，当柜子靠在墙上缓慢倒下，即在上滑动，在上滑动，在这个过程中，点到点的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的三边性质，取的中点，连接，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点到点的最大距离为， 故选：． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，，点D是的中点，则________． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理．根据直角三角形的斜边中线定理即可求出． 【详解】解：在中，，点D是的中点， ， 故答案为：4． 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____．    【答案】3 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴． 故答案为：3． 6．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，于点D，．点M，点N分别是的中点，连接．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合已知条件可证明四边形是平行四边形，然后利用含30度角的直角三角形的性质证明，即可证得结论； （2）先利用直角三角形的性质求出，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，点N分别是的中点，于点D，． ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）∵M是中点，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 地 城 考点05 证明四边形是矩形 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，添加一个条件________，可使是矩形． 【答案】（或） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴添加一个条件：或，可使是矩形． 故答案为：（或） 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形． 【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点E、F是上两点，，连接，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键． 由，可得，，证明，则，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， 四边形是矩形． 地 城 考点06 矩形的性质证明 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图1，在中，，以为边作矩形， (1)求证：平分； (2)如图2，于点F，平分交于点G，交的延长线于点 ①求的值； ②求证： 【答案】(1)详见解析 (2)①：2；②详见解析 【分析】（1）由矩形的性质得出，则，证出，则可得出结论； （2）①证出，由等腰直角三角形的性质可得出结论； ②延长到点M，使，连接，证明，，得出证明四边形是平行四边形．得出 【详解】（1）证明：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分； （2）解：①平分，平分， ， ， ， 于点F， ， ， 在中，， ； ②如图3，延长到点M，使，连接， ，，， ，， 在矩形中，， ， ． ，， ，， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在矩形中，点是的中点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在矩形中，点，在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定；由矩形的性质可得，然后利用判定可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】证明：∵为矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． 4．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在矩形中，点在边上，． (1)在线段上求作一点，使．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元一次方程，理解题意、正确做出图形是解题关键． （1）利用矩形的性质可得，作一个角等于已知角的尺规作图，即①以点圆心，任意长为半径，画弧，分别交、于点、；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径，画弧，交于点；④连接并延长，交于点，则，即； （2）连接，利用矩形的性质证得，通过勾股定理求得，设，则，，在中，利用勾股定理构建一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 四边形是矩形， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接， 由（1）得：，， ， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ，解得：， 线段的长为． 5．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图， 矩形， 点E 在边上． (1)尺规作图：请在线段上作出点 F，使得 ；(不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，若， ①设，请用含x的代数式表示(不用写自变量x的取值范围) ②请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）①由矩形的性质得到，，求出，得到，再由，得到，则，据此可得结论；②延长到G，使得，设，则，由①可得，，由矩形的性质得到，，则，则可证明，得到；证明垂直平分，得到，可得，，则可证明，得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②，理由如下： 如图所示，延长到G，使得，连接， 设，则， 由①可得，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点07 矩形性质与判定的综合应用 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，延长至点E，使，连接交于点O，连接，． (1)求证：； (2)若 ①若，，求的面积； ②连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明得出，即可得出结论； （2）①由勾股定理求出，再由平行四边形的面积公式计算即可得解；②证明四边形是矩形，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴的面积为； ②证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，已知矩形的平分线交的延长线于点E． (1)尺规作图：过点B作的垂线交于点G（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所作的图形中，连接，若平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点B为圆心，画弧交于两点，再以这两个交点为圆心画弧交于一点，连接B与这点，并延长交于于一点，即为G； （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出，再证明因为四边形是矩形，所以 ，用等角对等边，得，结合，则结合勾股定理，得，，因为，所以，即可作答． 本题考查了尺规作图——作垂线，角平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（1）所示，即为所求． （2）证明：如图（2）， ∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ， ∵， ∴ 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，已知矩形，点是中点，连接． (1)尺规作图：求作与关于直线对称的，点是对应点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接，，延长交于，当恰为中点时，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质知识，解题的关键是： （1）以C为圆心，为半径画弧，以E为圆心，为半径画弧，两弧相交于F，连接，即可； （2）先判断，利用等边对等角得出，利用余角的性质得出，利用等角对等边得出，利用等边对等角得出，利用三角形内角和定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：是直角三角形， 理由：如图， ∵矩形， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵、关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04 矩形 ☆7大高频考点概览 考点01利用矩形牲质求角度 考点02利用矩形性质求线段 考点03矩形与折叠问题 考点04斜边中线等于斜边一半 考点05证明四边形是矩形 考点06矩研形的性质证明 考点07矩形性质与判定的综合应用 目目 考点01 利用矩形性质求角度 1.(24-25八年级下，福建泉州期末)如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为各边的中点，按 图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形是() A.对角线不相等的平行四边形 B.对角线相等的平行四边形 C.对角线垂直的平行四边形 D.对角线垂直且相等的平行四边形 2.(24-25八年级下·福建福州期末)下列关于矩形的说法，正确的是() A.矩形的对角线互相垂直 B.矩形的对角线平分一组对角 C.矩形的邻边一定不相等 D.矩形的邻边互相垂直 3.(24-25八年级下·福建莆田·期末)矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 4.(24-25八年级下·福建泉州期末)如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E,∠ABD=36°，则 ∠CAE的度数是() 1/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C E A.18° B.20° C.36° D.54° 目目 考点02 利用矩形性质求线段 1.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，∠A0D=120°， AB=4,则AC长为() D C A.23 B.4 C.45 D.8 2.(24-25八年级下·福建福州期末)在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，AC=6,则OB等于 () A.3 B.4 C.6 D.12 3.(24-25八年级下·福建福州期末)如图，在矩形ABC0中，点B坐标为(2,4)，AC与y轴相交于点D, 若AC∥x轴，则BD的长为() A.5 B.5 C.2√2 D.25 2/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形OABC是矩形， D:M .OM =MB, :B2,4, 4.(24-25八年级下·福建龙岩期末)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,若A0=5,则BD 的长是() D B A.5 B.10 C.15 D.20 5.(24-25八年级下·福建南平期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，矩形OABC的顶点点B的坐标是 (2,3),则线段AC的长度为() A.5 B.√7 C.√13 D.5 6.(24-25八年级下·福建厦门期末)八年级(1)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图，计划用红 花摆成两条对角线，如果一条对角线用了25盆红花，那么还需要从花房运来红花盆. 金要要要薯害室型坐蜜金 3/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25八年级下·福建福州期末)如图，在矩形ABCD中，AC=10,则OB的长是 8.(23-24八年级下·福建龙岩期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=6,分别以点A和C为圆心， 以大于)4AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N,作直线MN交4D,BC分别于点E,P,则AE的长 为 9.(24-25八年级下·福建福州期末)图1、图2是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小 正方形的边长均为1，请在图1、图2中分别画出符合要求的图形.（所画图形各顶点必须与方格纸中的小 正方形顶点重合). 图1 图2 (1)在图1中画出一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD,使其周长为20. (2)在图2画出一个周长为20，面积为24的矩形ABCD. 10.(24-25八年级下.福建厦门期末)如图，在ABC中，AB=AC. B (I)求作矩形ADCE,点D在BC上.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在(1)的条件下，连接BE交AD于点F,求证：点F为AD的中点. 4/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 山，2425八年级下福建期末)已知：如图，在形ABCD中，AB=5，D0,AE L BD,垂是 是E,点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF, O (I)求AE和BE的长； (2)若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度) 当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值. 目目 考点03 矩形与折叠问题 1.(24-25八年级下·福建福州期末)如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处， 己知AB=8,BC=10,则EC的长为() A E F C A.4 B.3 C.5 D.2 2.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，将长方形ABC0放置于平面直角坐标系中，点0与原点重合， 点A,C分别在y轴和x轴上，点B(8,4),连接BO,并将△ABO沿BO翻折至长方形ABCO所在平面，点 A的对称点为点E,则点E的坐标为 A D E 3.(24-25八年级下·福建福州期末)如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN,再把纸 5/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 片展平.点E是AD上一点，且ED=2AE,将△ABE沿BE折叠，点A的对应点F恰好落在MN上.若 BC=6,则FN的长是 A E D M B 4.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,P是射线AD上的一个动点， 把△ABP沿BP折叠，点A的对应点为A.当直线PA'恰好经过点C时，AP的长为 D 5.(24-25八年级下·福建福州期末)如图，在矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE,将ADE沿着 AE折叠，使得点D落在BD上的点F处，连接CF,若A,F,C三点共线，现给出以下结论：①点F是 吨点：②4CEE+DE:③△DF是等边三角形，④C=其中正确的 .(写出所 有正确结论的序号) B D HE B 7.(24-25八年级下·福建泉州期末)如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的一点，△BCE沿直线BE翻 折，点C落在AD边上的点F处. 6/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)求作点E和点F(尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹)： (2)若AB=8,BC=10,求线段DE的长 8.(24-25八年级下·福建福州期末)折纸是一种充满数学魅力的艺术形式，从“数学眼光发现、数学思维思 考、数学语言表达”三个维度分析折纸问题，把纸张看作平面图形，折痕视为直线，从而将折纸问题转化为 几何图形的变换问题. 【操作发现】 如图1，在矩形ABCD中，按如下步骤操作： ①如图1一Q,第一次折叠矩形ABCD使A与B重合，C与D重合，展平纸片得到折痕MN; ②如图1—b,第二次折叠，点C落在MN上，折痕与MN交于点F; ③如图1一C,第三次折叠，点D与点E重合； ⑤如图1一d,展平纸片； (1)判断△DEH的形状，并说明理由； D M------ M--- F M B 图1-a 图1-b 图1-c 图1-d H H 图2 【初步探究】 (2)在(1)的基础上，如图2，作∠BCD的平分线交HF于点P,连接PE,求证：∠PEH=∠CPF; 【深入探究】 (3)在图2上补全图形，过点P作CD的平行线，分别交HE,BC,HD于点Q,R,S,试判断 SP,PO,QR的数量关系，并说明理由。 7/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(24-25八年级下·福建龙岩期末)折纸是我国传统的民间艺术，精美的折纸背后离不开数学原理，这吸 引了无数数学教育工作者以折痕为研究对象，关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质.如图，矩形纸 片ABCD中，AB>AD C B E 图1 图2 (I)折叠矩形纸片ABCD,折痕为BN(点N在矩形ABCD的边上)，使得点C落在AB边上的点M.请在图 1中画出折痕BN，得到∠CBN=°； (2)现要折出60°角，小明同学采用下面的方法： 步骤一：对折矩形纸片ABCD,折痕为EF,使得AB与DC重合，然后把纸片展平，如图2： 步骤二：再一次折叠纸片ABCD,折痕为BP(点P在矩形ABCD的边上)，使得 请将步骤二补充完整，在图2中画出折痕BP,并证明所折出的角为60°. 目目 考点04 斜边中线等于斜边一半 1.(24-25八年级下·福建宁德期末)为迎接校园运动会，小明设计了如图所示的彩旗，其中 LACB=90°，AB=32cm,点E为AB中点，则CE的长是() A D A.8cm B.16cm C.16v3cm D.32cm 2.(24-25八年级下·福建福州期末)一技术人员用刻度尺（单位，C)测量某三角形部件的尺寸.如图所 示，已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD=() 8/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B 中T 0123456789 A.3.5cm B.3cm C.4.5cm D.6cm 3.(24-25八年级下·福建莆田·期末)在搬运班级储物柜时，小明与同学将储物柜靠在墙上稍作休息，思考 如下问题：如图，墙面OM与地面ON垂直，柜子侧面为矩形ABCD,其中AB=2,BC=1,当柜子靠 在墙上缓慢倒下，即B在ON上滑动，A在OM上滑动，在这个过程中，点D到点O的最大距离为() M D A.V2+1 B.√5 C.145 5 n 4.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=8,点D是AC的中点， 则BD=」 D B 5.(24-25八年级下·福建福州期末)如图，在ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，AB=6,则CD的长 是 D C 6.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, 9/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD⊥BD于点D,∠AOD=60°.点M,点N分别是OA,OC的中点，连接DM,MB,BN,ND. D M A (I)求证：四边形MBND为矩形； (2)若DM=1,求平行四边形ABCD的周长. 目目 考点05 证明四边形是矩形 1.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在。ABCD中，添加一个条件 ,可使口ABCD是矩形 D 2.(24-25八年级下·福建福州期末)已知，如图，在▣ABCD中，M是AD边上的中点，且MB=MC.求 证：ABCD是矩形. D 3.(24-25八年级下·福建泉州期末)如图，在口ABCD中，点E、F是BC上两点，BE=CF,连接 AE、DF,AE=DF,求证：四边形ABCD是矩形. 目目 考点06 矩形的性质证明 1.(24-25八年级下·福建福州期末)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边作矩形ACED, AD=AB. 10/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H E D D A 图1 图2 (1)求证：BD平分∠ABC: (2)如图2，AF⊥BD于点F,AG平分∠CAB交BD于点G,AG⊥GH交DE的延长线于点H. ①求AF:AG的值； ②求证：HG=√2(DG-FG). 2.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，连接EA,EB,求证： EA=EB. D E B 3.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在矩形ABCD中，点E,F在BC上，且AE=DF,求证： BE=CF D B 4.(24-25八年级下·福建漳州期末)如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE=AD. (I)在线段CD上求作一点F,使∠CFE=∠AEB.(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： (2)在(1)的条件下，若AB=6,AD=10,求线段CF的长. 5.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，矩形ABCD,点E在AB边上. 11/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D E E B B 备用图 (I)尺规作图：请在线段CE上作出点F,使得∠ACD=LDAF;(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若LCAF=∠ECB, ①设∠ACE=x°，∠CAF=y°，请用含x的代数式表示y(不用写自变量x的取值范围) ②请写出线段EB与CF的数量关系，并说明理由. 目目 考点07 矩形性质与判定的综合应用 1.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在口ABCD中，延长AB至点E,使BE=AB,连接ED交BC于 点O,连接EC,BD 刀 (1)求证：AD=2B0; (2)若AD=DE ①若AD=4,CD=2,求口ABCD的面积； ②连接AC,求证：AC?=3AB2+AD2 2.(24-25八年级下·福建厦门·期末)如图，己知矩形ABCD,AB>AD,∠BAD的平分线交BC的延长线于 点E. D (I)尺规作图：过点B作AE的垂线交AE于点G(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图形中，连接BF,若BF平分∠GBE,求证：AE=2AD. 3.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，已知矩形ABCD,点E是AD中点，连接CE. 12/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B (I)尺规作图：求作与aCDE关于直线CE对称的△CFE,点D、F是对应点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)条件下，连接AF,BF,延长CF交AB于G,当G恰为AB中点时，试判断△AFB的形状，并 证明你的结论. 13/13