专题02 勾股定理（期末真题汇编，福建专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 专题汇编涵盖勾股定理及其逆定理11大高频考点，精选福建多地期末真题，融合赵爽弦图、《九章算术》等文化素材与遮阳棚、自动感应门等实际情境，注重基础巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|题量丰富|勾股定理应用（遮阳棚高度计算）、逆定理判断（三角形边长关系）、文化情境（赵爽弦图面积计算）|基础题（两点距离）、综合题（长方体面面积关系推导）、实际应用题（梯子问题、旗杆高度）|

专题02 勾股定理及其逆定理 11大高频考点概览 考点01 两点之间的距离 考点02 勾股定理解三角形 考点03 勾股定理与网格 考点04 直角三角形三边面积 考点05 以弦图为背景的计算 考点06 梯子问题 考点07 旗杆高度问题 考点08 用勾股定理构造图像解决问题 考点09 判断能否构成直角三角形 考点10 利用勾股定理的逆定理求解 考点11 勾股定理的实际应用 地 城 考点01 两点之间的距离 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系两点间的距离，根据平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解，掌握平面直角坐标系两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端距离地面（即），将其展开至点距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端离地面的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解应用题，由题意可知，，，，在中，由勾股定理得到，数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，，， 在中，，，， 则由勾股定理可得， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在中，，，所对的边分别为a，b，c．若，则中的直角为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，且斜边所对的角为直角，题目中给出，结合边与角的对应关系即可判断直角位置，据此进行作答即可． 【详解】解：∵在中，，，所对的边分别为a，b，c．且， ∴中的直角为， 故选：C 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得；当时，如图，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，由已知可得是等边三角形，即得，再利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，平分，过点D作于点E．若，，则的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质． 由勾股定理得到，根据角平分线的性质得到，证明，可知，设，根据勾股定理求出，即可求出的周长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的周长， 故选：B． 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．已知在矩形中，是对角线，则有，即，，满足勾股定理；类比矩形的性质，如图，是长方体，若长方体的面，面，面的面积分别为，，，则，，的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，分别计算出面，面，面的面积，求出它们的平方即可得出结论． 【详解】解：在长方体中，设 ∴， ∴面的面积，面的面积；面的面积， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级下·福建福州·期末）在中，，，的对边分别为，，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用及代数式的变形，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．通过展开并整理等式，结合直角三角形的性质确定正确选项． 【详解】解：在中，， ， ， 即边为斜边，对应的角， 故选项A说法错误，不符合题意；选项B说法正确，符合题意；选项C说法错误，不符合题意； 又， ， ， 选项D说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在中，于点，，，．求与的长． 【答案】， 【分析】根据，可知，利用勾股定理求出，再根据，即可求出，再根据，，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：在中，于点，，， ， ， ，， ， ， ， ； 于点， ， ， ，， ， ． 8．（24-25八年级下·福建莆田·期末）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动． (1)如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想，求笔记本电脑屏幕宽度的长； (2)小组成员调整张角大小继续探索，当张角调整为某个特定角时（点是点A的对应点），用眼舒适度较为理想．调整后，此时顶部边缘与A的水平距离，求此时顶部边缘处离桌面的高度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可； （2）勾股定理求出，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴笔记本电脑屏幕宽度为； （2）在中，根据勾股定理得 ∵ ∴ ∵ 且 在中根据勾股定理得 ∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长为． 9．（24-25八年级下·福建厦门·期末）若一个三角形的三边满足其中两边之和等于第三边的2倍．则称该三角形为“均边三角形”．如图，在中，，，．判断是否为“均边三角形”并说明理由． 【答案】不是“均边三角形”，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，过点作于点，则为等腰直角三角形，求出，由勾股定理可得，从而求出，结合定义判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：不是“均边三角形”，理由如下： 如图，过点作于点， 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的三边不满足其中两边之和等于第三边的倍， ∴不是“均边三角形”． 10．（24-25八年级下·福建厦门·期末）某校数学课外活动小组用一张长为，宽为的长方形纸片（如图）进行探究活动． (1)动手操作：如图，妙妙沿虚线裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，并按图拼成与原纸片面积相等的正方形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余），根据妙妙的拼接过程，写出线段的长________． (2)深入探究：多多说：“将图的纸片沿着的中点剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据多多的说法设计一种方案．在图上用虚线画出裁剪线，并直接写出各裁剪线的长． 要求：①在图中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及相关线段长度；②在图中画出裁剪线，标出各个裁剪后的图形序号（类似图）；③在图的方框中画出拼接后的大正方形的示意图（标上各个图形的序号，类似图）．【说明：裁剪前和裁剪后拼接均不重叠、无缝隙、无剩余．】 【答案】(1) (2)图形见解析 【分析】（）根据面积相等得出正方形边长，再利用勾股定理求解即可； （）在上截取，顺次连接可得裁剪线，再根据所得图形拼接成正方形即可； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵长方形的面积为， ∴， 由拼接过程可知，，， ∴， 故答案为：； （2）解：裁剪线如图所示：    拼接后的大正方形如图所示： 30．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，． (1)在边上求作点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的定义，三角形外角的性质，勾股定理及直角三角形的性质． （1）作线段的垂直平分线交于点D即可； （2）连接，由作图知，进而得到，求出，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点D为所求： （2）解：连接， 由作图知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 地 城 考点03 勾股定理与网格 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在单位长度为的的网格中，，，，，各点都在格点上，其中长度为的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用勾股定理分别求出每条线段的长度即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，，，，， 故选：． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，，． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图，构造，点D，E，F都在格点上． 由勾股定理，得，，． 在中，， ． 地 城 考点04 直角三角形三边面积 1．（24-25八年级下·福建莆田·期末）某校开展数学文化节，向同学们征集文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图，分别以的边，，为直径向外画半圆．若要求的面积，只要知道（　　） A．月形图形的面积 B．月形图形的面积 C．月形图案的面积与月形图案的面积之差 D．月形图案的面积与月形图案的面积之和 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．记，，，，再分别表示三个半圆面积，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：记，，，， 以为的直径的半圆面积 以为直径的半圆面积， 以为直径的半圆面积 ∵， ∴ ∴(阴影阴影) ∴阴影阴影， ∴要求的面积，只要知道月形图案的面积与月形图案的面积之和． 故选D 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（   ） A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，10 D．7，12，14 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是5，6，11， 故选：B． 3．（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（   ） A．3 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，由勾股定理和正方形的面积公式解答． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：B． 地 城 考点05 以弦图为背景的计算 1．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙图形，它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数学智慧．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形的面积大正方形面积4个直角三角形面积即可求得正方形的面积． 【详解】解：直角三角形直角边的较短边为， 正方形的面积． 故选：A． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有_________．(填序号) 【答案】① 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故． 故①正确；②错误；③错误；④错误； 故答案为：①． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，根据题意得出，进而根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：依题意， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，求得，，得到，解方程组得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 正方形的面积． 地 城 考点06 梯子问题 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：C． 地 城 考点07 旗杆高度问题 1．（20-21八年级下·江西南昌·期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 地 城 考点08 用勾股定理构造图像解决问题 1．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，利用分类讨论的方法解不等式，灵活作高是解题的关键． （1）过点作的延长线于点，在中，，，，在中，，，那么有，化简可得，从而推出与的大小关系； （2）假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和，根据三角形三边关系有，再结合（1）的结论，可得到的范围，从而解得答案． 【详解】（1）解：，证明过程如下： 过点作的延长线于点，如图所示： 不妨设， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）解：存在，三边为2，3，4，理由如下: 假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和， 那么有， ， 由（1）的结论可知，， ， ， 或， ， 或， 又， ， 当时，，， 综上，存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高为米的学生正对门口，缓慢走到离门米的地方时（），感应门自动打开，求人头顶离感应器的距离．（已知学生的头顶D到AB的距离米，米） 【答案】米 【分析】根据题意求得，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）． 答：人头顶离感应器的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 地 城 考点09 判断能否构成直角三角形 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）以下列各组长度的线段为边作三角形，能作出直角三角形的是（   ） A．2，3，5 B．5，13，12 C．4，5，6 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； B. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意； C. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建莆田·期末）下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定方法． 根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理计算即可． 【详解】A． 由可知总份数为12，最大角，是锐角三角形，不能判定为直角三角形； B． 由，符合勾股定理逆定理，c为斜边，能判定为直角三角形； C． ，代入内角和得，故，能判定为直角三角形； D． 边比为，验证得，满足勾股定理，能判定为直角三角形； 故选A． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）以下列长度的三条线段为边，能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．2，3，5 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为2，3，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为2的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·福建福州·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、， 设，，， ， ， ，，， 不是直角三角形，符合题意． B、，，， ，即， 为直角三角形．不符合题意； C、，， ， ， 为直角三角形．不符合题意； D、， ， ， 为直角三角形．不符合题意． 故选：A． 5．（24-25八年级下·福建厦门·期末）下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（   ） A．1，2， B．3，4，5 C．3，5，8 D．1，1， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理判定三角形的形状是解题的关键．根据勾股定理的逆定理求解作答即可． 【详解】解：A中，三条线段能构成直角三角形，故不符合要求； B中，三条线段能构成直角三角形，故不符合要求； C中，三条线段不能构成直角三角形，故符合要求； D中，三条线段能构成直角三角形，故不符合要求； 故选：C． 6．（24-25八年级下·福建福州·期末）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A． B．3，4，5 C．4，5，6 D．1，1， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形,解题关键是熟练运用勾股定理逆定理进行判断． 根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，，满足，，能构成直角三角形，故符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：B． 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是（   ） A．1，3， B．1，2， C．2，3，4 D．4，5，6 【答案】B 【分析】本题考查了用勾股定理的逆定理判断直角三角形，解题关键是掌握勾股定理的逆定理，将三个数据按照两个较小的数的平方和与最大的数的平方进行比较，选择相等的那个选项即可． 【详解】解：A、∵，不能组成直角三角形，不符合题意； B、∵，能组成直角三角形，符合题意； C、∵，不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 8．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在▱中，平分，交AB于点E，，，，则的面积为______． 【答案】32 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由勾股定理的逆定理判定是直角三角形． 由平行四边形的性质推出，，由平行线的性质和角平分线定义得到，推出，得到，由勾股定理的逆定理推出，于是得到▱ABCD的面积 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积 故答案为： 9．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在平行四边形中， (1)在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)连接，，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作线段，等边对等角，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）在上截取线段，使得，连接即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再利用勾股定理求出． 【详解】（1）解：图形如图所示： ， ∴； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ∴． 11．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，四边形中，，，两条对角线，相交于点O，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理的逆定理，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，所以，因为，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 12．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在中，，，所对的边分别为a，b，c． 定义：若，则称是“完全三角形”． (1)求证：完全三角形是直角三角形； (2)在中，，若，判断是否为完全三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是完全三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，因式分解的应用，利用完全平方公式计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由勾股定理逆定理求解即可； （2）先由勾股定理得到，而，则，代入得到，整理并因式分解得到或（舍），再由勾股定理即可求求解． 【详解】（1）证明：由题意得，设， ∴， ∴， ∴完全三角形是直角三角形； （2）是完全三角形，理由如下： ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 设 ∴， ∴（舍负）， ∴， ∴是完全三角形， 地 城 考点10 利用勾股定理的逆定理求解 1．（24-25八年级下·福建南平·期末）已知，在平面直角坐标系中，点，． (1)请在y轴正半轴上找一点C，使得 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． (2)在（1）的条件下，已知点，连接．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查点与坐标轴混合勾股定理及其逆定理的应用， （1）根据直角坐标系可得以点O为圆心为半径画弧交y轴正半轴的点即为所求点C； （2）根据点坐标求得线段长，再结合勾股定理逆定理判定是直角三角形，则有． 【详解】（1）解∶如图 答：如图点C就是所要作的点． （2）解：如图， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形， ∴． 地 城 考点11 勾股定理逆定理的实际问题 1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的面积等知识点，能求出是解此题的关键． 连接．根据勾股定理求得的长，从而根据勾股定理的逆定理得到，进而求得该四边形的面积． 【详解】解：连接． 由题意得， ∴． ∴． ∵，， ∴． 这块地的面积的面积的面积 （）． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02勾股定理及其逆定理 ☆11大高频考点概览 考点01两点之间的距离 考点02勾股定理解三角形 考点03勾股定理与网格 考点04直角三角形三边面积 考点05以弦图为背景的计算 考点06梯子问题 考点07旗杆高度问题 考点08用勾股定理构造图像解决问题 考点09判断能否构成直角三角形 考点10利用勾股定理的逆定理求解 考点11勾股定理的实际应用 目目 考点01 两点之间的距离 1.(24-25八年级下·福建福州期末)在平面直角坐标系x0y中，A(3,2),B(0,4),则AB的长为 目目 考点02 勾股定理解三角形 1.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳 棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C距离地面100cm(即CE=100cm),将其展开至点B距离墙 面168cm的位置时（即水平距离BD=168cm),AB=232cm,则此时棚骨外端B离地面的垂直高度为(） cm C E A.332-40√2 B.233-40√2 C.172 D.172-40√2 1/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25八年级下·福建厦门期末)在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.若 a2+b2=c2,则ABC中的直角为() A.∠A B.∠B C.∠C D.无法确定 3.(24-25八年级下·福建福州·期末)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD,转动 这个四边形，使它形状改变，当∠B=60°时，如图1，测得AC=1;当∠B=90°时，如图2，则AC=() B B 图1 图2 A.1 B.2 C.2 D.2√2 4.(24-25八年级下·福建漳州·期末)如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,过点D作DE1AB 于点E.若AC=4,AB=5,则BDE的周长为() B A.3 B.4 C.5 D.6 5.(24-25八年级下·福建福州期末)《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简 单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现 新问题、新结论的重要方法.己知在矩形ABCD中，AC是对角线，则有AB+BC2=AC2,即AB,BC, AC满足勾股定理；类比矩形的性质，如图，ABCD-A,B,C,D,是长方体，若长方体的面ABB,A,面BCC,B, ,面ACC4的面积分别为，B,Y,则，B,Y的数量关系为() D A 8 D 2/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.a2+B2=y2 B.a+B=Y C.a2+y2=B2 D.a+y=B 6.(24-25八年级下·福建福州期末)在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,C,若 (a-c=b2-2ac,则下列说法正确的是() A.∠C=90 B.∠B=90° C.b2+c2=a2 D.(a+c)=b2 7.(24-25八年级下·福建福州期末)如图，在aABC中，CD⊥AB于点D,AC=20,CD=12,BD=9.求 AB与BC的长. 8.(24-25八年级下福建莆田期末)2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔 记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动. 150° B (1)如图，当张角∠A0B=150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm,此时用眼舒适度不太理想， 求笔记本电脑屏幕宽度A0的长； (2)小组成员调整张角大小继续探索，当张角调整为某个特定角∠A'OB时（点？是点A的对应点)，用眼舒 适度较为理想.调整后，此时顶部边缘A与A的水平距离CD=6√3cm,求此时顶部边缘处离桌面的高 度AD的长. 9.(24-25八年级下·福建厦门期末)若一个三角形的三边满足其中两边之和等于第三边的2倍.则称该三 角形为“均边三角形”.如图，在ABC中，AB=4√2，LB=45°，AC=5.判断ABC是否为“均边三角 形”并说明理由. 3/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 10.(24-25八年级下，福建厦门期末)某校数学课外活动小组用一张长为5，宽为4的长方形纸片（如图1） 进行探究活动. M 5 F D 、T ③ ② E ③ 图1 图2 图3 图4 图5 (1)动手操作：如图2，妙妙沿虚线BE,C℉裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，并按图3拼成与原纸片面 积相等的正方形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余），根据妙妙的拼接过程，写出线段CE的 长 (2)深入探究：多多说：“将图1的纸片沿着AB,CD的中点G,H剪成四块，也可以拼成正方形.”请根据多多 的说法设计一种方案.在图4上用虚线画出裁剪线，并直接写出各裁剪线的长. 要求：①在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及相关线段长度；②在图4中画出裁剪线，标出各个 裁剪后的图形序号（类似图2）；③在图5的方框中画出拼接后的大正方形的示意图（标上各个图形的序号， 类似图3).【说明：裁剪前和裁剪后拼接均不重叠、无缝隙、无剩余.】 30.(24-25八年级下·福建三明期末)如图，在ABC中，∠C=90°，∠B=15°. B (1)在BC边上求作点D,使得∠ADC=30°；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)的条件下，若AC=1,求BC的长. 目目 考点03 勾股定理与网格 1.(24-25八年级下·福建福州期末)如图，在单位长度为1的4×4的网格中，P,A,B,C,D各点都在 格点上，其中长度为5的线段是() 4/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D A.PA B.PB C.PC D.PD 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造ABC,点A,B,C都在格点上，比 较V5+1与V10的大小. 解：由勾股定理，得AB=√22+12=√5，AC=V32+12=0,BC=1. 在ABC中，AB+BC>AC,:V5+1>V0 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较√3+√互与√7的大小. r B 图1 图2 目目 考点04 直角三角形三边面积 1.(24-25八年级下·福建莆田·期末)某校开展数学文化节，向同学们征集文化节L0G0,小明利用古希腊 医学家希波克拉底所画图形进行设计.如图，分别以Rt△ABC的边AB,BC,AC为直径向外画半圆.若 要求ABC的面积，只要知道() D E B A.月形图形AECD的面积 B.月形图形BGCF的面积 C.月形图案BGCF的面积与月形图案AECD的面积之差 D.月形图案BGCF的面积与月形图案AECD的面积之和 5/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25八年级下.福建厦门期末)1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案 中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成.图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正 方形的面积可能取值为() EAAL-APX3列 图1 图2 A.2,3,4 B.5,6,11 C.6,8,10 D.7,12,14 3.(24-25八年级下·福建莆田·期末)如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为() 5 A.3 B.9 C.16 D.25 目目 考点05 以弦图为背景的计算 1.(24-25八年级下·福建龙岩期末)“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙图形， 它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数学智慧，如 图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,中间阴影部分是一个小正方形EFGH,这样就组成 一个“赵爽弦图”.若AB=10,AE=8,则正方形EFGH的面积为() A D G H A.4 B.8 C.12 D.16 2.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形 图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),下列 四个说法：①x2+y2=49;②y=2,③y=22;④x+y=9.其中说法正确的结论有 .(填序号) 6/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(23-24八年级下·福建福州·期末)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图如图所 示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是34，小正 方形的面积是4，设直角三角形中较长直角边为b,较短直角边为Q,则a+b的值是· 4.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角 三角形围成的，若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所 示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 D 图1 图2 5.(24-25八年级下·福建福州·期末)“赵爽弦图巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄 傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.其中c=I00, b-a=20,则每个直角三角形的面积为 6.(24-25八年级下·福建福州期末)“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了 勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形ABCD和中间一 个小正方形EFGH(如图2).设直角三角形的较短的直角边为Q,较长的直角边为b,若FH=√2，较短直 角边与较长直角边和为5，求正方形ABCD的面积. 7/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D F G b H 图1 图2 目目 考点06 梯子问题 1.(24-25八年级下·福建厦门·期末)《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个 问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为： “有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上.如果使木杆 下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上.问木杆长多少尺？”（说 明1丈=10尺)设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是() A.x2=(x-1)2+12 B.(x+1)2=x2+101 C.x2=(x-1)2+102 D.(x+1)2=x2+12 目目 考点07 旗杆高度问题 1.(20-21八年级下江西南昌·期中)《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐， 五尺板高离地.翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推 进两步(EB=10尺)，此时踏板升高，离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索OB的长度. B D 目目 考点08 用勾股定理构造图像解决问题 1.(24-25八年级下·福建莆田期末)在ABC中，BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°，如图1，根据勾 股定理，则a2+b2=c2. 8/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b 6 a a B 图1 图2 (1)若ABC是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想a+b与2的关系，并证明你的结论 (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说 明理由 2.(24-25八年级下·福建福州期末)如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB=2.5米， 当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高为1.6米的学生CD正对门口，缓慢走 到离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，求人头顶离感应器的距离AD,(已知学生的头顶D 到AB的距离DE=BC=1.2米，BE=CD=1.6米) 感应器，A 目目 考点09 判断能否构成直角三角形 1.(24-25八年级下·福建福州期末)以下列各组长度的线段为边作三角形，能作出直角三角形的是() A.2,3,5 B.5,13,12 C.4,5,6 D.3,V4,5 2.(24-25八年级下·福建莆田期末)下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是() A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.c2=a2+b2 C.ZA+ZB=ZC D.a:b:c=1:V2:V3 3.(24-25八年级下·福建福州期末)以下列长度的三条线段为边，能构成直角三角形的是() A.2,3,4 B.3,4,5 C.2,3,5 D.1,l3 4.(24-25八年级下·福建福州期末)满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是() A.∠A:∠B:LC=3:4:5 B.a=l,b=3,c=V10 9/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.∠A=LB-LC D.(b+c)(b-c)=a2 5.(24-25八年级下·福建厦门期末)下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是() A.1,2,5B.3,4,5 C.3,5,8 D.1,1,√2 6.(24-25八年级下·福建福州期末)下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是() A.3,√4，V5B.3,4,5 C.4,5,6 D.1,1,5 7.(24-25八年级下·福建福州期末)以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是() A.1,3,√6B.1,2,5 C.2,3,4 D.4,5,6 8.(24-25八年级下·福建泉州期末)如图，在口ABCD口中，CE平分∠BCD,交AB于点E,AE=3, EB=5,DE=4,则ABCD的面积为· D E 9.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，在平行四边形ABCD中， B (I)在线段AD上求作一点E,使得∠ABE=∠AEB;(要求：尺规作图，保留作图痕迹) (2)连接BE,CE,若AE=5,CE=4,DE=3,求BE的长度 11.(24-25八年级下·福建厦门期末)如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD,两条对角线AC, BD相交于点O,AB=5,AC=8,BD=6.求证：四边形ABCD是菱形. D 12.(24-25八年级下·福建厦门期末)在ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. 定义：若a:b:c=3:4:5,则称ABC是“完全三角形”. (1)求证：完全三角形是直角三角形； 10/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+c=2b,判断ABC是否为完全三角形，并说明理由. 目目 考点10 利用勾股定理的逆定理求解 1.(24-25八年级下·福建南平.期末)已知，在平面直角坐标系xO中，点A-2,0),B(4,0). B末 (1)请在y轴正半轴上找一点C,使得OA2+OB2=AC2(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)， (2)在(1)的条件下，己知点E(0,-1,连接AC,AE.求∠CAE的度数 目目 考点11 勾股定理逆定理的实际问题 1.(24-25八年级下·福建厦门期末)口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对 城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升.如图所示，四边形ABCD是某市一口袋公园的平面示意图 经测量，桂花园B在A入口的正南方向300m处，C入口在桂花园B的正东方向400m处，玫瑰园D与C入 口相距1200m,玫瑰园D与A入口相距1300m,求某市口袋公园的面积； 北 西 →东 D 南 B 11/11