专题06正方形期末易错压轴题型专练(17大题型共计60道)2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦正方形易错点与压轴题型，通过典例提炼判定、性质应用及综合模型解题方法，强化抽象能力与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错01判定定理理解|4题|抓平行四边形前提，对角线垂直且相等双重判定|从一般四边形到特殊平行四边形的判定进阶| |易错03性质与判定求角度|3题|折叠得等角，结合45°对角线角推导|正方形边角性质与等腰三角形、折叠的综合应用| |压轴09折叠问题|4题|折叠全等+勾股定理列方程|折叠变换中相等关系的转化与方程思想| |压轴12手拉手模型|4题|共顶点等线段证SAS全等，推线段等与垂直|正方形性质与全等三角形判定的综合迁移| |压轴17十字架模型|4题|垂直倒角证直角三角形全等，得交叉线段等|正方形中垂直关系与全等证明的模型化应用|

专题06正方形期末易错压轴题型专练 本专练聚焦正方形章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.正方形判定定理理解 易错02.添条件使四边形是正方形 易错03.正方形性质与判定求角度 易错04.正方形性质与判定求面积 易错05.正方形性质与判定证明 易错06.中点四边形 易错07.特殊平行四边形对称性求阴影面积 易错08.正方形重叠部分面积 压轴09正方形与折叠问题 压轴10.正方形与最值问题 压轴11.正方形与动点问题 压轴12.手拉手模型 压轴13.直角梯形动点正方形存在性问题 压轴14.正方形与中位线综合 压轴15.正方形与坐标系综合 压轴16.正方形规律探究题 压轴17.十字架模型 易错01.正方形判定定理理解 典题特征：给出平行四边形、矩形、菱形相关命题，判断正误并统计正确数量。 易错点：①仅对角线相等/垂直就判定正方形；②任意四边形直接套用正方形判定，缺少平行四边形前提。 1．我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形变为特殊图形．下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故选：． 2．满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意． 故选：D． 3．如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（     ） A．①可表示对角线相互垂直； B．②可表示对角线互相平分、垂直； C．③可表示一组邻边相等； D．④可表示一组对边平行，另一组对边相等． 【答案】A 【分析】熟练掌握各特殊四边形之间的转化关系及判定条件，根据知识结构图逐一分析各选项即可． 【详解】解：、由矩形变为正方形，需添加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件，故 ①可表示对角线相互垂直，该选项符合题意； 、由平行四边形变为正方形，需添加“对角线互相垂直且相等”的条件，平行四边形本身对角线互相平分，仅添加“垂直”只能判定为菱形，故该选项不符合题意； 、由菱形变为正方形，需添加“有一个角是直角”或“对角线相等”的条件，“一组邻边相等”是菱形本身具有的性质，故该选项不符合题意； 、由四边形变为平行四边形，需添加“一组对边平行且相等”或“两组对边分别平行”等条件，“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形可能是等腰梯形，故该选项不符合题意． 4．如图所示，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【详解】解： 根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，则这个四边形是个菱形， 设剪刀与折痕所成的锐角为α， ∵菱形里只要有一个角是就是正方形． ∴展开四边形后的角为：，即． 故选：B． 易错02.添条件使四边形是正方形 典题特征：已知图形为矩形/菱形/平行四边形，填写1个最简条件升级为正方形。 易错点：①填写题干已给出的条件；②条件不充分（矩形填对角线相等、菱形填邻边相等）；③用口语文字描述，不写规范线段符号。 5．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 6．在平行四边形中，添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（     ） A． B．⊥ C．平分 D．平分 【答案】A 【分析】先根据已知条件得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，对角线相等的菱形是正方形，因此四边形为正方形，故A正确； B、菱形本身满足对角线，因此添加该条件不能判定四边形为正方形，故B错误； C、平行四边形对角线互相平分，因此菱形本身满足平分，添加该条件不能判定四边形为正方形，故C错误； D、菱形对角线平分一组对角，因此菱形本身满足平分，添加该条件不能判定四边形为正方形． 7．如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（   ） A．① B．② C．③平分 D．④ 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是平行四边形，则①处的条件正确，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则②处的条件正确，故此选项不符合题意； C、由角平分线的性质得到，有一组邻边相等的矩形是正方形，则③处的条件正确，故此选项不符合题意； D、菱形的邻边本就相等，则④处的条件错误，故此选项符合题意． 易错03.正方形性质与判定求角度 典题特征：结合对角线、折叠、等腰三角形，求解夹角、内角度数。 易错点：①忘记正方形对角线平分内角得45°；②折叠后漏找相等角；③忽略正方形内角均为90°。. 8．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 9．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【答案】 180 5 【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5．    【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 10．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形为矩形，进而求得，即可解答． （2）连接、，过作于，证明，、、三点共线，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵四边形为正方形， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 又∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 易错04.正方形性质与判定求面积 典题特征：已知边长/对角线/线段等量关系，求正方形或分割图形面积。 易错点：①用对角线算面积忘记÷2；②混淆边长与对角线数值；③全等图形不会做面积等量代换。 11．如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 【答案】/30/30.5 【分析】延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，得到边长为9的正方形GEHF，根据四边形EBCF的面积=即可求解． 【详解】解：延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ∵CF//AE，DF//BE， ∴四边形GEHF是平行四边形， ∵∠AEB=90°， ∴平行四边形GEHF是矩形， ∴∠AEB =∠G=∠CFD=∠H=90°， 根据等角的余角相等， ∴∠EAB=∠GDA=∠FCD=∠HBC， ∴Rt△EAB≌Rt△GDA≌Rt△FCD≌Rt△HBC， ∴EA=GD=FC=HB=5，EB=GA=FD=HC=4， ∴EG=GF=FH=HE=5+4=9，即矩形GEHF是边长为9的正方形， ∴四边形EBCF的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论： ①∠COD＝45°； ②AE＝5； ③CF＝AD； ④△COF的面积是3． 其中正确的结论为（　　） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD； ②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长； ③根据SAS证明△AOD≌△COF，进而利用全等三角形的性质即可求解； ④根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在正方形ABCO和正方形DEFO中 ①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确； ②∵EF＝， ∴OE＝2， ∵AO＝AB＝3， ∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故②正确； ③由题意得：∵∠AOC＝∠DOF， ∴∠AOD＝∠COF， ∵AO＝CO，DO＝FO， ∴△AOD≌△COF（SAS）， ∴CF＝AD，故③正确； ④△COF的面积S△COF＝S△AOD×3×1＝，故④错误； ∴其中正确的结论为①②③， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形边、角、对角线的性质是解题关键． 13．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）证明，并结合邻补角的性质可得出，则得出菱形是正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， 又是的中点， ， ， 平分， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 又， 正方形的面积是． .易错05.正方形性质与判定证明 典题特征：①利用正方形边角、对角线性质求角度、线段、面积；②给矩形/菱形补充条件，证明图形是正方形；③结合全等、勾股做计算与证明 易错点：①判定正方形只给单一条件，缺少双重判定要求；②对角线算面积忘记乘；③忽略对角线平分内角得到45°；④未先证平行四边形，直接对普通四边形用正方形判定定理 14．如图，矩形纸片，，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M，N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点B恰好落在线段的中点处．则线段长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 作于，连接交于，连接，此时根据正方形的性质可得，应用勾股定理计算得出再根据由折叠的性质得，在中根据勾股定理求得长度． 【详解】解：如图，作于，连接交于，连接， 由题意可知，四边形是正方形，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ． 故答案为：． 15．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点M在边上，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是4，则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点于点，于点，证明四边形是正方形，进而证明，得到，即四边形的面积等于正方形的面积，从而求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点于点，于点， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形的面积是4， ， ， ，， ， 故选：C 16．如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为等腰直角三角形中，是斜边上的中线，所以先利用等腰直角三角形三线合一的性质，得出与的位置关系和数量关系。因为四边形是平行四边形，且已得出，所以根据正方形的判定定理，一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可完成证明． （2）先根据的长度和等腰直角三角形的性质，求出的长度，进而得到正方形的边长。然后通过分析图形中线段的位置和数量关系，利用勾股定理来计算的长度． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，是边上的中线， ∴， ∴为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． （2）解：∵为等腰直角三角形，，， ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 17．如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)， 证明：∵四边形正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)①； ②， 证明：取的中点T，连接，过点O作，如图所示： 根据题意得：， ∵的中点为T，的中点为O， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）通过证明，得出，再由各角之间的关系即可求解； （2）①根据题意补全图形即可； ②取的中点，连接，过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由正方形的判定和性质得出四边形为正方形，确定，再由勾股定理确定，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 易错06.中点四边形 典题特征：①顺次连四边中点，判断中点四边形形状；②已知中点四边形形状，反推原四边形对角线条件；③结合正方形，证明中点四边形为正方形 易错点：①仅凭原图外形判断，忽略判定核心是原四边形对角线；②证正方形中点四边形只证邻边相等，缺少垂直证明；③记错中位线平行且等于底边长一半；④对角线相等、垂直分别对应哪种中点四边形记混 18．顺次连接四边形四条边的中点，所得到的四边形是矩形，则原四边形的形状是（    ） A．菱形 B．矩形 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】C 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理，矩形的性质，推出原四边形的对角线互相垂直即可． 【详解】解：如图，分别为四边形的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴原四边形的对角线互相垂直；故C选项符合题意. 其它选项条件不足无法确定四边形的具体形状. 故选：C． 19．如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 【答案】 【分析】连接，，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解：如图，连接，， E，F，G，H分别为，，，的中点， ，，，， 四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， 与应满足的条件是． 20．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1）， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形， 故答案为：； （2）， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 故答案为：； （3）且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，由（2）可知， 根据，由（1）可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形， 故答案为：且． 易错07.特殊平行四边形对称性求阴影面积 典题特征：依托中心、轴对称割补，已知整体边长，求不规则阴影面积。 易错点：①不会割补转化图形；②对称全等图形不会替换面积；③重复计算重叠区域。 21．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 22．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 23．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)81608 【分析】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． （1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用阴影部分面积为，运用平方差进行运算，进而求得答案即可． 【详解】（1）解：∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； 故答案为：是，不是． （2） 易错08.正方形重叠部分面积 典题特征：两个等大正方形，一顶点落在另一正方形中心，求恒定重叠面积。 易错点：①不会全等转化不规则重叠区域；②直接用正方形边长计算重叠图形边长，忽略割补减半关系。 24．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 25．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 26．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 压轴09正方形与折叠问题 典题特征：沿正方形边上线段/对角线折叠，出现等线段、等角、直角，求边长、角度、面积。 解题思路：①折叠得全等，标记相等边、相等角；②设未知数，结合勾股定理列方程；③利用正方形90°、45°对角线角推导。 27．如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是______；此时的长为______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点G、F、B三点共线时，最小，结合梯形面积、三角形面积求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、B三点共线时，最小，最小为； 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：；． 28．如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可知， ， ∴， 在正方形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，即， ∵和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离相等， 设点G到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴△的面积为． 29．如图，正方形的边长为4，点为边的中点，连接，将沿所在直线翻折到正方形所在平面内，得，连接，，过点作，垂足为，连接，则的值为（     ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】连接，交于点H，过点F作于点M，证明，求出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，交于点H，过点F作于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得：，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 30．如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，． (1)求证：平分； (2)求的度数； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明：∵将沿直线翻折，点恰好落在边上的点， ∴， ∴． ， ， ， 平分； (2) (3)6 【分析】（1）根据折叠的性质得到，进而可知，根据平行线的性质得到，可知，即可得到平分； （2）证明，进而证明，可知； （3）设正方形的边长为，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点向作垂线，垂足为点． 在和中， ， ，． 在和中， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为． 则，，． 在中， ， ， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为6． 压轴10.正方形与最值问题 典题特征：定点+定直线上动点，求线段和/差最小、线段最长，常配将军饮马、垂线段最短。 解题思路：①轴对称作定点对称点，两点之间线段最短；②遇垂线段直接取垂直位置；③结合正方形边长计算距离。 31．如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，连接，根据正方形的性质和勾股定理求出，根据折叠可得，则，即可得出当点三点共线时，最小，的最小值为． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，边长为8， ∴， ∴， ∵将沿翻折到， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，的最小值为， 故选：B． 32．如图，P是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 过A作，使E、B在的两侧，且，通过证明，得出，然后根据，即可求解． 【详解】解：过A作，使E、B在的两侧，且， ∴由勾股定理得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当点P落在线段上时，有最大值为6， ∴长度的最大值为6． 故选：C． 33．如图，在正方形与正方形中，．连接为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，根据中位线的性质得到，将的最小值问题转化为的最小值问题，利用勾股定理可得的长，当点三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，故要求的最小值，即需求的最小值即可， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，为定值， 当点三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为 ∴的最小值是． 34．如图，正方形的边长为，为上的点，，为的中点，为上一个动点，则的最小值为____． 【答案】 【分析】利用正方形对角线是对称轴，作点关于的对称点，根据轴对称性质：，则，两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长． 【详解】解：正方形对角线是对称轴，作点关于的对称点，连接， 又为的中点， 则， 根据轴对称性质：， 则， 两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 过作于，则， 又， 四边形是矩形，则， 则， 由勾股定理： ， 即最小值为． 压轴11.正方形与动点问题 典题特征：点在正方形四边/对角线上匀速运动，求时间、线段长、图形面积、等腰/直角三角形时刻。 解题思路：①设运动时间t，用t表示动点坐标/线段；②分类讨论动点所在边；③结合全等、勾股、面积公式列式求解。 35．如图，正方形的边长为，点在边上，且，点是对角线上一动点，则线段的最小值为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】连接、，根据对称性可得，当、、在一条直线上时，最小，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接、． 四边形是正方形， 、关于对称， ， ， 当、、在一条直线上时，最小． 在中，， ． 36．如图，在边长为3的正方形中，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E、F．的值为（    ） A． B．3 C． D．不确定 【答案】A 【分析】由正方形性质可得，由勾股定理得对角线，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形中，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 37．如图，正方形的边长为2，G是对角线上的动点，于点E，于点F，连接，给出4种情况：①若G为上任意一点，则；②若G为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点G作正方形交边于M，则．其中正确的是______． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质证明，则，易证明四边形是矩形，则，据此判断①；证明，则，据此判断②；求出的面积，利用求出，根据求出，据此判断③；根据正方形的性质得到，进而得到，证明，则，利用勾股定理求出长，据此判断④． 【详解】解：四边形是正方形， 、、， 在和中， ， ， ， 、， ， ， 四边形是矩形， ， ， 故①正确； 四边形是正方形， ， G为的中点， ， 、， ， 在和中， ， ， ， 由①知，四边形是矩形， 四边形是正方形； 故②正确； 四边形是正方形， 、， ， ， ， ， ， 故③错误； 四边形是正方形， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 38．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 【答案】5 【分析】先根据正方形的性质证明，可得，再根据直角三角形的性质得，然后在延长线上截取，连接，根据“边角边”证明，可得，接下来说明当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． ∴的最小值为5． .压轴12.手拉手模型 典题特征：共顶点两个正方形，连接对应顶点得两组全等三角形。 解题思路：①找共顶点等线段+公共夹角，证SAS全等；②推导线段相等、夹角90°；③求线段长度、垂直关系、面积。 39．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________． 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，则，再证明，得出，再利用勾股定理求线段长即可解答． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 则， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．则__________． 【答案】4 【分析】作交于点，交于点，结合正方形的性质，得到，然后证明，得到，那么四边形为正方形，然后证明，得到，那么，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作交于点，交于点， 四边形为正方形, ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， 四边形为正方形， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， 四边形为正方形，， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 41．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①；②正方形绕点O旋转时，四边形面积随的长度变化而变化；③周长的最小值为；④其中所有正确结论的代号是______． 【答案】①③ 【分析】①由四边形和是正方形可知，易证得≌，则可得为等腰直角三角形；②由①易证得，则可得出结论；③，而的最小值为，故可得结论③正确；④由和，即可得结论． 【详解】解：①四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；故①正确； ②由①得≌ ， 故②错误； ③由①可知， 周长， 为定值，则最小时的周长最小， 当时最小，的周长最小， 此时， 的周长最小值= 故③正确， ④在中，，，， ， 又 ，故④错误． 故答案为①③． 【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键． 42．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分． 【问题发现】 (1)①如图1，求证：． ②如图1中连接，则线段、、之间的数量关系是________________． 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形A1B1C1O可绕点O旋转，请判断线段、、之间的数量关系，并写出证明过程． 【结论应用】 (3)如图3，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为________________． 【答案】(1)①证明：∵四边形和四边形都是正方形，正方形的对角线相交于点O， ∴，，，，， ∴， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ② (2)；理由如下： 如图，点是矩形的中心，延长交于点，连接，连接，则经过点， ∴点是的中点，即，， 在矩形中，， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵矩形中，，即， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴． (3)或 【分析】（1）①通过正方形对角线性质，证明与全等，得出和的数量关系； ②利用正方形边长相等转化线段，结合勾股定理推导、、的数量关系； （2）延长线段构造全等三角形，将转化为，再利用矩形性质和勾股定理证明数量关系； （3）利用直角梯形、中点性质，结合矩形的直角条件，分情况用勾股定理计算的长度． 【详解】（1）①略 ②解：∵四边形是正方形， ∴，， 由①得， ∴， ∴． 在中，， ∴． （2）略 （3）解：分两种情况讨论： 如图，当点在线段上时，连接， ∵，， ∴， ， 在直角梯形中，，， ∴， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， 由（2）得， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，如图，过作交的延长线于，连接，，则， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 在矩形中，，即， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得：． 综上所述，的长为或． 压轴13.直角梯形动点正方形存在性问题 典题特征：直角梯形边上双动点，求t使图形为平行四边形、矩形、等腰梯形、正方形。 解题思路：①用t表示上下底、高；②根据特殊四边形边长等量关系列方程；③舍去不合题意的时间。 43．在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 【答案】2或8 【分析】根据E、F的位置不同，分两种情况，根据正方形的性质，利用线段相等列方程，求解出时间t的值． 【详解】解：第一种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 第二种情况：如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 综上所述，或．． 44．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为，解答下列各题： (1)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (2)当运动时间为___________________秒时，； (3)四边形____________为菱形（填“可能”或“不可能”）； (4)四边形 ____________为正方形（填“可能”或“不可能”）． 【答案】(1)当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形； (2)6或7 (3)不可能 (4)不可能 【分析】（1）根据题意可知当时，四边形为平行四边形，再列方程求解； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况进行求解； （3）当四边形为菱形，首先四边形要为平行四边形，结合（1）的结果判断即可； （4）四边形为正方形，则，再根据是否相等即可判断． 【详解】（1）解：， ， 故当时，四边形为平行四边形， 由题可知，，，， ，解得， 当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： 由（1）知当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 设运动时间为秒，则有，， ∴， 作于M，于N，则有， ∵梯形为等腰梯形， ∴， ∴， 由得， 解得， ∴时，四边形为等腰梯形，， 综上，当运动时间为秒或秒时，； （3）当四边形为菱形，首先四边形要为平行四边形， 由（1）知当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形， 此时，， ， 故四边形不可能为菱形； （4）当四边形为正方形，则， ，解得， 当时，， 又， ， 故四边形不可能为正方形． 压轴14.正方形与中位线综合 典题特征：取正方形边上/对角线上中点，连接线段，证线段平行、倍分关系。 解题思路：①找三角形两边中点，用中位线平行且等于底边一半；②搭配正方形边长、直角推导垂直、长度。 45．如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，． （1）对角线的长为___； （2）连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为___． 【答案】 【分析】（1）由四边形是正方形得，，再利用勾股定理即可求的长； （2）连接、，先通过证明得，再结合正方形对角线性质和勾股定理求出的长度，最后利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴； （2）如图，连接，，交于点， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线交点， ∴，，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 46．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 【答案】 / 【分析】先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形的性质构造等腰直角三角形，最后用勾股定理求出的长度，进而得到的值． 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，，四边形是正方形， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ∵在正方形中，， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ． 47．如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 48．如图，边长为4的正方形，，为，上动点，且，点为中点．则最小值为________. 【答案】 【分析】连接，交于点O，利用正方形的性质和勾股定理求得，取、、的中点为M、N、H，利用三角形的中位线性质得到，，则M、H、N共线，，，再证明，进而点G在上运动，当G与H重合时，，此时最小，最小值为的长度，再根据直角三角形斜边上的中线得，进而可求解． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴， 取、、的中点为M、N、H， 则，， ∴M、H、N共线，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 过点作的垂线，交于点， 即， ∴， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴，， 即满足为线段的中点， ∴点G在上运动， 当G与H重合时，，此时最小，最小值为的长度， ∵点M、N分别是、的中点， 则， ∵是的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 压轴15.正方形与坐标系综合 典题特征：正方形顶点落在坐标轴/象限，给坐标求边长、动点坐标、直线解析式。 解题思路：①利用正方形横纵坐标差相等、邻边垂直斜率乘积-1；②勾股算线段，全等求未知点坐标。 49．如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，． ∵四边形是正方形，，点是的中点， ∴，，， 在中，， ∵，点是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴当，，三点共线时，有最大值， 的最大值． 50．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，已知，，则点D的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作轴于点E，过点D作于点F，交y轴于点H，由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点D作于点F，交y轴于点H，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 【答案】20 【分析】过点D作y轴的垂线，垂足为，证明，得到的长度，再运用勾股定理，得到正方形的边长，最后得出正方形的面积． 【详解】解：过点D作y轴的垂线，垂足为点E；从点D坐标，可知E点坐标，； 四边形是正方形， ， 与互余， ， 与互余， ， ， ，， ， ． 52．如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． (1)直接写出点的坐标_____； (2)求证：； (3)如图2，若点的坐标为，试在上找一点，使四边形为平行四边形，求点的坐标； (4)如图3，连接交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质求得点C的坐标； （2）在上取，连接，只要证明即可． （3）如图，作于F，只要证明即可求得点N的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P的坐标． （4）将绕点D顺时针方向旋转得，得，证明，得，进一步得出，得平分，由平分可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上取，连接， ，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，作于F， ∵ ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 点N坐标， 四边形是平行四边形，，，由平移知识可知： ； （4）证明：将绕点D顺时针方向旋转得， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， ， 即平分． 又平分， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ． 压轴16.正方形规律探究题 典题特征：多个正方形拼接、旋转、分割，求第n个图形边长、周长、面积、点坐标。 解题思路：①算出前3组数据，找等差/等比规律；②写出通项代数式；③代入n求值。 53．如图，正方形的边长为2，分别取各边中点得到正方形，再取，，，的中点得到正方形；…；以此类推，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线段中点的定义可得，则由勾股定理可得，则正方形的边长为，同理求出正方形的边长为1，正方形的边长为，据此可得正方形的边长为，由此可得答案． 【详解】解：正方形的边长为2， ． 又分别是的中点， ， ， ∴正方形的边长为 同理可得，， ∴， ∴正方形的边长为1， 同理可得正方形的边长为， ……， 以此类推，可知正方形的边长为． ∴正方形的边长为． 54．如图，正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形依此规律，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得，可得，再根据直角三角形的性质求出然后根据规律得，则此题可解． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴ 根据勾股定理，得 ∴ 同理 ∴． 55．如图，正方形边长为，以为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为____ 【答案】 【分析】先依据正方形性质和勾股定理，依次计算前几个正方形的边长，找出边长随序号变化的规律，再根据规律推导出第个正方形的边长． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴第个正方形的边长， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴由勾股定理得，， ∴第个正方形的边长， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴， ∴第个正方形的边长， 同理可得： 第个正方形的边长， 第个正方形的边长， 第个正方形的边长． 56．如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为________． 【答案】 【分析】根据题意得出第二个正方形边长，继而再得到第三个正方形的边长，即可发现规律，继而解答． 【详解】解：正方形（记为第个正方形），点的坐标为，以为顶点作等边三角形， ，， ， ，即第二个正方形边长为， ，即第三个正方形边长为， 由此得到规律：第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为． 压轴17.十字架模型 典题特征：正方形内部两条线段交叉垂直，一条端点在顶点、一条交对边。 解题思路：①垂直倒角证直角三角形全等；②直接得交叉线段长度相等；③延伸求线段、面积、最值。 57．如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，，根据垂直的定义及同角的余角相等可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ． 在和中，， ， ． ， ． 58．如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据，得到，进而得出点A和点H关于对称，从而确定，其最小值为线段长，根据勾股定理求出最小值． 【详解】解：设，则， 过点E作，连接，连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， 又∵， 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴点M与点H重合，即点H与点A关于直线对称， ∴， 当点P在与的交点时，最小，最小值为线段长， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 59．如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点(点不与重合)，过点作交于点,连结．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积是正方形面积的四分之一；④．其中结论正确的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题综合考查正方形性质、全等三角形判定与性质、等腰直角三角形判定、勾股定理，通过证明三角形全等，推导边、角及面积关系，逐一验证4个结论． 【详解】解：结论①：， 四边形是正方形， , ， ， ， 又， ， 在和中： ， 结论①正确； 结论②：是等腰直角三角形， 由，得， 正方形中，是对角线交点， ，， 在和中： ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，②正确； 结论③：四边形 的面积是正方形面积的四分之一， 由，得 ， ， 正方形对角线平分面积，， 四边形 的面积是正方形面积的四分之一，③正确； 结论④：， 由正方形性质，， 又， ， 在中，由勾股定理： ， 代入，，得 ，④正确， 综上，①②③④均正确，共4个． 60．【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． (1)在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是___________（填序号）． 【基础探究】 (2)如图1，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形为“神奇四边形”； ②若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图2，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点．若，正方形的边长，请直接写出的长． 【答案】(1)④ (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论； ②利用“神奇四边形”的性质求得，由勾股定理求得，据此计算即可得出结论； （3）延长交于点，由翻折的性质可知，，，，，由勾股定理求得，，设，则，再由勾股定理计算即可解决问题． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形的对角线互相垂直平分； 正方形的对角线互相垂直平分且相等； 正方形一定是“神奇四边形”； 故答案为：④； （2）①证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是“神奇四边形”； ②解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29， ∴， ∴， ∵正方形边长为7， ∴， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， ∵， ∴由翻折的性质可知，，，，， 又∵正方形的边长， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06正方形期末易错压轴题型专练 本专练聚焦正方形章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.正方形判定定理理解 易错02.添条件使四边形是正方形 易错03.正方形性质与判定求角度 易错04.正方形性质与判定求面积 易错05.正方形性质与判定证明 易错06.中点四边形 易错07.特殊平行四边形对称性求阴影面积 易错08.正方形重叠部分面积 压轴09正方形与折叠问题 压轴10.正方形与最值问题 压轴11.正方形与动点问题 压轴12.手拉手模型 压轴13.直角梯形动点正方形存在性问题 压轴14.正方形与中位线综合 压轴15.正方形与坐标系综合 压轴16.正方形规律探究题 压轴17.十字架模型 易错01.正方形判定定理理解 典题特征：给出平行四边形、矩形、菱形相关命题，判断正误并统计正确数量。 易错点：①仅对角线相等/垂直就判定正方形；②任意四边形直接套用正方形判定，缺少平行四边形前提。 1．我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形变为特殊图形．下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直 2．满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 3．如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（     ） A．①可表示对角线相互垂直； B．②可表示对角线互相平分、垂直； C．③可表示一组邻边相等； D．④可表示一组对边平行，另一组对边相等． 4．如图所示，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（     ） A． B． C． D． 易错02.添条件使四边形是正方形 典题特征：已知图形为矩形/菱形/平行四边形，填写1个最简条件升级为正方形。 易错点：①填写题干已给出的条件；②条件不充分（矩形填对角线相等、菱形填邻边相等）；③用口语文字描述，不写规范线段符号。 5．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 6．在平行四边形中，添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（     ） A． B．⊥ C．平分 D．平分 7．如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（   ） A．① B．② C．③平分 D．④ 易错03.正方形性质与判定求角度 典题特征：结合对角线、折叠、等腰三角形，求解夹角、内角度数。 易错点：①忘记正方形对角线平分内角得45°；②折叠后漏找相等角；③忽略正方形内角均为90°。. 8．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 9．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    10．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 易错04.正方形性质与判定求面积 典题特征：已知边长/对角线/线段等量关系，求正方形或分割图形面积。 易错点：①用对角线算面积忘记÷2；②混淆边长与对角线数值；③全等图形不会做面积等量代换。 11．如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 12．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论： ①∠COD＝45°； ②AE＝5； ③CF＝AD； ④△COF的面积是3． 其中正确的结论为（　　） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 13．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． .易错05.正方形性质与判定证明 典题特征：①利用正方形边角、对角线性质求角度、线段、面积；②给矩形/菱形补充条件，证明图形是正方形；③结合全等、勾股做计算与证明 易错点：①判定正方形只给单一条件，缺少双重判定要求；②对角线算面积忘记乘；③忽略对角线平分内角得到45°；④未先证平行四边形，直接对普通四边形用正方形判定定理 14．如图，矩形纸片，，点E在线段上，将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，点M，N分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点B恰好落在线段的中点处．则线段长为__________． 15．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点M在边上，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是4，则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 16．如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 17．如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 易错06.中点四边形 典题特征：①顺次连四边中点，判断中点四边形形状；②已知中点四边形形状，反推原四边形对角线条件；③结合正方形，证明中点四边形为正方形 易错点：①仅凭原图外形判断，忽略判定核心是原四边形对角线；②证正方形中点四边形只证邻边相等，缺少垂直证明；③记错中位线平行且等于底边长一半；④对角线相等、垂直分别对应哪种中点四边形记混 18．顺次连接四边形四条边的中点，所得到的四边形是矩形，则原四边形的形状是（    ） A．菱形 B．矩形 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 19．如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 20．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 易错07.特殊平行四边形对称性求阴影面积 典题特征：依托中心、轴对称割补，已知整体边长，求不规则阴影面积。 易错点：①不会割补转化图形；②对称全等图形不会替换面积；③重复计算重叠区域。 21．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 22．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 23．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 易错08.正方形重叠部分面积 典题特征：两个等大正方形，一顶点落在另一正方形中心，求恒定重叠面积。 易错点：①不会全等转化不规则重叠区域；②直接用正方形边长计算重叠图形边长，忽略割补减半关系。 24．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 25．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 26．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 压轴09正方形与折叠问题 典题特征：沿正方形边上线段/对角线折叠，出现等线段、等角、直角，求边长、角度、面积。 解题思路：①折叠得全等，标记相等边、相等角；②设未知数，结合勾股定理列方程；③利用正方形90°、45°对角线角推导。 27．如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是______；此时的长为______． 28．如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 29．如图，正方形的边长为4，点为边的中点，连接，将沿所在直线翻折到正方形所在平面内，得，连接，，过点作，垂足为，连接，则的值为（     ） A． B．3 C． D．2 30．如图，已知正方形纸片，为延长线上一点，为边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点，连接交于点，连接，． (1)求证：平分； (2)求的度数； (3)若，，求正方形的边长． 压轴10.正方形与最值问题 典题特征：定点+定直线上动点，求线段和/差最小、线段最长，常配将军饮马、垂线段最短。 解题思路：①轴对称作定点对称点，两点之间线段最短；②遇垂线段直接取垂直位置；③结合正方形边长计算距离。 31．如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 32．如图，P是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B． C．6 D． 33．如图，在正方形与正方形中，．连接为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_________． 34．如图，正方形的边长为，为上的点，，为的中点，为上一个动点，则的最小值为____． 压轴11.正方形与动点问题 典题特征：点在正方形四边/对角线上匀速运动，求时间、线段长、图形面积、等腰/直角三角形时刻。 解题思路：①设运动时间t，用t表示动点坐标/线段；②分类讨论动点所在边；③结合全等、勾股、面积公式列式求解。 35．如图，正方形的边长为，点在边上，且，点是对角线上一动点，则线段的最小值为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 36．如图，在边长为3的正方形中，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E、F．的值为（    ） A． B．3 C． D．不确定 37．如图，正方形的边长为2，G是对角线上的动点，于点E，于点F，连接，给出4种情况：①若G为上任意一点，则；②若G为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点G作正方形交边于M，则．其中正确的是______． 38．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. .压轴12.手拉手模型 典题特征：共顶点两个正方形，连接对应顶点得两组全等三角形。 解题思路：①找共顶点等线段+公共夹角，证SAS全等；②推导线段相等、夹角90°；③求线段长度、垂直关系、面积。 39．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________． 40．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．则__________． 41．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①；②正方形绕点O旋转时，四边形面积随的长度变化而变化；③周长的最小值为；④其中所有正确结论的代号是______． 42．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分． 【问题发现】 (1)①如图1，求证：． ②如图1中连接，则线段、、之间的数量关系是________________． 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形A1B1C1O可绕点O旋转，请判断线段、、之间的数量关系，并写出证明过程． 【结论应用】 (3)如图3，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为________________． 压轴13.直角梯形动点正方形存在性问题 典题特征：直角梯形边上双动点，求t使图形为平行四边形、矩形、等腰梯形、正方形。 解题思路：①用t表示上下底、高；②根据特殊四边形边长等量关系列方程；③舍去不合题意的时间。 43．在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 44．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为，解答下列各题： (1)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (2)当运动时间为___________________秒时，； (3)四边形____________为菱形（填“可能”或“不可能”）； (4)四边形 ____________为正方形（填“可能”或“不可能”）． 压轴14.正方形与中位线综合 典题特征：取正方形边上/对角线上中点，连接线段，证线段平行、倍分关系。 解题思路：①找三角形两边中点，用中位线平行且等于底边一半；②搭配正方形边长、直角推导垂直、长度。 45．如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，． （1）对角线的长为___； （2）连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为___． 46．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 47．如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 48．如图，边长为4的正方形，，为，上动点，且，点为中点．则最小值为________. 压轴15.正方形与坐标系综合 典题特征：正方形顶点落在坐标轴/象限，给坐标求边长、动点坐标、直线解析式。 解题思路：①利用正方形横纵坐标差相等、邻边垂直斜率乘积-1；②勾股算线段，全等求未知点坐标。 49．如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 50．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，已知，，则点D的坐标是（  ） A． B． C． D． 51．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 52．如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． (1)直接写出点的坐标_____； (2)求证：； (3)如图2，若点的坐标为，试在上找一点，使四边形为平行四边形，求点的坐标； (4)如图3，连接交于点，连接，求证：． 压轴16.正方形规律探究题 典题特征：多个正方形拼接、旋转、分割，求第n个图形边长、周长、面积、点坐标。 解题思路：①算出前3组数据，找等差/等比规律；②写出通项代数式；③代入n求值。 53．如图，正方形的边长为2，分别取各边中点得到正方形，再取，，，的中点得到正方形；…；以此类推，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 54．如图，正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形依此规律，则（   ） A． B． C． D． 55．如图，正方形边长为，以为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为____ 56．如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为________． 压轴17.十字架模型 典题特征：正方形内部两条线段交叉垂直，一条端点在顶点、一条交对边。 解题思路：①垂直倒角证直角三角形全等；②直接得交叉线段长度相等；③延伸求线段、面积、最值。 57．如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 58．如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 59．如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点(点不与重合)，过点作交于点,连结．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积是正方形面积的四分之一；④．其中结论正确的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 60．【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． (1)在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是___________（填序号）． 【基础探究】 (2)如图1，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形为“神奇四边形”； ②若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图2，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点．若，正方形的边长，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $