精品解析：黑龙江明水县第二中学2025-2026学年度第二学期八年级数学第二次阶段学情自测

明水县第二中学2025-2026学年度第二学期 八年级数学第二次月考测试题 一、选择题（36分） 1. 下列方程中，一元二次方程的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断每个方程是否符合要求，统计符合定义的方程个数即可，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：（1）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （2）对于， ∵含有x和y两个未知数， ∴不一元二次方程； （3）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （4）对， ∵分母含有未知数x，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 综上，一元二次方程共有2个． 2. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不中心对称图形； 选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 3. 关于一元二次方程的一根为，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的解得概念，把x=1代入求值即可 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一根为 ∴，解得：，此时原方程是一元二次方程 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义，理解概念正确代入计算是解题关键． 4. 已知点在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得抛物线的对称轴为直线，开口向上，然后可根据二次函数的性质可进行排除选项． 【详解】解：由函数可得：对称轴为直线，，开口向上， ∵点在函数的图象上， ∴根据开口向上离对称轴越近函数值越小可得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质与图象，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键． 5. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -6 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将代入可得，然后利用整体代入法计算出的值． 【详解】解：把代入得， ， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解答此题的关键． 6. 经过下列变换，不能由图①所示的基本图案得到图②的是（ ） A. 旋转和平移 B. 中心对称和轴对称 C. 轴对称和平移 D. 中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，旋转，轴对称，中心对称等变换，掌握区分不同图形变换的效果，判断单一或组合变换能否得到目标图形是解题的关键． 分别分析每个选项的变换组合能否将图①变为图②，判断仅通过中心对称能否得到目标图形． 【详解】解：A、将图①绕其中心点旋转  ，然后将其平移到图②中另一个图案的位置，即可得到图②，不符合题意； B、中心对称变换等价于旋转 通过中心对称和轴对称的组合，再配合平移，可以得到图②，不符合题意； C、先沿水平轴对称，再沿垂直轴对称，可以实现与旋转 相同的效果。然后平移即可得到图②，不符合题意； D、仅中心对称只能得到一个方向相反的图案，无法得到图②中两个图案的组合，符合题意； 故选：D ． 7. 用配方法解下列方程时，配方正确的是(　　) A. 方程x2-6x-5=0，可化为(x-3)2=4 B. 方程y2-2y-2 015=0，可化为(y-1)2=2 015 C. 方程a2+8a+9=0，可化为(a+4)2=25 D. 方程2x2-6x-7=0，可化为 【答案】D 【解析】 【分析】配方法解方程：把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】A.由原方程得到:(x-3)2=x2-6x+32=5+32=14,故本选项错误; B.由原方程得到:(y-1)2=y2-2y+12=2015+12=2016,故本选项错误; C.由原方程得到:(a+4)2=a2+8a+42=-9+42=7,故本选项错误; D.由原方程得到:=x2-3x+,故本选项正确. 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2＋px＋q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可；（2）形如ax2＋bx＋c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2＋px＋q＝0，然后配方． 8. 若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再根据一次函数的性质判断图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 即， 解得， 对于一次函数， ∵， ∴，且， 根据一次函数性质，当一次项系数大于，常数项大于时，图象经过第一、二、三象限， ∴该一次函数的图象不经过第四象限． 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A. y=（x﹣2）2﹣4 B. y=（x﹣1）2﹣4 C. y=（x﹣2）2﹣3 D. y=（x﹣1）2﹣3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵抛物线顶点坐标为 向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后抛物线的顶点坐标为 ∴平移后抛物线的解析式为 故选B． 10. 我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单循环每两队只赛一场的规则，推导总场次的数量关系即可得到方程. 【详解】解：设应邀参加比赛的足球队有个， ∵每个队需要与除自身外的个队各赛一场，且每场比赛由两个队参加，计算总场次时会重复计算一次， ∴总比赛场次为， 已知计划安排10场比赛，因此列方程得：， 两边同乘2整理得. 11. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出相等的角和边，再利用三角形内角和定理及角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴， ∴， 故选：B． 12. 如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；…如此进行下去，则的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标和的坐标，利用旋转转化为中点坐标的方法，分别可以得到、、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， 令， 解得：，， ∴， ∴的顶点坐标绕旋转得的顶点坐标为，即，绕旋转得，即， 同理可得：的顶点坐标为，的顶点坐标为，， ∴的顶点的横坐标为，当为奇数时，的顶点的纵坐标为， ∴的顶点坐标是，即， 故选A． 二、填空题（30分） 13. 抛物线y＝x2﹣2x+3的开口方向为_____，与y轴的交点坐标为_____． 【答案】 ①. 向上 ②. （0，3） 【解析】 【分析】利用a决定抛物线的开口方向，c为二次函数图像与y轴交点的纵坐标，即可解题． 【详解】解：∵y＝x2﹣2x+3中二次项系数为1，大于0， ∴开口向上； 把x＝0代入抛物线y＝x2﹣2x+3中， 解得：y＝3， 则抛物线y＝x2﹣2x+3与y轴的交点坐标是（0，3）． 故答案为：向上，（0，3）． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质．a决定抛物线的开口方向，c为二次函数图像与y轴交点的纵坐标． 14. 抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：由抛物线可得顶点坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15. 若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 16. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程，得， 所以， 所以． 故答案为：． 17. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 【答案】2 【解析】 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20， 且-5＜0， ∴当t=2时，h取最大值20， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式． 18. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的坐标特征，点P和点Q的横坐标、纵坐标分别互为相反数，进行求解即可． 【详解】因为点与点关于原点对称， 所以，． 因此． 故答案为：． 19. 在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2－b2，根据这个规则，方程（x＋1）＊2＝0的解为____________． 【答案】-3或1 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得：－4=0，解得：． 考点：新定义型 20. 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米． 【答案】20，20 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为米，则的长度为米，然后根据矩形的面积公式列出方程，结合题意舍掉不合适的结果即可． 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 或， 舍去， ，， 答：羊圈的边长，各为20米，20米． 故答案为：20，20． 21. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为______ 【答案】49 【解析】 【分析】过点作于H，由旋转的性质可得，则可求出，再根据图形面积之间的关系可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴． 22. 二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是 _____（把正确说法的序号都填上）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当x取何值时，． 【详解】解：①∵开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故正确； ②如图，当时，y不只是大于0．故错误； ③∵对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间， ∴另一个交点的横坐标在0与之间； ∴当时，，故正确； ④∵对称轴， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，故正确； ∴正确的有3个． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，数形结合思想的应用是本题的关键． 三、解答题（54分） 23. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由完全平方公式得，再开方可得解； （2）先确定，再求出，然后根据求根公式解答． 【小问1详解】 解：， 整理，得， 开方，得， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴． 24. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根满足，求m的值． 【答案】（1）m＞1 （2）m=5 【解析】 【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据题意，即可得到，根据根与系数的关系得到，，代入即得到关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴Δ=， ∴m＞1； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴ 解得：m=5． 【点睛】本题考查了一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ= -4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 25. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题． （1）求的面积． （2）将向上平移5个单位长度，画出平移后的． （3）将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 【答案】（1） （2）如图所示： （3）如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （2）将三角形的三个顶点A，B，C向上平移5个单位长度得到点，再依次连接可得； （3）将的三个顶点绕原点O顺时针旋转得到点，再依次连接即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由旋转的性质得到，即可利用证明，则； （2）先根据等边对等角结合三角形内角和定理求出．再由全等三角形的性质得到，则由三角形外角的性质得到． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即． 由旋转的性质得． 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，三角形外角的性质等等，证明是解题的关键． 27. 某书店销售一本畅销的小说，每本进价为25元．根据以往经验，当销售单价是30元时，每天的销售量是300本；销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10本，设这本小说每天的销售量为y本，销售单价为x元． （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）书店决定每销售1本该小说，就捐赠3元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则该小说每本售价为多少元？每天最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每本该小说售价为44元，最大利润是2560元 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，由已知可得：，即可得到答案． 小问1详解】 根据题意得，； 【小问2详解】 设每天扣除捐赠后可获得利润为元， 由已知得： ， ， ， 时，取得最大值，最大值2560， 答：每本该小说售价为44元，最大利润是2560元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的理解题意，掌握二次函数的性质． 28. 如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点． （1）求该抛物线的解析式． （2）求抛物线的顶点D的坐标，并通过计算判断的形状． （3）嘉嘉发现：在抛物线的对称轴上存在一点M，使得的周长最小．求出点M的坐标及最小周长． 【答案】（1） （2）D的坐标为，是直角三角形 （3）的最小周长为，M 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将的坐标代入解析式求解即可； （2）利用配方法将解析式变形为顶点式，即可求得顶点坐标；利用两点间距离公式求解的三条边，可得三条边间的关系，判定的形状； （3）由于线段长度为定值，将求周长最小值转换成求最小值，通过将军饮马模型进行求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过点， 代入解析式得 解得 ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵ ， ∴ ，， ， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：∵为定值， ∴要使周长最小，则需最小， ∵与关于对称轴对称， ∴， ∴， 直线过和，其解析式为， 当时，， ∴与对称轴的交点的坐标为， 当点M位于处时，的周长最小，为， ∵， ∴最小， ∴的最小周长为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质、顶点坐标、两点间距离公式、将军饮马模型、勾股定理逆定理等知识点，本题掌握平面直角坐标系的距离公式、二次函数的图像与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明水县第二中学2025-2026学年度第二学期 八年级数学第二次月考测试题 一、选择题（36分） 1. 下列方程中，一元二次方程的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的一根为，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 4. 已知点在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 是关于x一元二次方程的解，则（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -6 6. 经过下列变换，不能由图①所示基本图案得到图②的是（ ） A. 旋转和平移 B. 中心对称和轴对称 C. 轴对称和平移 D. 中心对称 7. 用配方法解下列方程时，配方正确的是(　　) A. 方程x2-6x-5=0，可化为(x-3)2=4 B. 方程y2-2y-2 015=0，可化为(y-1)2=2 015 C. 方程a2+8a+9=0，可化(a+4)2=25 D. 方程2x2-6x-7=0，可化为 8. 若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（　　） A. y=（x﹣2）2﹣4 B. y=（x﹣1）2﹣4 C. y=（x﹣2）2﹣3 D. y=（x﹣1）2﹣3 10. 我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；…如此进行下去，则的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（30分） 13. 抛物线y＝x2﹣2x+3的开口方向为_____，与y轴的交点坐标为_____． 14 抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是_____． 15. 若是二次函数，则的值为______． 16. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 17. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 18. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______． 19. 在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2－b2，根据这个规则，方程（x＋1）＊2＝0的解为____________． 20. 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米． 21. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为______ 22. 二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是 _____（把正确说法的序号都填上）． 三、解答题（54分） 23. 解方程： （1） （2） 24. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根满足，求m的值． 25. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题． （1）求的面积． （2）将向上平移5个单位长度，画出平移后的． （3）将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 26. 如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 27. 某书店销售一本畅销的小说，每本进价为25元．根据以往经验，当销售单价是30元时，每天的销售量是300本；销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10本，设这本小说每天的销售量为y本，销售单价为x元． （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）书店决定每销售1本该小说，就捐赠3元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则该小说每本售价为多少元？每天最大利润是多少元？ 28. 如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点． （1）求该抛物线的解析式． （2）求抛物线的顶点D的坐标，并通过计算判断的形状． （3）嘉嘉发现：在抛物线对称轴上存在一点M，使得的周长最小．求出点M的坐标及最小周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $