精品解析：黑龙江哈尔滨市松雷中学校2025-2026学年下学期八年级数学闯关试题.

2025-2026学年度下学期数学闯关 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘的法则：底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法法则，对a3·a2进行计算，底数a保持不变，将指数3和2相加，得到结果的指数，进而确定答案． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则：， 计算a3·a2时，底数a不变，指数相加，即． 故选：A． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件，是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵ 选项A 中，未知数最高次数为1，是一元一次方程． ∴ A不符合要求． ∵ 选项B 中，含有和两个未知数． ∴ B不符合要求． ∵ 对选项C整理得 ，即 ，未知数最高次数为1． ∴ C不符合要求． ∵ 对选项D整理得 ，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． ∴ D符合要求． 3. 以下各组数据为三条线段的长度，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，7 C. 3，4，5 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【详解】解：A最长边为，，，，不能构成直角三角形； B最长边为，，，，不能构成直角三角形； C最长边为，，能构成直角三角形，符合题意； D最长边为，，不满足三角形三边关系，不能构成直角三角形． 4. 在下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需同时满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵，被开方数含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式； ∵的被开方数含分母，∴B不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件，∴C是最简二次根式； ∵的被开方数含分母，∴D不是最简二次根式． 5. 如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解． 【详解】解：设面积为、、的正方形的边长分别为、、． ∴，， ． ∵是直角三角形，， ∴ ． ∵为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长， ∴；； ． ∴ ． 故选：A． 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用．①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可． 7. 如图是一个人字梯及其侧面示意图，其中梯子撑开后最高点A距地面的高度为120厘米，两侧梯子的长度为130厘米，则此时梯子底端B、C的距离为（ ） A. 50厘米 B. 80厘米 C. 100厘米 D. 120厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用等腰三角形三线合一的性质得出，再通过勾股定理求出的长度，进而得到的长度． 【详解】解：∵ 厘米，， ∴ ． 在中，厘米，厘米， ∴ （厘米）． ∴ 厘米． 故选：C． 8. 一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了． 【详解】解：∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0， ∴方程无实数根． 故选C． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根． 9. 化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和名组员，总和为43，由此列出方程． 【详解】解：根据题意可知做实验的学生人数为名， 而全班有43名学生，则， 故选：B． 10. 在中，的对边分别为a，b，c. ①若，则是直角三角形； ②若，则是直角三角形；且； ③若，则是直角三角形； ④若，则是直角三角形. 以上命题中的假命题个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和，直角三角形两个锐角互余，逐项分析即可． 【详解】解：①∠A＝∠C-∠B，， △ABC为直角三角形，命题为真，不符合题意； ②， ， △ABC为直角三角形，∠B=90°，命题为假，符合题意； ③，即 ， △ABC为直角三角形，命题为真，不符合题意； ④∠A：∠B：∠C＝5：2：3 设， ， 解得 △ABC是直角三角形，命题为真，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 2025年，我国大科学装置取得重大进展，在其捕捉到的一种极端微弱信号中，某个关键参数的强度值为个单位，数值用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，据此列出一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 13. ______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 某学习平板厂商推广新品时，统计了其销量数据：9月份销售400台，11月份销售576台，且9月到11月销量的月增长率保持相同，则该学习平板销量的月增长率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该学习平板销量的月增长率为x，依题意正确列出方程即可． 【详解】解：设该学习平板销量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：该学习平板销量的月增长率为， 故答案为：． 16. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 17. 如图，蚂蚁在所示的圆柱表面爬行，从点A爬到点B．若圆柱的高与底面周长均为，则蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】将立体侧面展为平面，依据两点之间线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理求出线段长度即可． 【详解】解：∵求圆柱表面蚂蚁爬行最短路程，需把圆柱侧面沿母线展开成长方形． ∵ 底面周长为， ∴ 展开后两点水平相距长为底面周长的一半，即为． ∵ 圆柱高为， ∴ 两点连线与两条线段构成直角三角形，两直角边长分别为、． 由勾股定理可得 ． 18. 如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， ∵将折叠，使点C与点A重合， ∴， ∵， ∴， 解得：．即 19. 在中，，，，若点P在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为______． 【答案】3或6##6或3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的三边关系、等腰三角形的判定和性质，用分类讨论思想考虑所有可能的情况．根据题意求得和，分点P在线段上和点P在线段的延长线上，利用含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质和勾股定理分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ①点P在线段上， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ②点P在线段的延长线上，如图，位于， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6或3． 20. 如图，在中，是直角，是边上的高，是的角平分线，和交于点F，，P是边上的一动点，连接，给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的最小值为； 上述结论中，正确结论的序号有______ 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内角和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 根据三角形内角和的性质，得到，即可判断①；根据三角形外角的性质可得，即可判断②；根据含直角三角形的性质得到，，利用勾股定理即可判断③；连接，通过全等三角形的性质得到，再利用等面积法求得，即可判断④． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴，①正确； ∵是的角平分线， ∴， 由三角形外角的性质可得，，， ∴， ∴，②正确； ∵ ∴， 由可得，，即，解得， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理可得，，③正确； 连接，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，为，即最小为， 由，可得， 则，即，解得，④正确， 综上，正确的为①②③④ 三、解答题（21-22每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分） 21. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ， 解得： 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或 解得： 22. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】解：（1）原式 ； 解：（2）原式 ． 23. 图1、图2、图3、图4均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请分别在图1、图2、图3、图4中画出线段、、、，使、、、． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用勾股定理，将二次根式转化为两个整数的平方和，再在网格中构造对应直角边的线段．在图1中，连接横向相差格、纵向相差格的两个顶点，，所得线段即为；在图2中，连接横向相差2格、纵向相差1格的两个顶点，，所得线段即为；在图3中，连接横向相差3格、纵向相差2格的两个顶点，，所得线段即为；在图4中，连接横向相差4格、纵向相差1格的两个顶点，，所得线段即为． 【详解】解：如图：线段、、、即为所求 24. 已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°． 【答案】（1）证明见解析；（2）、、、． 【解析】 【分析】（1）可得，进而利用SAS证明，即可得出结论； （2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴； （2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、． 证明：∵，， ∴，， ∵，，即：是等腰三角形，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、即：、是等腰三角形，， ∵ ∴∠DBF=∠C=45°，， 又∵， ∴， ∴、即：是等腰三角形，． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键． 25. 冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元． （1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元； （2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？ 【答案】（1）A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元 （2）32本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设种笔记本每本的进价为元，则种笔记本每本的进价为元，根据数量总价单价结合用160元购进的种笔记本与用240元购进的种笔记本数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进种笔记本本，则购进种笔记本本，根据总利润每本的利润销售数量（购进数量）结合总获利不小于468元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为（x＋10）元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元． 【小问2详解】 解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本， 依题意，得：， 解得：． 答：最多购进A种笔记本32本． 26. 阅读下面的材料，解答后面提出的问题： 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： ①，②．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： （1）将分母有理化得______； （2）已知，则______； （3）利用上面所提供的解法，请化简； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照题干①作答即可； （2）将x与y分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果． （3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，， ∴； 【小问3详解】 解： ． 27. 在四边形中，，． （1）如图（1），求证：平分； （2）如图（2），的垂直平分线交于点，交与，过作，交的延长线于点．求证：； （3）如图（3），在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）． 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用同角的补角相等得到对应角相等，再结合已知边相等，用证明三角形全等，进而得到点到角两边的距离相等，从而证明平分； （2）利用垂直平分线的性质得到线段相等，推出等腰三角形，再结合平行线的性质得到角相等，进而推出另一组等腰三角形，通过线段和差关系完成证明； （3）通过设角的度数，结合角平分线的性质、等腰三角形的性质推导线段间的数量关系，再利用勾股定理求出相关线段的长度，最后通过等面积法求出三角形的高，进而计算出的面积． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于点，于点， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， 平分； 【小问2详解】 证明：垂直平分， ， ， 又， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，延长、交于点， 设，则， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 为中点， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，设，则 ， ， 解得：， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期数学闯关 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下各组数据为三条线段的长度，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，7 C. 3，4，5 D. 1，2，3 4. 在下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个人字梯及其侧面示意图，其中梯子撑开后最高点A距地面的高度为120厘米，两侧梯子的长度为130厘米，则此时梯子底端B、C的距离为（ ） A. 50厘米 B. 80厘米 C. 100厘米 D. 120厘米 8. 一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 9. 化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，的对边分别为a，b，c. ①若，则是直角三角形； ②若，则是直角三角形；且； ③若，则是直角三角形； ④若，则是直角三角形. 以上命题中的假命题个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 2025年，我国大科学装置取得重大进展，在其捕捉到的一种极端微弱信号中，某个关键参数的强度值为个单位，数值用科学记数法可表示为___________． 12. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 13. ______． 14. 定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 15. 某学习平板厂商推广新品时，统计了其销量数据：9月份销售400台，11月份销售576台，且9月到11月销量的月增长率保持相同，则该学习平板销量的月增长率为_______． 16. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 17. 如图，蚂蚁在所示的圆柱表面爬行，从点A爬到点B．若圆柱的高与底面周长均为，则蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 18. 如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则______． 19. 在中，，，，若点P在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为______． 20. 如图，在中，是直角，是边上的高，是的角平分线，和交于点F，，P是边上的一动点，连接，给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的最小值为； 上述结论中，正确结论的序号有______ 三、解答题（21-22每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分） 21. 解下列方程： （1）； （2）． 22. 计算： （1）； （2）． 23. 图1、图2、图3、图4均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请分别在图1、图2、图3、图4中画出线段、、、，使、、、． 24. 已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°． 25. 冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元． （1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元； （2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？ 26. 阅读下面的材料，解答后面提出的问题： 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： ①，②．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： （1）将分母有理化得______； （2）已知，则______； （3）利用上面所提供的解法，请化简； 27. 在四边形中，，． （1）如图（1），求证：平分； （2）如图（2），的垂直平分线交于点，交与，过作，交的延长线于点．求证：； （3）如图（3），在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $