2025-2026学年苏科版数学七年级下册期末复习 专题1：证明（提升练习）

**基本信息** 聚焦“证明”专题，以命题逻辑为基础，通过反证法、几何模型等方法体系，构建从概念到应用的完整知识链，培养逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题基础|选择1-3、填空9-10、解答17-18|命题真假判断、逆命题构造、反证法假设|从命题概念（条件与结论）到逆命题关系，再到反证法原理，形成逻辑闭环| |证明方法|选择4、解答20-21|综合法推理、反证法步骤、角平分线性质应用|结合平行线性质与判定，通过“已知-依据-结论”推理链，强化证明规范性| |几何模型|解答23-24（“8字形”“猪蹄模型”）|辅助线添加（作平行线）、模型角度关系推导|从基本图形（三角形、多边形）到复杂模型，渗透转化思想，提升模型意识|

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 期末复习专题1：证明 （提升练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等角的余角相等 B. 三角形的外角和等于 C. 若，则 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 2.已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3.命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（    ） A． B． C． D． 4.证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 5.下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7.如图，是五边形的外角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8.如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.命题“一个角的补角大于这个角”是 ______命题．（填“真”或“假”） 10.反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”时，首先要假设 ：_________________. 11.如图，已知直线，，，则 度． 12.已知直线 ，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则= ．    13.用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ． 14.小亮从起点沿着水平方向行走，向右转前进，再向右转 后，行走的方向与原方向相反． 15.如图，在中，分别平分分别平分三角形的两个外角，则 ． 16.如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)两直线平行，同位角相等． (2)若，，则． (3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 18.读小明和小红的对话，解决下列问题．小明：“我把一个多边形的各内角相加，得到的和为．”小红：“多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个锐角．” (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和． 19.如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 20.（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 21.【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 22.如图①，在中，；点在边上．将点绕点按逆时针方向旋转一定角度得到点，连接，，作，的角平分线交于点． （1）如图②，若，则______°； （2）如图③，当点恰好落在边上时，探索之间的关系，并说明理由； （3）随着点的旋转，当点不在边上时，探索之间的关系，直接写出结论． 23.（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请证明； 简单应用】 （2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，且，，求的度数． 24.【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等角的余角相等 B. 三角形的外角和等于 C. 若，则 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 2.已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 3.命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 5.下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 6.如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 7.如图，是五边形的外角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 8.如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.命题“一个角的补角大于这个角”是 ______命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 10.反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”时，首先要假设 ：_________________. 【答案】一个三角形中至少有两个内角是直角 11.如图，已知直线，，，则 度． 【答案】46 12.已知直线 ，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则= ．    【答案】 13.用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 3 4 14.小亮从起点沿着水平方向行走，向右转前进，再向右转 后，行走的方向与原方向相反． 【答案】 15.如图，在中，分别平分分别平分三角形的两个外角，则 ． 【答案】132 16.如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 【答案】①②③⑤⑦ 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)两直线平行，同位角相等． (2)若，，则． (3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 【答案（1）解：条件：两直线平行； 结论：同位角相等； （2）解：条件：，， 结论：； （3）解：条件：不等式的两边同乘一个负数， 结论：不等号方向改变． 18.读小明和小红的对话，解决下列问题．小明：“我把一个多边形的各内角相加，得到的和为．”小红：“多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个锐角．” (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和． 【答案】（1）解：设多边形的边数是，由题意得，解得， 因为取整数， 所以多边形的内角和不可能是； （2）解：十边形的内角和为，而十一边形的内角和为， 所以该多边形的内角和是． 19.如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：五边形中，， ∵，，， ∴ ； 五边形外角和的度数是． 20.（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 21.【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 22.如图①，在中，；点在边上．将点绕点按逆时针方向旋转一定角度得到点，连接，，作，的角平分线交于点． （1）如图②，若，则______°； （2）如图③，当点恰好落在边上时，探索之间的关系，并说明理由； （3）随着点的旋转，当点不在边上时，探索之间的关系，直接写出结论． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，∴ ； 【小问3详解】 解：当点在外时，如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 整理得； 当点在内时，如图， 同理， 在中，， 在中，， ∴， ∴ ， 整理得； 综上，或． 23.（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请证明； 简单应用】 （2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，且，，求的度数． 【答案】（1）（1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图2， 、分别平分，， ，， 由（1）的结论得： ， ①②，得， ； （3）解：如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ， ∴， ， ∴， ∴得，， ， ∵， ∴， 即（负值舍去）， . 24.【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $