2025-2026学年苏科版数学七年级下册期末复习 专题1： 证明（巩固练习）

**基本信息** 聚焦“证明”专项，以命题辨析、平行线性质与判定为核心，通过典例-变式-巩固三级训练，系统培养推理能力与几何直观，构建从概念到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典型例题|6题（含命题判断、平行线判定等）|命题真假判断法、平行线判定“角关系”转化法、证明步骤规范表达|从命题概念（例1、3）到平行线性质应用（例2、4），再到逻辑推理（例5、6），形成“概念-性质-证明”递进| |举一反三|6变式（含反例构造、折叠计算等）|反例构造法、折叠问题“对称性质”应用、推理填空“依据标注”法|在典例基础上拓展，如变式5强化推理依据，变式6结合平移，实现方法迁移| |巩固练习|15题（含选择、填空、解答）|反证法假设技巧、旋转问题“动态角度”计算、综合证明“条件关联”分析法|覆盖命题、平行线、图形变换（折叠、旋转）等高频考点，形成知识网络|

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 期末复习专题1：证明 (巩固练习) 【典型例题】 【例1】下列命题中，属于真命题的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.两直线平行，内错角相等 C.同位角相等 D.有两个角是锐角的三角形是锐角三角形 【例2】如图，下列条件中：①∠C=∠1，②∠C=∠2，③∠3+∠C=180°，④∠4+∠2=180 ,能判断AB∥CD的有() /D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例3】命题“a2=b2,则a=b”的逆命题的结论是 【例4】如图，已知AB∥DE,∠ABC=55°，∠BCD=25°，则∠CDE的度数为 B E 【例5】如图，∠1=∠2，∠B=∠D.求证：AD∥BC. A D E 2 第1页共24页 【例6】如图，有下列三个条件：①DE∥BC;②∠1=∠2；③∠B=∠C. A D-12 (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几 个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程 【举一反三】 【变式1】判断命题“如果x<2,那么x2-4<0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的 x可以为() A.1 B.0 C.-1 D.-2 【变式2】一副三角板如图放置，∠A=45°，∠F=60°，AB∥EF,则∠CBF=() A459 E 60>F A.45° B.55 C.65° D.75 【变式3】已知：如图，在ABC中，∠A=∠ABC=64°，直线EF分别交AB、AC、BC的 延长线于点E、D、F,若LF=20°，则∠CDF=。 E 【变式4】如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平 分线，延长FB和GC交于点H.设∠A=,∠H=B,则与B之间的数量关系为 第2页共24页 G D H 【变式5】完成下面推理说明： 已知：如图，BH∥CF,BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD. 求证：AB∥CD, A B E D 证明：，'BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD(已知)， “4=4一，2=4—（角平分线的定义. BE∥CF(已知)， .∠1=∠2(). 1 (ABC=-ZBCD等量代换 .∠ABC=∠BCD(等式的性质). ∴.AB∥CD() 【变式6】如图，点C,D在直线EF外，CA⊥EF于点A,BD⊥EF于点B,连接CD和CB ,BP是由CD沿CB方向平移至点B得到（点C的对应点是点B). D C· E F (1)依据题意，补充完整图形.（注：画出正确图形即可，不需要尺规作图） (2)证明：∠DCA+∠DBP=180°. 第3页共24页 【巩固练习】 1.下列语句是命题的是() A.对顶角一定相等吗 B.人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C.画一个角等于已知角 D.若a=b,则a2=b2 2.对于命题“若a<b,则a2<b2”,下面a,b的值中，能说明这个命题是假命题的是() A.a=-1,b=2B.a=0,b=2 C.a=4,b=-2D.a=2,b=4 3.已知：如图，长方形纸条ABCD沿EF折叠，点C、D的对称点为M、N,若∠DEF=a, 则∠GFM的度数为() A.20x B.90°+20 C.180°-2 D.180°-3a 4.如图，直线CE∥DF,LCAB=125°，LABD=85°，则∠1+∠2=() 125° 85%B A.30° B.35 C.36° D.40° 5.如图，四边形ABCD为一张长方形纸片，点E、F分别为AB、CD边上一点，将这张纸片 ABCD沿EF折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，BC的对应边MN与CD交于点G,若 ∠BEF=a,则∠FGN的度数为() G M 第4页共24页 A 20 C.5a-90 D.2a-90° 6.命题“两直线平行，同位角相等.”的逆命题是一· 7.用反证法证明“已知ABC,AB=AC,则∠B<90°”时，应假设： 8.如图，点E在AD的延长线上，请添加一个恰当的条件 使AB∥CD. E 9.如图，己知△ABC中，∠A=75°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB'=30°，则 ∠1+∠2+∠3= B D B<1 10.如图，在AOB和△COD中，LA0B=LC0D=90°，∠A=40°，∠C=60°，OD与OA重叠. 若AOB绕点0按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转不停，在旋转过程中，若AOB和 △COD中第一次有一组边平行，则称之为第一次“边平行”，当旋转到 秒时，第2025次 边平行. 11.如图，在ABC中，D、E是边AB上的点，H、G是边AC上的点，连接EH、EG, LEHC+LC=180°过点D作FD⊥AB交BC于点F,∠1=∠2，求证：EG⊥AB. 第5页共24页 12.如图，AB∥CD,∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E,填空： .AB∥CD, .∠BAC+①=180°. AE平分∠BAC, 1= ② .CE平分∠ACD, 42=}® 2 ∠1+∠2=④°. ∴.∠E=180°-∠1-∠2=⑤°. :AE⑥CE. 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ⑦ 13.已知：如图，在△ABC中，∠A=∠ABC,直线EF分别交△ABC的边AB、AC和CB的延 长线于点D、E、F. 第6页共24页 A (1)∠A=70°，∠F=30°，求∠FEC的度数 (2)求证：∠F+∠FEC=2∠A. 14.如图，在ABC中，∠B=20°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落 到点E处，∠ADC=100°. (1)求证：AB‖DE. (2)若AE恰好平分∠BAD,求∠E的度数. 15.如图1，已知直线MN∥GH,且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三 角形硬纸板ACB和DEF,其中∠ACB=90°，∠DFE=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°， AC=1,小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： M A N MA MA 0 EN CB、HGC H GC H 图3 图1 图2 第7页共24页 (1)如图1，点A在MW上，边BC在GH上，边DE在直线AB上. ①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，如图2，当点F在MN上时，∠AFE的度数为 ②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三 角形是直角三角形时，求∠FAN度数. (2)如图3，点A在MN上，边BC在GH上，△DEF的边DE在直线MN上，点F落在MN与 GH之间.将ABC绕点C以每秒4°的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，且0<t<90,当 AB与EF平行时，t=秒， 第8页共24页 答案解析 【典型例题】 【例1】下列命题中，属于真命题的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.两直线平行，内错角相等 C.同位角相等 D.有两个角是锐角的三角形是锐角三角形 【答案】B 【例2】如图，下列条件中：①∠C=∠1，②∠C=∠2，③∠3+∠C=180°，④∠4+∠2=180° ,能判断AB∥CD的有() A B 人2 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【例3】命题“a2=b2,则a=b”的逆命题的结论是 【答案】a2=b2 【例4】如图，已知AB∥DE,∠ABC=55°，∠BCD=25°，则∠CDE的度数为 第9页共24页 【答案】150° 【例5】如图，∠1=∠2，∠B=∠D,求证：AD∥BC. E 2 B 【答案】证明，∠1=∠2， .AB∥CD, ∴.∠B=∠DCF, ∠B=LD, .∠D=LDCF, .AD∥BC. 【例6】如图，有下列三个条件：①DE∥BC;②∠1=∠2；③∠B=∠C. D 1y2 B (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几 个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程， 【答案】（1)解：一共能组成三个命题： ①如果DE∥BC,∠1=∠2，那么∠B=∠C; ②如果DE∥BC,∠B=∠C,那么∠1=∠2； ③如果∠1=∠2，∠B=∠C,那么DE∥BC; 【小问2详解】 解：如果DE∥BC,∠1=∠2，那么∠B=∠C, 理由如下：，DE∥BC, .∠1=∠B,∠2=∠C, 第10页共24页 .∠1=∠2， .∠B=∠C. 如果DE∥BC,∠B=∠C,那么∠1=∠2； D 1YY2 B 理由如下：，DE∥BC, .∠1=∠B,∠2=∠C, .∠B=∠C, .∠1=∠2； 如果∠1=∠2，∠B=∠C,那么DE∥BC; 理由如下：，∠B+∠C+∠BAC=180°， .∠B+∠C=180°-∠BAC, .∠1+∠2+∠BAC=180°， .∠1+∠2=180°-∠BAC, .∠B=∠C,∠1=∠2， .∠1=∠2，∠B=∠C, .∠B=∠1， ∴.DE∥BC. 【举一反三】 【变式1】判断命题“如果x<2,那么x2-4<0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的 x可以为() A.1 B.0 C.-1 D.-2 【答案】D 【变式2】一副三角板如图放置，∠A=45°，∠F=60°，AB∥EF,则∠CBF=() 第11页共24页 D A45 60>F A.450 B.55° C.65° D.75o 【答案】D 【变式3】已知：如图，在ABC中，∠A=∠ABC=64°，直线EF分别交AB、AC、BC的 延长线于点E、D、F,若LF=20°，则∠CDF= B F 【答案】32 【变式4】如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平 分线，延长FB和GC交于点H.设∠A=a,∠H=B,则Q与B之间的数量关系为 D 【答案】90-0 【变式5】完成下面推理说明： 己知：如图，BH∥CF,BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD. 求证：AB∥CD. B 证明：，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD(已知)， 第12页共24页 1=5,2=)4 ·(角平分线的定义). 2 2 .BE∥CF(已知)， ∴.∠1=∠2( 48c-BcD(等量代换> .∠ABC=∠BCD(等式的性质). ∴.AB∥CD(). 【答案】，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD(已知)， :1-48c,2-8CD,角平分线的定义， .,BE∥CF(己知)， .∠1=∠2（两直线平行，内错角相等)， ÷48C-BCD(等量代换。 ∴.∠ABC=∠BCD(等式的性质). ∴.AB∥CD(内错角相等，两直线平行). 【变式6】如图，点C,D在直线EF外，CA⊥EF于点A,BD⊥EF于点B,连接CD和CB ,BP是由CD沿CB方向平移至点B得到（点C的对应点是点B) D C. E F (1)依据题意，补充完整图形.（注：画出正确图形即可，不需要尺规作图） (2)证明：∠DCA+∠DBP=180°. 【答案】(1)解：补充完整图形，如图所示. D B 【小问2详解】 第13页共24页 证明：CA⊥EF,DB⊥EF, .∠CAE=∠ABD=∠DBF=90°， ∴.CA/∥BD, ∴.∠DCA+∠BDC=180°， 由平移的性质知CD∥BP, ∴.∠BDC=∠DBP, .∠DCA+∠DBP=180°. 【巩固练习】 1.下列语句是命题的是() A.对顶角一定相等吗 B.人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C.画一个角等于已知角 D.若a=b,则a2=b2 【答案】D 2.对于命题“若a<b,则a2<b2”,下面a,b的值中，能说明这个命题是假命题的是() A.a=-1,b=2B.a=0,b=2 C.a=4,b=-2D.a=2,b=4 【答案】C 3.己知：如图，长方形纸条ABCD沿EF折叠，点C、D的对称点为M、N,若∠DEF=a, 则∠GFM的度数为() A.20 B.90°+2a C.180°-2au D.180°-3a 【答案】C 4.如图，直线CE∥DF,∠CAB=125°，∠ABD=85°，则∠1+∠2=() 第14页共24页 C E 125 85B A.30° B.35° C.36° D.40° 【答案】A 5.如图，四边形ABCD为一张长方形纸片，点E、F分别为AB、CD边上一点，将这张纸片 ABCD沿EF折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，BC的对应边MN与CD交于点G,若 ∠BEF=a,则∠FGN的度数为() G M E B 1 A. B.90°- 2a-900 1 C. D.2a-90° 2 【答案】D 6.命题“两直线平行，同位角相等.”的逆命题是 【答案】同位角相等，两直线平行 7.用反证法证明“己知ABC,AB=AC,则∠B<90°”时，应假设： 【答案】∠B≥90° 8.如图，点E在AD的延长线上，请添加一个恰当的条件 使AB∥CD. B 【答案】∠A=∠CDE(答案不唯一) 9.如图，已知△ABC中，∠A=75°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB'=30°，则 第15页共24页 ∠1+∠2+∠3= B D B2------- 【答案】240° 10.如图，在AOB和△COD中，∠A0B=∠C0D=90°，∠A=40°，∠C=60°，OD与OA重叠. 若AOB绕点0按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转不停，在旋转过程中，若AOB和 △COD中第一次有一组边平行，则称之为第一次“边平行”，当旋转到秒时，第2025次 边平行. 【答案】3643.5 11.如图，在ABC中，D、E是边AB上的点，H、G是边AC上的点，连接EH、EG, LEHC+∠C=180°过点D作FD⊥AB交BC于点F,∠1=∠2，求证：EG⊥AB. F 【答案】，LEHC+LC=180°， ∴.EH∥BC, ∴∠AEH=∠B, 第16页共24页 FD⊥AB, .∠1+∠B=90°， .∠1=∠2， .∠2+∠AEH=90°， ∴.∠AEG=90°， ∴.EG⊥AB. 12.如图，AB∥CD,∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E,填空： B D .AB∥CD, ∴.∠BAC+①=180°. :AE平分∠BAC, ∠1= ②· :CE平分∠ACD, ∠2=} ③) .∠1+∠2=④°. .∠E=180°-∠1-∠2=⑤°. :AE⑥CE. 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ⑦ 第17页共24页 【答案】AB∥CD, :∠BAC+∠ACD=180°. :AE平分∠BAC, :.1= 1 ∠BAC. ,CE平分∠ACD, 22=4cn. .∠1+∠2=90°. .∠E=180°-∠1-∠2=90°. .AE⊥CE. 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两直线平行，同旁内角的平分线互相 垂直 故答案为：∠ACD;∠BAC;∠ACD;90;90;⊥；两直线平行，同旁内角的平分线 互相垂直 13.己知：如图，在△ABC中，∠A=∠ABC,直线EF分别交△ABC的边AB、AC和CB的延 长线于点D、E、F. B (1)∠A=70°，∠F=30°，求∠FEC的度数； (2)求证：∠F+∠FEC=2∠A. 【答案】(1)解：：∠ABC=∠A=70°， 第18页共24页 .∠C=180°-70°-70°=40°， ∴.∠FEC=180°-∠C-∠F=180°-40°-30°=110°； 【小问2详解】 证明：，∠A=∠ABC, ∴.∠A+∠ABC=2∠A=180°-∠C, .∠F+∠FEC=180°-∠C, ∴.∠F+∠FEC=2∠A. 14.如图，在ABC中，∠B=20°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落 到点E处，∠ADC=100°. (1)求证：ABIIDE. (2)若AE恰好平分∠BAD,求∠E的度数. 【答案】(1)证明：由折叠可知△AED≌△ACD, ∴.∠ADE=∠ADC=100°， ∴.∠ADB=180°-∠ADC=180°-100°=80°， ∴.∠BDE=∠ADE-∠ADB=100°-80°=20°， ∴.∠BDE=∠B=20°， .AB‖DE; 第19页共24页 【小问2详解】 解：∠ADC是△ABD的外角， ∴.∠ADC=∠B+∠BAD, .∴.100°=20°+∠BAD, ∴.∠BAD=80°， :AE平分∠BAD, ∠E1D=∠B1D=)×80°=40， 在AADE中，∠ADE+∠EAD+∠E=180°， ∴.∠E=180°-∠ADE-∠EAD=180°-100°-40°=40°. 15.如图1，已知直线MN∥GH,且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三 角形硬纸板ACB和DEF,其中∠ACB=90°，∠DFE=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°， AC=1,小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： M A M A D E N G H H 图3 图1 图2 (1)如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上. ①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，如图2，当点F在MN上时，∠AFE的度数为 ②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三 角形是直角三角形时，求∠FAN度数. (2)如图3，点A在MN上，边BC在GH上，aDEF的边DE在直线MN上，点F落在MN与 第20页共24页 GH之间.将ABC绕点C以每秒4°的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，且0<t<90,当 AB与EF平行时，t=秒. 【答案】(1)①，三角形ACB和三角形DEF是直角三角形，∠ACB=90°，∠DFE=90°， ∠BAC=45°，∠EDF=30°， .∠ABC=45°，∠DEF=60°， 过点E作QE∥MN, M A G H 图2 .MN∥GH, .QA'∥MN∥GH. .∴.∠BEQ=∠ABC=45°，∠AFE=∠FEQ, ∴.∠ABC+∠AEF=∠BEQ+∠FEQ=∠DEF, ∴.45°+∠AFE=60°， .∠AFE=15°. ②以A,D,F为顶点的三角形是直角三角形， 当∠AFD=90°时， .∴.∠FAD+∠ADF=90° .ZFDA=30 ∴.∠FAD=60° .∠DAN=45 第21页共24页 ∴.∠FAN=15°； MA可 (E D) B H 图2-1 当∠FAD=90°时， ∴.∠FAN+∠DAN=90°， .∠DAN=45°， ∴.∠FAN=45°， E A G B H 图2-2 综上所述：∠FAN的度数为15°或45°. 【小问2详解】 当A'B'∥EF时，如图3-1，延长B'A'交MN于K,过点作QA'∥MN, M AD K G H B B 图3-1 .∠CAB'=45°， ∴.∠KA'C=180°-∠CAB'=135°， 第22页共24页 .A'B'∥EF,∠DEF=60°， ∴.∠MKA'=∠DEF=60°， .QA'∥MN,MN∥GH, ∴.QA'∥MN∥GH. .∠QA'K=180°-∠MKA'=120°，∠QA'C=∠A'CH, .∠QA'C=∠A'CH=∠KA'C-∠KA'Q=135°-120°=15°， ∴.∠ACA'=∠ACB-∠A'CB=90°-15°=75°， :1=5 (秒) 4 当A'B'∥EF时，如图3-2，延长AB'交MN于K,过点B'作QB'∥MN, M K AD E B H 图3-2 同理可得：∠KB'C=180°-∠CAB'=135°，∠MKA=∠DEF=60°， QB'∥MN∥GH, ∴.∠MKA'=∠KB'Q=60°， ∠B'CG=∠QB'C=∠KB'C-∠KB'Q=135°-60°=75°， .旋转度数为(180°+75)=255°， 1s255 4 综上所述：t=5或 4 第23页共24页 第24页共24页