2025-2026学年苏科版数学七年级下册期末复习专题3：二元一次方程组（巩固练习）

**基本信息** 聚焦二元一次方程组概念、解法及应用，通过典例与变式构建从基础到拓展的知识逻辑链，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|例1、例3|考查二元一次方程定义及解的概念|从定义到解的验证，构建概念认知基础| |解法应用|例5、巩固11|直接解方程组及解法迁移|训练代入消元法与加减消元法，强化运算能力| |参数问题|例2、例6、变式1|含参数方程组及解的条件限制|结合方程解的性质，培养推理意识| |实际应用|变式4、变式6、巩固14|购物消费、图形面积、工程问题|建立方程模型解决实际问题，发展应用意识| |新定义拓展|巩固12、13、15|自定义运算、友好关系、亲密方程|通过新情境深化概念理解，提升创新意识|

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 期末复习专题3：二元一次方程组 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. 4xy＝2 B. 1－x＝7 C. x2＋2y＝－2 D. x＝y＋1 【例2】关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，则k的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【例3】已知是二元一次方程，则a的值为_______． 【例4】已知是方程组的解，则________． 【例5】解下列方程组 （1）； （2） ． 【例6】已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【举一反三】 【变式1】若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式2】已知方程组的解是，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【变式3】已知二元一次方程组的解是，则在①；②；③；④中，“*”表示的方程可以是______．（填写符合题意方程的序号） 【变式4】周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出．如果饼干每包元，饮料每瓶元，那么他们买了_____ 包饼干． 项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 饮料 支出金额(单位：元) 【变式5】已知方程组的解满足为负数，为非正数． （1）求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若的解集为，求整数的值． 【变式6】如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） （1）求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； （2）求图中阴影部分的面积． 【巩固练习】 1.方程组的解是（ ） A. B. C. D. 2.已知是方程的一个解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 3.若方程组的解是，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 4.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 5.当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 6.已知与互为相反数，并且，则代数式______． 7.若是关于x，y的方程的一个解，则常数m的值为______． 8.已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为______． 9.已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 10.对有理数x，y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么________． 11. 解方程组； （1）； （2）． 12.对于有理数定义一种新运算“※”：规定．例如：． （1）若，，求的值； （2）在（）的条件下，试说明：． 13.定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． （1）判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． （2）若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 14.为了打造区域中心城市，实现仙桃跨越式发展，我市某路段拓宽工程正按投资计划有序推进．因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，市政公司现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台·时） 挖掘土方量（单位：/台•时） 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 （1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ （2）如果每小时支付的租金不超过元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？ 15.定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． （1）方程的“亲密方程”为___________； （2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； （3）已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“亲密方程”，求的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. 4xy＝2 B. 1－x＝7 C. x2＋2y＝－2 D. x＝y＋1 【答案】D 【例2】关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，则k的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【例3】已知是二元一次方程，则a的值为_______． 【答案】2 【例4】已知是方程组的解，则________． 【答案】15 【例5】解下列方程组 （1）； （2） ． 【答案】（1）解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为； 小问2详解】， ，得：， 解得：， 将代入① ，得：， 解得， ∴方程组的解为； 【例6】已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】将两方程相加得， 整理得， 由题知， ， 解得． 【举一反三】 【变式1】若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【变式2】已知方程组的解是，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【变式3】已知二元一次方程组的解是，则在①；②；③；④中，“*”表示的方程可以是______．（填写符合题意方程的序号） 【答案】③④ 【变式4】周末小明和妈妈外出共消费了元，表中记录了他们一天所有的消费项目以及部分支出．如果饼干每包元，饮料每瓶元，那么他们买了_____ 包饼干． 项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 饮料 支出金额(单位：元) 【答案】 【变式5】已知方程组的解满足为负数，为非正数． （1）求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若的解集为，求整数的值． 【答案】（1）解： ：，即 ：，即 由题意得 的取值范围为 【小问2详解】 解：原不等式可化为 ∵解集为， 由题意得 即， 的取值为 整数的值为． 【变式6】如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） （1）求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. 【小问2详解】 解：． 【巩固练习】 1.方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.已知是方程的一个解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3.若方程组的解是，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5.当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 6.已知与互为相反数，并且，则代数式______． 【答案】 7.若是关于x，y的方程的一个解，则常数m的值为______． 【答案】 8.已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为______． 【答案】 9.已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 【答案】 10.对有理数x，y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么________． 【答案】5 11. 解方程组； （1）； （2）． 【答案】（1）， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 ， 方程组可化为， ①+②，得， 解得， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 12.对于有理数定义一种新运算“※”：规定．例如：． （1）若，，求的值； （2）在（）的条件下，试说明：． 【答案】（1）解：由题意可得，， 解得， 即，； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴． 13.定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． （1）判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． （2）若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下： 由方程组， 得， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； 【小问2详解】 解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴③ 联立， 解得， 把代入中得， 则a，b的正整数值为或． 14.为了打造区域中心城市，实现仙桃跨越式发展，我市某路段拓宽工程正按投资计划有序推进．因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，市政公司现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台·时） 挖掘土方量（单位：/台•时） 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 （1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ （2）如果每小时支付的租金不超过元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？ 【答案】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台， ， 得， 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台； 【小问2详解】 设租用甲型号的挖掘机a台，租用乙型号的挖掘机b台， ， ∴， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，， 当时，（舍去）， 答：有1种租用方案． 15.定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． （1）方程的“亲密方程”为___________； （2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； （3）已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“亲密方程”，求的值． 【答案】（1）解：由题意得，方程的“亲密方程”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， ∵， ∴ ∴方程组的解为， ∵方程组解是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵是关于，的二元一次方程的“亲密方程”， ∴， 解得：， ∵整数，，，满足条件， ∴， ∴， ∴； ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $