11.3公式法（第2课时）（教学课件） 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦完全平方公式因式分解，通过“温故而知新”回顾提取公因式法和平方差公式，以未完成分解的多项式提问引出新课，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于“观察与发现”引导学生抽象完全平方式特征，培养数学眼光中的抽象能力，典例与变式练习强化“一提二套三检验”步骤，发展数学思维中的推理意识，口诀和表格总结助于规范表达，提升数学语言的模型意识。学生能掌握方法，教师可高效教学。

11.3 公式法 第二课时 第11章 因式分解 温故而知新 1.提取公因式法分解因式： 2.平方差公式分解因式： a²－b²＝(a＋b)(a－b) (1)18a2-50 （2）3ax2+6axy+3ay2 3.分解因式： =2（9a2-25） =2（3a+5）（3a-5） =3a(x2+2xy+y2) 还能继续分解吗？ 热身训练 将下列各式进行因式分解。 1、-(-m)2+9n2 2、(2m+n)2-(m+2n)2 3、32m2-2m4 =(3n+m)(3n-m) =3(m+n)(m-n) =2m2(4+m)(4-m) 方法总结： 一提，二套，三检验。 1.完全平方公式 字母表示:a2+2ab+b2=　　　　,  a2-2ab+b2=　　　　.  语言描述:两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的　　　　.  知识梳理 2.把一个多项式进行因式分解的一般步骤 一提:提　　　　;  二套:套用　　　　　　 　;  三检验:检验能不能继续分解因式. (a+b)2 (a-b)2 平方 公因式 完全平方公式或平方差公式 运用完全平方公式进行因式分解 考点梳理 [典例1]把下列各式进行因式分解: (1)a2-6a+9; (2)9x2-42xy+49y2.  解:(1)原式=a2-2×a×3+32=(a-3)2. (2)原式=(3x)2-2×3x×7y+(7y)2=(3x-7y)2. 探究一 完全平方公式因式分解 观察与发现 多项式x2+2x+1 和m²-4mn+4n2，它们有什么共同特征? 这两个多项式都是三项，有两项可以写成两个数的平方和的形式，一项可以写成这两个数乘积的2倍，都满足 a2-2ab+b2或a2+2ab+b2 完全平方式的形式。 x2+2x+1 m²-4mn+4n2 =x2+2·x·1+12 =m²-2·m·2n+(2n)2 怎样将多项式x2+2x+1 和m²-4mn+4n2因式分解？ 思考与交流 整式乘法 因式分解 能用完全平方公式分解因式吗？ x2+2x+1 =x2+2·x·1+12 m²-4mn+4n2 =m²-2·m·2n+(2n)2 (a＋b)2＝ a2+2ab+b2 (a-b)2＝ a2-2ab+b2 探究一 完全平方公式因式分解 探究一 完全平方公式因式分解 a² ± 2 a b ＋ b² ＝ (a±b)² = x2 + 2 · x · 1 + 12 x2+2x+1 =(x + 1)2 m²-4mn+4n2 =m² - 2·m·2n + (2n)2 =(m - 2n)2 新课讲授 观察： 观察多项式x2+2x+1和m2-4mn+4n2,它们有什么共同特征? 新课讲授 x2+2x+1 m2-4mn+4n2 =x2 + 2·x·1 + 12 （a+b）2=a2 + 2ab + b2 =m2+2·m·2n+(2n)2 多项式特征： 这两个多项式都是三项,都满足a2+2ab+b2 或a2-2ab+b2 的形式。 =(x+1)2 =(m+2n)2 思考：怎样将上面两个多项式因式分解？ 解:(1)原式=(5a)2+2×5a×1+12=(5a+1)2. [变式1]把下列各式进行因式分解: (1)25a2+10a+1; 完全平方公式的结构特点 (1)左边是三项式,首末两项分别是两个数(或式子)的平方,且这两项的符号相同,中间一项是这两个数(或式子)的积的2倍,符号正负均可; (2)右边是这两个数(或式子)的和(或差)的平方. 探究一 完全平方公式因式分解 概括与表达 两数的平方和，加上(减去)这两数乘积的2倍， 等于这两数和(差)的平方。 完全平方公式因式分解 a2+2ab+b2 ＝ (a+b)² (a＋b)2＝ a2-2ab+b2 ＝(a-b)2 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 首平方，尾平方， 首尾两倍在中央. 简记口诀： ③不可以，因为中间一项不是这两个式子乘积的2倍. 例1.说出下列多项式哪些可用完全平方公式进行因式分解？ ① 　 ② ③ 探究二 体验新知 ①可以，多项式有三项，符合完全平方公式. 解： ②不可以。因为首、末两项虽然都能写成式子平方的形式但符号不同的形式。 新课讲授 概括与表达： 两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的平方,即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2。 公式法因式分解。 完全平方式 典例分析 例3 将下列各式因式分解: (1)x2+10x+25; (2))9a2-6ab+b2。 解:(1)x2+10x+25 =x2+2·x·5+52 =(x+5)2。 (2) 9a2-6ab+b2 =(3a)2-2·3a·b+b2 =(3a-b)2。 思考：多项式满足什么特征时，才能利用完全平方公式进行因式分解？ 1、多项式由三项组成。 2、要满足a2±2ab+b2的形式。 完全平方公式的综合运用 [典例2]分解因式: (1)2x2y-8xy+8y. (2)(x2-1)2+6(1-x2)+9. 解:(1)原式=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2. [变式2]分解因式: (1)-3ax2+6axy-3ay2. (2)-8+24(x-y)-18(x-y)2. 解:(1)原式=-3a(x2-2xy+y2)=-3a(x-y)2. (2)原式=-2[4-12(x-y)+9(x-y)2]=-2[2-3(x-y)]2=-2(2-3x+3y)2. (1)若多项式为两项,则考虑先提公因式,再用平方差公式因式分解; (2)若多项式为三项,则考虑先提公因式,再用完全平方公式因式分解. ①x2＋4xy＋4y2 ②－x2－4xy－4y2 ③x2＋4xy－4y2 ④－x2＋4xy＋4y2 ⑤x2－4xy＋4y2 ①②⑤ 练习1.下列多项式哪些可用完全平方公式进行因式分解？ 针对练习 多项式 是不是 完全平方式 表示成(a＋b)²或 (a－b)²的形式 a，b各表示什么 x²－6x＋9 是 (x－3)² a表示x，b表示3 4y²＋4y＋1       1＋4a²                       是 不是 不是 是 例题讲析 例2.回答下列问题 学以致用 将下列各式因式分解 （1）9m2-6m+1 (2)+ (3) y2-8y+16 =(3m-1)2 =(y-4)2 = 典例分析 例4 将下列各式因式分解: (1)3ax2-6axy+3ay2; (2)-x2+4xy-4y2; (3)(2x+y)2-6(2x+y)+9 解:(1) 3ax2-6axy+3ay2=3a(x2-2xy+y2) =3a(x-y)2。 (2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2。 注意： 体会数学整体思想的运用。 一提，二套，三检验。 (3)(2x+y)2-6(2x+y)+9=(2x+y)2-2·(2x+y)·3+32 =[(2x+y)-3]2 =(2x+y-3)2。 方法总结： 完全平方公式 基础巩固练 1.(2024北京期末)如果4a2-kab+b2是一个完全平方式,那么k的值是 ( ) A.4 B.-4 C.±2 D.±4 2.(2024菏泽期末)已知多项式x2-2(m+1)x+1是完全平方式,则m的值为 　 　.  D -2或0 3.填空:(1)x2+6x+　 　=(x+　 　)2;  (2)4x2-　 　+9=(2x-3)2;  (3)(x+ 　)2=x2+8x+　 　;  (4)(　 　a+　 　b)2=4a2+12ab+9b2.  9 3 12x 4 16 2 3 例题讲析 （1） x²+10x＋25 （2）9a²－6ab＋b2 例3：将下列式子分解因式 = x2 + 2·x·5 + 52 解： =(x + 5)2 = (3a- b)2 = （3a)2 + 2·3a·b +b2 例4. 把下列各式因式分解： 解： 有公因式先提公因式！ 例题讲析 （1）3ax2-6axy+3ay2 =3a(x2-2xy+y2) =3a(x-y)2 （1）3ax2-6axy+3ay2 (2) -4x²+12xy-9y2; (2) -4x²+12xy-9y2; =-(4x²-12xy+9y2) =-(2x-3y)2 第一项为负时先提“﹣”号！ 27 学以致用 将下列各式因式分解 （1）ax2-10ax+25a (2)4xy-4xy2-x (3) x4-18x2+81 (4)(m2+5)2-12(m2+5)+36 =a(x-5)2 =(x+3)2(x-3)2 =-x(2y-1)2 =(m+1)2(m-1)2 课堂小结 你这节课有什么收获？ 1、公式法因式分解。 两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的平方,即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2。 2、能利用平方差公式进行因式分解的多项式需满足的特征： （1）多项式由三项组成。 （2）要满足a2±2ab+b2的形式。 3、方法总结： 一提，二套，三检验。 (2)m2-mn+n2. (2)原式=(m)2-2×m×n+n2=(m-n)2. (2)原式=(x2-1)2-6(x2-1)+32=(x2-1-3)2==[(x+2)(x-2)]2 =(x+2)2(x-2)2. $