11.3 公式法-平方差公式 课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“用平方差公式进行因式分解”，通过“温故知新”复习提取公因式法，再以“18a²-50=2(9a²-25)”等未分解彻底的题目引发思考，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于注重探究与思维培养，通过观察多项式特征引导抽象平方差公式培养抽象能力，例题从基础到综合融入整体思想培养推理与运算能力，小结“一提二套三检验”提炼方法培养模型意识。如分解4a³b-ab先提公因式再用公式，助学生形成有序思维，教师可依此提升教学效率。

第11章 因式分解 11.3 公式法 第一课时 用平方差公式进行因式分解 学习目标 1、掌握公式法因式分解的方法。 2、能用公式法进行因式分解。 温故而知新 1.提取公因式法分解因式： 一般地，如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来，将多项式化为公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法,叫做提取公因式法. 2.确定公因式的步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母. （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. (1)18a2-50 (2)3ax2-3ay2 3、把下列各式分解因式： 创设情境 导入新课 解： =2（9a2-25） =3a（x2- y2） 还能继续分解吗？ 4 新课讲授 观察： 它们都表示两项的差,且每一项都可以写成平方的形式。 = x2-32 m2-(5n)2 = 多项式 x2-9 和 m2-25n2,它们有什么共同特征? 新课讲授 观察： = x2-32 m2-(5n)2 = 思考： 怎样将上面两个多项式因式分解? 多项式 x2-9 和 m2-25n2,它们有什么共同特征? 把平方差公式等号两边互换位置,得a2-b2=(a+b)(a-b)。利用它就可以将上面的式子因式分解。 平方差公式:（a+b） =a2-b2 （a-b） x2-9=x2-32=(x+3)(x-3); m2-25n2=m2-(5n)2=(m+5n)(m-5n)。 探究一 平方差公式因式分解 观察与发现 多项式x2-9 和m²-25n2，它们有什么共同特征? 它们都表示两项的差，且每一项都可以写成平方的形式。 x2-9 m²-25n2 =m²-(5n)2 =x2-32 探究一 平方差公式因式分解 怎样将多项式x2-9 和m²-25n2因式分解？ x2-9=x2-32 m²-25n2=m²-(5n)2 思考与交流 整式乘法 因式分解 a2－b2 ＝(a＋b)(a－b) (a＋b)(a－b)＝ a2－b2 能用平方差公式分解因式吗？ 　　 a²－b²＝(a＋b)(a－b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 探究一 平方差公式因式分解 x2-9 = x2- 32 =(x ＋ 3) ( x－3) m²-25n2=m²-(5n)2 = (m ＋5n ) (m－5n) 思考交流 = 1，观察等号左边，思考什么特点的式子可以用平方差公式因式分解？ （1），有两项，并且一正一负。 （2），每一项都是平方的形式。 判断，以下式子哪些可以用平方差公式进行因式分解？如何分解？ ① ⑤ 典型例题 例1，将下列各式因式分解。 （1） 观察，有没有公因式，是否可以用平方差公式进行因式分解，如果可以，谁相当于a,谁相当于b 解，（1）原式= (2)原式= =()() =()() 新课讲授 概括与表达： 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积,即 a2-b2=(a+b)(a-b)。 公式法因式分解。 典例分析 例1 将下列各式因式分解: (1)4a2-9; (2)16a2-81b2。 解:(1) 4x2-9 =(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3)。 (2) 16a2-81b2 =(4a)2-(9b)2 =(4a+9b)(4a-9b)。 思考：多项式满足什么特征时，才能利用平方差公式进行因式分解？ 1、多项式表示两项的差。 2、每一项都可以写成平方的形式。 概括与表达 探究一 平方差公式因式分解 平方差公式因式分解: 　两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． a²－b²＝(a＋b)(a－b) 例1.先说出下面各式a，b分别表示什么？再进行因式分解. （1）x2－1； （2）m2－16； （3）x2－4y2. （1）a表示x， b表示1， （2）a表示m，b表示4， （3）a表示x， b表示2y， x2－1＝(x＋1)(x－1). m2－16＝(m＋4)(m－4). x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y). 两数的和与差的积 两个数的平方差；只有两项 ①左边 ②右边 相同项 相反项 探究二 体验新知 解： 跟踪练习 1，下列多项式是否可以用平方差公式进行因式分解？如果可以，写出因式分解的结果。 （1） （2） （3） （4） （2） （2） 典型例题 例2，将下列各式因式分解 （1） 分析，是否有公因式，能否用平方差公式因式分解。 解：（1）原式=(( 相当于a, 相当于b = ()() 是否可以继续因式分解 = ()()() 检查一下是否分解彻底 典型例题 例2，将下列各式因式分解 解：(2) 原式= = 总结：1，先提公因式。 2， 再套用公式。 3，检查一下是否分解彻底。 典例分析 例3 将下列各式因式分解: (1)x4-y4; (2)(2a+b)2-(a+2b)2; 解:(1) x4-y4=(x2)2-(x2)2 =(x2+y2)(x+y)(x-y)。 =(x2+y2)(x2-y2) (2)(2a+b)2-(a+2b)2 =[(2a+b)+(a+2b)][(2a+b)-(a+2b)] =(3a+3b)(a-b) =3(a+b)(a-b)。 注意： 1、体会数学整体思想的运用。 2、所有的因式要分解到不能再继续分解为止。 典例分析 (3)4a3b-ab。 例3 将下列各式因式分解: 解：4a3b-ab =ab(4a2-1) =ab(2a+1)(2a-1)。 方法点拨： 一提，二套，三检验。 探究二 体验新知 (1) a²-4b² ; (2)-4m²+n2; (3)4x²-(-b)2; (4) 9a²+4b²; (5)x2 - , (6)x2+ 练习1.下列多项式是否可以用平方差公式进行因式分解?如果可以，写出因式分解的结果。 ＝(a＋2b)(a－2b). ＝(n＋2m)(n－2m). ＝(2x＋b)(x－b). 不能 不能 ＝(x＋)(x－). 解： 练习2.把下列各式分解因式 （1）16a²- 1 ( 2 ) 4x²- m²n² ( 3 ) x4y2-4 ( 4 ) –9x² + 4 针对练习 =（4a+1）（4a-1） =（2x+mn）（2x-mn） =（x2y+2）（x2y-2） =（2+3x）（2–3x） 解： 典型例题 解；（3）原式=[(2)+()][(2)-()] =(2)(2) =(3)() =3()() 把b, 当作一个整体，整体思想。注意整体 用括号括起来，相当于a, 探究与挑战 如图,每个图中先将n2(n≥3,n为正整数)个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,再将右上角的1个小正方形去掉,每个图形中剩下的小正方形能够重新拼成一个长和宽都不等于1的长方形吗? 为什么? 可以，理由是。剩下的面积为 =(n-1)(n+1) 当n=3时，可拼成2×4的长方形。 挑战自我 如图,每个图中先将n2(n≥3,n为正整数)个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,再将右上角的1个小正方形去掉,每个图形中剩下的小正方形能够重新拼成一个长和宽都不等于1的长方形吗? 为什么? 析： 可以，理由为： 32-1=(3+1)(3-1)=4×2 42-1=(4+1)(4-1)=5×3，...... 探究四 整体思想分解因式 (1) (m2-3)2–1 (2) (2a+b)²-(a+2b)² 例4.把下列各式分解因式： 解： =(m2-3-1)(m2-3+1) =(m2-4)(m2-2) =(m+2)(m-2)(m2-2) =3(a+b)(a-b) =[(2a+b)+(a+2b)][(2a+b)-(a+2b)] =(3a+3b)(a-b) 练习4.因式分解： （1）(2a-b)2-9a2 （2）9(m+n)2-(m-n)2 =[3(m+n) ]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n) ] [3(m+n)-(m-n) ] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)； 针对练习 解： =(2a-b-3a)(2a-b+3a) =(-b-a)(5a-b) =-(a+b)(5a-b) 27 课堂小结 这节课有什么收获？ 1,形如用平方差公式进行因式分解。 2，=()(), 等号左边是两项，一正一负，是平方的形式。 3，方法总结；一提公因式，二套用公式。三检查是否分解彻底。 4，体会整体思想。 课堂小结 你这节课有什么收获？ 1、公式法因式分解。 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积,即 a2-b2=(a+b)(a-b)。 2、能利用平方差公式进行因式分解的多项式需满足的特征： （1）多项式表示两项的差。 （2）每一项都可以写成平方的形式。 3、方法总结： 一提，二套，三检验。 $