第02讲 公式法（暑假预习讲义）新八年级数学新教材湘教版

第02讲 公式法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断能否用公式法分解 题型2 直接套用平方差公式 题型3 直接套用完全平方 题型4 综合运用公式法分解因式 题型5 提公因式法和公式法综合分解因式 题型6 在实数范围内分解因式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平方差公式、完全平方和、完全平方差、符号变形套用公式 1. 熟记平方差、完全平方和、完全平方差三个公式结构特征 2. 能对多项式变形符号，灵活套用乘法公式分解因式 3. 区分易混公式，辨别满足公式的多项式形式 学习重点：熟记平方差、完全平方公式，套用公式分解 学习难点：多项式变形后间接套用乘法公式 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 公式法因式分解的概念 1.定义：把我们已经学过的反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作。 2.核心逻辑：公式法因式分解本质是乘法公式的逆用，记住整式乘法中公式的结构特征，就可以快速识别需要分解的多项式，套用公式完成分解。 即时即练下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 常用的公式为平方差公式和完全平方公式，对应两种基础的公式法分解类型： （1）平方差公式反过来用：a² - b² = (a + b)(a - b)，用于分解符合特征的平方差型多项式； （2）完全平方公式反过来用：a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²，用于分解符合特征的完全平方式多项式。 知识点02 公因式法因式分解的一般步骤 1. 提公因式：观察多项式的各项是否有，如果有，第一步先提取；当多项式首项系数为负的时候，一般要把负号一并提出来，使括号内首项系数为正，方便后续观察分解。 2. 套公式：如果是二项式，优先考虑用尝试分解，符合平方差结构特征就套用平方差公式； 如果是三项式，优先考虑尝试分解，符合完全平方式结构特征就套用完全平方公式。 3. 检查：一是每个因式是否都不能再继续分解，也就是分解是否彻底；二是展开因式的乘积，看结果是否和原多项式相等，验证分解是否正确。 即时即练因式分解_____． 【方法总结】 公式法分解因式一定要遵循“先提、再套、后检查”的流程，很多题目的坑点就是需要先提公因式再套公式，很多同学会直接套公式漏掉提公因式，导致结果错误。 知识点03 平方差公式因式分解 1. 适用条件：多项式是___________项式；两项都能写成___________的形式，且两项符号___________，即能写成的形式。 2. 分解步骤： 先提取多项式的___________； 将剩余两项整理为___________的形式，确定A和B分别对应的代数式； 套用公式分解：___________； 检查每个因式是否还能继续___________，若能分解则继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。 即时即练因式分解：________． 【方法总结】 常见可以转化为平方差的形式： - = -，符号仍然为相反，满足条件； ，系数可以转化为平方后再分解； 二项式交换位置调整符号：如，提取负号后再套用公式。 知识点04 完全平方公式因式分解 1.适用条件：多项式是__________项式；其中有两项能写成两个数（或代数式）的__________的形式，且两项符号__________；第三项是这两个数（或代数式）的乘积的__________倍，符号可正可负。 即多项式能整理成的形式。 2.符号规律：当乘积项符号为正，分解为和的平方：； 当乘积项符号为负，分解为差的平方：。 3.分解步骤： (1) 先提取多项式的； (2) 将三项整理为的形式，确定A和B分别对应的代数式； (3) 套用公式分解为的形式； (4) 检查因式是否还能继续，确保分解彻底。 即时即练因式分解：_____． 【方法总结】 判断完全平方式的技巧：先找两个平方项确定A和B，再验证中间项是不是2AB，注意中间项的系数正负对应分解结果的符号。 知识点05 配方法转化后用公式法因式分解 1.方法：对于一些不能直接套用公式分解的二次三项式，可以通过添项、拆项配出，再用平方差公式分解，这种方法是公式法的延伸拓展。 2.配方法的一般步骤： （1）对二次项和一次项进行配方，加上一次项系数的平方，再减去这个数，保证多项式的值不变，配出； （2）把完全平方式合并，剩余的常数项整理成负的平方项，得到平方差的结构； （3）套用平方差公式分解，整理后得到最终结果。 即时即练分解因式x² - 4x - 12 【方法总结】 配方法是公式法的灵活应用，要求我们熟练掌握完全平方公式的结构，能够准确配方，配方的时候一定要注意“加多少减多少”，保证多项式的值不变，不要只加不减导致结果错误。 题型1 判断能否用公式法分解 【例1】下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是（  ） A． B． C． D． 【例2】下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 两项式：两部分都能写成平方形式、中间为减号可用平方差；同号两项不能用公式。 2. 三项式：首尾平方，中间是两底数积的2倍（正负均可）可用完全平方，不满足结构则无法套用公式。 3. 含系数、多项式底数时，先整理变形，化简后符合上述结构才可使用公式。 【变式1-1】下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 直接套用平方差公式 【例1】因式分解 的结果是（     ） A． B． C． D． 【例2】因式分解：____________． 【技巧归纳】 式子两项、符号一正一负，两项均可写成整式平方形式，找准底数直接套用公式，注意底数带负号时先变形。 【变式1-1】分解因式：______． 【变式1-2】分解因式：______． 题型3 直接套用完全平方 【例1】分解因式：_____________． 【例2】因式分解：_________． 【技巧归纳】 原式为三项整式，首尾两项是平方项，中间项为两个底数乘积的 ±2 倍，对照符号选用和或差的完全平方公式 【变式1-1】分解因式：________． 【变式1-2】分解因式的结果是____________． 题型4 综合运用公式法分解因式 【例1】分解因式：． 【技巧归纳】 1. 解题顺序牢记一提二套三查：优先提取公因式，提取完毕再观察剩余多项式结构，匹配平方差或完全平方公式。 2. 多次分解要查彻底：分解完成后逐个查验因式，若仍满足公式特征继续拆分，直到因式无法再分解。 【变式1-1】分解因式：______． 【变式1-2】因式分解： 题型5 提公因式法和公式法综合分解因式 【例1】因式分解：______． 【例2】分解因式：_________________． 【技巧归纳】 1.步骤固定：先提后套，第一步优先提取全式公因式（系数、字母、多项式公因式），提完再看剩余式子，两项试平方差、三项试完全平方。 2.提公后整理化简，剩余多项式有负号、括号时统一变形，凑成标准平方或完全平方式再套用公式。 3.收尾必查验彻底，分解所得每个因式再次检查，能继续提公或套公式就要二次分解，直到不能再拆分。 【变式1-1】分解因式：_____． 【变式1-2】因式分解：． 题型6 在实数范围内分解因式 【例1】将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】实数范围内分解因式________________；________________． 【技巧归纳】 1.先按整式常规分解：先提公因式，再用平方差、完全平方在有理数范围分解。 2. 遇剩余平方减正数：形如a2−k(k>0)，利用a2-(k)2继续用平方差拆分。 【变式1-1】在实数范围内分解因式：______． 【变式1-2】在实数范围因式分解： _________________ 1．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 2．琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 5．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 6．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．因式分解：__________． 8．因式分解________． 9．因式分解：__________． 10．因式分解：________． 11．因式分解： (1)； (2)． 12．分解因式： (1) (2) 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 公式法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断能否用公式法分解 题型2 直接套用平方差公式 题型3 直接套用完全平方 题型4 综合运用公式法分解因式 题型5 提公因式法和公式法综合分解因式 题型6 在实数范围内分解因式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平方差公式、完全平方和、完全平方差、符号变形套用公式 1. 熟记平方差、完全平方和、完全平方差三个公式结构特征 2. 能对多项式变形符号，灵活套用乘法公式分解因式 3. 区分易混公式，辨别满足公式的多项式形式 学习重点：熟记平方差、完全平方公式，套用公式分解 学习难点：多项式变形后间接套用乘法公式 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 公式法因式分解的概念 1.定义：把我们已经学过的反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作。 2.核心逻辑：公式法因式分解本质是乘法公式的逆用，记住整式乘法中公式的结构特征，就可以快速识别需要分解的多项式，套用公式完成分解。 即时即练下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 【方法总结】 常用的公式为平方差公式和完全平方公式，对应两种基础的公式法分解类型： （1）平方差公式反过来用：a² - b² = (a + b)(a - b)，用于分解符合特征的平方差型多项式； （2）完全平方公式反过来用：a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²，用于分解符合特征的完全平方式多项式。 知识点02 公因式法因式分解的一般步骤 1. 提公因式：观察多项式的各项是否有，如果有，第一步先提取；当多项式首项系数为负的时候，一般要把负号一并提出来，使括号内首项系数为正，方便后续观察分解。 2. 套公式：如果是二项式，优先考虑用尝试分解，符合平方差结构特征就套用平方差公式； 如果是三项式，优先考虑尝试分解，符合完全平方式结构特征就套用完全平方公式。 3. 检查：一是每个因式是否都不能再继续分解，也就是分解是否彻底；二是展开因式的乘积，看结果是否和原多项式相等，验证分解是否正确。 即时即练因式分解_____． 【答案】 【详解】解：． 【方法总结】 公式法分解因式一定要遵循“先提、再套、后检查”的流程，很多题目的坑点就是需要先提公因式再套公式，很多同学会直接套公式漏掉提公因式，导致结果错误。 知识点03 平方差公式因式分解 1. 适用条件：多项式是___________项式；两项都能写成___________的形式，且两项符号___________，即能写成的形式。 2. 分解步骤： 先提取多项式的___________； 将剩余两项整理为___________的形式，确定A和B分别对应的代数式； 套用公式分解：___________； 检查每个因式是否还能继续___________，若能分解则继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。 即时即练因式分解：________． 【答案】 【分析】直接套用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 【方法总结】 常见可以转化为平方差的形式： - = -，符号仍然为相反，满足条件； ，系数可以转化为平方后再分解； 二项式交换位置调整符号：如，提取负号后再套用公式。 知识点04 完全平方公式因式分解 1.适用条件：多项式是__________项式；其中有两项能写成两个数（或代数式）的__________的形式，且两项符号__________；第三项是这两个数（或代数式）的乘积的__________倍，符号可正可负。 即多项式能整理成的形式。 2.符号规律：当乘积项符号为正，分解为和的平方：； 当乘积项符号为负，分解为差的平方：。 3.分解步骤： (1) 先提取多项式的； (2) 将三项整理为的形式，确定A和B分别对应的代数式； (3) 套用公式分解为的形式； (4) 检查因式是否还能继续，确保分解彻底。 即时即练因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 【方法总结】 判断完全平方式的技巧：先找两个平方项确定A和B，再验证中间项是不是2AB，注意中间项的系数正负对应分解结果的符号。 知识点05 配方法转化后用公式法因式分解 1.方法：对于一些不能直接套用公式分解的二次三项式，可以通过添项、拆项配出，再用平方差公式分解，这种方法是公式法的延伸拓展。 2.配方法的一般步骤： （1）对二次项和一次项进行配方，加上一次项系数的平方，再减去这个数，保证多项式的值不变，配出； （2）把完全平方式合并，剩余的常数项整理成负的平方项，得到平方差的结构； （3）套用平方差公式分解，整理后得到最终结果。 即时即练分解因式x² - 4x - 12 【答案】 (x+2)(x-6) 【详解】解：配方得x² -4x +4 -4 -12 = (x-2)² - 16 = (x-2)² - 4²，套用平方差公式得(x-2+4)(x-2-4) = (x+2)(x-6)，结果正确。 【方法总结】 配方法是公式法的灵活应用，要求我们熟练掌握完全平方公式的结构，能够准确配方，配方的时候一定要注意“加多少减多少”，保证多项式的值不变，不要只加不减导致结果错误。 题型1 判断能否用公式法分解 【例1】下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】A、，其中不满足完全平方公式，此项不符题意； B、，其中不满足完全平方公式，此项不符题意； C、，此项符合题意； D、不满足完全平方公式，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式法分解因式，熟记完全平方公式是解题关键． 【例2】下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【技巧归纳】 1. 两项式：两部分都能写成平方形式、中间为减号可用平方差；同号两项不能用公式。 2. 三项式：首尾平方，中间是两底数积的2倍（正负均可）可用完全平方，不满足结构则无法套用公式。 3. 含系数、多项式底数时，先整理变形，化简后符合上述结构才可使用公式。 【变式1-1】下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式． 【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解， 故答案为：C． 【变式1-2】下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 题型2 直接套用平方差公式 【例1】因式分解 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 【例2】因式分解：____________． 【答案】 【详解】解： ． 【技巧归纳】 式子两项、符号一正一负，两项均可写成整式平方形式，找准底数直接套用公式，注意底数带负号时先变形。 【变式1-1】分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式1-2】分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 题型3 直接套用完全平方 【例1】分解因式：_____________． 【答案】 【详解】解：． 【例2】因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 【技巧归纳】 原式为三项整式，首尾两项是平方项，中间项为两个底数乘积的 ±2 倍，对照符号选用和或差的完全平方公式 【变式1-1】分解因式：________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1-2】分解因式的结果是____________． 【答案】 【详解】解：． 题型4 综合运用公式法分解因式 【例1】分解因式： 【答案】 【分析】先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 【例2】分解因式：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式初步分解，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 【技巧归纳】 1. 解题顺序牢记一提二套三查：优先提取公因式，提取完毕再观察剩余多项式结构，匹配平方差或完全平方公式。 2. 多次分解要查彻底：分解完成后逐个查验因式，若仍满足公式特征继续拆分，直到因式无法再分解。 【变式1-1】分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，根据完全平方公式和平方差公式逐步对原式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式1-2】因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先将看作整体根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 题型5 提公因式法和公式法综合分解因式 【例1】因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 【例2】分解因式：_________________． 【答案】 【分析】分解因式需先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至因式不能再分解为止． 【详解】解：． 【技巧归纳】 1.步骤固定：先提后套，第一步优先提取全式公因式（系数、字母、多项式公因式），提完再看剩余式子，两项试平方差、三项试完全平方。 2.提公后整理化简，剩余多项式有负号、括号时统一变形，凑成标准平方或完全平方式再套用公式。 3.收尾必查验彻底，分解所得每个因式再次检查，能继续提公或套公式就要二次分解，直到不能再拆分。 【变式1-1】分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：． 【变式1-2】因式分解：． 【答案】 【详解】解：                   ． 题型6 在实数范围内分解因式 【例1】将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查在实数范围内利用平方差公式进行因式分解，先将常数项转化为实数的平方形式，再进一步求解即可． 【详解】解： 故选：B． 【例2】实数范围内分解因式________________；________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，对于第一空直接利用平方差公式分解因式，对于第二空先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； ； 故答案为：；． 【技巧归纳】 1.先按整式常规分解：先提公因式，再用平方差、完全平方在有理数范围分解。 2. 遇剩余平方减正数：形如a2−k(k>0)，利用a2-(k)2继续用平方差拆分。 【变式1-1】在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 【变式1-2】在实数范围因式分解： _________________ 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，先提取公因式，再将利用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： 故答案为：． 1．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的方法∶提公因式法、平方差公式、完全平方公式即可判断各选项，注意分解结果要彻底． 【详解】解：A、，本选项的因式分解错误； B、，本选项的因式分解错误； C、，本选项的因式分解错误； D、，本选项的因式分解正确． 2．琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】B 【详解】解：①； ②，无法使用平方差公式进行因式分解； ③； ④， 该题是②无法使用平方差公式进行因式分解． 3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的多项式需满足：共三项，两项平方项符号相同，第三项是两平方项底数乘积的2倍，符合的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，x不是两底数积的2倍，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； B、中，常数项为负，两个平方项符号不同，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； C、只有两项，可用平方差公式分解，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； D、，符合完全平方公式的形式，可以因式分解，符合要求． 4．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 5．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式的条件判断，条件为：多项式共两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反． 【详解】解： A、∵是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，可分解为，∴A正确； B、∵中不是平方项，不符合要求，∴B错误； C、∵中不是平方项，且两项符号相同，不符合要求，∴C错误； D、∵是三项多项式，不符合要求，∴D错误． 7．因式分解：__________． 【答案】 【详解】解： 8．因式分解________． 【答案】 【详解】解：． 9．因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 10．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 11．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：． 12．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $