第03讲 十字相乘法与分组分解法（暑假预习讲义）新八年级数学新教材湘教版

第03讲 十字相乘法与分组分解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次项系数为1的二次三项式十字相乘分解 题型2 二次项系数不为1的十字相乘分解 题型3 十字相乘法求参数 题型4 分组法分解因式 题型5 十字相乘与分组分解结合型多项式分解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 首项系数为1、首项系数不为1、拆常数、凑一次项系数、分组提公因式、分组套公式 1. 掌握首项系数为1的二次三项式拆分常数因式、凑一次项系数 2. 了解首项系数不为1的二次三项式十字拆分方法 3. 分组后结合提公因式、公式法完成后续分解 学习重点：熟记平方差、完全平方公式，套用公式分解 学习难点：多项式变形后间接套用乘法公式 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 十字相乘法的基本概念与适用范围 1.核心定义：十字相乘法是因式分解中针对次项式的一种快捷分解方法，本质是逆向运用多项式乘法的(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab展开公式，通过十字交叉线匹配系数，快速将二次多项式分解为两个一次因式的乘积。 2.适用场景：十字相乘法主要适用于两类多项式： 1. 二次项系数为的二次三项式：形如x²+px+q的多项式，这是十字相乘法最基础的应用场景。 2. 二次项系数不为的二次三项式：形如ax²+bx+c（a≠0, a≠1）的整系数多项式，当满足判别式b²-4ac为完全平方数时，可以用十字相乘法分解。 3.判定条件：对于整系数二次三项式，只有当常数项（或二次项系数与常数项）可以拆分出两个数，使得这两个数的乘积等于常数项（或乘积的和等于一次项系数），才能使用十字相乘法完成分解，这是十字相乘法应用的核心前提。 即时即练根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 【方法总结】 1.十字相乘法是拆分二次三项式系数凑因式的分解方法，多用于二次整式因式分解，仅限整系数易拆分式子。 2.拆分首尾常数，十字相乘求和凑中间一次项系数，凑合即可分组写因式。 知识点02 二次项系数为1的十字相乘法 符号规律：拆分常数项时，可根据一次项系数和常数项的符号快速确定拆分方向： 若常数项q为正数，则拆分出的两个因数a、b号，且符号与一次项系数p的符号相同：p为正则a、b均为正，p为负则a、b均为负。 若常数项q为负数，则拆分出的两个因数a、b号，且绝对值较大的因数符号与一次项系数p的符号相同。 即时即练分解因式：_____． 【答案】 【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【方法总结】 对于形如x² + px + q的二次三项式，分解遵循以下步骤： 1.拆分常数项：将常数项q拆分为两个整数a和b的乘积，即q = a × b。 2.验证一次项系数：计算拆分后两个数的和a + b，若和恰好等于一次项系数p，即a + b = p，则拆分有效。 3.写出分解结果：x² + px + q = (x + a)(x + b)。 知识点03 二次项系数不为1的十字相乘法 对于形如ax² + bx + c（a≠1且a≠0）的二次三项式，分解流程如下： 1.拆分二次项系数：将二次项系数a拆分为两个整数因数的，即a = m × n，分别写在十字交叉线的左上角和左下角。 2.拆分常数项：将常数项c拆分为两个整数因数的，即c = p × q，分别写在十字交叉线的右上角和右下角。 3.交叉验证：计算交叉乘积的和m×q + n×p，若和恰好等于一次项系数b，则拆分有效；若不相等，调整拆分方式重新验证。 4.写出分解结果：ax² + bx + c = (mx + p)(nx + q)。 即时即练分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，掌握相关知识是解题关键． 使用十字相乘法分解二次三项式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【方法总结】 1.拆分过程中需要考虑二次项系数和常数项的所有因数组合，对于因数较多的数字，需要逐一尝试才能找到正确拆分。 2.符号规则和二次项系数为1的情况一致，需要结合一次项系数的符号调整拆分因数的正负。 3.首项系数为负数时，通常先提取负号将二次项系数变为正数，再进行十字相乘分解，简化计算过程。 知识点04 分组分解法的核心原理与适用类型 1. 核心定义：分组分解法是当多项式无法直接提取、也无法直接套用或分解时，将多项式按特定规律分成若干组，分组后分别对每组进行分解，再通过组间提取公因式或套用公式完成整体因式分解的方法。 2.本质逻辑：分组分解法的核心是「分组后能继续分解」，即分组后每组内部可以提取，且组与组之间又有新的公因式可以提取，或者分组后可以构成、完全平方等特殊公式。 即时即练分解因式：______． 【答案】 【分析】先将前三项分为一组，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可得到最终结果． 【详解】原式 ． 【方法总结】 常见适用场景： 1.四项或四项以上的多项式，是分组分解法最主要的应用对象； 2.含有四个项的多项式，分为两种基本分组类型：二二分组和一三分组； 3.六项及以上的多项式通常采用「三三分组」「二三一分组」等方式，核心依然是保证分组后可继续分解。 题型1 二次项系数为1的二次三项式十字相乘分解 【例1】分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 【例2】因式分解：． 【答案】 【分析】利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 【技巧归纳】 1. 拆分常数项：将常数项拆分为两个整数的乘积，使得这两个整数的和恰好等于一次项系数。拆分时优先考虑符号，若常数项为正，两个拆分因子同号，且符号与一次项系数一致；若常数项为负，两个拆分因子异号，绝对值大的因子符号与一次项系数一致。2. 验证和值：交叉相乘后相加得到一次项系数即可确定拆分结果。3. 书写格式：最终结果写成两个一次因式乘积的形式。 【变式1-1】因式分解：． 【答案】 【分析】根据“十字相乘法”进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-2】因式分解：． 【答案】 【分析】先利用多项式的乘法展开并整理，再利用十字相乘因式分解即可解答． 【详解】解： ． 题型2 二次项系数不为1的十字相乘分解 【例1】的一个因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．利用十字相乘法分解因式即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴和是的因式． 故选：A． 【例2】因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【技巧归纳】 1. 分两头：将二次项系数拆分为两个正整数的乘积（通常保证两个因子均为正，简化符号判断），写在十字左列；将常数项拆分为两个整数的乘积，写在十字右列。 2.交叉乘加：计算交叉相乘的和，若结果等于一次项系数则拆分成功，否则调整拆分的因子。3. 符号处理：若二次项系数为负，先提取负号将二次项系数化为正，再进行拆分。 交叉相乘 ， 交叉相乘 ，和为则分解结果为。 【变式1-1】小明把多项式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 【答案】D 【分析】此题考查了多项式的因式分解，设，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出的值及的值． 【详解】解：设， ∴ ∴ ∴， 故选：D 【变式1-2】已知二次三项式（k为常数）有一个因式是，则另一个因式为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键． 利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得， ∴另一个因式为． 故答案为：． 题型3 十字相乘法求参数 【例1】若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 【例2】若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 【技巧归纳】 先把二次项、常数项拆成两组因数十字配对，利用交叉相乘相加等于一次项系数列等式求参数；遇到多解、正负拆分不确定时分类讨论，算出数值后代回原式验算，排除不合理解。 【变式1-1】多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 【变式1-2】若可因式分解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解和多项式的乘法互为逆运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项系数，即可求出的值． 【详解】， 又可因式分解为， ． ． 故选：C． 题型4 分组法分解因式 【例1】把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，先分组，再提取公因式即可. 【详解】解： ； 故选A 【例2】用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查分组分解法分解因式，分组后都可运用公式，熟练掌握分组分解法分解因式是解答本题的关键． 将分为一组，再观察剩下的式子，即． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【技巧归纳】 1. 观察分组：将四项多项式按照“前两项一组、后两项一组”，或“第一项、第四项一组，第二项、第三项分组”，保证分组后每组都有公因式可提取。 2. 组内提公因式：每组分别提取公因式，得到两个整式。 3. 组间提公因式：若提取公因式后剩余的部分完全相同，将这个相同的整体提取出来，即可完成分解。若剩余部分不同，调整分组方式重新尝试。 【变式1-1】已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 【变式1-2】把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，理解题意：把多项式先分组，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴把多项式先分组，得 故选：C 题型5 十字相乘与分组分解结合型多项式分解 【例1】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组，再提公因式，进而利用十字相乘法和平方差公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【例2】分解因式：____． 【答案】 【分析】先用十字相乘法对进行因式分解，用提公因式法对因式分解，再将分解为，最后将整体利用十字相乘法因式分解，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 【点睛】掌握因式分解十字相乘法对于型的式子如果能分解为两个数，的积，且有时(即与和是一次项的系数)，那么,这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 【技巧归纳】 1. 先分组再十字：若多项式为二次六项式（形如 ），先对二次项部分用十字相乘法分解，得到两个一次因式，再将常数项拆分为两个数，分别写入两个一次因式后，再次交叉验证一次项系数，若符合则分解完成；也可以先分组整理，将含相同公因式的项分为一组，分组后再用十字相乘分解。 2. 先十字再分组：对于可以先拆分出公因式或拆分出二次项的多项式，先用十字相乘拆分，拆分后再分组提取公因式。核心思路是分步处理，先简化多项式结构，再逐步分解。 【变式1-1】多项式可分解为______． 【答案】 【分析】根据分解因式的方法，先把变成，再根据提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】解析：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法和十字相乘法，解决此题的关键是要想到把分开用． 【变式1-2】分解因式： ___________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 本题利用分组分解法，十字相乘法和提公因式法进行因式分解即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 1．将分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，即，熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故选A． 2．下列由左边到右边的式子变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选；D． 3．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了利用十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘法是解题关键．根据题意得出常数项20需分解成两个整数的乘积，再根据十字相乘法可得所有可能的值，由此即可得． 【详解】解：∵能在有理数的范围内因式分解，且要使得m为整数， ∴常数项20需分解成两个整数的乘积，即，，，，，， ∴，，，，，， ∴，，，，，， 综上，整数的值有2个， 故选：B． 4．多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键． 先对多项式进行因式分解，求出a和b的值，再计算，最后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， ∴， 故选B． 5．将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法，准确的计算是解决本题的关键． 根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选C． 6．下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式． 通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式． 【详解】 由此可知是的因式，而都不是它的因式． 故选：C． 7．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 8．是多项式__________因式分解后的结果． 【答案】 【详解】解：∵， ∴是多项式因式分解后的结果． 9．分解因式______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 10．因式分解： _________ ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 11．分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ． 12．因式分解：________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．直接将原式重新分组进而利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： . 故答案为 13．已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】先把所要求值的代数式用分组分解法分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：原式， ∵，， ∴原式． 14．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先分组，再由平方差公式分解． 【详解】解： ． 15．因式分解：． 【答案】 【分析】先把看成一个整体，接着展开，然后利用“十字相乘法”进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 16．因式分解：． 【答案】 【分析】使用分组分解法求解，先将原式拆分重组，然后用十字相乘法和提公因式法分别分解后，再提取整体公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 十字相乘法与分组分解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次项系数为1的二次三项式十字相乘分解 题型2 二次项系数不为1的十字相乘分解 题型3 十字相乘法求参数 题型4 分组法分解因式 题型5 十字相乘与分组分解结合型多项式分解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 首项系数为1、首项系数不为1、拆常数、凑一次项系数、分组提公因式、分组套公式 1. 掌握首项系数为1的二次三项式拆分常数因式、凑一次项系数 2. 了解首项系数不为1的二次三项式十字拆分方法 3. 分组后结合提公因式、公式法完成后续分解 学习重点：熟记平方差、完全平方公式，套用公式分解 学习难点：多项式变形后间接套用乘法公式 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 十字相乘法的基本概念与适用范围 1.核心定义：十字相乘法是因式分解中针对次项式的一种快捷分解方法，本质是逆向运用多项式乘法的(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab展开公式，通过十字交叉线匹配系数，快速将二次多项式分解为两个一次因式的乘积。 2.适用场景：十字相乘法主要适用于两类多项式： 1. 二次项系数为的二次三项式：形如x²+px+q的多项式，这是十字相乘法最基础的应用场景。 2. 二次项系数不为的二次三项式：形如ax²+bx+c（a≠0, a≠1）的整系数多项式，当满足判别式b²-4ac为完全平方数时，可以用十字相乘法分解。 3.判定条件：对于整系数二次三项式，只有当常数项（或二次项系数与常数项）可以拆分出两个数，使得这两个数的乘积等于常数项（或乘积的和等于一次项系数），才能使用十字相乘法完成分解，这是十字相乘法应用的核心前提。 即时即练根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【方法总结】 1.十字相乘法是拆分二次三项式系数凑因式的分解方法，多用于二次整式因式分解，仅限整系数易拆分式子。 2.拆分首尾常数，十字相乘求和凑中间一次项系数，凑合即可分组写因式。 知识点02 二次项系数为1的十字相乘法 符号规律：拆分常数项时，可根据一次项系数和常数项的符号快速确定拆分方向： 若常数项q为正数，则拆分出的两个因数a、b号，且符号与一次项系数p的符号相同：p为正则a、b均为正，p为负则a、b均为负。 若常数项q为负数，则拆分出的两个因数a、b号，且绝对值较大的因数符号与一次项系数p的符号相同。 即时即练分解因式：_____． 【方法总结】 对于形如x² + px + q的二次三项式，分解遵循以下步骤： 1.拆分常数项：将常数项q拆分为两个整数a和b的乘积，即q = a × b。 2.验证一次项系数：计算拆分后两个数的和a + b，若和恰好等于一次项系数p，即a + b = p，则拆分有效。 3.写出分解结果：x² + px + q = (x + a)(x + b)。 知识点03 二次项系数不为1的十字相乘法 对于形如ax² + bx + c（a≠1且a≠0）的二次三项式，分解流程如下： 1.拆分二次项系数：将二次项系数a拆分为两个整数因数的，即a = m × n，分别写在十字交叉线的左上角和左下角。 2.拆分常数项：将常数项c拆分为两个整数因数的，即c = p × q，分别写在十字交叉线的右上角和右下角。 3.交叉验证：计算交叉乘积的和m×q + n×p，若和恰好等于一次项系数b，则拆分有效；若不相等，调整拆分方式重新验证。 4.写出分解结果：ax² + bx + c = (mx + p)(nx + q)。 即时即练分解因式：________． 【方法总结】 1.拆分过程中需要考虑二次项系数和常数项的所有因数组合，对于因数较多的数字，需要逐一尝试才能找到正确拆分。 2.符号规则和二次项系数为1的情况一致，需要结合一次项系数的符号调整拆分因数的正负。 3.首项系数为负数时，通常先提取负号将二次项系数变为正数，再进行十字相乘分解，简化计算过程。 知识点04 分组分解法的核心原理与适用类型 1. 核心定义：分组分解法是当多项式无法直接提取、也无法直接套用或分解时，将多项式按特定规律分成若干组，分组后分别对每组进行分解，再通过组间提取公因式或套用公式完成整体因式分解的方法。 2.本质逻辑：分组分解法的核心是「分组后能继续分解」，即分组后每组内部可以提取，且组与组之间又有新的公因式可以提取，或者分组后可以构成、完全平方等特殊公式。 即时即练分解因式：______． 【方法总结】 常见适用场景： 1.四项或四项以上的多项式，是分组分解法最主要的应用对象； 2.含有四个项的多项式，分为两种基本分组类型：二二分组和一三分组； 3.六项及以上的多项式通常采用「三三分组」「二三一分组」等方式，核心依然是保证分组后可继续分解。 题型1 二次项系数为1的二次三项式十字相乘分解 【例1】分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】因式分解：． 【技巧归纳】 1. 拆分常数项：将常数项拆分为两个整数的乘积，使得这两个整数的和恰好等于一次项系数。拆分时优先考虑符号，若常数项为正，两个拆分因子同号，且符号与一次项系数一致；若常数项为负，两个拆分因子异号，绝对值大的因子符号与一次项系数一致。2. 验证和值：交叉相乘后相加得到一次项系数即可确定拆分结果。3. 书写格式：最终结果写成两个一次因式乘积的形式。 【变式1-1】因式分解：． 【变式1-2】因式分解：． 题型2 二次项系数不为1的十字相乘分解 【例1】的一个因式是（   ） A． B． C． D． 【例2】因式分解：___________． 【技巧归纳】 1. 分两头：将二次项系数拆分为两个正整数的乘积（通常保证两个因子均为正，简化符号判断），写在十字左列；将常数项拆分为两个整数的乘积，写在十字右列。 2.交叉乘加：计算交叉相乘的和，若结果等于一次项系数则拆分成功，否则调整拆分的因子。3. 符号处理：若二次项系数为负，先提取负号将二次项系数化为正，再进行拆分。 交叉相乘 ， 交叉相乘 ，和为则分解结果为。 【变式1-1】小明把多项式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 【变式1-2】已知二次三项式（k为常数）有一个因式是，则另一个因式为__________． 题型3 十字相乘法求参数 【例1】若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【技巧归纳】 先把二次项、常数项拆成两组因数十字配对，利用交叉相乘相加等于一次项系数列等式求参数；遇到多解、正负拆分不确定时分类讨论，算出数值后代回原式验算，排除不合理解。 【变式1-1】多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若可因式分解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C． D． 题型4 分组法分解因式 【例1】把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 观察分组：将四项多项式按照“前两项一组、后两项一组”，或“第一项、第四项一组，第二项、第三项分组”，保证分组后每组都有公因式可提取。 2. 组内提公因式：每组分别提取公因式，得到两个整式。 3. 组间提公因式：若提取公因式后剩余的部分完全相同，将这个相同的整体提取出来，即可完成分解。若剩余部分不同，调整分组方式重新尝试。 【变式1-1】已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【变式1-2】把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 题型5 十字相乘与分组分解结合型多项式分解 【例1】因式分解：______． 【例2】分解因式：____． 【技巧归纳】 1. 先分组再十字：若多项式为二次六项式（形如 ），先对二次项部分用十字相乘法分解，得到两个一次因式，再将常数项拆分为两个数，分别写入两个一次因式后，再次交叉验证一次项系数，若符合则分解完成；也可以先分组整理，将含相同公因式的项分为一组，分组后再用十字相乘分解。 2. 先十字再分组：对于可以先拆分出公因式或拆分出二次项的多项式，先用十字相乘拆分，拆分后再分组提取公因式。核心思路是分步处理，先简化多项式结构，再逐步分解。 【变式1-1】多项式可分解为______． 【变式1-2】分解因式： ___________． 1．将分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列由左边到右边的式子变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 4．多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2025 5．将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 6．下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 7．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 8．是多项式__________因式分解后的结果． 9．分解因式______． 10．因式分解： _________ ． 11．分解因式：___________． 12．因式分解：________． 13．已知，，求代数式的值． 14．因式分解： 15．因式分解：． 16．因式分解：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $