第01讲 多项式的因式分解与提公因式法（暑假预习讲义）新八年级数学新教材湘教版

第01讲 多项式的因式分解与提公因式法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型3 找多项式的公因式 题型4 用提公因式法分解因式 题型5 利用提公因式法求值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 整式乘积、恒等变形、分解彻底、最大公因数、相同字母最低次幂、整体公因式、首项为负提负号、剩余因式 1. 能辨析因式分解定义，区分因式分解与整式乘法的互逆关系 2. 牢记因式分解要求：结果必须是整式乘积形式、分解彻底不能再拆分 3. 会从系数、字母、多项式三方面确定各项公因式 4. 熟练提取单项式、多项式公因式，掌握首项为负时整体提负变号规则 5. 规范书写提取公因式后的剩余因式，不漏项、不多余括号 学习重点：1. 因式分解概念，分清与整式乘法的区别。2. 确定公因式，熟练运用提公因式法（含整体因式、提负变号） 学习难点：多项式整体为公因式、底数互为相反数的符号变形 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 因式分解的概念 1. 定义：把一个___________化成几个___________的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式___________，也叫作把这个多项式___________。 2. 关键判断要点：结果必须是___________形式，不能是和的形式；每个因式都必须是__________，不能出现分式；分解要彻底，直到每个因式都不能再__________为止。 即时即练下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念，因式分解的定义是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A． 是整式乘法，从乘积变形为多项式，不符合因式分解定义，故此选项错误，不符合题意； B． ，结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合定义，故此选项错误，不符合题意； C． ，等号右侧的式子中含有分式，不是整式，不符合定义，故此选项错误，不符合题意； D． ，把多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解的定义，故此选项正确，符合题意． 【方法总结】 判断一个变形是不是因式分解，只需要抓住两个核心要点：第一，变形前是多项式，变形后是几个整式的乘积；第二，变形前后等式恒成立。只要满足这两个条件就是因式分解，否则就不是。 知识点02 公因式的概念 1. 定义：一个多项式各项都含有的___________，叫作这个多项式各项的公因式。 2. 公因式的构成： 系数部分：多项式各项系数的___________； 字母部分：多项式各项都含有的相同___________； 指数部分：相同字母的___________次幂 即时即练多项式的公因式是_______． 【答案】 【分析】根据确定公因式的方法，依次确定系数的最大公约数，相同字母，相同字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的公因式是． 【方法总结】 找公因式可以按照“先找系数最大公约数，再找相同字母，最后确定最低次幂”的三步法进行，注意不要漏掉系数的符号，如果多项式首项是负号，一般把负号也作为公因式的一部分提出来。 知识点03 提公因式法的定义与原理 1. 定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么我们就可以把这个___________提出来，从而将多项式化成___________的形式，这种分解因式的方法叫作___________。 2. 基本原理：提公因式法本质上是___________的逆用，即： 其中___________就是多项式ab+ac各项的公因式，把a提出来后，多项式就分解成___________和___________两个因式的乘积。 即时即练分解因式：_____． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可得出结果． 【详解】解：． 【方法总结】 提公因式法是因式分解最基础、最优先使用的方法，不管用什么方法分解因式，第一步都要先观察多项式有没有公因式，只要有公因式必须先提出来，再考虑下一步分解。提公因式完成后，一定要检查括号里的多项式还能不能继续分解，同时要检查提公因式后括号里的项数和原多项式的项数是否一致，避免出现漏项的错误。 知识点04 提公因式法的操作步骤 步骤分解：找__________，按照系数、字母、指数的顺序，找出多项式所有项的公共因式；将公因式提到括号外面，用原多项式的每一项__________公因式，得到的商就是括号内的因式； 检查括号内是否还能__________，检查分解结果是否和原多项式__________，确认结果正确。 即时即练对分解因式 找公因式，系数6和12的最大公约数是（ ），相同字母是x、y，x的最低次是（ ），y的最低次是（ ），所以公因式是（ ）； 提公因式，原式（ ）； 检查，括号内( )没有公因式，也不能用其他方法继续分解，结果正确。 【答案】6 2 1 xy - 2 【方法总结】 如果多项式某一项全部被提出来，括号内要保留1，不能写成0；如果多项式首项系数是负数，提公因式时一般提出负号，并且括号内各项都要变号；如果公因式是多项式形式，要整体提出。 题型1 判断是否是因式分解 【例1】下列由左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，是整式乘法运算，结果是和的形式，不属于因式分解； 选项B，，变形错误，不属于因式分解； 选项C，的结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解； 选项D，，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 【例2】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解的定义为：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，从整式乘积得到多项式，不符合因式分解定义． 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解要求． 选项C中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义． 选项D中，等式右边是是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义． 【技巧归纳】 1. 因式分解结果必须是整式乘积形式，不能留有加减运算。 2. 分解要彻底、分到不能再拆，左右恒等才符合定义。 【变式1-1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 【变式1-2】下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 【答案】②③． 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意； ②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意； 即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 题型2 已知因式分解的结果求参数 【例1】若，则常数________． 【答案】 【分析】先计算，再比较即可求解． 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴． 【例2】若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 【技巧归纳】 1. 整式恒等法：把因式乘积展开，和原式对应项系数相等，列方程求参数。 2. 特殊值法：因式为0的根代入原式，原式值为0，快速列式算参。 【变式1-1】已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 4．的系数可得． 故答案为：． 【变式1-2】已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 题型3 找多项式的公因式 【例1】与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 【例2】多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者相乘得到公因式即可解题． 【详解】解：多项式各项的公因式是． 【技巧归纳】 找公因式需要同时满足三个条件：1.系数取各项系数的最大公约数；2.相同字母取各项都含有的字母；3.相同字母的指数取次数最低的。不要漏找系数的公约数，也不要误把只在部分项中出现的字母当成公因式的组成部分。 【变式1-1】下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、没有公因式，此项错误； B、的公因式是，此项错误； C、的公因式是，此项错误； D、的公因式是，此项正确． 【变式1-2】多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 题型4 用提公因式法分解因式 【例1】因式分解：________． 【答案】 【分析】确定多项式各项的公因式后，提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 【例2】分解因式：______． 【答案】 【详解】解： 【技巧归纳】 1. 提公因式后，如果某一项全部提出，剩余的系数是1不是0，不要漏掉这一项； 2. 如果多项式的首项系数为负，一般要先提出负号，使括号内首项系数为正，提出负号后注意括号内各项都要变号 3.公因式可以是单项式也可以是多项式，遇到多项式整体作为公因式时，要整体提出不要拆分。 【变式1-1】因式分解：________． 【答案】 【分析】先找出多项式各项的公因式，再利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 【变式1-2】因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，提取公因式即可完成因式分解 【详解】解： 题型5 利用提公因式法求值 【例1】若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 【答案】B 【分析】本题考查提公因式因式分解和代数式整体代入求值，先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 又， 代入得 因此原式的值为 【例2】若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【技巧归纳】 此类问题不要直接求解未知数的值，先通过提公因式将多项式变形，再整体代入已知条件计算，整体代入法是此类题的核心方法，不要强行解方程增加计算量 【变式1-1】如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 【变式1-2】先分解因式，然后计算求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 当，时，原式 1．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】解：、选项中是整式乘法运算，结果是和的形式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项中左边是单项式，不是多项式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项等式右边不是积的形式，是差的形式，不是因式分解，故不符合题意； 、选项中，将多项式化为两个整式的积，是因式分解，符合题意． 2．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解； 对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义； 对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解． 3．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 4．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 5．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照确定公因式的方法，先求各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 6．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 当，时， ． 7．下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用提取公因式法对原式分解因式，根据分解结果得到原式的因数，即可选出不能整除原式的选项． 【详解】解：， 因此不能被整除， 故选：D． 8．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 【答案】6 【分析】先设另一个因式为，根据多项式乘法展开后与二次三项式对应系数相等，从而求解出n的值． 【详解】解：设二次三项式 的另一个因式为， ， 所以有，，， 解得，． 9．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 10．在多项式中，各项的公因式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键，根据公因式的定义即可得到结果． 【详解】解：多项式 的每一项都含有因式，且的最低次数为， 各项的公因式是． 11．因式分解： _______． 【答案】 【详解】解：. 12．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 13．如果，，求的值． 【答案】 【分析】将用提公因式法因式分解为，再代数求值即可． 【详解】解：，， ． 14．先因式分解，再计算求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先利用互为相反数的平方相等变形，提取公因式完成因式分解，再代入、的值计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得， 原式． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 多项式的因式分解与提公因式法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型3 找多项式的公因式 题型4 用提公因式法分解因式 题型5 利用提公因式法求值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 整式乘积、恒等变形、分解彻底、最大公因数、相同字母最低次幂、整体公因式、首项为负提负号、剩余因式 1. 能辨析因式分解定义，区分因式分解与整式乘法的互逆关系 2. 牢记因式分解要求：结果必须是整式乘积形式、分解彻底不能再拆分 3. 会从系数、字母、多项式三方面确定各项公因式 4. 熟练提取单项式、多项式公因式，掌握首项为负时整体提负变号规则 5. 规范书写提取公因式后的剩余因式，不漏项、不多余括号 学习重点：1. 因式分解概念，分清与整式乘法的区别。2. 确定公因式，熟练运用提公因式法（含整体因式、提负变号） 学习难点：多项式整体为公因式、底数互为相反数的符号变形 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 因式分解的概念 1. 定义：把一个___________化成几个___________的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式___________，也叫作把这个多项式___________。 2. 关键判断要点：结果必须是___________形式，不能是和的形式；每个因式都必须是__________，不能出现分式；分解要彻底，直到每个因式都不能再__________为止。 即时即练下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【方法总结】 判断一个变形是不是因式分解，只需要抓住两个核心要点：第一，变形前是多项式，变形后是几个整式的乘积；第二，变形前后等式恒成立。只要满足这两个条件就是因式分解，否则就不是。 知识点02 公因式的概念 1. 定义：一个多项式各项都含有的___________，叫作这个多项式各项的公因式。 2. 公因式的构成： 系数部分：多项式各项系数的___________； 字母部分：多项式各项都含有的相同___________； 指数部分：相同字母的___________次幂 即时即练多项式的公因式是_______． 【方法总结】 找公因式可以按照“先找系数最大公约数，再找相同字母，最后确定最低次幂”的三步法进行，注意不要漏掉系数的符号，如果多项式首项是负号，一般把负号也作为公因式的一部分提出来。 知识点03 提公因式法的定义与原理 1. 定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么我们就可以把这个___________提出来，从而将多项式化成___________的形式，这种分解因式的方法叫作___________。 2. 基本原理：提公因式法本质上是___________的逆用，即： 其中___________就是多项式ab+ac各项的公因式，把a提出来后，多项式就分解成___________和___________两个因式的乘积。 即时即练分解因式：_____． 【方法总结】 提公因式法是因式分解最基础、最优先使用的方法，不管用什么方法分解因式，第一步都要先观察多项式有没有公因式，只要有公因式必须先提出来，再考虑下一步分解。提公因式完成后，一定要检查括号里的多项式还能不能继续分解，同时要检查提公因式后括号里的项数和原多项式的项数是否一致，避免出现漏项的错误。 知识点04 提公因式法的操作步骤 步骤分解：找__________，按照系数、字母、指数的顺序，找出多项式所有项的公共因式；将公因式提到括号外面，用原多项式的每一项__________公因式，得到的商就是括号内的因式； 检查括号内是否还能__________，检查分解结果是否和原多项式__________，确认结果正确。 即时即练对分解因式 找公因式，系数6和12的最大公约数是（ ），相同字母是x、y，x的最低次是（ ），y的最低次是（ ），所以公因式是（ ）； 提公因式，原式（ ）； 检查，括号内( )没有公因式，也不能用其他方法继续分解，结果正确。 【方法总结】 如果多项式某一项全部被提出来，括号内要保留1，不能写成0；如果多项式首项系数是负数，提公因式时一般提出负号，并且括号内各项都要变号；如果公因式是多项式形式，要整体提出。 题型1 判断是否是因式分解 【例1】下列由左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【例2】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． 【技巧归纳】 1. 因式分解结果必须是整式乘积形式，不能留有加减运算。 2. 分解要彻底、分到不能再拆，左右恒等才符合定义。 【变式1-1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【变式1-2】下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 题型2 已知因式分解的结果求参数 【例1】若，则常数________． 【例2】若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【技巧归纳】 1. 整式恒等法：把因式乘积展开，和原式对应项系数相等，列方程求参数。 2. 特殊值法：因式为0的根代入原式，原式值为0，快速列式算参。 【变式1-1】已知整式分解因式的结果为，则______． 【变式1-2】已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 题型3 找多项式的公因式 【例1】与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【例2】多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 找公因式需要同时满足三个条件：1.系数取各项系数的最大公约数；2.相同字母取各项都含有的字母；3.相同字母的指数取次数最低的。不要漏找系数的公约数，也不要误把只在部分项中出现的字母当成公因式的组成部分。 【变式1-1】下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 题型4 用提公因式法分解因式 【例1】因式分解：________． 【例2】分解因式：______． 【技巧归纳】 1. 提公因式后，如果某一项全部提出，剩余的系数是1不是0，不要漏掉这一项； 2. 如果多项式的首项系数为负，一般要先提出负号，使括号内首项系数为正，提出负号后注意括号内各项都要变号 3.公因式可以是单项式也可以是多项式，遇到多项式整体作为公因式时，要整体提出不要拆分。 【变式1-1】因式分解：________． 【变式1-2】因式分解：____． 题型5 利用提公因式法求值 【例1】若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 【例2】若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【技巧归纳】 此类问题不要直接求解未知数的值，先通过提公因式将多项式变形，再整体代入已知条件计算，整体代入法是此类题的核心方法，不要强行解方程增加计算量 【变式1-1】如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】先分解因式，然后计算求值：，其中，． 1．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 4．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 5．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 6．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 7．下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 8．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 9．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 10．在多项式中，各项的公因式是______． 11．因式分解： _______． 12．分解因式： (1)； (2)． 13．如果，，求的值． 14．先因式分解，再计算求值：，其中，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $