1.4 第1课时 正方形的性质（课件）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质，课堂导入通过图形关系展示平行四边形经“一个角是直角”“一组邻边相等”分别得到矩形、菱形，再共同指向正方形，结合定义建立知识支架，串联前后知识点。 其亮点在于以“议一议”引导学生观察正方形与矩形、菱形的联系，培养几何直观，“证一证”通过逻辑推理证明边、角、对角线性质，发展推理能力，例题及变式题让学生用数学语言表达证明过程，提升应用意识。当堂小结与课堂练习帮助学生系统掌握性质，教师可高效开展教学，学生能深化对特殊平行四边形的理解。

1.4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 第一章 特殊平行四边形 九年级上册数学（北师版） 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 一个角是直角 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形定义： 复习回顾 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 总结 议一议 正方形的性质 1 探究新知 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. (1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证一证 (2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 归纳总结 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形的性质 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： ①∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC，∠BCE = 90°， ∴∠DCF = 180° -∠BCE =180° - 90° = 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵ CE = CF， A B D C F E ∴ △BCE≌△DCF (SAS). ∴ BE = DF. A B D F E ② 延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF = 90°， ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°，∴ BE⊥DF. 综和①②可知，BE = DF，且 BE⊥DF. C M 【变式题】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小． 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况． 【尝试·交流】 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (1) 在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。 条件：另外两个顶点在正方形对角线 BD 上，且关于AC 对称(或到 AC 与 BD 交点的距离相等)。 理由：菱形对角线互相垂直平分，正方形中 BD⊥AC 且互相平分，满足菱形性质。 A B C D O E F (2) 在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点 E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边 AB，BC，CD，AD上，则矩形 EFGH 的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。 A B C D O 条件：AE＝CG、AH＝CF (或邻边互相垂直)。 理由：可证 EFGH 是平行四边形且有直角，符合矩形定义。 E F G H 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 当堂小结 2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是（　） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 A 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 课堂练习 3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °. 4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 . A D B C O A D B C O E 45 90 22.5° 第3题图 第4题图 45 5. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长． 解：∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC. ∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE. ∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE. 在 Rt△ABC 中， ∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm． $