专题05 相交线、平行线与平移（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材沪科版

专题05 相交线、平行线与平移（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角、邻补角角度计算 题型02 垂直定义求角度 题型03 垂线性质辨析 题型04 三线八角识别 题型05 利用同位角相等证平行 题型06 利用内错角相等证平行 题型07 利用同旁内角互补证平行 题型08 垂直于同一直线两直线平行 题型09 平行线的传递性 题型10 已知平行，求同位、内错角度数 题型11 已知平行，利用同旁内角求角度 题型12 平行线 + 角平分线综合 题型13 平行线+垂直组合求角度 题型14 平行线判定+性质混合求解 题型15 利用平行线的判定与性质进行证明 题型16 平移概念与性质判断 题型17 网格中绘制平移后的图形 题型18 平移求线段长、图形周长 题型19 平移求阴影面积（割补思路） 题型20 平移实际应用（铺路、地毯、围栏长度） 题型21 拐点问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 邻补角定义与性质 ①能精准识别邻补角；②熟记邻补角和为，会利用角度列式计算；③区分邻补角与普通互补角。 期末必考选择、填空题，常结合对顶角综合求角度，分值 3 分，易错点：误认为互补就是邻补角。 对顶角定义与性质 ①能从两条直线相交图形中找出所有对顶角；②直接套用 “对顶角相等” 进行单步角度计算；③结合邻补角进行混合列式求值。 全章最基础必考考点，选择题 1 道或填空 1 空，期末卷开篇基础题，极少单独出大题，常作为几何计算题的基础条件。 垂线的定义 ①掌握：夹角两直线垂直；②由垂直写，由证垂直；③规范几何书写格式。 穿插在角度计算题、平行线证明题中作为已知条件，期末解答题高频条件，不单独命题。 垂线第一条公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 理解公理文字含义，能辨析 “一点” 含直线上、直线外两种位置，判断正误选择题 选择题正误辨析必考，选项常挖坑：去掉 “有且只有”、遗漏 “同一平面内”。 垂线段公理：垂线段最短 ①识记公理；②解决实际应用题（修路、引水最短路径）；③区分垂线段、垂线、线段长度三个概念。 期末填空、选择题必考生活情境题，期末常结合乡村修路、引水出题。 点到直线的距离概念 牢记：点到直线的距离 = 垂线段的长度（数值）≠垂线段（图形），辨析概念判断题。 概念辨析高频错题，选择题陷阱选项：把垂线段当成距离。 三线八角识别：同位角、内错角、同旁内角 掌握同位角 “F 型” 构图特征，从复杂三线、多线相交图中精准找出同位角。内错角（Z 型）、同旁内角（U 型）构图熟记；能在折线、多条截线图形中分类找三类角。 选择识图题必考，常混合同位角、内错角、同旁内角一起辨析。 平行线定义与同一平面内两直线位置关系 ①同一平面：两直线只有相交、平行，无第三种；②不在同一平面异面不考；③熟记：平行无交点、相交 1 个交点。 概念辨析选择题，易错：认为不相交就平行（忽略同一平面）。 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 抠字眼：直线外一点，直线上的点无法作已知直线平行线；辨析命题对错。 正误判断选择题高频考点，挖坑：去掉 “直线外” 限定词。 平行公理推论（平行传递性）： 会用传递性进行多直线平行推导，几何书写规范。 几何证明题中间推导步骤，填空、证明题常用。 平行线判定 1：同位角相等，两直线平行 由同位角相等→证平行，熟练识图找同位角，书写证明步骤。 期末几何证明三大判定之首，解答证明必用。 平行线判定 2：内错角相等，两直线平行 内错角等量代换后证平行，结合对顶角、邻补角转换角度。 证明题最常用判定条件，期末大题第一问高频。 平行线判定 3：同旁内角互补，两直线平行 利用互补关系推导平行，结合邻补角进行角度转化。 压轴小证明高频考点，常结合方程设未知数求角度再证平行。 平行线性质 掌握平行线的三条基本性质；理解判断与性质的区别：判定：角→平行；性质：平行→角（本章头号易错点）；平行条件下快速换算角度；判定 + 性质混合综合证明。 本章期末核心：几何解答大题必考判定 + 性质综合；填空选择大量角度计算题，全章分值占比 40% 左右；贵州期末常结合折叠、拐角模型出题。 平移的定义 掌握平移的定义；会区别与其它运动现象； 选择题识图，如电梯、推拉窗、车轮转动辨析。 平移性质 掌握平移的性质，会利用平移的性质解决简单的问题；挖掘平移前后图形的关系（全等），最终利用全等关系解决问题。 填空求周长高频，平移后阴影周长计算是期末热门题型；平移 + 平行线综合小题，常嵌套三线八角。 方格纸中图形平移作图 ①定点平移（顶点平移）；②分上下左右平移，分步画图；③写出平移方向与格数。 期末作图题必考，属于常规题型。 平移实际应用（阴影面积割补法） 利用平移拼接不规则阴影，转化为规则长方形 、 正方形求面积。 填空压轴小计算，割补法是平移最高考法。 平行线拐角模型（铅笔头、猪蹄模型） 熟记两类模型角度结论，会过拐点作平行线辅助线推导。 期末填空压轴、解答最后一问，高频拔高。 折叠 + 平行线综合 折叠→角相等 + 平行性质等量代换求角度。 属于高频压轴小题。 知识点01 相交线、两条直线相交 在同一平面内，两条直线有唯一公共点，称两直线相交，公共点叫交点。 ·示例：直线 AB 与 CD 交于点 O，形成 4 个小于平角的角。 ·易错点：相交的两直线前提是同一平面内。 知识点02 邻补角 两条直线相交形成，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；邻补角互补，。 示例：两线相交，与互为邻补角，若，则。 易错点：互补的角不一定是邻补角（无公共边、不共顶点只相加不算邻补角）。 知识点03 对顶角 两直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角；对顶角相等。 示例：AB、CD 交于 O，与是对顶角，，。 易错点：相等的角不一定是对顶角；多条直线相交找对顶角容易漏数。 知识点04 垂直的定义 两条直线相交夹角等于，两直线互相垂直，交点叫垂足；两线垂直。 示例：于 O，则。 易错点：垂直是相交的特殊情况，不能说 “相交就是垂直”。 知识点05 垂线公理 同一平面内，过直线\（线上、线外）一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 示例：过直线l外一点P，只能画出1条直线垂直于l。 易错点：缺少“同一平面内” 结论不成立；去掉“有且只有”表述错误。 知识点06 垂线段公理 定义：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 示例：从村庄向河道引水，沿垂线段挖水渠路程最短。 易错点：垂线是直线，垂线段是线段，二者概念不能混用。 知识点07 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是数值，不是线段）。 示例：，，则点 P 到直线 l 距离为。 易错点：把垂线段图形当成距离，距离必须带长度、单位。 知识点08 两条直线位置关系（同一平面） 同一平面内，不重合的两条直线只有两种：相交、平行。 示例：黑板左右边框平行，相邻边框相交。 易错点：忽略 “同一平面、不重合”，误认为不相交就是平行。 知识点09 同位角 两条直线被第三条直线所截，在截线同侧、被截两线同方位，形如 “F 型”。 示例：直线 a、b 被 c 所截，∠1与∠3两个角为一组同位角。 易错点：图形变形（倾斜、折线）后看不出 F 结构，误判不是同位角。 知识点10 内错角 两线被第三线所截，在截线两侧、夹在两条被截线中间，形如 “Z 型”。 示例：Z字拐角处一组对角是内错角，如∠2与∠3为一组内错角。 易错点：两角不在两被截线内部，不是内错角。 知识点11 同旁内角 两线被第三线所截，在截线同侧、夹在两被截线中间，形如 “U 型”。 示例：U形内侧两角为同旁内角，如∠2与∠4为同旁内角，两角相加常借助平行得。 易错点：多线条叠加时，找错截线与被截线，混淆三类角。 知识点12 平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 示例：在直线 AB 上的点，无法作 AB 的平行线，只能在外侧找点。 易错点：去掉 “直线外”，在直线上的点不能作已知直线平行线。 知识点13 平行公理推论（平行传递性） 定义：若，则。 示例：，可得。 易错点：在垂直中不能套用，，同一平面，跨平面不成立。 知识点14 平行线判定1：同位角相等，两直线平行 同位角相等两条被截直线平行（由角定平行）。 示例：∠1=∠2，直接判定两条横线平行，即AB//CD。 易错点：搞反逻辑：平行推角相等是性质，不是判定。 知识点15 平行线判定2：内错角相等，两直线平行 内错角相等两直线平行。 示例：∠1=∠2，可证两直线平行，即AB//CD。 易错点：单独两个角相等，但不是内错角，不能判定平行。 知识点16 平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行 同旁内角之和两直线平行。 示例：同旁内角∠1+∠2=180°，可得两直线平行，即AB//CD。 易错点：同旁内角相等不能证平行，必须互补。 知识点17 平行线性质 两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。 示例：，同旁内角互补，已知一个，可求得另一个。 易错点：判定：角→平行；性质：平行→角，做题经常条件结论颠倒。 知识点18 平行线拐角拓展（猪蹄、铅笔模型） 拐点处作已知直线的平行线，拆分大角，利用平行性质算角度。 示例：猪蹄模型：凹角 = 两侧小角之和；铅笔模型：三角度相加。 易错点：忘记过拐点作辅助平行线，直接套用结论导致列式错误。 知识点19 平移定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，图形形状大小不变，只改变位置。 示例：电梯上下、推拉窗户、棋子在棋盘左右移动是平移；车轮旋转、钟表指针不是平移。 易错点：旋转、翻折当成平移。 知识点20 平移性质 平移前后图形全等，对应角相等、对应边相等；对应线段平行（或在同一直线上）且相等；连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等，线段长度 = 平移距离。 示例：△ABC 向右平移得到△A'B'C'，；长方形平移后上下对应长边平行相等；A 平移到 A'，线段长度就是平移距离。 易错点：误以为平移后图形边长、角度发生变化；重合在一条直线的对应线段，误认为不平行；把图形整体移动的路程、斜边长度当成平移距离（平移距离是垂直 、 水平格数）。 知识点21 方格纸平移作图 把图形各个顶点按指定方向、格数平移，顺次连接各新顶点。 示例：三角形先右移3格，再下移2格，逐个移动三个顶点。 易错点：只平移部分顶点，整体图形移位错误；方向写反。 知识点22 平移割补求面积 不规则阴影通过平移拼接成规则矩形、正方形，利用公式算面积。 示例：小路分割草坪，平移草坪拼成整块长方形求总面积。 易错点：平移后多算或少算小路宽度。 题型一 对顶角、邻补角角度计算 解｜题｜技｜巧 对顶角相等；邻补角和为；可设未知数列方程进行求解；利用等量代换转化角度关系。 【典例1】如图，直线，相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得出，由已知条件得出，再由补角的定义得出． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题意可得，，再根据平角的定义列方程，求出，即可得解． 【详解】解：设， ，， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ． 题型二 垂直定义求角度 解｜题｜技｜巧 垂直可直接推出夹角等于；拆分叠加角，用整体代换；互余两角相加等于。 【典例1】如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 【典例2】下列说法正确的是（   ） A．有且只有一条直线垂直于已知直线 B．互相垂直的直线一定相交 C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．直线外一点与直线上各点连接而成的线段中最短线段的长度是，则点P到直线的距离是 【答案】D 【分析】根据垂线的定义和点到直线距离的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A、∵垂直于已知直线的直线有无数条， ∴A选项错误，该选项不符合题意； B、∵该命题未说明在同一平面内，不在同一平面的互相垂直直线不一定相交， ∴B选项错误，该选项不符合题意； C、∵点到直线的距离是从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身， ∴C选项错误，该选项不符合题意； D、∵根据垂线段最短的性质，直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短，垂线段的长度就是点到直线的距离， ∴D选项说法正确，该选项符合题意． 【变式1】如图所示，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①点B到的垂线段是线段；②线段是点C到的垂线段； ③线段是点D到的垂线段；④线段是点B到的垂线段． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，结合图示对各个选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：①点B到的垂线段是线段，说法正确； ②线段是点C到的垂线段，说法正确； ③线段是点A到的垂线段，原说法错误； ④线段是点B到的垂线段，说法正确． 综上，正确的个数共有3个． 【变式2】如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 题型三 垂线性质辨析 解｜题｜技｜巧 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线距离指垂线段的长度，并非线段本身；最短路径问题统一运用垂线段最短原理。 【典例1】如图，直线，相交于点O，于点O，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直定义可得，结合已知条件，求出的度数，再利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 由图可知 ， 又∵ ， ∴，即 ， ∵与（即）是对顶角， ∴． 【变式1】如图，直线，相交于点，过点作．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据对顶角相等得，由得，结合及角度和差关系列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵直线相交于点， ∴， ∵， ∴， 由图可知 又∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴ ． 【变式2】如图，直线相交于点，平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，可知，根据余角的定义求出，根据角平分线的定义得到，根据对顶角的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵直线相交于点， ∴． 题型四 三线八角识别 解｜题｜技｜巧 先找准截线，即横穿两条直线的那条直线；同位角呈 F 型，内错角呈 Z 型，同旁内角呈 U 型；不在截线同侧或内侧的角不属于对应三类角。 【典例1】如图，和是同位角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：同位角定义是：两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角， 故和是同位角的是A． 【典例2】如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的内错角是． 【典例3】两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同旁内角的是（     ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可． 【详解】解：A、 和是同位角的关系； B、和是内错角的关系； C、和是内错角的关系； D、和是同旁内角的关系． 【变式1】如图，两条直线，被直线所截．构成8个角．简称为“三线八角”，下面对各个角的描述正确的是（    ） A．与互为同位角 B．与互为同旁内角 C．与互为内错角 D．与互为对顶角 【答案】B 【详解】解：A．与不是同位角，故A错误； B．与在截线右侧，且在直线、之间，互为同旁内角，故B正确； C．与在截线左侧，且在直线、上方，互为同位角，故C错误； D． 与没有公共顶点，不是对顶角，故D错误． 【变式2】如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】A 【详解】解：A．与是同旁内角，正确，符合题意； B．与是内错角，原表述错误，不符合题意； C．与是同位角，原表述错误，不符合题意； D．与不是内错角，原表述错误，不符合题意； 故选：A． 题型五 利用同位角相等证平行 解｜题｜技｜巧 在图形中标注相等的同位角；借助对顶角、邻补角换算出相等同位角；证明书写规范写出角相等再推导两线平行；再根据同位角相等，两直线平行判定即可。 【典例1】如图，直线与，分别相交于点，．已知，直线与平行吗？为什么？ 【答案】直线与平行，理由见解析 【详解】解：直线与平行． 理由：因为，， 所以， 所以． 【变式1】如图，与相交于点，，且平分．试说明：，要求写出每一步的依据． 【答案】见解析 【详解】解：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式2】如图，直线分别与直线、相交于点，平分，平分，，试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】先由角平分线定义及已知条件得到，再等量代换得到同位角相等即可说明． 【详解】解： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 题型六 利用内错角相等证平行 解｜题｜技｜巧 看到Z形结构优先选用内错角判定；存在多条垂线时，多个直角可作为相等内错角，再根据内错角相等，两直线平行判定即可。 【典例1】如图，平分，，试说明． 【答案】证明见解析 【分析】根据角平分线的定义和等量代换得到内错角相等，即可证明． 【详解】证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的比例求解即可； （2）由角平分线的性质可得角度的关系，再根据内错角相等，即可证明平行． 【详解】（1）解：平分， ， ， ． ． ． （2）解：平分平分， ． ， ， ． ． ． 【变式2】如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．请完善下列解题过程． 解：与的位置关系是______， ∵，分别是，的平分线（已知）， ∴______，______（______）， ∵（已知）， ∴______， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（______）． 【答案】 ； ； ；角平分线定义； ；等量代换； ；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据角平分线定义，平行线的判定即可求解． 【详解】解：与的位置关系是， ∵，分别是，的平分线（已知）， ∴，（角平分线定义）， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴，（内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ； ； ；角平分线定义； ；等量代换； ；内错角相等，两直线平行． 题型七 利用同旁内角互补证平行 解｜题｜技｜巧 U型结构的两个角度相加为；借助平角快速转化互补关系，再根据同旁内角互补，两直线平行判定即可。 【典例1】如图，已知：，求证：； 【答案】见解析 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． 题型八 垂直于同一直线两直线平行 解｜题｜技｜巧 垂直得到两个直角，直角可转化为相等同位角或内错角；该结论只适用于同一平面内。 【典例1】在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可． 【详解】A、若，，，故A错误； B、，，，故B错误； C、，，，故C正确； D、，，，故D错误． 【变式1】如图，同一平面内，，，，则与的位置关系是________． 【答案】平行 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴，即与的位置关系是平行 【变式2】在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 题型九 平行线的传递性 解｜题｜技｜巧 传递性能够连续多次递推多条直线平行；若直线相交则和平行公理矛盾，可用于反证。 【典例1】将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？ 【答案】CD∥AB，理由见解析. 【分析】首先证明CD∥EF，进而证明AB∥EF，即可解决问题． 【详解】CD∥AB.理由如下： 由题意易知CD∥EF，EF∥AB， ∴CD∥AB. 【变式1】如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 【变式2】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 题型十 已知平行，求同位、内错角度数 解｜题｜技｜巧 看到平行先标记相等角度；复杂图形拆分成基础三线八角模型；结合对顶角完成等量替换。 【典例1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，某同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，再利用角的和差可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 【典例2】如图，，且平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据平行线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯底部平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，利用两直线平行，同位角相等得出的度数，再利用角和差关系即可得． 【详解】解：， ， ． 【变式2】如图，直线，将一块含角的直角三角板（，）按照如图方式放置，顶点A、B分别落在，上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作， ， ，， ， ． 【变式3】如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ∴， ∵， ， 平分， ∴， ， 故选：C． 题型十一 已知平行，利用同旁内角求角度 解｜题｜技｜巧 平行搭配 U 型角，两角之和直接取；常设较小角为，大角表示为列方程计算。 【典例1】如图，，与、分别交于点、，是上的一点，连接．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，得，根据平角定义得，根据补角的性质，得，求解即可； 【详解】解：如图，， ， ， ， ，， ． 【变式1】将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线内，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形特征，右边三角板为等腰直角三角形，左边三角板为含角的直角三角形，再结合平行线性质求解，即可解题． 【详解】解：由图可知，右边三角板为等腰直角三角形，， 左边三角板为含角的直角三角形， ， 上下两条直线平行， ， 即， ． 【变式2】当光从空气中斜射入水中时，光的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图所示，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点，若 ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出，再用减去得到． 【详解】解：， ． ， ． ， ． 题型十二 平行线 + 角平分线综合 解｜题｜技｜巧 角平分线分出两个相等小角；平行线再产生一组等角；多次等量代换推导新等角或直角。 【典例1】如图，，交、于点、，若点是的平分线与的平分线的交点，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先过点作，根据角平分线的性质推，，再根据平行的性质推出，最后根据平行公理的推论推出，可得，代入即可求解． 【详解】如图，过点作， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【变式1】如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据平行线和角平分线的性质，依次证明各结论即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 若平分， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 若， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，故结论②正确； ∵， ∴， 若， ∴， 又∵， ∴，不一定满足，故结论③错误； 综上，正确的结论为①②，共个． 【变式2】如图1，平行直线与相交，交点分别为E，F，平分，平分，和平行吗？为什么？ (1)【问题解决】：请将下面的解答过程补充完整：（括号内填写推理依据） 解：，理由如下： ∵平分，平分，（已知）， ∴，_____（____________）， ∵（已知）， ∴（___________） ∴（___________）， ∴． ∴（____________） (2)【举一反三】：由上可知，两条平行直线被第三条直线所截，所得的一组内错角的平分线互相平行．类比探究：两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同旁内角的平分线有何位置关系？写出证明过程．如图2，已知，分别平分，，请确定的位置关系． 【答案】(1)；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等式的性质；内错角相等，两直线平行 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，结合所给解答过程即可求解； （2）作，则，根据平行线的性质定理可得，结合角平分线的定义，通过等量代换，得出，进而可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分，平分，（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等式的性质）， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行） （2）解：， 证明：如图，作， ， ， 分别平分，， ，， ，， ， ，， ， ， ． 题型十三 平行线+垂直组合求角度 解｜题｜技｜巧 依靠平行线转移相等角度；垂直固定出现直角，剩余角度用减法运算。 【典例1】如图，已知直线，点O是上一点，射线分别与直线交于点E、F，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直的定义得，进而求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式1】如图，，于点E，交于点F，交于点M，已知，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，垂直的定义，余角的定义计算即可； 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【变式2】综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 G H 如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E． (1)若，则的度数为_______________； (2)如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）过点作交于点，根据平行线的性质计算即可； （2）过点作交于点，结合平行线的性质和平角的定义进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； (2)．理由如下： 过点C作交于点， ， ， ，， ， ， ∴． 题型十四 平行线判定+性质混合求解 解｜题｜技｜巧 第一步寻找角度关系，用判定定理证平行；第二步凭借平行，用性质推导等角或互补角；严格区分判定（角推平行）和性质（平行推角），书写依据不可混用。 【典例1】如图，在中，已知，，，则的度数是（     ） A．135° B．125° C．115° D．75° 【答案】B 【分析】由内错角相等，两直线平行可得，即，再利用等量代换可得，易证，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图：设的延长线交于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，．求的度数． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，通过等量代换可知，再根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图， ，点E，F在直线上，点G在直线上，与交于点H，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) ，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得，继而可得，从而可得结论； （2）由结合已知可得；再由两直线平行，同旁内角互补可得，结合已知即可求得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 题型十五 利用平行线的判定与性质进行证明 解｜题｜技｜巧 根据已知条件找到角度关系，用判定定理证平行；再利用性质推导等角或互补角之间的关系；最后结合其它条件求解即可。 【典例1】已知，求证：． 【答案】见详解 【分析】首先证明，然后利用平行线的性质和已知条件寻找角的关系，最后再利用平行线的判定即可证明． 【详解】证明：， ， ． ， ， ． 【变式1】几何说理填空：如图，F是上一点，于点G，H是上一点，于点E，，求证：． 证明：连接， ，， （______）， ∴____________（______）． ______（______）． 又， ． 即， （______）． 【答案】垂直的定义；，同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【变式2】填空（在横线上填角，在括号内填理由） 如图所示，已知，．试说明：． 解：因为（已知），（邻补角的定义）， 所以______（同角的补角定义）． 所以（ ）． 所以______（两直线平行，内错角相等）． 又因为（已知）， 所以______（等量代换）． 所以（ ）． 所以（ ）． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【变式3】如图，试说明． 解：（已知） ______（______） （已知） ______（等式的基本性质） （已知） （等式的基本性质） 即 （______） 【答案】见详解 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等式的基本性质）， （已知）， （等式的基本性质）， 即， ， （内错角相等，两直线平行）． 题型十六 平移概念与性质判断 解｜题｜技｜巧 平移只改变图形位置，形状、大小、角度完全不变；对应线段平行或共线且长度相等，对应点连线平行且相等；旋转、翻折不属于平移变换。 【典例1】如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 【典例2】如图，，直线a平移后得到直线b，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直线，求得，根据，求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：作直线， ∴， ∴，即， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（　　）． ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】平移前后对应点的连线所在的直线平行或者重合，对应点连成的线段相等，对应线段相等，逐个判断即可． 【详解】解：对于①和②：由平移的性质可得，对应点的连线所在的直线平行或者重合，故①②正确； 对于③：对应点连成的线段相等，故③正确； 对于④：由平移的性质可得，无法得到，故④错误； ∴正确的结论有个． 【变式2】如图，将三角形沿方向平移，得到三角形．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，利用平角的定义求出即可求解，掌握平移前后对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移，得到三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】如图，将沿方向平移得到．设四边形的周长为，四边形的周长为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到是解题的关键．根据平移的基本性质，得出，由，即可得出答案． 【详解】解：由平移的基本性质，得， ， ， ， 故选：C． 【变式4】如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向下平移得到三角形，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的平移变换及其性质，三角形的面积，根据三角形平移性质逐项判断即可． 【详解】解：对选项A，由平移的性质得：， ∴当点D为的中点时，，故选项A不一定正确，符合题意； 对于选项B，由平移的性质得：，故选项B正确，不符合题意； 对于选项C，由平移的性质得：， ， ， 即，故选项C正确，不符合题意； 对于选项D，由平移的性质得，则， 故选项D正确，不符合题意， 故选：A． 题型十七 网格中绘制平移后的图形 解｜题｜技｜巧 锁定图形全部顶点作为关键点；逐个顶点按照方向、距离平移；平移结束后顺次连接各个对应顶点。 【典例1】如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． (1)平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） (2)若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 【答案】(1)见解析 (2)相等； 两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查了平移变换，平行线的性质等知识点，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平行线的性质得出与的大小关系； 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴与的大小关系是相等，依据是两直线平行，内错角相等． 【变式1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上． (1)将三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，请作出三角形； (2)连接，，则线段和线段有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：，． 【变式2】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平移的性质，垂线的定义，垂线段最短． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可； （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，则即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． ； （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故答案为：>． 题型十八 平移求线段长、图形周长 解｜题｜技｜巧 平移前后对应线段长度一致；不规则图形周长可平移线段拼接成长方形、正方形等规则图形再计算。 【典例1】如图，将沿所在直线向右平移，得到，其中点的对应点为，点的对应点为．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵将沿所在直线向右平移，得到， ∴， ∵， ∴． 【典例2】如图，将周长为的沿方向平移得，连接，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与的和，再求解即可． 【详解】解：由条件可知、， ∴四边形的周长 的周长 ． 【变式1】如图，，，将沿方向平移得到，若，，则平移的距离为（    ） A．19 B．17 C．15 D．13 【答案】D 【详解】解：∵由平移得到， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平移的距离． 【变式2】如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由平移的性质得：，，，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的周长为． 【变式3】如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解： ，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 题型十九 平移求阴影面积（割补思路） 解｜题｜技｜巧 平移空白区域，阴影面积等效替换成规则图形面积；大小图形重叠平移时，两者面积差值保持不变。 【典例1】如图，将三角形沿射线的方向平移得到三角形与相交于点H．若，，平移距离为8，则阴影部分的面积是（    ） A．40 B．58 C．64 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．解题的关键在于正确表示阴影部分的面积．根据，计算求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，，，， 即. 【变式1】如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先根据图形平移的性质得出，，根据得出的长，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵将四边形沿方向平移得到四边形，交于点， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中阴影部分的面积等于长方形的面积，再用长方形的面积减去阴影部分的面积即可得图中空白部分的面积． 【详解】解：根据题意可得：，扇形的面积扇形的面积， 又扇形的面积阴影部分的面积扇形的面积长方形的面积， 故阴影部分的面积长方形的面积， 所以图中空白部分的面积为． 故选：C． 题型二十 平移实际应用（铺路、地毯、围栏长度） 解｜题｜技｜巧 横向、纵向道路分开平移合并；扣除道路宽度算出有效长宽，再计算面积与长度。 【典例1】有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：利用平移的思想，将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 花圃长米，宽米，道路宽米， 种花部分可拼接为长（米），宽（米）的长方形， 种花的面积是（平方米）． 【典例2】如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，矩形的面积，利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米，根据矩形面积公式计算即可求解，解题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形． 【详解】解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米， ∴空白区域的面积（平方米）， 故选：． 【变式1】如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【答案】B 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故选：B． 【变式2】如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化面积为（    ） A．560 m2 B．600 m2 C．616 m2 D．660 m2 【答案】A 【分析】方法1：利用图形平移将两条小路平移至长方形最边上，余下部分长方形即为绿化面积，利用矩形面积公式求出结果．方法2：利用割补法将两条小路平移为宽2m，长分别30m、22m的长方形，重叠部分为边长为2m的正方形，利用矩形面积将长方形面积减去两条小路面积即为所得． 【详解】方法1： 解：如图，设余下部分长方形长、宽分别为，， 因为（m），（m）， 所以绿化面积（m2）． 方法2： 解：因为长方形的面积：（m2）， 两条小路的面积：（m2）， 所以绿化的面积：（m2）． 故选：A． 【变式3】某公园形如长方形 ，长为 30，宽为 20 ．该公园中有 3 条宽均为 3 的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为_____ 【答案】 【详解】解：该公园种小草的部分可拼成一个长为，宽为的长方形， 则该公园小草的面积 ． 题型二十一 拐点问题 解｜题｜技｜巧 猪蹄凹模型中间角等于两侧两角相加；铅笔头凸模型三个角度总和为；鹰嘴模型大角减小角等于拐角角度；通用方法为过拐点作已知直线的平行线拆分基础角。 【典例1】请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①如果，求证：； 证明：过点P作， ∴（__________________）． ∵，（已知）， ∴（__________________）． ∴_____（__________________）． ∵， ∴（__________________）． (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用x，y，z表示）． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；，两直线平行，内错角相等；等量代换； (2) (3) 【分析】（1）根据证明过程结合图形，利用平行线的判定与性质填空即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）分别过点作，，再根据平行线的性质，进行计算变形即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． （3）解：如图③，分别过点作，， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∵，，，， ， ． 【变式1】综合与实践： （1）如图1．，若点P在，之间，，，求的度数． （2）如图2．，若点P在的下方，则，，之间有何数量关系？请说明理由． （3）如图3．在（2）的条件下，，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，需熟练掌握平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造平行线，使用平行线的性质解决角度问题． （1）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”可得与，再由等量代换即可求解； （3）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”，再结合角平分线的性质，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】解：（1）过点P作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）， 过点P作，如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）过点E作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线和的平分线交于点E， ∴，， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，点，分别在直线，上，点是直线与外一点，且点，，三点不在同一直线上，连接，． 【问题提出】 (1)如图1，若，，，探究直线，的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图2，过点作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线，的位置关系是__________； 【问题迁移】 (2)如图3，直线、平分交的延长线于点，平分交的延长线交于点，交于点，若，，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图4，直线在上方，且，若点在直线上运动，平分，平分交直线于点，连接，试探究与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用平行线的判定和性质进行证明； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义求出相关角的度数，过点作，得出，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义求解； （3）根据角平分线的定义得出相等的角，设，，表示出相关的角，过点作，得出，分两种情况进行讨论，利用平行线的性质进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：因为， 所以，， 因为平分， 所以，． 所以． 如图③，过点作，且， 所以． 所以，． 因为平分， 所以． 因为． 所以． 所以． 所以； （3）解：因为平分，平分， 所以，． 设，． 所以， ． ①当点在直线左侧时，如图，过点作，且， 所以． 所以， ， ，． 所以，． 所以； ②当点在直线右侧时，如图，过点作，且， 所以． 所以， ， ， ． 所以， ． 所以． 综上所述，与之间存在的数量关系为或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对顶角定义逐项验证即可． 【详解】解：D选项的图形中，与是对顶角；A、B、C选项的图形中，与不是对顶角． 2．如图，为了充分利用水资源，促进农业的发展，某村计划从三条线路中选择沿挖一条水渠，将河水引到农田，以便农田灌溉，这样做的数学依据是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【分析】根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：选择沿挖一条水渠，将河水引到农田，以便农田灌溉，这样做的数学依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 3．下列说法中正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据对顶角、垂线段的定义，命题与定理，平行线的判定与性质逐项推理即可． 【详解】解：A、对顶角相等，但是相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误； B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误； C、从直线外一点到这条直线上的各点连接的所有线段中，垂线段最短，符合垂线段的性质，故本选项正确； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误． 故选：C． 4．如图，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质和邻补角，进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴. 5．如图，直线，若，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平角的定义求出，再结合平行线的性质得，即可作答． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ． 6．眼镜是利用了凹透镜能使光发散的特点达到矫正视力的目的．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由邻补角互补求解，然后根据平行线的性质以及角的和差求解，再根据平行线的性质以及邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在墙上安装某一管道需经过两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，若第一个弯道处，那么第二个弯道处的度数是 _________． 【答案】/度 【分析】根据平行线的性质直接求解即可． 【详解】解：拐弯后的管道与拐弯前的管道平行， ． 8．如图，图2是图1共享单车示意图，已知，，则的度数为________． 【答案】/70度 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：． 9．如图，直线与直线交于点O，．若射线，则的度数为________． 【答案】 【分析】由、可得、．由垂直的定义可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出即可得到结论． 【详解】解：∵将沿平移个单位长度得到， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ∴. 11．如图，已知，求证：． 【答案】见详解 【分析】先结合内错角相等，两直线平行得，再根据平行线的性质以及，得出，根据内错角相等，两直线平行得，即可得出． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．完成下面的证明（在括号中注明理由）．如图，已知，试说明． 解：∵（已知）， 　　　（　　　　）， 　　　（　　　　　　）． （已知）， 　　　　（   ）， （　　　　　　　）． 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】利用平行线的判定定理和性质定理解答即可． 【详解】解：∵（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由可根据“内错角相等，两直线平行”判定，故不符合题意； B、由，不能判定，故符合题意； C、由可根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，故不符合题意； D、由可根据“内错角相等，两直线平行”判定，故不符合题意； 故选：B． 2．如图，将沿方向平移个单位长度得到，点的对应点在边上，连接，若四边形的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质可得、，再根据四边形的周长公式即可求解． 【详解】解：将沿方向平移个单位长度得到， 、 四边形的周长为， 即的周长为11． 3．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又由题意可知，， ∴． 4．下面各语句中，正确的个数有（   ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③若，，则； ④相等的角是对顶角； ⑤经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行线的性质与判定、对顶角定义、垂线性质、平行公理等基础几何知识，逐一判断命题正误即可得到正确命题的个数. 【详解】解：①只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原说法错误； ②缺少“同一平面内”的前提，原说法错误； ③根据平行公理的推论，若，，则，原说法正确； ④相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ⑤必须经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上无法作平行线，原说法错误； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，原说法错误； ∴正确的说法只有1个. 5．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意，得，， ， ， ， ， ． 6．如图，是直线上一点，，射线平分，，则______． 【答案】/20度 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 7．如图是一个探照灯的截面图，它可以使点射出的光线经抛物面反射得到平行光，即．若，，则_______． 【答案】150 【分析】过点作，利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等），拆分进行求解． 【详解】解：过点作， ， ， 根据两直线平行，内错角相等： ，， ． 8．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，顶部支架与灯杆所成锐角的度数为，与所成锐角的度数为．灯杆与底部支架所成锐角的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：如图，过点作． ， ， ，． ， ， 又∵， ， 解得： 9．如图，已知，，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）解：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，   ∴． 10．看图完成各题： (1)如图，已知，分别平分、，若，求证：． (2)如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分． ①）若，试探究，的位置关系; ②若为任意角，①中，的位置关系是否仍成立？请说明理由．由此你发现什么规律? 【答案】(1)证明：∵，分别平分、， ，， ， ． (2)① ②成立，理由如下： ， ． ∵平分，平分， ，， ， ． 11．完成下面推理过程，填空并在括号内写明依据． 已知：如图，，，，求证：． 证明：（已知） （________） （________） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） ________（________） 又（已知） （________） 【答案】；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义 【详解】证明：（已知） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知） （垂直的定义） 12．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点． (1)知识初探： 勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______： (2)深入探究： 智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． (3)拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______． 【答案】(1)60 (2)①；② (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），结合已知的的度数，直接求出的度数． （2）① 过点作，由得，利用平行线的性质将转化为，再通过与的差求解． ② 同理过点作，利用平行线的性质，通过与的差，得到的度数，即为的度数． （3）分两种情况（点在线段上、点在线段上），根据的关系列方程求解，得到的度数． 【详解】（1）解：， ． ， ， ； （2）解：①过点作， 则， ，， ， 线段是由线段平移得到， ， ， ； ②过点作， 则， ，， ， 线段是由线段平移得到， ， ， ； （3）解：如图2， 当时， 由（2）①知， 即， ∴ ， ； 如图3， 当时， 由（2）②知， 即， ∴， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，作，则有，通过角度的和差关系求解即可； 【详解】解： ，， ， 如图，延长至，作， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，直线，线段与交于点，平分，点在直线上，平分，交于点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，过点D作，则，由平行线的性质得到， ，据此求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作，过点D作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 3．如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：当点P在之间时，当点P在的下方时，当点P在的上方时，即可求解． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当点P在之间时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故A选项不符合题意； 当点P在的下方时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故B选项不符合题意； 当点P在的上方时，如图，过点P作，此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，故C选项不符合题意；D选项符合题意； 4．如图，在中，D是边上的一点，连接，直线过点C，且，与的平分线分别交于点M，N，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】先根据平行线的性质说明，可得，再根据角平分线的定义得，然后根据可得，则可解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵与的平分线分别交于点M，N， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即． 5．如图，，E在上，，垂足为F，，平分，设，则下列四个结论中正确的结论是______．（填写正确结论的序号）： ①；②平分；③；④； 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是利用表示各个角度． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 即平分，故②正确； ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④. 6．有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为_____． 【答案】 【分析】先由平行线的性质得出同旁内角互补，再根据对顶角相等得出，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 7．电影《给阿嬷的情书》火了，影片中木生给淑柔做的木单车勾起了一代人的回忆．下图是其示意图．其中，都与地面l平行，，，当为______度时，与平行． 【答案】 【分析】根据平行线的传递性得出，利用平行线的性质求出的度数，结合已知比例关系求出的度数，最后根据平行线的性质得出的度数． 【详解】解：设底面为直线， 因为， 所以 所以（两直线平行，同旁内角互补） 因为， 所以 因为， 设， 因为， 所以 解得 所以 若， 则（两直线平行，内错角相等） 所以 所以当为度时，与平行． 8．已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． (1)如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； (2)如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①：见解析；②：①中的结论改变，或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）①过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； ②分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：补全图形，如下图； 过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； ②：①中的结论改变， 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的角平分线为， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， 即； 综上所述，、与之间的数量关系为或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相交线、平行线与平移（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角、邻补角角度计算 题型02 垂直定义求角度 题型03 垂线性质辨析 题型04 三线八角识别 题型05 利用同位角相等证平行 题型06 利用内错角相等证平行 题型07 利用同旁内角互补证平行 题型08 垂直于同一直线两直线平行 题型09 平行线的传递性 题型10 已知平行，求同位、内错角度数 题型11 已知平行，利用同旁内角求角度 题型12 平行线 + 角平分线综合 题型13 平行线+垂直组合求角度 题型14 平行线判定+性质混合求解 题型15 利用平行线的判定与性质进行证明 题型16 平移概念与性质判断 题型17 网格中绘制平移后的图形 题型18 平移求线段长、图形周长 题型19 平移求阴影面积（割补思路） 题型20 平移实际应用（铺路、地毯、围栏长度） 题型21 拐点问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 邻补角定义与性质 ①能精准识别邻补角；②熟记邻补角和为，会利用角度列式计算；③区分邻补角与普通互补角。 期末必考选择、填空题，常结合对顶角综合求角度，分值 3 分，易错点：误认为互补就是邻补角。 对顶角定义与性质 ①能从两条直线相交图形中找出所有对顶角；②直接套用 “对顶角相等” 进行单步角度计算；③结合邻补角进行混合列式求值。 全章最基础必考考点，选择题 1 道或填空 1 空，期末卷开篇基础题，极少单独出大题，常作为几何计算题的基础条件。 垂线的定义 ①掌握：夹角两直线垂直；②由垂直写，由证垂直；③规范几何书写格式。 穿插在角度计算题、平行线证明题中作为已知条件，期末解答题高频条件，不单独命题。 垂线第一条公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 理解公理文字含义，能辨析 “一点” 含直线上、直线外两种位置，判断正误选择题 选择题正误辨析必考，选项常挖坑：去掉 “有且只有”、遗漏 “同一平面内”。 垂线段公理：垂线段最短 ①识记公理；②解决实际应用题（修路、引水最短路径）；③区分垂线段、垂线、线段长度三个概念。 期末填空、选择题必考生活情境题，期末常结合乡村修路、引水出题。 点到直线的距离概念 牢记：点到直线的距离 = 垂线段的长度（数值）≠垂线段（图形），辨析概念判断题。 概念辨析高频错题，选择题陷阱选项：把垂线段当成距离。 三线八角识别：同位角、内错角、同旁内角 掌握同位角 “F 型” 构图特征，从复杂三线、多线相交图中精准找出同位角。内错角（Z 型）、同旁内角（U 型）构图熟记；能在折线、多条截线图形中分类找三类角。 选择识图题必考，常混合同位角、内错角、同旁内角一起辨析。 平行线定义与同一平面内两直线位置关系 ①同一平面：两直线只有相交、平行，无第三种；②不在同一平面异面不考；③熟记：平行无交点、相交 1 个交点。 概念辨析选择题，易错：认为不相交就平行（忽略同一平面）。 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 抠字眼：直线外一点，直线上的点无法作已知直线平行线；辨析命题对错。 正误判断选择题高频考点，挖坑：去掉 “直线外” 限定词。 平行公理推论（平行传递性）： 会用传递性进行多直线平行推导，几何书写规范。 几何证明题中间推导步骤，填空、证明题常用。 平行线判定 1：同位角相等，两直线平行 由同位角相等→证平行，熟练识图找同位角，书写证明步骤。 期末几何证明三大判定之首，解答证明必用。 平行线判定 2：内错角相等，两直线平行 内错角等量代换后证平行，结合对顶角、邻补角转换角度。 证明题最常用判定条件，期末大题第一问高频。 平行线判定 3：同旁内角互补，两直线平行 利用互补关系推导平行，结合邻补角进行角度转化。 压轴小证明高频考点，常结合方程设未知数求角度再证平行。 平行线性质 掌握平行线的三条基本性质；理解判断与性质的区别：判定：角→平行；性质：平行→角（本章头号易错点）；平行条件下快速换算角度；判定 + 性质混合综合证明。 本章期末核心：几何解答大题必考判定 + 性质综合；填空选择大量角度计算题，全章分值占比 40% 左右；贵州期末常结合折叠、拐角模型出题。 平移的定义 掌握平移的定义；会区别与其它运动现象； 选择题识图，如电梯、推拉窗、车轮转动辨析。 平移性质 掌握平移的性质，会利用平移的性质解决简单的问题；挖掘平移前后图形的关系（全等），最终利用全等关系解决问题。 填空求周长高频，平移后阴影周长计算是期末热门题型；平移 + 平行线综合小题，常嵌套三线八角。 方格纸中图形平移作图 ①定点平移（顶点平移）；②分上下左右平移，分步画图；③写出平移方向与格数。 期末作图题必考，属于常规题型。 平移实际应用（阴影面积割补法） 利用平移拼接不规则阴影，转化为规则长方形 、 正方形求面积。 填空压轴小计算，割补法是平移最高考法。 平行线拐角模型（铅笔头、猪蹄模型） 熟记两类模型角度结论，会过拐点作平行线辅助线推导。 期末填空压轴、解答最后一问，高频拔高。 折叠 + 平行线综合 折叠→角相等 + 平行性质等量代换求角度。 属于高频压轴小题。 知识点01 相交线、两条直线相交 在同一平面内，两条直线有唯一公共点，称两直线相交，公共点叫交点。 ·示例：直线 AB 与 CD 交于点 O，形成 4 个小于平角的角。 ·易错点：相交的两直线前提是同一平面内。 知识点02 邻补角 两条直线相交形成，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；邻补角互补，。 示例：两线相交，与互为邻补角，若，则。 易错点：互补的角不一定是邻补角（无公共边、不共顶点只相加不算邻补角）。 知识点03 对顶角 两直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角；对顶角相等。 示例：AB、CD 交于 O，与是对顶角，，。 易错点：相等的角不一定是对顶角；多条直线相交找对顶角容易漏数。 知识点04 垂直的定义 两条直线相交夹角等于，两直线互相垂直，交点叫垂足；两线垂直。 示例：于 O，则。 易错点：垂直是相交的特殊情况，不能说 “相交就是垂直”。 知识点05 垂线公理 同一平面内，过直线\（线上、线外）一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 示例：过直线l外一点P，只能画出1条直线垂直于l。 易错点：缺少“同一平面内” 结论不成立；去掉“有且只有”表述错误。 知识点06 垂线段公理 定义：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 示例：从村庄向河道引水，沿垂线段挖水渠路程最短。 易错点：垂线是直线，垂线段是线段，二者概念不能混用。 知识点07 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是数值，不是线段）。 示例：，，则点 P 到直线 l 距离为。 易错点：把垂线段图形当成距离，距离必须带长度、单位。 知识点08 两条直线位置关系（同一平面） 同一平面内，不重合的两条直线只有两种：相交、平行。 示例：黑板左右边框平行，相邻边框相交。 易错点：忽略 “同一平面、不重合”，误认为不相交就是平行。 知识点09 同位角 两条直线被第三条直线所截，在截线同侧、被截两线同方位，形如 “F 型”。 示例：直线 a、b 被 c 所截，∠1与∠3两个角为一组同位角。 易错点：图形变形（倾斜、折线）后看不出 F 结构，误判不是同位角。 知识点10 内错角 两线被第三线所截，在截线两侧、夹在两条被截线中间，形如 “Z 型”。 示例：Z字拐角处一组对角是内错角，如∠2与∠3为一组内错角。 易错点：两角不在两被截线内部，不是内错角。 知识点11 同旁内角 两线被第三线所截，在截线同侧、夹在两被截线中间，形如 “U 型”。 示例：U形内侧两角为同旁内角，如∠2与∠4为同旁内角，两角相加常借助平行得。 易错点：多线条叠加时，找错截线与被截线，混淆三类角。 知识点12 平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 示例：在直线 AB 上的点，无法作 AB 的平行线，只能在外侧找点。 易错点：去掉 “直线外”，在直线上的点不能作已知直线平行线。 知识点13 平行公理推论（平行传递性） 定义：若，则。 示例：，可得。 易错点：在垂直中不能套用，，同一平面，跨平面不成立。 知识点14 平行线判定1：同位角相等，两直线平行 同位角相等两条被截直线平行（由角定平行）。 示例：∠1=∠2，直接判定两条横线平行，即AB//CD。 易错点：搞反逻辑：平行推角相等是性质，不是判定。 知识点15 平行线判定2：内错角相等，两直线平行 内错角相等两直线平行。 示例：∠1=∠2，可证两直线平行，即AB//CD。 易错点：单独两个角相等，但不是内错角，不能判定平行。 知识点16 平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行 同旁内角之和两直线平行。 示例：同旁内角∠1+∠2=180°，可得两直线平行，即AB//CD。 易错点：同旁内角相等不能证平行，必须互补。 知识点17 平行线性质 两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。 示例：，同旁内角互补，已知一个，可求得另一个。 易错点：判定：角→平行；性质：平行→角，做题经常条件结论颠倒。 知识点18 平行线拐角拓展（猪蹄、铅笔模型） 拐点处作已知直线的平行线，拆分大角，利用平行性质算角度。 示例：猪蹄模型：凹角 = 两侧小角之和；铅笔模型：三角度相加。 易错点：忘记过拐点作辅助平行线，直接套用结论导致列式错误。 知识点19 平移定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，图形形状大小不变，只改变位置。 示例：电梯上下、推拉窗户、棋子在棋盘左右移动是平移；车轮旋转、钟表指针不是平移。 易错点：旋转、翻折当成平移。 知识点20 平移性质 平移前后图形全等，对应角相等、对应边相等；对应线段平行（或在同一直线上）且相等；连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等，线段长度 = 平移距离。 示例：△ABC 向右平移得到△A'B'C'，；长方形平移后上下对应长边平行相等；A 平移到 A'，线段长度就是平移距离。 易错点：误以为平移后图形边长、角度发生变化；重合在一条直线的对应线段，误认为不平行；把图形整体移动的路程、斜边长度当成平移距离（平移距离是垂直 、 水平格数）。 知识点21 方格纸平移作图 把图形各个顶点按指定方向、格数平移，顺次连接各新顶点。 示例：三角形先右移3格，再下移2格，逐个移动三个顶点。 易错点：只平移部分顶点，整体图形移位错误；方向写反。 知识点22 平移割补求面积 不规则阴影通过平移拼接成规则矩形、正方形，利用公式算面积。 示例：小路分割草坪，平移草坪拼成整块长方形求总面积。 易错点：平移后多算或少算小路宽度。 题型一 对顶角、邻补角角度计算 解｜题｜技｜巧 对顶角相等；邻补角和为；可设未知数列方程进行求解；利用等量代换转化角度关系。 【典例1】如图，直线，相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式2】如图，O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型二 垂直定义求角度 解｜题｜技｜巧 垂直可直接推出夹角等于；拆分叠加角，用整体代换；互余两角相加等于。 【典例1】如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【典例2】下列说法正确的是（   ） A．有且只有一条直线垂直于已知直线 B．互相垂直的直线一定相交 C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．直线外一点与直线上各点连接而成的线段中最短线段的长度是，则点P到直线的距离是 【变式1】如图所示，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①点B到的垂线段是线段；②线段是点C到的垂线段； ③线段是点D到的垂线段；④线段是点B到的垂线段． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 垂线性质辨析 解｜题｜技｜巧 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线距离指垂线段的长度，并非线段本身；最短路径问题统一运用垂线段最短原理。 【典例1】如图，直线，相交于点O，于点O，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，相交于点，过点作．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线相交于点，平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型四 三线八角识别 解｜题｜技｜巧 先找准截线，即横穿两条直线的那条直线；同位角呈 F 型，内错角呈 Z 型，同旁内角呈 U 型；不在截线同侧或内侧的角不属于对应三类角。 【典例1】如图，和是同位角的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【典例3】两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同旁内角的是（     ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【变式1】如图，两条直线，被直线所截．构成8个角．简称为“三线八角”，下面对各个角的描述正确的是（    ） A．与互为同位角 B．与互为同旁内角 C．与互为内错角 D．与互为对顶角 【变式2】如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 题型五 利用同位角相等证平行 解｜题｜技｜巧 在图形中标注相等的同位角；借助对顶角、邻补角换算出相等同位角；证明书写规范写出角相等再推导两线平行；再根据同位角相等，两直线平行判定即可。 【典例1】如图，直线与，分别相交于点，．已知，直线与平行吗？为什么？ 【变式1】如图，与相交于点，，且平分．试说明：，要求写出每一步的依据． 【变式2】如图，直线分别与直线、相交于点，平分，平分，，试说明：． 题型六 利用内错角相等证平行 解｜题｜技｜巧 看到Z形结构优先选用内错角判定；存在多条垂线时，多个直角可作为相等内错角，再根据内错角相等，两直线平行判定即可。 【典例1】如图，平分，，试说明． 【变式1】如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【变式2】如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．请完善下列解题过程． 解：与的位置关系是______， ∵，分别是，的平分线（已知）， ∴______，______（______）， ∵（已知）， ∴______， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（______）． 题型七 利用同旁内角互补证平行 解｜题｜技｜巧 U型结构的两个角度相加为；借助平角快速转化互补关系，再根据同旁内角互补，两直线平行判定即可。 【典例1】如图，已知：，求证：； 【变式1】如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【变式2】如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 题型八 垂直于同一直线两直线平行 解｜题｜技｜巧 垂直得到两个直角，直角可转化为相等同位角或内错角；该结论只适用于同一平面内。 【典例1】在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1】如图，同一平面内，，，，则与的位置关系是________． 【变式2】在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 题型九 平行线的传递性 解｜题｜技｜巧 传递性能够连续多次递推多条直线平行；若直线相交则和平行公理矛盾，可用于反证。 【典例1】将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？ 【变式1】如图，若，，，，试说明． 【变式2】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 题型十 已知平行，求同位、内错角度数 解｜题｜技｜巧 看到平行先标记相等角度；复杂图形拆分成基础三线八角模型；结合对顶角完成等量替换。 【典例1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，某同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【典例2】如图，，且平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯底部平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，将一块含角的直角三角板（，）按照如图方式放置，顶点A、B分别落在，上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 题型十一 已知平行，利用同旁内角求角度 解｜题｜技｜巧 平行搭配 U 型角，两角之和直接取；常设较小角为，大角表示为列方程计算。 【典例1】如图，，与、分别交于点、，是上的一点，连接．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式1】将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线内，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】当光从空气中斜射入水中时，光的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图所示，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点，若 ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十二 平行线 + 角平分线综合 解｜题｜技｜巧 角平分线分出两个相等小角；平行线再产生一组等角；多次等量代换推导新等角或直角。 【典例1】如图，，交、于点、，若点是的平分线与的平分线的交点，则的度数为（     ）． A． B． C． D． ∴． 【变式1】如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式2】如图1，平行直线与相交，交点分别为E，F，平分，平分，和平行吗？为什么？ (1)【问题解决】：请将下面的解答过程补充完整：（括号内填写推理依据） 解：，理由如下： ∵平分，平分，（已知）， ∴，_____（____________）， ∵（已知）， ∴（___________） ∴（___________）， ∴． ∴（____________） (2)【举一反三】：由上可知，两条平行直线被第三条直线所截，所得的一组内错角的平分线互相平行．类比探究：两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同旁内角的平分线有何位置关系？写出证明过程．如图2，已知，分别平分，，请确定的位置关系． 题型十三 平行线+垂直组合求角度 解｜题｜技｜巧 依靠平行线转移相等角度；垂直固定出现直角，剩余角度用减法运算。 【典例1】如图，已知直线，点O是上一点，射线分别与直线交于点E、F，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，于点E，交于点F，交于点M，已知，求的度数． 【变式2】综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E． (1)若，则的度数为_______________； (2)如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 题型十四 平行线判定+性质混合求解 解｜题｜技｜巧 第一步寻找角度关系，用判定定理证平行；第二步凭借平行，用性质推导等角或互补角；严格区分判定（角推平行）和性质（平行推角），书写依据不可混用。 【典例1】如图，在中，已知，，，则的度数是（     ） A．135° B．125° C．115° D．75° 【变式1】如图，．求的度数． 【变式2】如图， ，点E，F在直线上，点G在直线上，与交于点H，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 题型十五 利用平行线的判定与性质进行证明 解｜题｜技｜巧 根据已知条件找到角度关系，用判定定理证平行；再利用性质推导等角或互补角之间的关系；最后结合其它条件求解即可。 【典例1】已知，求证：． 【变式1】几何说理填空：如图，F是上一点，于点G，H是上一点，于点E，，求证：． 证明：连接， ，， （______）， ∴____________（______）． ______（______）． 又， ． 即， （______）． 【变式2】填空（在横线上填角，在括号内填理由） 如图所示，已知，．试说明：． 解：因为（已知），（邻补角的定义）， 所以______（同角的补角定义）． 所以（ ）． 所以______（两直线平行，内错角相等）． 又因为（已知）， 所以______（等量代换）． 所以（ ）． 所以（ ）． 【变式3】如图，试说明． 解：（已知） ______（______） （已知） ______（等式的基本性质） （已知） （等式的基本性质） 即 （______） 题型十六 平移概念与性质判断 解｜题｜技｜巧 平移只改变图形位置，形状、大小、角度完全不变；对应线段平行或共线且长度相等，对应点连线平行且相等；旋转、翻折不属于平移变换。 【典例1】如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，，直线a平移后得到直线b，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（　　）． ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，将三角形沿方向平移，得到三角形．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将沿方向平移得到．设四边形的周长为，四边形的周长为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向下平移得到三角形，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十七 网格中绘制平移后的图形 解｜题｜技｜巧 锁定图形全部顶点作为关键点；逐个顶点按照方向、距离平移；平移结束后顺次连接各个对应顶点。 【典例1】如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． (1)平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） (2)若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 【变式1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上． (1)将三角形先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，请作出三角形； (2)连接，，则线段和线段有什么关系？ 【变式2】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 题型十八 平移求线段长、图形周长 解｜题｜技｜巧 平移前后对应线段长度一致；不规则图形周长可平移线段拼接成长方形、正方形等规则图形再计算。 【典例1】如图，将沿所在直线向右平移，得到，其中点的对应点为，点的对应点为．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【典例2】如图，将周长为的沿方向平移得，连接，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，将沿方向平移得到，若，，则平移的距离为（    ） A．19 B．17 C．15 D．13 【变式2】如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 题型十九 平移求阴影面积（割补思路） 解｜题｜技｜巧 平移空白区域，阴影面积等效替换成规则图形面积；大小图形重叠平移时，两者面积差值保持不变。 【典例1】如图，将三角形沿射线的方向平移得到三角形与相交于点H．若，，平移距离为8，则阴影部分的面积是（    ） A．40 B．58 C．64 D．80 【变式1】如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二十 平移实际应用（铺路、地毯、围栏长度） 解｜题｜技｜巧 横向、纵向道路分开平移合并；扣除道路宽度算出有效长宽，再计算面积与长度。 【典例1】有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 【典例2】如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 【变式1】如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【变式2】如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化面积为（    ） A．560 m2 B．600 m2 C．616 m2 D．660 m2 【变式3】某公园形如长方形 ，长为 30，宽为 20 ．该公园中有 3 条宽均为 3 的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为_____ 题型二十一 拐点问题 解｜题｜技｜巧 猪蹄凹模型中间角等于两侧两角相加；铅笔头凸模型三个角度总和为；鹰嘴模型大角减小角等于拐角角度；通用方法为过拐点作已知直线的平行线拆分基础角。 【典例1】请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①如果，求证：； 证明：过点P作， ∴（__________________）． ∵，（已知）， ∴（__________________）． ∴_____（__________________）． ∵， ∴（__________________）． (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用x，y，z表示）． 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 【变式1】综合与实践： （1）如图1．，若点P在，之间，，，求的度数． （2）如图2．，若点P在的下方，则，，之间有何数量关系？请说明理由． （3）如图3．在（2）的条件下，，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的代数式表示） 【变式2】如图，点，分别在直线，上，点是直线与外一点，且点，，三点不在同一直线上，连接，． 【问题提出】 (1)如图1，若，，，探究直线，的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图2，过点作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线，的位置关系是__________； 【问题迁移】 (2)如图3，直线、平分交的延长线于点，平分交的延长线交于点，交于点，若，，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图4，直线在上方，且，若点在直线上运动，平分，平分交直线于点，连接，试探究与之间存在的数量关系． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，为了充分利用水资源，促进农业的发展，某村计划从三条线路中选择沿挖一条水渠，将河水引到农田，以便农田灌溉，这样做的数学依据是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 3．下列说法中正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．如图，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，直线，若，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 6．眼镜是利用了凹透镜能使光发散的特点达到矫正视力的目的．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在墙上安装某一管道需经过两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，若第一个弯道处，那么第二个弯道处的度数是 _________． 8．如图，图2是图1共享单车示意图，已知，，则的度数为________． 9．如图，直线与直线交于点O，．若射线，则的度数为________． 10．如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 11．如图，已知，求证：． 12．完成下面的证明（在括号中注明理由）．如图，已知，试说明． 解：∵（已知）， 　　　（　　　　）， 　　　（　　　　　　）． （已知）， 　　　　（   ）， （　　　　　　　）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将沿方向平移个单位长度得到，点的对应点在边上，连接，若四边形的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．下面各语句中，正确的个数有（   ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③若，，则； ④相等的角是对顶角； ⑤经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是直线上一点，，射线平分，，则______． 7．如图是一个探照灯的截面图，它可以使点射出的光线经抛物面反射得到平行光，即．若，，则_______． 8．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，顶部支架与灯杆所成锐角的度数为，与所成锐角的度数为．灯杆与底部支架所成锐角的度数为______． 9．如图，已知，，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．看图完成各题： (1)如图，已知，分别平分、，若，求证：． (2)如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分． ①）若，试探究，的位置关系; ②若为任意角，①中，的位置关系是否仍成立？请说明理由．由此你发现什么规律? 11．完成下面推理过程，填空并在括号内写明依据． 已知：如图，，，，求证：． 证明：（已知） （________） （________） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） ________（________） 又（已知） （________） 12．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点． (1)知识初探： 勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______： (2)深入探究： 智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． (3)拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，线段与交于点，平分，点在直线上，平分，交于点．若，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，D是边上的一点，连接，直线过点C，且，与的平分线分别交于点M，N，若，则的度数为______． 5．如图，，E在上，，垂足为F，，平分，设，则下列四个结论中正确的结论是______．（填写正确结论的序号）： ①；②平分；③；④； 6．有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为_____． 7．电影《给阿嬷的情书》火了，影片中木生给淑柔做的木单车勾起了一代人的回忆．下图是其示意图．其中，都与地面l平行，，，当为______度时，与平行． 8．已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． (1)如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； (2)如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $