专题04因式分解期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题04因式分解期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解因式分解的定义，明确因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.熟练掌握两种基本分解方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）。 3.掌握因式分解的解题原则：分解彻底、结果为整式积的形式、首项为正。 1.能准确观察多项式结构，快速找准公因式，规范完成提公因式分解。 2.能正确识别平方差、完全平方公式结构，熟练套用公式分解。 3.具备综合解题能力，掌握先提公因式，再套公式的标准解题步骤。 4.能判断因式分解是否彻底，杜绝分解不完整、分解回头（变回整式乘法）等问题。 1.基础题零失误，熟练解决单一提公因式、公式法填空、选择、计算题。 2.熟练应对期末高频综合题型：先提后套综合因式分解题型。 3.会利用因式分解进行简便运算、代数式求值、整体代入考题。 4.规避考试高频易错点：提公因式漏项、符号错误、分解不彻底、公式乱用。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解与有理数简算 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解与新定义运算 题型16.整体换元法分解多项式 题型17.因式分解判定三角形形状题 题型18.因式分解中配方法应用 题型19.因式分解整除性相关证明 题型20.因式分解中最值问题. 知识点01:基础概念与基本规则 1. 定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解。 2. 互逆关系 整式乘法：整式相乘 → 多项式（展开） 因式分解：多项式 → 整式相乘（合并），二者互为逆运算。 3. 三大解题原则（阅卷必查） (1)结果必须是整式乘积形式，不含加减运算； (2)分解彻底，每个因式都不能再继续分解； (3)多项式首项系数为正数，括号内首项不为负。 4. 典型错误判定（选择题常考） 结果含加减、出现分式、分母带字母，均不属于因式分解； 分解后再次展开，混淆与整式乘法的关系。 知识点02：提公因式法（通用第一步） 1. 公因式查找方法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x，系数 6、9，最大公约数为 3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2，公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2，取x2 2. 特殊公因式：多项式型公因式 符号转换规律（高频考点） (y-x) = -(x-y) (y-x)2 = (x-y)2 (y-x)3 = -(x-y)3 3. 解题步骤 1.确定完整公因式；2. 整体提取公因式；3. 剩余项为1时不可省略；4. 调整符号，保证首项为正。 4. 常见易错点 漏写剩余常数1、只提字母不提系数、相反数形式因式符号转换出错。 知识点03：公式法 公式类型 适用形式 分解公式 结构特征 平方差公式 二项式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项、一正一负、两项均为完全平方式 完全平方和 三项式 a2+2ab+b2=(a+b)2 首尾项为正的平方项，中间项为两底数乘积的 2 倍 完全平方差 三项式 a2-2ab+b2=(a-b)2 首尾项为正的平方项，中间项为负的两底数乘积的 2 倍 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点05:期末常考题型汇总 1.基础题：单纯提公因式、套公式（选择、填空） 2.综合分解：一提二套连用（计算小题） 3.简便运算：利用因式分解凑整，简化计算 4.代数式求值：先分解，再整体代入（高频大题） 5.参数求解：已知式子是完全平方式，求字母的值（填空压轴） 6.说理 / 整除问题：分解后判断能否被某数、某整式整除 知识点06:易错汇总 错误做法 正确做法 出错原因 不提公因式直接套用公式 先提公因式，再套用公式 解题顺序混乱，分解不彻底 两项同号套用平方差公式 平方差必须两项异号 公式特征记混 完全平方中间项缺少系数 2 中间项必须是两倍乘积 公式记忆不全 首项为负不提负号 首项负，先提取负号 书写格式不规范 提取公因式后空位不写 1 全部提完剩余项补 1 细节疏漏 分解结果还有加减算式 结果必须全部写成乘积形式 概念理解错误 参数题只写单一答案 分类讨论，正负双解 考虑问题不全面 题型01.因式分解的判断 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义判断，因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此逐一分析选项即可. 【详解】解：∵ 因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式乘积的形式， A选项中 右边不是整式，变形后不是整式乘积，不属于因式分解， B选项中 左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，属于因式分解， C选项中 是单项式，不是多项式，不属于因式分解， D选项中 变形是从整式乘积化为多项式和的形式，属于整式乘法，不属于因式分解， ∴ 答案选B. 2．下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：选项A：，是因式分解，但未分解彻底，所以选项A不符合题意； 选项B：是乘法运算，没有化为几个整式的积的形式，所以选项B不符合题意； 选项C：右侧没有化为几个整式的积的形式，所以选项C不符合题意； 选项D：符合因式分解的定义，所以选项D符合题意． 3．下列各因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、，因式分解正确，A符合题意； B、不能分解为，故B错误，不符合题意； C、是整式乘法，不是因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，故C错误，不符合题意； D、，原分解没有分解彻底，故D错误，不符合题意． 题型02.因式分解的参数问题 4．若，则常数________． 【答案】 【分析】先计算，再比较即可求解． 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴． 5．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【答案】1 【分析】根据因式分解的定义，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴由题意得，， ∴． 6．若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解的意义和代数式求值，掌握若是多项式的因式，则时多项式的值为是解题的关键． 由因式分解的意义，因式 对应根 ，代入多项式求值． 【详解】解：将 代入多项式 ， 得 ，即 ， 整理得 ． 故答案为：． 7．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 题型03.公因式 8．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式为． 9．多项式，与的公因式为______． 【答案】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）． 故答案：． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 10．要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式、公因式，解题的关键是掌握最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为． 故选：D． 11．多项式与的公因式是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵ ， ， ∴多项式与的公因式是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键． 题型04.提公因式法分解因式 12．因式分解： _______． 【答案】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 13．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，将多项式化为几个整式的积的形式，通过展开验证各选项是否正确；注意完全平方公式、平方差公式的结构特征，以及提公因式法要分解彻底． 【详解】解：A、， 此选项不符合题意； B、， 此选项符合题意； C、， 此选项不符合题意； D、，故分解不彻底， 此选项不符合题意． 14．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 题型05.公式法分解因式判断 15．下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（    ） A．1 a2 B． C．x2 2xy y2 D．4x2 4x 1 【答案】B 【分析】利用平方差公式与完全平方公式逐一分析各选项即可． 【详解】解：， 故A不符合题意； 不能用公式法分解因式，故B符合题意； x2 2xy y2， 故C不符合题意； ， 故D不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查的是利用平方差公式，完全平方公式分解因式，掌握“平方差与完全平方公式”是解本题的关键． 16．下列各式能运用完全平方公式进行因式分解的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项判断即可，． 【详解】解：A. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意；     B. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意； C. ，故该选项符合题意；     D. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了公式法因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键． 17．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 题型06.平方差公式分解因式 18．如果，则括号里应填的式子是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解． 根据作答即可． 【详解】∵， ∴， 即括号里应填的式子是， 故答案为：． 19．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：平方差公式为 ，逐一判断：对选项 A ，A错误； 对选项B ，括号内为平方和，无法因式分解，B错误； 对选项C ，C未分解彻底，C错误； 对选项D ，分解正确，D正确． 20．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，掌握用公式分解，分解后合并同类项并检查是否能继续分解是解题的关键． （1）观察式子为平方差形式，将看作，看作，直接用平方差公式分解； （2）将和看作平方项，用平方差公式分解后合并括号内的同类项； （3）将和看作平方项，用平方差公式分解后化简，再提取公因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型07.完全平方公式分解因式 21．若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是_________________ ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题是一道开放性题，考查因式分解，熟悉因式分解法是解题的关键． 【详解】∵， ∴加上的单项式可以是（答案不唯一）． 22．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先观察已知条件和所求代数式的关系，将所求代数式配方后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求代数式配方得原式 ， ∵， 将代入上式得原式， 故选：C． 23．已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 24．因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，以及整体思想的应用，掌握识别完全平方形式是解题的关键． （1）观察式子结构，符合完全平方和公式的形式，直接套用公式分解； （2）将看作整体，用完全平方公式分解； （3）先展开多项式，合并同类项后得到完全平方形式，再分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型08.综合运用公式法分解因式 25．分解因式：________ 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可． 【详解】解： 26．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 27．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 28．【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 题型09.综合法分解因式 29．分解因式： ________． 【答案】 【详解】解：． 30．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先按因式分解规则分解整式，确定因式个数，再根据定义取，计算每个因式的值后求和得到解码值，用到因式分解的提公因式法和平方差公式． 【详解】解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为 ． 31．解答下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （2）直接利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 32．分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提取公因式，再看剩余部分是否符合完全平方公式的形式，进行因式分解； （2）先将式子变形，提取公因式，再对剩余部分进行整理化简； （3）先提取公因式，再对剩余部分利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：原式， ， ， ． （3）解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握先提取公因式，再根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解是解题的关键． 题型10.实数范围内分解因式 33．在实数范围内因式分解：_______． 【答案】 【详解】本题考查因式分解．先提公因式，再利用平方差公式完成分解． 【点睛】解： 故答案为：． 34．在实数范围内分解因式： _________． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内分解因式．根据因式分解的意义，在实数范围内进行因式分解，其结果必须是几个整式的积．在实数范围内不能再分解． 用完全平方公式分解后，继续在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 35．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 36．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键． （1）先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先对多项式进行化简整理，然后再利用平方差公式进行分解即可解答； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型11.因式分解与有理数简算 37．与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 38．______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 39．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 40．(1)因式分解：； (2)利用分解因式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的综合运用，熟练掌握十字相乘法和公式法分解因式，学会利用平方差公式简便计算是解题的关键． （1）先把看作一个整体，先对原式用十字相乘法分解因式为，再对用十字相乘法分解因式，对用完全平方公式分解因式，即可完成解答； （2）在式子前面乘上和，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 题型12.十字相乘法. 41．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，通过十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 42．若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 【答案】/或/或 【分析】本题考查公式法的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键． 设因式分解形式为，则，，由为整数，、为整数，枚举的整数解求即可． 【详解】解：因式分解形式为， 故，， 由于为整数，且， 则、为整数， 的整数解有：，或，或，或，， 对应： 当，时； 当，时； 当，时； 当，时， 故整数的值为或， 故答案为：． 43．将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，可设（其中a、b为整数）则可求出，再根据可确定a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 44．因式分解：． 【答案】 【分析】先把看成一个整体，接着展开，然后利用“十字相乘法”进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 题型13.分组分解法 45．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 46．因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 47．的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴的分解因式结果中，含有因式， 故选：C． 48．因式分解：． 【答案】 【分析】先将原式看作平方差形式，利用平方差公式分解，再分组整理得到完全平方式，再次用平方差公式分解即可． 【详解】 解： 原式 ． 题型14.因式分解的应用 49．已知 ，则 M 与 N 的大小关系为 M___N．（填>，<或=） 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴，即. 50．小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是______ 【答案】 【分析】根据所给的图形直接求出大长方形的面积，再利用1个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个长宽分别为和的小长方形的面积之和等于大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大长方形的面积为：， 1个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个长宽分别为和的小长方形的面积之和为：； ∴． 51．已知整式，其中为正整数，为自然数，且整式从左到右的奇数项系数的和与偶数项系数的和的乘积为，下列说法： ①满足条件的所有整式中存在单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，不存在其中的两个分解因式后含有相同的多项式因式； ③当时，满足条件的整式共有36个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设奇数项系数和为，偶数项系数和为，由题意得 ，均为正整数，依次判断三个说法的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：设从左到右奇数项系数和为，偶数项系数和为， ， ， ，，即均为正整数． 判断①： ，，说明奇数项至少有一个非零系数，偶数项也至少有一个非零系数，因此整式至少有两项，不存在单项式，故①错误． 判断②：当时， ，，其中，，存在两个整式：，，分解后都含有因式，故②错误． 判断③：当时， ，左到右依次为(奇项)， (偶项)，(奇项)，(偶项)，因此，，，为自然数．所有正整数对为，，，分别计算个数： ： ，自然数解共组； ，，解共 组，共个； ： ，解共组； ，，解共组，共个； ： ，解共组； ，，解共组，共个； ： ，解共组；，，解共组，共个； 总个数为 ，故③正确． 综上，只有个说法正确． 52．请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧” (1)受上述方法启发，尝试分解； (2)类比问题（1）尝试分解； (3)小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因． 【答案】(1) (2) (3)正确；举例见解析；一般结论：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式 【分析】本题考查了因式分解： （1）根据新定义，用构造出平方项，再进行因式分解； （2）根据新定义，把原式看成和的和，用构造平方项，完成因式分解； （3）当完全平方数为时，代入并分解因式，再设完全平方数为，其中为正整数，将按照“姬曼技巧”进行变形，分解因式，后总结一般结论即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：正确； 举例：当完全平方数为时， ， 一般结论：设完全平方数为，其中为正整数，则， ， 因此，正确结论是：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式． 题型15.因式分解与新定义运算 53．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是________． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，…， 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为8，12，16，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为15，21，27，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为24，32，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为35，45，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为48，60，…； …， 把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…， 故第4个“智慧优数”是16， 故答案为：16． 54．若规定，则的结果是_____，因式分解的结果是____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式混合运算，因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ， 故答案为：；． 55．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b____________c． 【答案】 【分析】此题考查了整式运算和因式分解的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算、变形．先按照题意表示出，再运用作差法比较与的大小即可． 【详解】解：由题意得，当，时， ， ， ， 故答案为：． 56．符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】（1）根据题意可得，则可得到，据此可得答案； （2）根据题意可得，求出的展开结果，根据结果中不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，据此求解即可； （3）根据题意可得，则可求出，把所求式子变形为，然后把代入继续变形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 57．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是　　 （填序号）； 与；与；与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，用表示代数式的最简形式　　 ． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． （）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （）由，然后根据与互为“对消多项式”，所以，，解得，，再代入求值即可； （）由，然后根据与互为“对消多项式”且对消值为，所以，，则，又，，得，再由，再把代入即可求解． 【详解】（1）解：，和不是常数，不符合题意； ，和是常数，符合题意； ，和是常数，符合题意； 故答案为：； （2）解：由， ∴ ， ∵与互为“对消多项式”， ∴，， 解得，， ∴对消值； （3）解：由， ∵与互为“对消多项式”， ∴ ， ∵与互为“对消多项式”且对消值为， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， 由得， ∴， 由 ， ∴原式 由代入， ∴原式 ． 题型16.整体换元法分解多项式 58．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整体代入法求代数式的值，由已知条件可得，将所求代数式进行因式分解后代入计算． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 59．若x，y满足，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，熟练掌握平方差公式和整体代入法是解题的关键．将两个等式相减，整理得到，结合，得到，再利用整体法代入求值即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 60．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将因式分解为，然后代入计算即可； （2）根据，，得，再代入计算，最后根据平方根的定义可得答案； （3）根据求得，计算得，继而得到，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， 当时，； 当时，； ∴的值为． 题型17.因式分解判定三角形形状题 61．已知的三边为a、b、c，且满足，则的形状为__________． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的判定，先将分式变形得出，得出，再进行因式分解，进而得出或，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴或． 故答案为：等腰三角形． 62．已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 63．【阅读材料】我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：． 解： 【实践应用】请用配方法解答下列问题： (1)分解因式：． (2)求多项式的最小值． (3)已知a、b、c是的三边长，且满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)1 (3)等边三角形 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键. （1）利用[阅读材料]中配方法将式子因式分解即可得到答案； （2）利用[阅读材料]中配方法将式子化成，由于，所以，从而即可得到答案； （3）利用[阅读材料]中配方法将式子整理成，从而得到，即可得到是等边三角形． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最小值是1． （3）解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 题型18.因式分解中配方法应用 64．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或； ③选取一次项和常数项配方： ． 根据上述材料，解决下面的问题： (1)选取一种方法对进行配方； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据配方法的步骤选取二次项和一次项配方即可． （2）根据配方法的步骤把原式变形为，再根据，求出的值，即可得出答案． 本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解题的关键， 【详解】（1）解： （2） ∴ 解得： ∴ 65．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 原式= 例如：求代数式 的最小值． 原式 ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： _ ．代数式 的最小值为 ； (2)若 则当 时，y有最 值(填“大”或“小”)，这个值是 ； (3)当a， b， c分别为的三边长， 且满足 时，求c的取值范围． 【答案】(1)；3 (2)1；大； (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，三角形的三边关系，解决本题的关键是理解配方法的解答过程． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将进行配方，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行配方，得到两个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出，然后求出c的取值范围． 【详解】（1）解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是3． 故答案为：；3． （2）解： ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是． 故答案为：1；大；． （3）解：， 即， 即， 所以，， 所以，， a，b，c分别为的三边长， ， 即． 66．【阅读理解，自主探究】阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式的概念“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：____________； (2)若，请聪明的你仿照例1，例2的方法求的最小值； (3)已知，则的值为____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，求代数式的值，解题的关键是掌握相应的运算法则、性质及公式． （1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对、用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定、的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2） ∵， ∴当时，有最小值； （3）， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型19.因式分解整除性相关证明 67．对于任何整数，多项式都能被__________整除（整数或者含a的整式）． 【答案】3或或 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案． 【详解】 ， 则对于任何整数a，多项式都能被3或或整除． 故答案为：3或或． 68．对于任意整数，多项式都能（    ） A．被3整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，整除的性质，掌握因式分解是判断代数式整除性的关键． 将多项式利用平方差公式因式分解，提取公因式后可知该表达式恒含有因子3，因此能被3整除． 【详解】解：∵ = = = =， ∴对于任意整数，该多项式均含有因子，故能被整除 其他选项不一定成立，例如当时选项B无意义；当时选项C不成立；当时选项D不成立． 故选：A． 69．可以被20和30之间的某两个整数整除，则这两个数是（   ） A．26，24 B．26，25 C．24，25 D．23，24 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用（平方差公式的多次运用），解题的关键是利用平方差公式对逐步因式分解，找出20到30之间的因数． 用平方差公式多次分解，得到其因式，从中找出20到30之间的整数因数． 【详解】解： 其中，， 这两个数均在20和30之间， 因此能被26和24整除． 故选A． 70．已知k是正整数，求证：能被4整除． 【答案】 见解析 【分析】先展开化简原式，合并同类项后，进行因式分解，结合k是正整数的条件，即可证明结论 【详解】证明： ， ∵k是正整数， ∴是正整数， ∴能被4整除， ∴能被4整除． 71．数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”． 小亮写出如下算式：； 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”． (1)验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）； (2)证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3)如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留） 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解； （2）设这两个连续偶数分别为和，再根据平方差公式，以及“鹿鸣美好式”的定义，即可求解； （3）根据题意得，再根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是“鹿鸣美好式”； （2）证明：设任意两个连续偶数和（为整数），则 ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； （3）解：由题意得 ． 题型20.因式分解中最值问题.. 72．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将等式右边的式子利用多项式乘以多项式的法则展开，根据恒等式，得到对应项相同，得到，根据最小，得到的绝对值相差最大，且负数大于正数，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 73．已知正整数m，n满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，设，，则，，再根据，可得，同为正偶数且为的因数，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：设，， ∴，， ∴， ∴，同为正偶数且为的因数， ∴或或， ∴的最大值为， 故答案为：． 74．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握非负数的性质是解题的关键．先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解． 【详解】解：, 因为, 所以, 当时，, 因此的最小值是， 故选：B. 75．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【答案】(1) (2)时，多项式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04因式分解期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解因式分解的定义，明确因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.熟练掌握两种基本分解方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）。 3.掌握因式分解的解题原则：分解彻底、结果为整式积的形式、首项为正。 1.能准确观察多项式结构，快速找准公因式，规范完成提公因式分解。 2.能正确识别平方差、完全平方公式结构，熟练套用公式分解。 3.具备综合解题能力，掌握先提公因式，再套公式的标准解题步骤。 4.能判断因式分解是否彻底，杜绝分解不完整、分解回头（变回整式乘法）等问题。 1.基础题零失误，熟练解决单一提公因式、公式法填空、选择、计算题。 2.熟练应对期末高频综合题型：先提后套综合因式分解题型。 3.会利用因式分解进行简便运算、代数式求值、整体代入考题。 4.规避考试高频易错点：提公因式漏项、符号错误、分解不彻底、公式乱用。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解与有理数简算 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解与新定义运算 题型16.整体换元法分解多项式 题型17.因式分解判定三角形形状题 题型18.因式分解中配方法应用 题型19.因式分解整除性相关证明 题型20.因式分解中最值问题. 知识点01:基础概念与基本规则 1. 定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解。 2. 互逆关系 整式乘法：整式相乘 → 多项式（展开） 因式分解：多项式 → 整式相乘（合并），二者互为逆运算。 3. 三大解题原则（阅卷必查） (1)结果必须是整式乘积形式，不含加减运算； (2)分解彻底，每个因式都不能再继续分解； (3)多项式首项系数为正数，括号内首项不为负。 4. 典型错误判定（选择题常考） 结果含加减、出现分式、分母带字母，均不属于因式分解； 分解后再次展开，混淆与整式乘法的关系。 知识点02：提公因式法（通用第一步） 1. 公因式查找方法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x，系数 6、9，最大公约数为 3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2，公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2，取x2 2. 特殊公因式：多项式型公因式 符号转换规律（高频考点） (y-x) = -(x-y) (y-x)2 = (x-y)2 (y-x)3 = -(x-y)3 3. 解题步骤 1.确定完整公因式；2. 整体提取公因式；3. 剩余项为1时不可省略；4. 调整符号，保证首项为正。 4. 常见易错点 漏写剩余常数1、只提字母不提系数、相反数形式因式符号转换出错。 知识点03：公式法 公式类型 适用形式 分解公式 结构特征 平方差公式 二项式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项、一正一负、两项均为完全平方式 完全平方和 三项式 a2+2ab+b2=(a+b)2 首尾项为正的平方项，中间项为两底数乘积的 2 倍 完全平方差 三项式 a2-2ab+b2=(a-b)2 首尾项为正的平方项，中间项为负的两底数乘积的 2 倍 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点05:期末常考题型汇总 1.基础题：单纯提公因式、套公式（选择、填空） 2.综合分解：一提二套连用（计算小题） 3.简便运算：利用因式分解凑整，简化计算 4.代数式求值：先分解，再整体代入（高频大题） 5.参数求解：已知式子是完全平方式，求字母的值（填空压轴） 6.说理 / 整除问题：分解后判断能否被某数、某整式整除 知识点06:易错汇总 错误做法 正确做法 出错原因 不提公因式直接套用公式 先提公因式，再套用公式 解题顺序混乱，分解不彻底 两项同号套用平方差公式 平方差必须两项异号 公式特征记混 完全平方中间项缺少系数 2 中间项必须是两倍乘积 公式记忆不全 首项为负不提负号 首项负，先提取负号 书写格式不规范 提取公因式后空位不写 1 全部提完剩余项补 1 细节疏漏 分解结果还有加减算式 结果必须全部写成乘积形式 概念理解错误 参数题只写单一答案 分类讨论，正负双解 考虑问题不全面 题型01.因式分解的判断 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 题型02.因式分解的参数问题 4．若，则常数________． 5．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 6．若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则的值为_____． 7．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 题型03.公因式 8．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 9．多项式，与的公因式为______． 10．要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 11．多项式与的公因式是（　　　） A． B． C． D． 题型04.提公因式法分解因式 12．因式分解： _______． 13．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 14．分解因式： (1) (2) (3) (4) 题型05.公式法分解因式判断 15．下列多项式不能用公式法进行因式分解的是（    ） A．1 a2 B． C．x2 2xy y2 D．4x2 4x 1 16．下列各式能运用完全平方公式进行因式分解的是 A． B． C． D． 17．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型06.平方差公式分解因式 18．如果，则括号里应填的式子是___________． 19．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 20．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 题型07.完全平方公式分解因式 21．若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是_________________ ．（写出一个即可） 22．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 23．已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 24．因式分解： (1)． (2)． (3)． 题型08.综合运用公式法分解因式 25．分解因式：________ 26．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 27．分解因式：． 28．【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 题型09.综合法分解因式 29．分解因式： ________． 30．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 31．解答下列各题： (1)； (2)． 32．分解因式： (1)． (2)． (3)． 题型10.实数范围内分解因式 33．在实数范围内因式分解：_______． 34．在实数范围内分解因式： _________． 35．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 36．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型11.因式分解与有理数简算 37．与相等的是（   ） A． B． C． D． 38．______． 39．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 40．(1)因式分解：； (2)利用分解因式计算：． 题型12.十字相乘法. 41．因式分解：___________． 42．若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 43．将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 44．因式分解：． 题型13.分组分解法 45．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 46．因式分解：________ 47．的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 48．因式分解：． 题型14.因式分解的应用 49．已知 ，则 M 与 N 的大小关系为 M___N．（填>，<或=） 50．小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是______ 51．已知整式，其中为正整数，为自然数，且整式从左到右的奇数项系数的和与偶数项系数的和的乘积为，下列说法： ①满足条件的所有整式中存在单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，不存在其中的两个分解因式后含有相同的多项式因式； ③当时，满足条件的整式共有36个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 52．请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧” (1)受上述方法启发，尝试分解； (2)类比问题（1）尝试分解； (3)小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因． 题型15.因式分解与新定义运算 53．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是________． 54．若规定，则的结果是_____，因式分解的结果是____． 55．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b____________c． 56．符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 57．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是　　 （填序号）； 与；与；与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，用表示代数式的最简形式　　 ． 题型16.整体换元法分解多项式 58．若，则的值为_______． 59．若x，y满足，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 60．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 题型17.因式分解判定三角形形状题 61．已知的三边为a、b、c，且满足，则的形状为__________． 62．已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 63．【阅读材料】我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：． 解： 【实践应用】请用配方法解答下列问题： (1)分解因式：． (2)求多项式的最小值． (3)已知a、b、c是的三边长，且满足，判断的形状． 题型18.因式分解中配方法应用 64．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或； ③选取一次项和常数项配方： ． 根据上述材料，解决下面的问题： (1)选取一种方法对进行配方； (2)已知，求的值． 65．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 原式= 例如：求代数式 的最小值． 原式 ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： _ ．代数式 的最小值为 ； (2)若 则当 时，y有最 值(填“大”或“小”)，这个值是 ； (3)当a， b， c分别为的三边长， 且满足 时，求c的取值范围． 66．【阅读理解，自主探究】阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式的概念“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：____________； (2)若，请聪明的你仿照例1，例2的方法求的最小值； (3)已知，则的值为____________． 题型19.因式分解整除性相关证明 67．对于任何整数，多项式都能被__________整除（整数或者含a的整式）． 68．对于任意整数，多项式都能（    ） A．被3整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 69．可以被20和30之间的某两个整数整除，则这两个数是（   ） A．26，24 B．26，25 C．24，25 D．23，24 70．已知k是正整数，求证：能被4整除． 71．数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”． 小亮写出如下算式：； 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”． (1)验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）； (2)证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3)如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留） 题型20.因式分解中最值问题.. 72．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是________． 73．已知正整数m，n满足，则的最大值为______． 74．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．4 75．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $