专题04 分式（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材沪科版

专题04 分式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 识别分式 题型02 分式有无意义 题型03 分式的值为0 题型04 分式变形、系数化整、符号化简 题型05 分式中字母扩大或缩小倍数，判断分式值变化 题型06 分式约分 题型07 最简分式的判断 题型08 分式通分 题型09 分式乘除运算 题型10 分式加减运算 题型11 分式混合运算 题型12 分式化简求值 题型13 解分式方程 题型14 分式方程增根问题 题型15 分式方程无解问题 题型16 分式方程有解、正数解、负数解问题 题型17分式方程解决实际应用题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 识别分式、区分整式与分式  牢记分式定义，整式，分母含有字母；算常数，含分母不是分式。快速辨别代数式是整式、分式。 期末开篇基础题，常混杂常数、、字母代数式辨析。 分式有意义、无意义条件 掌握分式有意义：；无意义：；的条件，会列不等式求字母取值范围。 填空高频；易错：多个因式分母，漏写多个取值限制； 分式的值为 0 的求值 满足两个条件，缺一不可，先令分子为 0，再剔除让分母为0的解。 期末必考填空、单选；全章经典陷阱题，中考小题常年考查。 分式基本性质与符号变形 掌握； 熟练变号法则：，统一分子、分母、分式三处符号。 融入约分、化简；选择题判断变形正误，期末常考系数化为整数、首项变正。 分式的约分、最简分式判定 单项式：找系数最大公约数 + 相同字母最低次幂； 多项式：先因式分解，再提取公因式约分；能判断最简分式（无公因式）。 所有分式化简前置步骤；单选辨析最简分式，计算题必用。 最简公分母确定与分式通分 单项式分母：系数最小公倍数 + 所有字母最高次幂； 多项式分母：先因式分解，再确定最简公分母，完成异分母通分。 依附分式加减，不单独出题，是异分母分式加减的必备步骤。 分式乘除运算 乘法：分子 × 分子、分母 × 分母；除法变乘倒数； 多项式先分解因式再约分，最后整理结果。 混合运算必考前置运算。 分式的乘方运算 ，符号跟随指数奇偶变化； 乘方、乘除混合先算乘方。 混合运算必考小环节，易漏分子分母全部乘方。 分式同分母、异分母加减运算 同分母：分母不变，分子整式相加减； 异分母：先通分，再加减，最终结果化成最简分式。 期末计算核心考点，单独加减 6 分，混合运算必考。 分式四则混合运算 + 化简代入求值 掌握运算顺序：乘方→乘除→加减，括号优先； 化简后代入数值计算，注意代入数值不能让原式分母为 0。 期末大题必考，中考固定题型，全章分值最高考点。 分式方程定义、常规解法与验根 掌握区分整式与分式方程（分母含未知数）； 步骤：去分母→化整式方程→求解→代入最简公分母检验。 解方程题型 6～8 分，必考检验步骤，漏检验扣分是阅卷常态。 分式方程增根问题 + 参数求解。 理解增根：去分母产生、使原分式分母为 0 的根； 已知增根求参数：①找增根②代入去分母后的整式方程求字母。 选择、填空难点题，期末拔高必考，统考高频拉分小题。 分式方程实际应用题。 行程、工程、销售单价三类经典题型，找等量关系列分式方程，作答前检验。 期末应用题 10 分左右，命题贴合生活修路、采购、行车等场景。 知识点01 分式的定义 一般地，如果、都是整式，且中含有字母，同时，那么式子叫做分式，其中是分子，是 分母，判断一个式子是否为分式必须看原式的形式，不能看化简之后的结果，圆周率为常数，不作为字 母判定。 ·示例：、是分式，、是整式。 ·易错点：学生容易依据化简后的简洁形式判断分式，误将原本分母含字母的分式当成整式，也容易把常 数误认为字母从而错误判定式子类型，同时容易把普通除法算式当成分式，忽略分式必须是分数标准形式 的要求。 知识点02 分式有意义的条件 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 分式有意义的唯一条件是分母不等于零，只与分母有关，与分子取值没有任何关系。 示例：分式有意义的条件是，即。 易错点：做题时常错误关注分子取值，混淆分子分母的限制条件，遇到多层分母、多个限制因式的题型容易遗漏部分分母不为零的条件，导致取值范围写不全。 知识点03 分式无意义的条件 当分式的分母等于零时，分式无意义，分子取值任意不影响分式有无意义。 示例：分式无意义时，，即。 易错点：容易将分式无意义的条件与分式值为零的条件混淆，解题时不区分分子分母的作用，同时遇到多因式分母时容易漏写使分母为零的全部取值。 知识点04 分式值为 0 的条件 分式的值为零必须同时满足两个条件，一是分子的值等于零，二是分母的值不等于零，两个条件缺一不可。 示例：分式值为 0 时，且，解得。 易错点：最常见错误是只令分子等于零就直接写答案，忽略分母不能为零的硬性限制，导致出现增根错误，在多因式分子题型中也常常不逐一检验分母取值，造成答案出错。 知识点05 分式值为正、为负的条件 分式的值为正数时分子分母同号，同时为正或同时为负，分式的值为负数时分子分母异号，一正一负，且全程必须保证分母不为零。 示例：，解得。 易错点：解分式正负取值不等式时容易漏写一组不等式组，符号判断混乱，且经常忘记排除使分母为零的无效取值，导致最终取值范围多出错误数值。 知识点06 分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘或除以同一个不等于零的整式，分式的大小保持不变，公式：。 示例：，。 易错点：运用性质时常出现分子分母不同步变形的问题，只改变分子或只改变分母，容易出现同乘零的违规操作，还会错误认为分式分子分母同时加减同一个数大小不变，混淆等式性质与分式性质。 知识点07 分式符号法则 分式的分子、分母、分式整体三处符号，任意同时改变两处符号，分式的值不发生改变。 示例：。 易错点：变号时经常只改变一处符号导致整体正负颠倒，处理多项式分子分母时容易忘记添加括号，只改变首项符号，整体符号混乱，分不清局部符号和整体符号的变化规则。 知识点08 分式字母扩倍缩倍规律 分式中所有字母同时扩大或缩小相同倍数时，需要整体代入化简，对比原式判断分式值的变化情况，不可主观臆断。 示例：都扩大 2 倍，的值变为原来的。 易错点：做题时常凭直觉直接判断倍数变化，不代入式子化简验证，也容易出现只扩倍部分字母、遗漏部分字母的错误。 知识点09 约分与最简分式 把分式分子分母的公因式约去叫做约分，分子分母除去 1 没有其他公因式的分式叫做最简分式，多项式分式约分前必须先因式分解。 示例：。 易错点：最大误区是对未分解的多项式随意约分，错误约去加减形式的项，不理解只能约因式不能约加减式，同时普遍存在约分不彻底、计算结果不化为最简分式的问题。 知识点10 通分与最简公分母 把异分母分式化为等值的同分母分式叫做通分，最简公分母取各分母系数最小公倍数、所有字母与因式最高次幂的乘积，多项式分母需先分解因式再找公分母。 示例：与的最简公分母为。 易错点：找最简公分母时容易把系数最大公倍数当成最小公倍数，遗漏部分因式或误用低次幂，多项式分母不分解就直接判断公分母，通分时也经常只改动分母、不对应扩大分子，导致分式大小改变。 知识点11 分式乘法运算 分式相乘分子乘分子、分母乘分母，计算优先因式分解、提前约分，最后再相乘。 示例：。 易错点：习惯先相乘后约分导致计算量大、极易算错，不进行因式分解直接硬算，无法约分造成式子复杂，同时容易出现单项式、多项式相乘漏项的问题。 知识点12 分式除法运算 分式除以分式，等于乘除式的倒数，再按照分式乘法规则计算。 示例：。 易错点：做除法时常忘记变倒数，直接分子分母对应相除，或者颠倒被除数而非除数，步骤不规范导致结果符号、数值全部出错。 知识点13 分式乘方运算 分式的乘方等于将分子分母分别整体乘方，公式：。 示例：。 易错点：乘方计算时经常只给分子乘方、忽略分母乘方，多项式分子乘方容易展开错误，漏掉中间项或符号出错。 知识点14 同分母分式加减 同分母分式相加减，分母保持不变，只将分子相加减，最后化简结果。 示例：。 易错点：分式减法运算中分子为多项式时普遍不添加括号，导致后面项符号全部变反，还会错误对分母进行加减运算，做完题不化简最终式子。 知识点15 异分母分式加减 异分母分式相加减必须先通分变成同分母分式，再进行分子加减运算，最后化为最简分式。 示例：。 易错点：通分过程中分子扩倍不对应分母，容易漏乘、少乘，分子加减时符号混乱，步骤跳步过多，且多数学生习惯不化简最终结果。 知识点16 分式混合运算 运算顺序为先乘方，再乘除，最后加减，有括号优先算括号内，全程随时约分，结果必须最简。 示例：。 易错点：混合运算最容易打乱运算顺序，优先加减再乘除，整式与分式合并时容易乱添分母、错改整式结构，去括号时符号判断失误，跳步计算导致大量细节错误。 知识点17 分式化简求值 必须先整体化简分式，再代入数值计算，代入的数值必须保证原式所有分母不为零。 示例：化简得，代入得。 易错点：普遍存在不化简直接硬代数值计算的情况，计算繁琐极易出错，同时经常选取使原式分母为零的无效数值代入，违背取值原则。 知识点18 分式方程定义与解法 分母中含有未知数的方程是分式方程，解法为去分母化为整式方程、求解、代入公分母检验、写结论。 示例：解方程，解得，检验成立。 易错点：解分式方程时最常犯的错误是去分母过程中常数项漏乘最简公分母，绝大多数学生省略检验这一关键得分步骤，算出增根后不会写无解结论，混淆增根与方程无解的概念。 知识点19 分式方程增根问题 增根是去分母后整式方程的解，但是会让原分式方程分母为零，不属于原分式方程的解。 示例：解方程，解得，可得分母x-1=0，所以x=1是原分式方程的增根。 易错点：容易混淆分式方程 “有增根” 和 “无解” 的区别，做含参数增根题型时无法正确找出对应的增根数值，代入参数计算时常出现漏情况、漏解的问题。 知识点20 分式方程解决实际问题 利用分式方程解决工程、行程、销售等实际问题，解方程后需要双重检验，既要检验是否为方程的解，又要检验是否符合实际意义。 易错点：列方程时常等量关系找错、式子列反，解方程后只检验方程不检验实际场景，忽略人数、速度、时间等不能为负数、不能取无意义数值的实际限制。 期末避坑易错点总结：分式值为 0：只看分子，忘记检验分母；去分母：漏乘不含分母的常数项；分式加减：分子是多项式，相减不添括号，符号出错；化简求值：自选数值时，选了使分母为 0 的数；解分式方程、含参问题：省略检验步骤（考试直接扣分）；区分：增根≠无解，无解包含增根 + 整式方程无解两种情况。 题型一 识别分式 解｜题｜技｜巧 形如，是整式，分母中必须含有字母；判断一个式子是不是分式关键在于这个式子的分母中是否含有字母，有则是，无则不是；特别注意：是常数，含的式子不算字母；化简后判断无效，看原式分母。 【典例1】下列代数式是分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列各式，，，，，，，其中分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 分式有无意义 解｜题｜技｜巧 分式有意义：分母，列不等式求解；分式无意义：分母，解方程即可；多个分母同时存在：所有分母都不为 0，取公共解集。 【典例1】若使分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例2】若分式无意义，则的值是（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【变式1】使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【变式2】下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 题型三 分式的值为 0 解｜题｜技｜巧 分子 = 0，求出未知数；分母≠0，舍去使分母为0的解；（口诀：分子为零，分母不为零。） 【典例1】若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】当时，下列各式中值为0的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知分式的值为零，则的值为  （    ） A． B． C． D．或 题型四 分式变形、系数化整、符号化简 解｜题｜技｜巧 基本性质：（整式）；符号法则：，负号个数奇负偶正；系数化整：分子分母同乘所有分母的最小公倍数，不要漏乘项。 【典例1】下列从左到右的分式变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型五 分式中字母扩大或缩小倍数，判断分式值变化 解｜题｜技｜巧 直接将原式中字母替换为，化简对比原式；快速判断：分别看分子、分母次数，整体次数差决定变化倍数。 【典例1】若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【变式2】把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不改变 题型六 分式约分 解｜题｜技｜巧 第一步：分子、分母先因式分解（提公因式、公式法）；第二步：约去公因式；结果要求：化为最简分式（无公因式）。 【典例1】下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】约分： ______． 【变式2】约分：__________． 题型七 最简分式的判断 解｜题｜技｜巧 先对各分母因式分解；找最简公分母：进行约分至分子分母都不含公因式的分式。 【典例1】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【变式2】把分式化为最简分式为________． 题型八 分式通分 解｜题｜技｜巧 先对各分母因式分解；找最简公分母：系数取最小公倍数，字母或因式取最高次幂；分子随分母同步扩大，保证分式值不变。 【典例1】把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式1】分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 【变式2】将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 题型九 分式乘除运算 解｜题｜技｜巧 法则：乘除统一为乘法，除以一个分式 = 乘它的倒数；运算顺序：从左到右；步骤：先因式分解→约分→再相乘，能约分先约分，减少计算量。 【典例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【典例2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算的结果是___． 【变式3】若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4】计算：______． 【变式5】计算： ______ ． 题型十 分式加减运算 解｜题｜技｜巧 同分母：分母不变，分子直接相加减，最后约分；异分母：先通分，再按同分母计算；整式加减：把整式看作分母为1的分式再通分；注意：分子是多项式时，加减务必添括号，防止符号出错。 【典例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【典例2】计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3】化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 【变式4】已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十一 分式混合运算 解｜题｜技｜巧 运算顺序：先括号→再乘除→最后加减；全程优先：因式分解、提前约分；符号重点：括号前是负号，去括号各项变号；最终结果：必须化为最简分式或整式。 【典例1】计算：（   ） A． B． C． D． 【变式1】计算：________． 题型十二 分式化简求值 解｜题｜技｜巧 通用流程：先化简，后代入（严禁直接代值硬算）；限定取值：题目给数直接代；自选数值：必须保证原分式所有分母≠0；整体代入：已知等整体式，不单独求字母，整体替换。 【典例1】先化简，再求值：，其中 【变式1】先化简：，再从、、0、1中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 题型十三 解分式方程 解｜题｜技｜巧 去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程（每一项都要乘，不漏常数项）；解整式方程；检验（必写步骤）：把解代入最简公分母，若公分母≠0，是原方程的解；若 = 0，为增根；写结论。 【典例1】解方程： 【变式1】解方程：． 【变式2】解方程：． 题型十四 分式方程增根问题 解｜题｜技｜巧 确定增根：令最简公分母 = 0，求出增根；去分母化为整式方程；把增根代入整式方程，求出参数。 【典例1】若关于x的方程有增根，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【变式2】关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 题型十五 分式方程无解问题 解｜题｜技｜巧 情况 1：整式方程有解，但解是增根（同增根题型解法）；情况 2：去分母后得到的整式方程本身无解（一元一次方程：系数为 0，常数项不等）；综合两种情况，合并参数取值。 【典例1】若关于的分式方程无解，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1】如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 题型十六 分式方程有解、正数解、负数解问题 解｜题｜技｜巧 解分式方程，用参数表示出未知数；根据 “解为正 / 负” 列不等式；额外限制：解不能是增根，排除使分母为 0 的取值；最终取不等式解集。 【典例1】关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 【典例2】已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【典例3】若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【变式1】若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 【变式2】已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式3】若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十七 分式方程解决实际应用题 解｜题｜技｜巧 审：找等量关系（核心：时间相等、工作量相等、总价 / 单价关系）；设：设未知数（一般求什么设什么）； 列：根据等量关系列分式方程；解 +双重检验：①检验是否为方程的解 ②检验是否符合实际意义；答：规范写答案。 【典例1】小王乘公共汽车从甲地到相距60千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度是公共汽车的1.5倍，回来时路上所花时间比去时节省了半小时，设公共汽车的平均速度为千米/时，则下面列出的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了天，隧道被挖通．记总工程量为．设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据题意，列出方程为________． 【典例3】近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和每小时一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 【变式1】司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【变式2】小明同学今年参加学校组织的劳动实践活动，了解苹果的生长过程，和果农们一起采摘苹果．在劳动实践过程中，小明了解到如下信息： 果品业是我国农业种植业继粮食、蔬菜之后的第三大产业，是绿色健康、生态友好的优势特色产业，也是全面推进乡村振兴、共同富裕的重要产业，运城是全球公认的苹果生产黄金带和水果优生区，全市水果种植面积约300万亩，约占全省的，年产量约600万吨，约占全省的．苹果也已经成了运城市临猗县北辛乡群众增收致富的重要支柱产业． 今年临猗苹果市场平均每千克的售价比去年增加1元，同等品质下，去年售出1000元的苹果和今年售出1100元的苹果质量相等． 根据以上信息，求今年临猗苹果的市场平均售价． 【变式3】某果园种植的沃柑和皇帝柑品质优良，深受消费者喜爱．某游客第一次到果园购买，发现用720元购买沃柑的数量，比用相同金额购买皇帝柑的数量多12千克，且皇帝柑的单价是沃柑的1.25倍． (1)求沃柑、皇帝柑的单价． (2)因口感上佳，该游客第二次购买这两种水果．沃柑按原单价销售，皇帝柑的单价每千克降低元，皇帝柑的购买数量比第一次增加千克．若第二次一共购买两种水果70千克，共花费940元，求a的值． 【变式4】列方程解下列问题．重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 【变式5】列方程解下列问题：瓷器是中华民族对世界物质文明的一项重大贡献，在英文中“瓷器（）”与“中国（）”同为一词．端午将至，某瓷器厂将制作一批茶具投放市场，共有名工人负责生产该批茶具，每套茶具由只茶杯和只茶壶组成．已知每名工人平均每天可以制作只茶杯或只茶壶，且每人每天只能制作一种产品． (1)该瓷器厂应安排多少人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套？ (2)按第（1）问的人员安排生产天后，该批茶具全部完成，并分两次投放市场．第一次投放的茶具的总利润为元；第二次投放的每套茶具的利润是第一次投放的每套茶具利润的倍，第二次投放的茶具的总利润为元，两次投放刚好销售完所有茶具．那么第一次和第二次投放市场的茶具的套数分别为多少？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 4．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 5．若关于x 的方程 的解为，则 m 的值为（     ） A．0 B．1 C．3 D．4 6．计算的结果是________． 7．分式方程的解为_______． 8．当______时，分式无意义． 9．解方程： 10．先化简，再求值：，其中． 11．A市与甲、乙两地的距离分别为和，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． 12．列方程解下列问题： 重庆作为全国知名的文旅城市，火锅文化是其城市名片之一，某工厂精准把握文旅市场需求，生产甲、乙两种火锅底料．该工厂每天生产甲种火锅底料的数量比每天生产乙种火锅底料的数量多40袋，2天时间生产的甲种火锅底料的数量比3天时间生产的乙种火锅底料的数量多20袋． (1)求该厂每天生产的甲种、乙种火锅底料的数量分别是多少袋？ (2)由于两种火锅底料都深受游客喜欢，销量大增，为了满足市场需求，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了袋，每天生产乙种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了a袋．若生产1400袋甲种火锅底料所需的时间比生产1200袋乙种火锅底料所需的时间少5天，求a的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的分式方程无解，则m的值是（    ） A．3或 B．3或10 C．3 D． 4．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 5．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D．且 6．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 7．若代数式的值为1，则_______． 8．关于x的分式方程有整数解，则整数a的和为______． 9．关于的分式方程解为正数，则的取值范围为_____． 10．在解分式方程时，小红的解法如下： 第一步： 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：检验，当时，； 第六步：∴原方程无解． 小红的解法中存在两处错误，分别是第____步和第___步；请你写出正确的解答过程． 11．开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 12．列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需80元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需140元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 2．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 3．若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 4．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 5．新定义：如果两个实数a（）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，则n的值______． 6． 某商店购进一批对联、小马挂件、日历册，这些物品刚好包装成80个相同规格的“马年春节福袋”出售（每个福袋售价为三种商品的单价之和），其中对联、小马挂件、日历册的进价之比为，对联、小马挂件、日历册的售价分别是进价的，每个福袋中对联、小马挂件、日历册的数量之比为，年前卖出一部分福袋，剩下的年后清仓售完．年后清仓时，三种商品的售价分别调整为其进价的．把剩下的福袋按照降价后的方式全部售完后，年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，则年前卖出福袋______盒，这批福袋的总利润率是______． 7．某文创工作室，以蒙古族传统乐器马头琴为原型，制作迷你马头琴挂坠用于文旅销售．第一次制作时，投入1500元采购榉木等原材料，成品全部售罄；第二次为提升工艺质感，选用胡桃木原料，每个挂坠的原材料成本是第一次的倍，投入1200元制作的挂坠数量比第一次少20个． (1)求第一次制作的每个马头琴迷你挂坠原材料的成本是多少元？ (2)已知第二批马头琴挂坠每个售价为50元，售出一半后，为助力文旅推广，剩余挂坠打折销售．若要求全部售出后，第二批挂坠的总利润不少于500元，求剩余的挂坠最多可打几折？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 识别分式 题型02 分式有无意义 题型03 分式的值为0 题型04 分式变形、系数化整、符号化简 题型05 分式中字母扩大或缩小倍数，判断分式值变化 题型06 分式约分 题型07 最简分式的判断 题型08 分式通分 题型09 分式乘除运算 题型10 分式加减运算 题型11 分式混合运算 题型12 分式化简求值 题型13 解分式方程 题型14 分式方程增根问题 题型15 分式方程无解问题 题型16 分式方程有解、正数解、负数解问题 题型17分式方程解决实际应用题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 识别分式、区分整式与分式  牢记分式定义，整式，分母含有字母；算常数，含分母不是分式。快速辨别代数式是整式、分式。 期末开篇基础题，常混杂常数、、字母代数式辨析。 分式有意义、无意义条件 掌握分式有意义：；无意义：；的条件，会列不等式求字母取值范围。 填空高频；易错：多个因式分母，漏写多个取值限制； 分式的值为 0 的求值 满足两个条件，缺一不可，先令分子为 0，再剔除让分母为0的解。 期末必考填空、单选；全章经典陷阱题，中考小题常年考查。 分式基本性质与符号变形 掌握； 熟练变号法则：，统一分子、分母、分式三处符号。 融入约分、化简；选择题判断变形正误，期末常考系数化为整数、首项变正。 分式的约分、最简分式判定 单项式：找系数最大公约数 + 相同字母最低次幂； 多项式：先因式分解，再提取公因式约分；能判断最简分式（无公因式）。 所有分式化简前置步骤；单选辨析最简分式，计算题必用。 最简公分母确定与分式通分 单项式分母：系数最小公倍数 + 所有字母最高次幂； 多项式分母：先因式分解，再确定最简公分母，完成异分母通分。 依附分式加减，不单独出题，是异分母分式加减的必备步骤。 分式乘除运算 乘法：分子 × 分子、分母 × 分母；除法变乘倒数； 多项式先分解因式再约分，最后整理结果。 混合运算必考前置运算。 分式的乘方运算 ，符号跟随指数奇偶变化； 乘方、乘除混合先算乘方。 混合运算必考小环节，易漏分子分母全部乘方。 分式同分母、异分母加减运算 同分母：分母不变，分子整式相加减； 异分母：先通分，再加减，最终结果化成最简分式。 期末计算核心考点，单独加减 6 分，混合运算必考。 分式四则混合运算 + 化简代入求值 掌握运算顺序：乘方→乘除→加减，括号优先； 化简后代入数值计算，注意代入数值不能让原式分母为 0。 期末大题必考，中考固定题型，全章分值最高考点。 分式方程定义、常规解法与验根 掌握区分整式与分式方程（分母含未知数）； 步骤：去分母→化整式方程→求解→代入最简公分母检验。 解方程题型 6～8 分，必考检验步骤，漏检验扣分是阅卷常态。 分式方程增根问题 + 参数求解。 理解增根：去分母产生、使原分式分母为 0 的根； 已知增根求参数：①找增根②代入去分母后的整式方程求字母。 选择、填空难点题，期末拔高必考，统考高频拉分小题。 分式方程实际应用题。 行程、工程、销售单价三类经典题型，找等量关系列分式方程，作答前检验。 期末应用题 10 分左右，命题贴合生活修路、采购、行车等场景。 知识点01 分式的定义 一般地，如果、都是整式，且中含有字母，同时，那么式子叫做分式，其中是分子，是 分母，判断一个式子是否为分式必须看原式的形式，不能看化简之后的结果，圆周率为常数，不作为字 母判定。 ·示例：、是分式，、是整式。 ·易错点：学生容易依据化简后的简洁形式判断分式，误将原本分母含字母的分式当成整式，也容易把常 数误认为字母从而错误判定式子类型，同时容易把普通除法算式当成分式，忽略分式必须是分数标准形式 的要求。 知识点02 分式有意义的条件 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 分式有意义的唯一条件是分母不等于零，只与分母有关，与分子取值没有任何关系。 示例：分式有意义的条件是，即。 易错点：做题时常错误关注分子取值，混淆分子分母的限制条件，遇到多层分母、多个限制因式的题型容易遗漏部分分母不为零的条件，导致取值范围写不全。 知识点03 分式无意义的条件 当分式的分母等于零时，分式无意义，分子取值任意不影响分式有无意义。 示例：分式无意义时，，即。 易错点：容易将分式无意义的条件与分式值为零的条件混淆，解题时不区分分子分母的作用，同时遇到多因式分母时容易漏写使分母为零的全部取值。 知识点04 分式值为 0 的条件 分式的值为零必须同时满足两个条件，一是分子的值等于零，二是分母的值不等于零，两个条件缺一不可。 示例：分式值为 0 时，且，解得。 易错点：最常见错误是只令分子等于零就直接写答案，忽略分母不能为零的硬性限制，导致出现增根错误，在多因式分子题型中也常常不逐一检验分母取值，造成答案出错。 知识点05 分式值为正、为负的条件 分式的值为正数时分子分母同号，同时为正或同时为负，分式的值为负数时分子分母异号，一正一负，且全程必须保证分母不为零。 示例：，解得。 易错点：解分式正负取值不等式时容易漏写一组不等式组，符号判断混乱，且经常忘记排除使分母为零的无效取值，导致最终取值范围多出错误数值。 知识点06 分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘或除以同一个不等于零的整式，分式的大小保持不变，公式：。 示例：，。 易错点：运用性质时常出现分子分母不同步变形的问题，只改变分子或只改变分母，容易出现同乘零的违规操作，还会错误认为分式分子分母同时加减同一个数大小不变，混淆等式性质与分式性质。 知识点07 分式符号法则 分式的分子、分母、分式整体三处符号，任意同时改变两处符号，分式的值不发生改变。 示例：。 易错点：变号时经常只改变一处符号导致整体正负颠倒，处理多项式分子分母时容易忘记添加括号，只改变首项符号，整体符号混乱，分不清局部符号和整体符号的变化规则。 知识点08 分式字母扩倍缩倍规律 分式中所有字母同时扩大或缩小相同倍数时，需要整体代入化简，对比原式判断分式值的变化情况，不可主观臆断。 示例：都扩大 2 倍，的值变为原来的。 易错点：做题时常凭直觉直接判断倍数变化，不代入式子化简验证，也容易出现只扩倍部分字母、遗漏部分字母的错误。 知识点09 约分与最简分式 把分式分子分母的公因式约去叫做约分，分子分母除去 1 没有其他公因式的分式叫做最简分式，多项式分式约分前必须先因式分解。 示例：。 易错点：最大误区是对未分解的多项式随意约分，错误约去加减形式的项，不理解只能约因式不能约加减式，同时普遍存在约分不彻底、计算结果不化为最简分式的问题。 知识点10 通分与最简公分母 把异分母分式化为等值的同分母分式叫做通分，最简公分母取各分母系数最小公倍数、所有字母与因式最高次幂的乘积，多项式分母需先分解因式再找公分母。 示例：与的最简公分母为。 易错点：找最简公分母时容易把系数最大公倍数当成最小公倍数，遗漏部分因式或误用低次幂，多项式分母不分解就直接判断公分母，通分时也经常只改动分母、不对应扩大分子，导致分式大小改变。 知识点11 分式乘法运算 分式相乘分子乘分子、分母乘分母，计算优先因式分解、提前约分，最后再相乘。 示例：。 易错点：习惯先相乘后约分导致计算量大、极易算错，不进行因式分解直接硬算，无法约分造成式子复杂，同时容易出现单项式、多项式相乘漏项的问题。 知识点12 分式除法运算 分式除以分式，等于乘除式的倒数，再按照分式乘法规则计算。 示例：。 易错点：做除法时常忘记变倒数，直接分子分母对应相除，或者颠倒被除数而非除数，步骤不规范导致结果符号、数值全部出错。 知识点13 分式乘方运算 分式的乘方等于将分子分母分别整体乘方，公式：。 示例：。 易错点：乘方计算时经常只给分子乘方、忽略分母乘方，多项式分子乘方容易展开错误，漏掉中间项或符号出错。 知识点14 同分母分式加减 同分母分式相加减，分母保持不变，只将分子相加减，最后化简结果。 示例：。 易错点：分式减法运算中分子为多项式时普遍不添加括号，导致后面项符号全部变反，还会错误对分母进行加减运算，做完题不化简最终式子。 知识点15 异分母分式加减 异分母分式相加减必须先通分变成同分母分式，再进行分子加减运算，最后化为最简分式。 示例：。 易错点：通分过程中分子扩倍不对应分母，容易漏乘、少乘，分子加减时符号混乱，步骤跳步过多，且多数学生习惯不化简最终结果。 知识点16 分式混合运算 运算顺序为先乘方，再乘除，最后加减，有括号优先算括号内，全程随时约分，结果必须最简。 示例：。 易错点：混合运算最容易打乱运算顺序，优先加减再乘除，整式与分式合并时容易乱添分母、错改整式结构，去括号时符号判断失误，跳步计算导致大量细节错误。 知识点17 分式化简求值 必须先整体化简分式，再代入数值计算，代入的数值必须保证原式所有分母不为零。 示例：化简得，代入得。 易错点：普遍存在不化简直接硬代数值计算的情况，计算繁琐极易出错，同时经常选取使原式分母为零的无效数值代入，违背取值原则。 知识点18 分式方程定义与解法 分母中含有未知数的方程是分式方程，解法为去分母化为整式方程、求解、代入公分母检验、写结论。 示例：解方程，解得，检验成立。 易错点：解分式方程时最常犯的错误是去分母过程中常数项漏乘最简公分母，绝大多数学生省略检验这一关键得分步骤，算出增根后不会写无解结论，混淆增根与方程无解的概念。 知识点19 分式方程增根问题 增根是去分母后整式方程的解，但是会让原分式方程分母为零，不属于原分式方程的解。 示例：解方程，解得，可得分母x-1=0，所以x=1是原分式方程的增根。 易错点：容易混淆分式方程 “有增根” 和 “无解” 的区别，做含参数增根题型时无法正确找出对应的增根数值，代入参数计算时常出现漏情况、漏解的问题。 知识点20 分式方程解决实际问题 利用分式方程解决工程、行程、销售等实际问题，解方程后需要双重检验，既要检验是否为方程的解，又要检验是否符合实际意义。 易错点：列方程时常等量关系找错、式子列反，解方程后只检验方程不检验实际场景，忽略人数、速度、时间等不能为负数、不能取无意义数值的实际限制。 期末避坑易错点总结：分式值为 0：只看分子，忘记检验分母；去分母：漏乘不含分母的常数项；分式加减：分子是多项式，相减不添括号，符号出错；化简求值：自选数值时，选了使分母为 0 的数；解分式方程、含参问题：省略检验步骤（考试直接扣分）；区分：增根≠无解，无解包含增根 + 整式方程无解两种情况。 题型一 识别分式 解｜题｜技｜巧 形如，是整式，分母中必须含有字母；判断一个式子是不是分式关键在于这个式子的分母中是否含有字母，有则是，无则不是；特别注意：是常数，含的式子不算字母；化简后判断无效，看原式分母。 【典例1】下列代数式是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A的，分母是不含字母的常数，属于整式； 选项B的，分母是不含字母的常数，属于整式； 选项C的，分子是整式，分母是含有字母的整式，符合分式定义； 选项D的，分母是不含字母的常数，属于整式. 【变式1】下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义即可判断． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意． 【变式2】下列各式，，，，，，，其中分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题根据分式的定义逐一判断各式，即可得到结果. 【详解】解：分式的定义为：若，是两个整式，且中含有字母，，则式子是分式，据此逐个判断： ，分母为常数，不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； ，是常数，因此是常数，分母不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； ，分母为常数，不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； 综上，分式共有个． 题型二 分式有无意义 解｜题｜技｜巧 分式有意义：分母，列不等式求解；分式无意义：分母，解方程即可；多个分母同时存在：所有分母都不为 0，取公共解集。 【典例1】若使分式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 【典例2】若分式无意义，则的值是（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵分式无意义 ∴分式的分母为0，即 解得 【变式1】使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 【变式2】下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 7． 【变式3】若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0． 根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得，故B符合题意； C、由，得，故C不符合题意； D、由，得，故D不符合题意； 故选：B． 题型三 分式的值为 0 解｜题｜技｜巧 分子 = 0，求出未知数；分母≠0，舍去使分母为0的解；（口诀：分子为零，分母不为零。） 【典例1】若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 【变式1】当时，下列各式中值为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件，逐个判断即可．注意分子为0，分母不为0． 【详解】解：A、当时，分子，分母，分式无意义，故A不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，故B不符合题意； C、当时，分子，分母，满足分式值为0的条件，故C符合题意； D、当时，分母，分式无意义，故D不符合题意． 故选：C． 【变式2】已知分式的值为零，则的值为  （    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式值为零需同时满足两个条件：分子等于零，分母不等于零，据此计算即可得到结果． 【详解】解：分式的值为零， ， 解， 可得：或， 解， 可得：， 不符合要求，舍去， ． 题型四 分式变形、系数化整、符号化简 解｜题｜技｜巧 基本性质：（整式）；符号法则：，负号个数奇负偶正；系数化整：分子分母同乘所有分母的最小公倍数，不要漏乘项。 【典例1】下列从左到右的分式变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，分式的分子分母同时加上同一个整式，不满足分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此A错误； 对于B，该变形是分子分母同乘，但未说明，当时，右侧分母为0，无意义，因此B错误； 对于C，原式分母为，，分子分母同时约去公因式，可得，变形正确，因此C正确； 对于D，该变形不符合分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此D错误． 【变式1】下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 【变式2】若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 题型五 分式中字母扩大或缩小倍数，判断分式值变化 解｜题｜技｜巧 直接将原式中字母替换为，化简对比原式；快速判断：分别看分子、分母次数，整体次数差决定变化倍数。 【典例1】若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 【变式1】若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【答案】B 【详解】解：根据题意，把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，可得， 与原分式相比，扩大倍． 【变式2】把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【详解】解：将、同时扩大为原来的3倍后，得到新分式， 所以新分式的值与原分式相等，即分式的值不改变． 题型六 分式约分 解｜题｜技｜巧 第一步：分子、分母先因式分解（提公因式、公式法）；第二步：约去公因式；结果要求：化为最简分式（无公因式）。 【典例1】下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式约分的前提是分子分母有公因式，需先因式分解，注意符号变化和恒等变形是解题的关键． 逐个分析选项，判断分子分母是否有公因式，能否正确约分，注意符号变化和因式分解的正确性． 【详解】解：A、分母中与不是同类项，不能约去，A错误，不符合题意； B、， 原式，不等于，B错误，不符合题意； C、，不能约分，C错误，不符合题意； D、分母，，D正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】．约分： ______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分． 通过对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型七 最简分式的判断 解｜题｜技｜巧 先对各分母因式分解；找最简公分母：进行约分至分子分母都不含公因式的分式。 【典例1】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式，对每个选项进行分析，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式； D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． 综上，答案选C． 【变式1】下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，逐一分析每个选项的分子与分母是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，反之则不是，最终确定正确选项． 【详解】解：选项A， 分式的分子与分母没有公因式， 该分式是最简分式； 选项B， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式； 选项C， 分式的分子与分母有公因式， 该分式可约分为，不是最简分式； 选项D， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式． 【变式2】把分式化为最简分式为________． 【答案】 【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或公因数时叫最简分式． 【详解】 故答案为： 题型八 分式通分 解｜题｜技｜巧 先对各分母因式分解；找最简公分母：系数取最小公倍数，字母或因式取最高次幂；分子随分母同步扩大，保证分式值不变。 【典例1】把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 【变式1】分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，分式的通分，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分母通分后乘以了，因此分子也需乘以相同的量以保持分式值不变. 【详解】∵ 原分式为 ，通分后分母变为 ， ∵， ∴分母乘以了， 根据分式的基本性质，分子也需乘以， ∴新分子为， 故选： C． 【变式2】将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 【答案】 【分析】把分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，再用最简公分母除以第二个分式的分母，即可得到所求单项式． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， 最简公分母为， 计算得． 题型九 分式乘除运算 解｜题｜技｜巧 法则：乘除统一为乘法，除以一个分式 = 乘它的倒数；运算顺序：从左到右；步骤：先因式分解→约分→再相乘，能约分先约分，减少计算量。 【典例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据分式乘法法则计算，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【典例2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算和完全平方公式的因式分解，掌握先对多项式因式分解，再通过约分简化计算的技巧是解题的关键． 先对分母的多项式进行因式分解，再观察分子分母的公因式，通过约分简化分式乘法运算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 约去公因式 得 ， 故选：C． 【变式2】计算的结果是___． 【答案】 【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解． 【详解】解：原式． 【变式3】若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，解题思路是先利用分式除法法则和平方差公式化简原式，再根据“结果为整式”的条件判断□内的式子． 【详解】解：设□中的式子为， ∵原式 ， ∵运算结果为整式，需要分子能约去分母， ∴需包含因式，将选项代入，只有当时，原式，是整式，符合要求． 【变式4】计算：______． 【答案】 【分析】先对分子分母进行因式分解，再根据分式乘除法的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 【变式5】计算： ______ ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型十 分式加减运算 解｜题｜技｜巧 同分母：分母不变，分子直接相加减，最后约分；异分母：先通分，再按同分母计算；整式加减：把整式看作分母为1的分式再通分；注意：分子是多项式时，加减务必添括号，防止符号出错。 【典例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法运算法则是解题的关键； 根据分式的加法运算法则计算即可求解； 【详解】解：； 故选：C 【典例2】计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先对异分母分式通分，再根据同分母分式加法法则计算，得到结果后匹配选项即可． 【详解】解：． 【变式1】化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的减法运算，利用同分母分式的减法法则计算，然后约分即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选 ：． 【变式2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： = ， 故选：C． 【变式3】化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解： 【变式4】已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论. 【详解】解： ∵， ∴，且，故A，B错误； ，，故C正确，D错误. 题型十一 分式混合运算 解｜题｜技｜巧 运算顺序：先括号→再乘除→最后加减；全程优先：因式分解、提前约分；符号重点：括号前是负号，去括号各项变号；最终结果：必须化为最简分式或整式。 【典例1】计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先化简括号内的表达式，将其通分为一个分式，然后利用除以分数等于乘以倒数的性质，最后约分得到结果． 【详解】解：∵ 原式 = 故选： A． 【变式1】计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 题型十二 分式化简求值 解｜题｜技｜巧 通用流程：先化简，后代入（严禁直接代值硬算）；限定取值：题目给数直接代；自选数值：必须保证原分式所有分母≠0；整体代入：已知等整体式，不单独求字母，整体替换。 【典例1】先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解：， 把代入 【变式1】先化简：，再从、、0、1中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【分析】先将括号内式子通分，再将分式除法转换为乘法，约分化简，根据分式的分母不能为0、除数不能为0，求出a的取值范围，从给出的4个数中找出合适的数代入求解即可． 【详解】解：      ，    ∵，且 ∴且， ∴只能     ∴当时，原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据整式的乘法和分式的混合运算法则化简原式，再计算m的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当 时， 原式． 题型十三 解分式方程 解｜题｜技｜巧 去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程（每一项都要乘，不漏常数项）；解整式方程；检验（必写步骤）：把解代入最简公分母，若公分母≠0，是原方程的解；若 = 0，为增根；写结论。 【典例1】解方程： 【答案】 【详解】解：方程两边乘以公分母，得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是分式方程的解． 【变式1】解方程：． 【答案】 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母得， 展开并整理得， ，即 解得 检验：当时，， ∴原分式方程的解为 ． 【变式2】解方程：． 【答案】 【详解】解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 经检验，是原方程的解． 题型十四 分式方程增根问题 解｜题｜技｜巧 确定增根：令最简公分母 = 0，求出增根；去分母化为整式方程；把增根代入整式方程，求出参数。 【典例1】若关于x的方程有增根，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先理解分式方程的增根是使分式分母为0的根，由此确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵原分式方程有增根，且分母为 ∴， 即 ∵ ∴ 整理得 将增根代入上式得． 【变式1】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 【变式2】关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 题型十五 分式方程无解问题 解｜题｜技｜巧 情况 1：整式方程有解，但解是增根（同增根题型解法）；情况 2：去分母后得到的整式方程本身无解（一元一次方程：系数为 0，常数项不等）；综合两种情况，合并参数取值。 【典例1】若关于的分式方程无解，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，分别计算即可得到的值． 【详解】解：原分式方程为， 方程两边同乘最简公分母，得 整理得：， 分式方程无解分两种情况： ①整式方程无解， ∵当一次项系数为0时，方程无解， ∴，解得． ②整式方程的解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为和，令分母为0，得增根可能为或， 把代入，得，等式不成立，此种情况不存在； 把代入，得 ，解得． 综上，的值为或． 【变式1】如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分式方程无解，说明该分式方程存在增根，增根是使分式分母为0的x的值.，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：原方程为， ∵方程无解则存在增根， 令，得增根. 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵方程无解， ∴为增根，代入得， ∴． 【变式2】设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵无解， ∴或， 当，， 当，即，将代入，解得：， ∴当无解，则的值为或． ∴根据选项，故选：A． 题型十六 分式方程有解、正数解、负数解问题 解｜题｜技｜巧 解分式方程，用参数表示出未知数；根据 “解为正 / 负” 列不等式；额外限制：解不能是增根，排除使分母为 0 的取值；最终取不等式解集。 【典例1】关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程得到用表示的式子，再根据解为负数且分式有意义判断选项即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴当时，， 且， 解得且且， ∴且， ∴选项中只有符合条件，故选B． 【典例2】已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先用表示出分式方程的解，再根据解是非负数，结合分式有意义时，分母不为的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得：， 移项合并同类项，得：， ∵分式方程的解是非负数，且分式有意义时，分母不为， ∴，且， ∴， 解得且． 【典例3】若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】先解分式方程得到，再根据“解为正数”得到，同时排除增根，综合得到的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 由分式方程的解为正数，则，解得， 由，则，，解得， 综上，的取值范围是且． 【变式1】若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正实数、分式分母不为零列出不等式，求解即可得到m的范围． 【详解】解：， 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程分母不能为0， ∴，即，得， ∵方程的解为正实数， ∴，即，得， ∴实数的取值范围是且． 【变式2】已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解关于x的分式方程，再根据关于x的分式方程的解为非负数，列出关于k的不等式，求出k的取值范围，然后再根据分式的分母不等于0确定k的取值范围即可． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，即， 又∵分母不为零，即， ∴， ∴， ∴且． 【变式3】若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到的最终范围，最后找出范围内符合条件的整数． 【详解】解：解方程， 得． ∵分式方程有正数解，且， ∴，且． ∴，且． 解不等式组， 解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组有解， ∴， ∴． 综上所述，的取值范围是，且． 所以符合条件的整数为，，，共个． 题型十七 分式方程解决实际应用题 解｜题｜技｜巧 审：找等量关系（核心：时间相等、工作量相等、总价 / 单价关系）；设：设未知数（一般求什么设什么）； 列：根据等量关系列分式方程；解 +双重检验：①检验是否为方程的解 ②检验是否符合实际意义；答：规范写答案。 【典例1】小王乘公共汽车从甲地到相距60千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度是公共汽车的1.5倍，回来时路上所花时间比去时节省了半小时，设公共汽车的平均速度为千米/时，则下面列出的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，分别表示出去程和回程的用时，再根据题目给出的时间差等量关系列方程即可． 【详解】解：设公共汽车的平均速度为千米/时，则出租车的平均速度为千米/时， 根据题意，得． 【典例2】两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了天，隧道被挖通．记总工程量为．设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据题意，列出方程为________． 【答案】 【分析】先求出甲队每天的工作量，再根据甲完成的工作量与乙完成的工作量之和等于总工程量列方程即可． 【详解】解：∵1周为7天，甲队7天完成总工程的， ∴甲队单独施工1天完成总工程的， 设乙队单独施工挖通隧道需要天，则乙队单独施工1天完成总工程的， 根据题意，可知甲队一共施工了天，乙队一共施工了5天， 根据甲完成工作量乙完成工作量总工程量，总工程量为1，列方程得： ． 【典例3】近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和每小时一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 【答案】(1)每小时一台无人机运输脐橙的重量是2000斤，每小时一个果农挑担的重量是400斤 (2)9个 【分析】（1）设每小时一个果农挑担的重量是x斤，则每小时一台无人机运输脐橙的重量是斤，根据“无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时”列分式方程求解即可； （2）设还需m个果农挑担，根据“在3小时内紧急运输22000斤脐橙”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每小时一个果农挑担的重量是x斤，则每小时一台无人机运输脐橙的重量是斤， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每小时一台无人机运输脐橙的重量是2000斤，每小时一个果农挑担的重量是400斤； （2）解：设还需m个果农挑担， 由题意得， 解得． ∵m为正整数， ∴m的最小值为9， 答：至少还需9个果农挑担． 【变式1】司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度是 【分析】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据乘坐型车比乘坐型车少用小时列分式方程求解即可． 【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：型车的平均速度是. 【变式2】小明同学今年参加学校组织的劳动实践活动，了解苹果的生长过程，和果农们一起采摘苹果．在劳动实践过程中，小明了解到如下信息： 果品业是我国农业种植业继粮食、蔬菜之后的第三大产业，是绿色健康、生态友好的优势特色产业，也是全面推进乡村振兴、共同富裕的重要产业，运城是全球公认的苹果生产黄金带和水果优生区，全市水果种植面积约300万亩，约占全省的，年产量约600万吨，约占全省的．苹果也已经成了运城市临猗县北辛乡群众增收致富的重要支柱产业． 今年临猗苹果市场平均每千克的售价比去年增加1元，同等品质下，去年售出1000元的苹果和今年售出1100元的苹果质量相等． 根据以上信息，求今年临猗苹果的市场平均售价． 【答案】今年临猗苹果的市场平均售价为11元/千克 【分析】设今年临猗苹果的市场平均售价为x元/千克，则去年临猗苹果的市场平均售价为元/千克，根据“去年售出1000元的苹果和今年售出1100元的苹果质量相等”可列关于的分式方程，求解方程即可． 【详解】解：设今年临猗苹果的市场平均售价为x元/千克，则去年临猗苹果的市场平均售价为元/千克．根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：今年临猗苹果的市场平均售价为11元/千克． 【变式3】某果园种植的沃柑和皇帝柑品质优良，深受消费者喜爱．某游客第一次到果园购买，发现用720元购买沃柑的数量，比用相同金额购买皇帝柑的数量多12千克，且皇帝柑的单价是沃柑的1.25倍． (1)求沃柑、皇帝柑的单价． (2)因口感上佳，该游客第二次购买这两种水果．沃柑按原单价销售，皇帝柑的单价每千克降低元，皇帝柑的购买数量比第一次增加千克．若第二次一共购买两种水果70千克，共花费940元，求a的值． 【答案】(1)沃柑单价为12元/千克，皇帝柑单价为15元/千克． (2)的值为1． 【分析】（1）设沃柑单价为未知数，根据单价倍数关系表示皇帝柑单价，利用数量差的条件列分式方程求解； （2）先计算第一次购买皇帝柑的数量，再结合第二次购买的总数量、总花费条件列一元二次方程，舍去不符合题意的根得到的值． 【详解】（1）解：设沃柑的单价为元/千克，则皇帝柑的单价为元/千克． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：沃柑单价为12元/千克，皇帝柑单价为15元/千克． （2）解：第一次购买皇帝柑的数量为（千克）． 第二次购买皇帝柑的数量为千克， 第二次购买沃柑的数量为千克． 根据题意，得． 整理得． 解得（舍去）． 答：的值为1． 【变式4】列方程解下列问题．重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 【答案】(1)该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台 (2)每天生产标准机车的增加数量为23台 【分析】（1）设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台. （2）解：设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解， 答：每天生产标准机车的增加数量为23台． 【变式5】列方程解下列问题：瓷器是中华民族对世界物质文明的一项重大贡献，在英文中“瓷器（）”与“中国（）”同为一词．端午将至，某瓷器厂将制作一批茶具投放市场，共有名工人负责生产该批茶具，每套茶具由只茶杯和只茶壶组成．已知每名工人平均每天可以制作只茶杯或只茶壶，且每人每天只能制作一种产品． (1)该瓷器厂应安排多少人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套？ (2)按第（1）问的人员安排生产天后，该批茶具全部完成，并分两次投放市场．第一次投放的茶具的总利润为元；第二次投放的每套茶具的利润是第一次投放的每套茶具利润的倍，第二次投放的茶具的总利润为元，两次投放刚好销售完所有茶具．那么第一次和第二次投放市场的茶具的套数分别为多少？ 【答案】(1)安排人生产茶壶 (2)第一次投放市场的茶具的套数为套，第二次投放市场的茶具的套数为套 【分析】（1）设安排人生产茶壶，根据每套茶具由只茶杯和只茶壶组成，列方程求解即可； （2）由（1）先求出全部茶具数量，设第一次投放市场的茶具的套数为套，根据两次投放的每套茶具的利润关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设瓷器厂应安排人生产茶壶． 由题意可得，， 解得． 答：瓷器厂应安排人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套． （2）解：由（1）得，安排人生产茶壶， 则天该瓷器厂共生产的茶具数量为：（套） 设第一次投放市场的茶具的套数为套，则第二次投放市场的茶具的套数为套． 由题意可得，×， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 第二次投放市场的茶具的套数为：（套） 答：第一次投放市场的茶具的套数为套，第二次投放市场的茶具的套数为套． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； 综上，分式共有个． 2．要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式有意义要求分母不为0，据此列不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件为分母不等于0， ∴， 解得：． 3．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原方程为，且 ∴方程两边同时乘以最简公分母，得 整理得. 4．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母的确定方法，先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义计算即可． 【详解】解： 分式与的最简公分母是． 5．若关于x 的方程 的解为，则 m 的值为（     ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将已知解代入原分式方程，即可求解得到的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得，即， 解得． 6．计算的结果是________． 【答案】 【分析】将整式通分为分母为的分式，再根据同分母分式的减法法则计算，化简得到结果． 【详解】解：原式． 7．分式方程的解为_______． 【答案】 【分析】确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得根是否为原分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 经检验是原分式方程的解． 8．当______时，分式无意义． 【答案】 【详解】解：根据分式无意义的条件，当分母为时，分式无意义． ∴， ∴. 9．解方程： 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 11．A市与甲、乙两地的距离分别为和，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． 【答案】 从A市开往甲地的列车速度为，从A市开往乙地的列车速度为 【分析】本题利用“时间=路程÷速度”的关系，设出开往甲地的列车速度，再表示出开往乙地的速度，根据两地所需时间相等列出分式方程，求解检验后即可得到结果． 【详解】解: 设从A市开往甲地的列车速度为km/h，则从A市开往乙地的列车速度为， 根据题意得， ， 解得， 经检验 是原方程的解，且符合题意， ， 答：从A市开往甲地的列车速度为，从A市开往乙地的列车速度为． 12．列方程解下列问题： 重庆作为全国知名的文旅城市，火锅文化是其城市名片之一，某工厂精准把握文旅市场需求，生产甲、乙两种火锅底料．该工厂每天生产甲种火锅底料的数量比每天生产乙种火锅底料的数量多40袋，2天时间生产的甲种火锅底料的数量比3天时间生产的乙种火锅底料的数量多20袋． (1)求该厂每天生产的甲种、乙种火锅底料的数量分别是多少袋？ (2)由于两种火锅底料都深受游客喜欢，销量大增，为了满足市场需求，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了袋，每天生产乙种火锅底料的数量较改进前每天生产的数量增加了a袋．若生产1400袋甲种火锅底料所需的时间比生产1200袋乙种火锅底料所需的时间少5天，求a的值． 【答案】(1)该厂每天生产甲种火锅底料100袋，乙种火锅底料60袋 (2)12 【分析】（1）设每天生产乙种火锅底料的数量为未知数，根据题干给出的数量关系列一元一次方程即可求解； （2）根据改进后的日产量变化，结合时间差的关系，列出分式方程，求解并检验即可得到的值． 【详解】（1）解：设该厂每天生产乙种火锅底料袋，则每天生产甲种火锅底料袋， 根据题意列方程得： 解得， 则， 答：该厂每天生产甲种火锅底料100袋，乙种火锅底料60袋； （2）解：由（1）可得该厂每天生产甲种火锅底料100袋，乙种火锅底料60袋； 改进后每天生产甲种火锅底料 袋，每天生产乙种火锅底料 袋， 根据题意列方程得：， 解得， 检验：当时， ， 因此是原方程的解． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的求解，先利用平方差公式分解分母，将分式方程化为整式方程求解，最后检验根是否为增根即可得到结果． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得 解得 检验：当时，，满足分母不为的要求 ∴是原方程的解，故选C． 2．《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天， 根据题意，得． 3．若关于的分式方程无解，则m的值是（    ） A．3或 B．3或10 C．3 D． 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论：①若整式方程无解，则， ∵时，，等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根，原分式方程的分母为， 令，得增根为， 把代入，得， 解得； 综上，的值为或． 4．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值. 【详解】∵原分式方程有增根， ∴最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘去分母，得： ， 整理得： ， 将增根代入上式，得： ， 解得． 5．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解关于的分式方程，用表示出，再根据方程的解为非负数且分式分母不为，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为， ∴且， 解得且． 6．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中新定义的运算规则，将所求方程转化为常规分式方程，再按解分式方程的步骤求解，最后检验即可得到结果． 【详解】解：∵由新定义， ∴， ∵， ∴， 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 7．若代数式的值为1，则_______． 【答案】 【分析】根据代数式的值为1列出分式方程，按照解分式方程的步骤求解并检验，即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得 方程两边同乘，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， ，则是原分式方程的解． 8．关于x的分式方程有整数解，则整数a的和为______． 【答案】 【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，根据分式方程有解可知，结合方程有整数解、为整数，求出所有符合条件的，再计算的和即可． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 整理得， 当，即时，方程无解，不符合题意； 当时，解得， ∵分式方程有整数解，且分母不为零，即， ∴，即，且为的整数约数， ∴的可能取值为， 当时，，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 所有符合条件的整数为，其和为． 9．关于的分式方程解为正数，则的取值范围为_____． 【答案】，且 【分析】先解分式方程，由分式方程解为正数得到分母不为零且，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 解得， 关于的分式方程解为正数， ，且， 解得，且． 10．在解分式方程时，小红的解法如下： 第一步： 第二步：； 第三步：； 第四步：； 第五步：检验，当时，； 第六步：∴原方程无解． 小红的解法中存在两处错误，分别是第____步和第___步；请你写出正确的解答过程． 【答案】第一步、第二步，正确解答见解析 【分析】根据解分式方程的步骤逐一判断即可找出错误，进而求出方程的解． 【详解】解：小红的解法中第一步是方程两边都乘以，但常数项2没有乘以，故第一步是错误的， 第二步的等号右边化简后应该是，故第二步是错误的， 综上所述，小红的解法中存在两处错误，分别是第一步和第二步． 正确的解答如下： ， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 11．开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 【答案】(1) 机绣挂件每件进价16元，手工挂件每件进价24元 (2) 共有3种进货方案，分别为：方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件；方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件；方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件 【分析】（1）设机绣挂件每件进价为元，根据“用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进手工挂件件，根据“总费用不超过500元，手工挂件至少购进10件”列不等式组求解即可. 【详解】（1）解：设机绣挂件每件进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：机绣挂件每件进价16元，手工挂件每件进价24元； （2）解：设购进手工挂件件， 根据题意，得， 解得， 整数为10或11或12， 共有3种进货方案， 分别为：方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件；方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件；方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件. 12．列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需80元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需140元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 【答案】(1) “经典臊子面”的单价是10元，“特色黄牛面”的单价是20元 (2) 第三季度面粉的单价是12元 【分析】（1）根据“总价臊子面单价数量+黄牛面单价数量”列二元一次方程组求解； （2）根据“数量总价单价”列出第二季度和第三季度的购买的面粉数量，再根据第二季度和第三季度购买的面粉数量之间的关系列方程求解． 【详解】（1）解：设“经典臊子面”的单价为元，“特色黄牛面”的单价为元， 可列式得， 解得， 答：“经典臊子面”的单价为元，“特色黄牛面”的单价为元． （2）解：设第二季度平均每千克面粉的价格为元， 则第三季度平均每千克面粉的价格为（元）， 列式为， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元）， 答：第三季度面粉的单价为12元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程增根的概念，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将分式方程两边同乘去分母得， ∵原分式方程有增根， ∴分母， 解得， 将代入整式方程得， ∴． 2．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 3．若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【答案】且 【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 展开并整理，得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验增根：若方程有增根，则或， 若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是， 若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解， 因此，分式方程有解的条件为且． 4．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】0 【分析】因为不等式组有解，所以，因为分式方程有非负整数解，所以且为偶数，可得：或或或或，从而可得所有满足条件的整数的值之积． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 解分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程的解为非负整数， 且为偶数， ， ， 或或或或， 当时， ， 当时， ， ， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 或或或， ， 满足条件的整数的值之积为． 5．新定义：如果两个实数a（）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，则n的值______． 【答案】1 【分析】根据“友好数对”的定义列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：数对是关于的分式方程的“友好数对”， ，，且，即， 根据“友好数对”的定义，得， 解分式方程， 移项得， 解得， 方程的解满足， ， 解得， 检验：当时，各分母均不为，符合定义要求， 故． 6．某商店购进一批对联、小马挂件、日历册，这些物品刚好包装成80个相同规格的“马年春节福袋”出售（每个福袋售价为三种商品的单价之和），其中对联、小马挂件、日历册的进价之比为，对联、小马挂件、日历册的售价分别是进价的，每个福袋中对联、小马挂件、日历册的数量之比为，年前卖出一部分福袋，剩下的年后清仓售完．年后清仓时，三种商品的售价分别调整为其进价的．把剩下的福袋按照降价后的方式全部售完后，年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，则年前卖出福袋______盒，这批福袋的总利润率是______． 【答案】 48 【分析】先根据题意设对联、小马挂件、日历册进价分别为元，即可得出对联、小马挂件、日历册售价分别为元，再根据每个福袋的对联、小马挂件、日历册的数量之比为，可设出每个福袋对联、小马挂件、日历册的数量分别为个，得出每个福袋的进价为元，每个福袋的售价为元，每个福袋的利润为元，根据降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别是进价的，可得出降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别为，即可算出降价后每个福袋的利润为元，根据题意可设年前卖出m个，则年后卖出个，根据年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，即可得出，解出m的值，然后算出总利润为元，总进价为元，即可算出总利润率． 【详解】解：∵对联、小马挂件、日历册进价之比为， ∴可设对联、小马挂件、日历册进价分别为元， ∵对联、小马挂件、日历册售价分别比其进价的， ∴对联、小马挂件、日历册售价分别为元， ∵每个福袋的对联、小马挂件、日历册的数量之比为， ∴可设每个福袋对联、小马挂件、日历册的数量分别为个， 则每个福袋的进价（元），每个福袋的售价（元）， ∴每个福袋的利润（元）， ∵年前商店一共卖出福袋若干，剩下的福袋在年后全部售完， ∴可设年前卖出m个，则年后卖出个， ∵降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别是进价的， ∴降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别为元， ∴降价后每个福袋的售价（元）， ∴降价后每个福袋的利润为（元）， ∵年前卖出的对联的总收入为（元）， 年后卖出的对联的总收入为（元）， 且年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为， ∴， 解得：， 经检验，是该方程的解， 80个福袋总进价为（元）， 总售价为 （元）， ∴总利润为（元）， ∴总利润率为：． 7．某文创工作室，以蒙古族传统乐器马头琴为原型，制作迷你马头琴挂坠用于文旅销售．第一次制作时，投入1500元采购榉木等原材料，成品全部售罄；第二次为提升工艺质感，选用胡桃木原料，每个挂坠的原材料成本是第一次的倍，投入1200元制作的挂坠数量比第一次少20个． (1)求第一次制作的每个马头琴迷你挂坠原材料的成本是多少元？ (2)已知第二批马头琴挂坠每个售价为50元，售出一半后，为助力文旅推广，剩余挂坠打折销售．若要求全部售出后，第二批挂坠的总利润不少于500元，求剩余的挂坠最多可打几折？ 【答案】(1)第一次制作的每个马头琴迷你挂坠原材料的成本是25元 (2)剩余的挂坠最多可打7折 【分析】（1）设第一次单个成本为未知数，根据两次制作的数量差为20个列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出第二批制作的总数量，再设折扣为未知数，根据总利润不少于500元列一元一次不等式，求解后得到最大折扣． 【详解】（1）解：设第一次制作的每个马头琴迷你挂坠原材料的成本是元，则第二次每个挂坠原材料成本为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一次制作的每个马头琴迷你挂坠原材料的成本是25元； （2）解：由题意得，第二次每个挂坠成本为（元），第二批制作挂坠总数量为（个）， 设剩余的挂坠打折， 根据题意得， 解得． 答：剩余的挂坠最多可打7折． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $