第01讲 二次函数的概念（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第01讲 二次函数的概念 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的定义 题型2 二次函数表达式的项、系数、指数 题型3 二次函数的函数值 题型4 二次函数表达式的系数、指数含参问题（重点） 题型5 利用二次函数知识解决实际问题 题型6 动态问题中的二次函数（难点） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的定义 二次项、一次项、常数项及对应系数 二次函数的定义判定 自变量取值范围 二次函数的实际建模 1.理解二次函数的定义，认识二次项、一次项、常数项及对应系数，能用一般形式表示二次函数. 2.能辨析正比例函数、一次函数与二次函数，掌握各类函数的形式特征. 3.掌握二次函数的定义判定方法，并能运用该方法解决含参数的判定问题、求参数的值或取值范围. 4.能根据几何或生活实际情境列出二次函数表达式，并结合实际意义确定自变量的取值范围，初步建立函数建模思想. 学习重点：二次函数的概念与表示方法、二次函数的定义判定（含基础参数问题）、实际问题中二次函数表达式的列写与自变量取值范围的确定. 学习难点：运用二次函数的定义解决含参数的判定问题（如根据二次函数定义求参数的值或取值范围），结合实际情境建立二次函数模型并确定自变量的取值范围（如带墙长限制的矩形面积问题）. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01二次函数的概念 1.二次函数的概念 形如（是常数，且）的函数叫作二次函数.其中是自变量.分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项. 依据概念判断一个函数是不是二次函数时，只看解析式的形式特征，两个变量可以用字母表示，也可以用其他两个不同字母分别表示. 2．确定二次函数“三要素” （1）含有自变量的代数式必须是整式； （2）化简后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不等于0. 3．二次函数的结构特征 等号左边是因变量，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2. 系数情况 当时 当时 当时 二次函数结构 (1)为常数，且； (2)等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3)等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）. 解题秘方：本题考查二次函数的定义，是二次函数.判断时需先将函数整理化简，再验证是否满足三个核心条件：①等号左右两边均为整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0. 解答： （1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数. 结论：（2）,（3）是二次函数. 已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．将二次函数整理成一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，． 故选：D 判断函数是否为二次函数的一般步骤 (1)看形式：函数关系式是否是整式； (2)看次数：将含自变量的代数式化简，看自变量的最高次数是否为； (3)看系数：二次项系数是否不为. 知识点02实际问题中自变量x的取值范围 二次函数自变量的取值范围是一切实数.但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. 在具体问题中，有时只研究函数解析式.需要研究函数的定义域时，如果未加说明，那么函数的自变量的取值范围由解析式确定；否则，必须指明自变量的取值范围. 某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______. 解答： 用二次函数描述与增长率有关的两个变量之间的依赖关系，是典型题型.过程如下：第一年的利润为万元；第二年的利润为万元；第三年的利润为万元，即（或）；由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即. 重要提示：增长率问题通用数量关系：. 一条隧道的横截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为米．如果隧道下部的宽度大于米但不超过米，求隧道横截面积（平方米）关于上部半圆半径（米）的函数解析式． 【答案】S=πr2+5r（2.5＜r≤5）． 【分析】已知半圆的半径为r，可知矩形的另一边长为2r，根据隧道横截面积=半圆面积+矩形面积列出函数关系式，再由隧道下部的宽度大于5米但不超过10米得到5＜2r≤10，由此求出函数的定义域． 【详解】解：半圆的半径为r，矩形的另一边长为2r，则：隧道截面的面积S=πr2+2r×2.5，即S=πr2+5r． ∵5＜2r≤10，∴2.5＜r≤5． ∴S=πr2+5r（2.5＜r≤5）． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，掌握圆面积公式与矩形面积公式是解题的关键． 知识点03二次函数的函数值 1.概念 对于自变量的每一个确定取值，都有唯一的值与之对应，此时对应的值称为函数值. 已知二次函数，当时，求函数的值. 解题秘方：本题考查二次函数的函数值求解，核心是＂代入求值＂. 解答： 将代入，得 （1）已知二次函数，当时，求函数的值. （2）已知二次函数，当时，求的值. 解：（1）将代入，得 （2）令，整理得，十字相乘得，解得 在二次函数自变量的取值范围内，一个自变量取值对应唯一函数值；反之，一个函数值可对应多个自变量取值. 知识点04 建立二次函数模型表示变量间的关系 1.建立二次函数模型的一般步骤 （1）审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言； （2）找相等关系:分析常量和变量之间的关系，列出等式. （3）列二次函数解析式:设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式. 建立二次函数模型与建立一元二次方程模型类似，不同的是需将它转化为用含一个未知数(自变量)的代数式表示另一个未知数(函数)的形式. 如图，用长为米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米．    (1)求关于的函数解析式； (2)求的最大面积． 【答案】； 【详解】解：由题意得，， 即； 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是（单位：），面积是（单位：）．    (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？ 【答案】(1) (2)要围成面积为的花圃，的长为9米． 【分析】（1）根据面积关系列函数表达式即可； （2）将代入（1）中表达式，再解方程并检验即可求解； 【详解】（1）解：根据题目数量关系得，， 根据题意，， ∴， ∴． （2）将代入得， 整理得：， ∴， ∵，则不符合题意舍去， ∴要围成面积为的花圃，的长为9米． 在实际问题中建立二次函数模型时，关键要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的解析式. 题型1 二次函数的定义 【例1】（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 【技巧归纳】 定义法识别二次函数 (1) 若函数表达式较为复杂，则先进行恒等变形，将其化为最简单的函数形式. (2) 根据定义，看其是否具备以下三个条件： ① 等号左边是一个因变量，等号右边是关于自变量的整式； ② 二次项系数不为0； ③ 自变量的最高次数为2. 【变式1-1】（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意； B．不是二次函数，则B不符合题意； C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意； D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数需满足最高次项为且系数不为0， A.，最高次项为，不是二次函数，不符合题意； B.，若，则，不是二次函数，不符合题意； C. ，∵，∴，恒满足二次函数定义，符合题意； D.，若，则，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 题型2 二次函数表达式的项、系数、指数 【例3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）x2=4； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）二次项系数是3，一次项系数为—6，常数项为1；（2），二次项系数是，一次项的系数为 常数项为；（3），二次项系数为1，一项系数为5，常数项为0；（4）二次项系数2，一次项系数为－4，常数项为2；（5）二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10；（6），二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－2 【分析】（1）移项即可； （2）移项即可； （3）去括号即可； （4）去括号即可； （5）去括号，移项，合并同类项即可； （6）去括号，移项，合并同类项即可． 【详解】解：（1）， 移项得：， ∴二次项系数是3，一次项系数为—6，常数项为1； （2）x2=4， 移项得：， ∴二次项系数是，一次项的系数为 常数项为； （3）， 去括号得：， ∴二次项系数为1，一项系数为5，常数项为0； （4）， 去括号得：， ∴二次项系数2，一次项系数为－4，常数项为2； （5）， 去括号得：， 移项合并得：， ∴二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10； （6）， 去括号得：， 移项合并得： ， ∴二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般形式为：是解题的关键． 【例4】把化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________． 【答案】1 【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论． 【详解】解： ∴一次项系数为7，常数项为-6 ∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键． 【技巧归纳】 一般地，形如、b、c是常数，a≠0的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【变式2-1】下列二次函数中，二次项系数是﹣3的是（　　） A．y＝3x2﹣2x+5 B．y＝x2﹣3x+2 C．y＝﹣3x2﹣x D．y＝x2﹣3 【答案】C 【分析】根据二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可． 【详解】解：A．y＝3x2﹣2x+5二次项系数是3，不合题意； B．y＝x2﹣3x+2二次项系数是3，不合题意； C．y＝﹣3x2﹣x二次项系数是﹣3，符合题意； D．y＝x2﹣3二次项系数是1，不合题意； 故选：C． 【变式2-2】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）；          （2）； （3）；       （4）． 【答案】（1）二次项系数为5，一次项系数为－4，常数项为－1；（2），二次项系数为4，常数项为－81；（3）二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为－25；（4），二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为1 【分析】（1）移项即可； （2）移项即可； （3）去括号，移项即可； （4）去括号，移项，合并同类项即可． 【详解】解：（1）， 移项得：， ∴二次项系数为5，一次项系数为－4，常数项为－1； （2）， 移项得： ， ∴二次项系数为4，常数项为－81； （3）， 去括号得：， 移项得：， ∴二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为－25； （4）， 去括号得：， 移项合并得：， ∴二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，能够准确将方程整理为一元二次方程的一般式是解题的关键． 题型3 二次函数的函数值 【例5】当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：当时，的函数值为， 故选：B． 【例6】当时，的函数值为（ ） A.   B.   C.   D. 【答案】 C 【分析】直接代入自变量到二次函数解析式，计算平方、乘法与减法. 【详解】将代入； 【技巧归纳】 1．写出原函数： 2．将代入： 3．计算 【变式3-1】当时，的函数值为（ ） A.   B.   C.   D. 【答案】A 【分析】代入负数时需注意符号运算：先平方得正，再依次计算各项. 【详解】将代入. 【变式3-2】当时，的函数值为（ ） A.   B.   C.   D. 【答案】B 【分析】 代入小数或分数时，建议写成分数形式便于计算平方. 【详解】将代入， 题型4 二次函数表达式的系数、指数含参问题（重点） 【例7】当________时，是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 解得， 即当时，是二次函数， 故答案为：． 【例8】已知函数． （1）当m的取值范围为__________________时，它是二次函数． （2）当m的值为_________时，它是一次函数． 【答案】 且 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列出不等式，然后求解即可； （2）根据一次函数的定义列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：（1）∵函数是二次函数， ∴，解得：且． （2）函数是一次函数， ∴且，解得：． 故答案为：且；． 【易错警示】 忽略二次项系数不为0而出错 当函数是二次函数时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件，常容易忽略. 【变式4-1】若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 【答案】2 【分析】根据二次函数的一般式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，解答的关键是熟知二次函数的一般式． 【变式4-2】如果是二次函数，沪沪求出k的值为3，申申求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是________． 【答案】申申 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故申申正确． 题型5 利用二次函数知识解决实际问题 【例9】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【例10】如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式__________．（用二次函数一般式表示） 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【技巧总结】 (1)涉及几何图形时，经常根据几何图形的周长及面积公式列出函数表达式. (2)对于实际问题中自变量的取值范围要注意题中的限制条件. 【变式5-1】正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据x和y表示的含义，利用正方形面积的表示方法列出函数关系式． 【详解】解：原来正方形的边长是3，面积是9， 增加后的边长是，面积是， 增加的面积，整理得． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据正方形的面积表示方法列出函数解析式． 【变式5-2】小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 题型6 动态问题中的二次函数（难点） 【例11】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 【例12】如图（单位：），等腰直角三角形以的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合．设时，三角形与正方形重叠部分的面积为． （1）写出y与x的关系式； （2）当，3.5时，y分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 【答案】（1）；（2）8，24.5；（3）当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s． 【分析】（1）根据题意可知，三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x，据此可得出y、x的函数关系式； （2）可将x的值，代入（1）的函数关系式中，即可求得y的值； （3）将正方形的面积的一半代入（1）的函数关系式中，即可求得x的值．（其实此时AB与DC重合，也就是说等腰三角形运动的距离正好是正方形的边长10m，因此x=5） 【详解】解：（1）因为三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x， 所以y=×2x×2x=2x2； （2）在y=2x2中， 当x=2时，y=8； 当x=3.5时，y=24.5； （3）在y=2x2中， 因为当y=50时，2x2=50， 所以x2=25， 解得x=5s（负值舍去）． 即当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s． 【技巧总结】 二次函数知识与动态几何知识相结合的问题，一般要先画图分析，把相关线段用含x的代数式表示，再利用各变量间的关系，列出函数表达式. 【变式6-1】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）根据题意直接列式即可作答； （2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：，， ∵，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴根据题意有：， ∵，， ∴， 故关于的函数解析式为． 【变式6-2】如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？（★提示：配方法） 【答案】(1)经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米 (2)不存在，理由见解析 (3)的最大面积是9 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设经过t秒时，的面积等于8平方厘米，根据题意得出，再根据三角形的面积公式即可求出答案； （2）根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，求出方程无解，从而得出不存在的面积等于矩形的面积的四分之一的情况； （3）设经过t秒时，的面积等于S平方厘米，列出二次函数表达式并根据二次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设经过t秒时，的面积等于8平方厘米， ∵厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， 解得：； 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）不存在，理由如下： 设经过t秒时，的面积能等于矩形的面积的四分之一，则由题意得： ， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在的面积等于矩形的面积的四分之一． （3）设经过t秒时，的面积为S平方厘米， ， ， ∴当时，取最大值为9， ∴的最大面积是9． 1.（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是二次函数，故选项B符合题意； C、不是二次函数，故选项C不符合题意； D、，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 3．一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 4．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4， ∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16， ∴y=（x+4）2-16=x2+8x， 故选：C． 【点睛】本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键． 5．建筑队计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．先表示出边长缩短后的长方形的长和宽，计算出边长缩短后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为：，宽为， 边长缩短后的长方形的面积为： ， 原长方形的面积为：， 它减少的面积为：， 它减少的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 7．将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则______． 【答案】 【分析】先化为一般形式，根据一元二次方程的一般形式，得出的值，进而即可求解． 【详解】解： 整理得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）． 8．已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 【答案】 1 【分析】本次考查了正比例函数，二次函数以及反比例函数的定义，掌握相关定义是解题的关键； （1）根据正比例函数的定义求解； （2）根据二次函数的定义求解； （3）根据反比例函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据题意，得 由①，得且， 由②，得， ． 故当的值为1时，是的正比例函数． （2）根据题意，得 由①，得且． 由②，得． 故当的值为时，是的二次函数． （3）根据题意，得 由①，得且． 由②，得， ． 故当的值为时，是的反比例函数． 9．关于的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】将x的二次项的系数进行配方得到，得出，即可得出结论． 【详解】解：乙的说法对． 理由如下： ， 无论取何值，，即有， 所以， 故无论取何值，该函数一定是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的二次项系数不能为0． 10．如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $定 二次函数的概念 基 二次函数的概念 二次函数的辨析与应用 函 义 形如y=a心2十b心十c(a、b、c为常数，且a卡0)的函数叫做二次函数 自变量：x（主动变化的量)；因变量：y(随c变化的量) 二次项：ac2,对应二次项系数a(a卡0是二次函数的核心判定条件) 本元素 次项：bx,对应一次项系数b 常数项：C(不含自变量的固定常数) 标准一般式：y=ac2+b十c(a丰0) 示形式 b=c=0:y=ax2 三类特殊简化形式 b= 0:y=ax2+c c=0: y ax2+ba 常函数：自变量最高次数为0 数辨析 一次函数：最高次数为1，含正比例函数y=x(k≠0) 二次函数：最高次数为2，二次项系数α≠0 几何模型：矩形面积、正方形面积问题 际建模类 销售模型：利润与售价的关系问题 增长率模型：连续增长的数量关系问题 第01讲 二次函数的概念 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的定义 题型2 二次函数表达式的项、系数、指数 题型3 二次函数的函数值 题型4 二次函数表达式的系数、指数含参问题（重点） 题型5 利用二次函数知识解决实际问题 题型6 动态问题中的二次函数（难点） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的定义 二次项、一次项、常数项及对应系数 二次函数的定义判定 自变量取值范围 二次函数的实际建模 1.理解二次函数的定义，认识二次项、一次项、常数项及对应系数，能用一般形式表示二次函数. 2.能辨析正比例函数、一次函数与二次函数，掌握各类函数的形式特征. 3.掌握二次函数的定义判定方法，并能运用该方法解决含参数的判定问题、求参数的值或取值范围. 4.能根据几何或生活实际情境列出二次函数表达式，并结合实际意义确定自变量的取值范围，初步建立函数建模思想. 学习重点：二次函数的概念与表示方法、二次函数的定义判定（含基础参数问题）、实际问题中二次函数表达式的列写与自变量取值范围的确定. 学习难点：运用二次函数的定义解决含参数的判定问题（如根据二次函数定义求参数的值或取值范围），结合实际情境建立二次函数模型并确定自变量的取值范围（如带墙长限制的矩形面积问题）. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01二次函数的概念 1.二次函数的概念 形如 的函数叫作二次函数.其中是自变量.分别表示函数解析式的 、 、 . 依据概念判断一个函数是不是二次函数时，只看解析式的形式特征，两个变量可以用字母表示，也可以用其他两个不同字母分别表示. 2．确定二次函数“三要素” （1）含有自变量的代数式必须是 ； （2）化简后自变量的最高次数是 ； （3）二次项系数不等于 . 3．二次函数的结构特征 等号左边是 量，右边是关于自变量的 次式，的最高次数是 . 系数情况 当时 当时 当时 二次函数结构 (1)为常数，且； (2)等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3)等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）. 解题秘方：本题考查二次函数的定义，是二次函数.判断时需先将函数整理化简，再验证是否满足三个核心条件：①等号左右两边均为整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0. 解答： 已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 判断函数是否为二次函数的一般步骤 (1)看形式：函数关系式是否是整式； (2)看次数：将含自变量的代数式化简，看自变量的最高次数是否为； (3)看系数：二次项系数是否不为. 知识点02实际问题中自变量x的取值范围 二次函数自变量的取值范围是 .但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. 在具体问题中，有时只研究函数解析式.需要研究函数的定义域时，如果未加说明，那么函数的自变量的取值范围由解析式确定；否则，必须指明自变量的取值范围. 某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______. 解答： 重要提示：增长率问题通用数量关系：. 一条隧道的横截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为米．如果隧道下部的宽度大于米但不超过米，求隧道横截面积（平方米）关于上部半圆半径（米）的函数解析式． 知识点03二次函数的函数值 1.概念 对于自变量的每一个确定取值，都有 的值与之对应，此时对应的值称为 . 已知二次函数，当时，求函数的值. 解题秘方：本题考查二次函数的函数值求解，核心是＂代入求值＂. 解答： （1）已知二次函数，当时，求函数的值. （2）已知二次函数，当时，求的值. 在二次函数自变量的取值范围内，一个自变量取值对应唯一函数值；反之，一个函数值可对应多个自变量取值. 知识点04 建立二次函数模型表示变量间的关系 1.建立二次函数模型的一般步骤 （1）审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言； （2）找相等关系:分析常量和变量之间的关系，列出等式. （3）列二次函数解析式:设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式. 建立二次函数模型与建立一元二次方程模型类似，不同的是需将它转化为用含一个未知数(自变量)的代数式表示另一个未知数(函数)的形式. 如图，用长为米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米．    (1)求关于的函数解析式； (2)求的最大面积． 解答： 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是（单位：），面积是（单位：）．    (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？ 在实际问题中建立二次函数模型时，关键要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的解析式. 题型1 二次函数的定义 【例1】（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【技巧归纳】 定义法识别二次函数 (1) 若函数表达式较为复杂，则先进行恒等变形，将其化为最简单的函数形式. (2) 根据定义，看其是否具备以下三个条件： ① 等号左边是一个因变量，等号右边是关于自变量的整式； ② 二次项系数不为0； ③ 自变量的最高次数为2. 【变式1-1】（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型2 二次函数表达式的项、系数、指数 【例3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）x2=4； （3）； （4）； （5）； （6）． 【例4】把化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________． 【技巧归纳】 一般地，形如、b、c是常数，a≠0的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【变式2-1】下列二次函数中，二次项系数是﹣3的是（　　） A．y＝3x2﹣2x+5 B．y＝x2﹣3x+2 C．y＝﹣3x2﹣x D．y＝x2﹣3 【变式2-2】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）；          （2）； （3）；       （4）． 题型3 二次函数的函数值 【例5】当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例6】当时，的函数值为（ ） A.   B.   C.   D. 【技巧归纳】 1．写出原函数： 2．将代入： 3．计算 【变式3-1】当时，的函数值为（ ） A.   B.   C.   D. 【变式3-2】当时，的函数值为（ ） A.   B.   C.   D. 题型4 二次函数表达式的系数、指数含参问题（重点） 【例7】当________时，是二次函数． 【例8】已知函数． （1）当m的取值范围为__________________时，它是二次函数． （2）当m的值为_________时，它是一次函数． 【易错警示】 忽略二次项系数不为0而出错 当函数是二次函数时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件，常容易忽略. 【变式4-1】若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 【变式4-2】如果是二次函数，沪沪求出k的值为3，申申求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是________． 题型5 利用二次函数知识解决实际问题 【例9】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【例10】如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式__________．（用二次函数一般式表示） 【技巧总结】 (1)涉及几何图形时，经常根据几何图形的周长及面积公式列出函数表达式. (2)对于实际问题中自变量的取值范围要注意题中的限制条件. 【变式5-1】正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 题型6 动态问题中的二次函数（难点） 【例11】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【例12】如图（单位：），等腰直角三角形以的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合．设时，三角形与正方形重叠部分的面积为． （1）写出y与x的关系式； （2）当，3.5时，y分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 【技巧总结】 二次函数知识与动态几何知识相结合的问题，一般要先画图分析，把相关线段用含x的代数式表示，再利用各变量间的关系，列出函数表达式. 【变式6-1】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 【变式6-2】如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？（★提示：配方法） 1.（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 3．一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 4．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为(     ) A． B． C． D． 5．建筑队计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 7．将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则______． 8．已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 9．关于的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 10．如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $