专题03 一元二次方程21大题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

**基本信息** 系统覆盖一元二次方程全知识链，以题型为载体构建“概念-解法-应用”三阶训练体系，强化模型意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|题型1-4（12题）|定义辨析/参数求解/解的估算|从定义生成一般式，通过参数问题深化概念理解| |解法技巧|题型5-9（15题）|配方法/换元法/公式法|按“直接求解-技巧优化-复杂方程转化”递进| |根的性质|题型10-11（6题）|判别式应用/根与系数关系|从根的存在性判断到数量关系推导，培养推理意识| |实际应用|题型12-21（30题）|增长率模型/动态几何/营销问题|以生活情境为背景，构建方程模型解决实际问题，发展应用意识|

专题03 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义 题型12 增长率问题 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型13 与图形有关的问题 题型3 由一元二次方程的定义求参数 题型14 数字问题 题型4 一元二次方程的解的估算 题型15 营销问题 题型5 解一元二次方程 题型16 动态几何问题 题型6 配方法的应用 题型17 工程问题 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型18 行程问题 题型8 根据一元二次方程根的情况求参数 题型19 图表信息题 题型9 换元法解一元二次方程 题型20 循环问题 题型10 一元二次方程根与系数的关系 题型21 一元二次方程的新定义问题 题型11 传播问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的定义（共3小题） 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A中是分式方程，不是整式方程，故A不符合要求． 选项B中未说明，当时方程不是二次方程，故B不符合要求． 选项C中，展开左边得 ，原方程化为，整理得，是一元一次方程，故C不符合要求． 选项D中满足一元二次方程的所有条件，故D符合要求． 2．下列方程：①，②，③，④，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，逐个判断四个方程即可． 【详解】解：①、，是一元二次方程； ②、，当时方程不是一元二次方程； ③、，是一元二次方程； ④、，整理方程得：，不是一元二次方程； 综上所述，一定是关于的一元二次方程的是①③，共2个． 3．若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解答的关键是熟知一元二次方程的定义：方程中未知数x的最高次数为2，且二次项系数不能为零．据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得或， ∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 题型二 化成一元二次方程的一般式（共3小题） 4．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 5．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项系数是2，则常数项是_______． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将方程化为一般形式后，根据常数项的定义求解． 【详解】解：将方程 移项，得一般形式 ，其中二次项系数为2，常数项为5． 故答案为：5． 6．将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是将方程化为一般形式； 由一元二次方程的一般形式确定一次项系数. 【详解】将方程 移项得： 一般形式为： ； ∴一次项系数为： . 故答案为：. 题型三 由一元二次方程的定义求参数（共3小题） 7．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 8．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 9．已知方程的一个根为1，求它的另一根及的值． 【答案】另一个根为， 【分析】把代入到原方程得到关于k的方程，解方程可求出k的值，再解原方程求出方程的另一个根即可． 【详解】解：∵方程的一个根为1， ∴把代入到得， 解得， ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 题型四 一元二次方程的解的估算（共3小题） 10．观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 11．根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，当时函数值为负，时函数值为正，根据函数性质，所对应的方程的根在． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足，。 故选：C． 12．关于x的一元二次方程（均为常数）的解是，则关于x的一元二次方程的解是_______． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是找出两个方程的联系，利用换元法求解． 把后面一个方程中的看作整体，用y来表示，相当于前面一个方程中的x的解．从而解出后面这个方程的解. 【详解】解：设． 由题意，得方程的解是，. 关于的方程的解满足，. 解得,． 故答案为：, ． 题型五 解一元二次方程（共3小题） 13．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方程去括号，整理后运用配方法解答即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴，． 14．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴． （2）解：整理得：， ∴， ∴或， 解得． 15．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题是一元二次方程求解问题． 三个小题分别采用直接开平方法、公式法、因式分解法求解． 用到等式的性质、平方根的定义、一元二次方程求根公式、提取公因式因式分解等初中数学知识点． 解题思路为将方程整理后，选择合适的方法求出根． 【详解】（1）解：， 移项得 ， 两边同时除以3得 ， 开平方得 ， 解得 ，； （2）解：， 这里，，， ∴ ， ∴， 解得： ，； （3）解：， 移项变形得 ， 提取公因式得 ， 整理得 ， 可得 或 ， 解得 ，． 题型六 配方法的应用（共3小题） 16．假设方程至少有一个整数解，那么k不可能是下列哪个数？（） A．8 B．15 C．24 D．30 E．48 【答案】D 【分析】本题可通过对原方程配方，根据整数解的性质得到必为完全平方数，再逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程至少有一个整数解，为整数， 为整数，因此必为完全平方数． 对各选项逐一验证∶ 选项A∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求； 选项B∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求； 选项C∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求； 选项D∶，，31不是完全平方数，不存在整数解，符合要求； 选项E∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求． 因此不可能是30． 17．关于的方程有两个不相等的实根和，则的最大值是_____． 【答案】 8 【分析】根据根与系数的关系得到方程系数之间的关系式，代入所求代数式后，利用配方法化简即可得到最大值． 【详解】解：因为关于的方程有两个不相等的实数根，. 可得，由根与系数的关系得： ， 即， 将代入得： 化简得： 将代入得： ， ， 故的最大值为． 18．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共3小题） 19．设是实数，关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用根的判别式判断即可； （2）首先求出方程的两根，然后根据两根都大于求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程 ∴ ∴方程总有实数根； （2）解：∵ ∴ ∴或 解得， ∵方程的两根都大于， ∴， 解得． 20．为实数，关于的方程为． (1)求证：原方程一定有实数根． (2)若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为2，或5 【分析】小问（1）需分二次项系数是否为0两种情况讨论．当时，方程为一次方程，有实数根；当时，计算并证明判别式． 小问（2）先求出方程的根，因为根为自然数，再通过此来限制即可得出的值． 【详解】（1）证明：当时，． 此时原方程为．有实数根． 当时， ， ∴原方程有两个实数根， 综上，原方程一定有实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 则， ． 由，知是6的因数． ， ． 当，即时，（舍）． 当，即时，（舍）． 当，即时，． 当，即时，． 综上，a的值为2或5． 21．已知：关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果n为正整数，且方程的两个根均为整数，求n的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可； （2）将原方程因式分解可得：，解得，，方程两个根均为整数，n为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， 该方程为关于x的一元二次方程， ， ，即， 无论n取不为0的任意实数，方程总有两个实数根； （2）解：将原方程因式分解可得：，解得两个根分别为，， 方程两个根均为整数，n为正整数， 必须为整数， 或． 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 22．已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，利用一元二次方程根的判别式得到关于c的不等式求解即可得到c的取值范围； （2）根据方程根的定义，得到a、b满足的关系式，代入y的表达式化简，再结合c的取值范围即可求出y的取值范围． 【详解】（1）解∶∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 整理得， 解得． （2）解：∵关于的方程有两个实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即的取值范围为． 23．已知：关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的一个实数根为3，求另一个实数根． 【答案】(1)； (2)当时，另一根为；当时，另一根为 【分析】（1）根据题意，得，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，先求出m的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 其中，，， 方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得； （2）将代入原方程，得， 则，解得或， 当时，原方程为，解得或，则另一根为； 当时，原方程为，解得或，则另一根为． 24．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根得到根的判别式的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形后代入建立关于的方程，求解后根据根的判别式的要求舍去不合理解，得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， ， 解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 代入得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 题型九 换元法解一元二次方程（共3小题） 25．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【详解】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 26．换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解方程，一元二次方程的解，绝对值的非负性及正整数解的枚举． （1）观察到方程中反复出现（含绝对值），因此设，原式变为，解这个一元二次方程后，需结合的条件筛选有效解，再回代，通过绝对值的定义求出x的值； （2）利用换元法，观察到方程中反复出现，设，方程转化为关于m的一元二次方程：，解这个方程后，结合m为正整数的条件筛选有效解，根据，通过枚举正整数对得到所有解． 【详解】（1）解：设，原式变为：， ∴， ， ， ， 解得：，， ∵， ∴，即， 解得：，． （2）解：设，原式为， ∴， ， ， ， ， 解得：，， ∵x和y都是正整数， ∴， ∴x和y的解为或或或． 27．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 题型十 一元二次方程根与系数的关系（共3小题） 28．已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量关系求解，再验证方程存在两个实根即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，，方程有两个根，， ∴，， 又∵， ∴，解得：， 验证判别式：，符合要求， 故的值为． 29．已知方程的两根分别为a和b，则的值是________． 【答案】 【分析】若，为方程的两个根，则有，，先根据根与系数的关系得到与的值，再展开所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：方程的两根分别为和， 由根与系数的关系可得，， ． 30．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，， ， 解得； （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 题型十一 传播问题（共3小题） 31．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得，（舍去） 答：x的值为． 32．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【答案】这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 33．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感， (1)请问每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)第三轮共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染 人． (2)人 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． （1）设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可． （2）根据（1）中答案进行解答即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． （2）由题意可得，（人）， 即第三轮共有人患流感． 题型十二 增长率问题（共3小题） 34．近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率． 【答案】 【分析】由平均增长率问题列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值，舍去）， ∴该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为， 答：该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为． 35．某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 【答案】 【分析】设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，根据第1个月和第3个月的净利润建立方程求解即可． 【详解】解：设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该公司这两个月净利润的月平均增长率为． 36．综合与实践 【项目背景】 某乡村合作社现有10公顷种植基地计划全部种植花生，品种可选传统花生或新品种花生，土地不允许空置． 传统花生：每公顷产量，出油率，种子、农资等种植成本约为每公顷9000元． 新品种花生：每公顷可产花生油，出油率的增长率是产量增长率的，种子、农资等种植成本比传统品种增加． 【项目准备】 当前市场花生油收购价为20元/千克，无论哪个品种产出的花生油收购价格一致．若改种新品种，每改造一公顷土地需要一次性投入固定改造费用1100元．合作社本次可用于土地改造与全年农资种植的总预算为万元． 【项目实施】 任务1：基础计算 (1)计算新品种花生的种子、农资等种植成本每公顷为__________元． (2)求出新品种花生产量的增长率，并求出新品种花生每公顷的产量． 任务2：成本与收益建模 (3)设合作社安排公顷种植新品种，剩余土地种植传统花生，用含的代数式表示第一年总净收益．（总净收益花生油总销售额种植与土地改造总投入） 任务3：最优方案 (4)在预算不超过万的前提下，如何安排种植，才能实现第一年总净收益最大?并求出最大净收益． 【答案】(1)元 (2)，； (3)元 (4)合作社安排6公顷种植新品种，4公顷种植传统花生，总净收益最大，最大为万元． 【分析】（1）根据题意，得求解即可． （2）设出油率的增长率是，则产量增长率是，根据题意，得，求解即可； （3）设合作社安排公顷种植新品种，种植传统花生的土地有公顷，根据净收益的定义列式计算即可； （4）根据题意，得，设总净收益为y元，根据题意，得，利用一次函数的性质，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（元）； （2）解：设出油率的增长率是，则产量增长率是， 根据题意，得， 整理，得， 解得或，增长率不能是负数，故舍去； 故出油率的增长率是， 故产量增长率是， 新品种花生每公顷的产量为． （3）解：设合作社安排公顷种植新品种，种植传统花生的土地有公顷，新品种花生每公顷可产花生油，传统花生每公顷可产花生油， 花生油收购价为20元/千克，花生油的总销售额为：（元）； 传统花生种植，种子、农资等种植成本约为每公顷9000元． 新品种花生种植，种子、农资等种植成本为每公顷9900元，且每改造一公顷土地需要一次性投入固定改造费用1100元． 故种植与土地改造总投入为：（元）； 故第一年总净收益为：（元）． 故第一年总净收益为元． （4）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 设总净收益为y元， 根据题意，得， 因为， 故y随x的增大而增大， 故当时，y取得最大值，且最大值为（万元）， 此时，传统花生种植面积为：公顷， 答：合作社安排6公顷种植新品种，4公顷种植传统花生，总净收益最大，最大为万元． 题型十三 与图形有关的问题（共3小题） 37．智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． (1)求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 (2)为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1) (2)道路宽度为 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为，然后根据题意列方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为， 则 解得（不合题意，舍去） 答：从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为． （2）解：设道路宽度为． 依题意得， 解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 38．如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【答案】(1)矩形菜地的长和宽都为10米． (2)不能围成面积是120平米的菜地 【分析】（1）设，可得，再利用面积公式列函数关系式，当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程求解即可； （2）当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程判断是否有根即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 当时，即， 整理得：， 解得：，， ∵墙长15米， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． （2）解：当时，即， 整理得：， ， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 39．被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积，即可验证方案． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， ∴ 则剪去的长方形的长为： 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积； （2）解：∵ ，底面积等于， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴得图 当， 时，满足条件， ∴， 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积 方案2包装盒的表面积为：， 则对方案2“表面积最小”的评价准确． 题型十四 数字问题（共3小题） 40．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1)，； (2)证明如下： ∵ ， ∴的差恒为常数； (3)7． 【分析】（1）直接根据日历表作答即可； （2）直接计算的值即可； （3）由（1）知最小的数，最大的数，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据日历表可知，，； （2）略； （3）解：由题意得：， 变形整理得：， 解得：，（舍去）， 即这个最小的数是7． 41．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【答案】(1)83 (2)9 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据八进制换算成十进制的方法可得： ； （2）解：根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程可得： ， ∴， 整理得：， 解得（不符合题意，舍去）， 故n的值为9． 42．如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】(1)123 (2)小亮说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可； （2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）解：小亮的说法是正确的． 理由：设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程 ， 即 ，     解得（负数舍去），， 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确． 题型十五 营销问题（共3小题） 43．在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 (1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； (2)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 【答案】(1)购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶件． (2)将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 【分析】（1）设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶件，根据等量关系：两款公仔玩偶共花费1430元，建立一元一次方程即可求解； （2）设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元；由题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶件， 由题意得：， 解得：， 则（件）； 答：购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶件． （2）解：设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 44．为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ (2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 【答案】(1)黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元 (2)2或7 【分析】（1）根据“每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元”和“张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元”列方程组求解即可； （2）根据售价及销售量的变化，利用“每天销售这两种水果的总利润为960元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元，由题意，得 解得． 答：黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元； （2）解：由题意，得 ， 解得，． 当或7时，两种水果的销售量均大于0，符合题意． 答：a的值为2或7． 45．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)88元 (3)公司每天能获得9000元的利润，此时定价为90元 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列一元二次方程，求出x的值，然后列出一元一次不等式，求出不等式的解集，即可求出答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得：， 解得， 与的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：， ∵要求优惠力度最大， 取， ． 答：每双运动鞋的售价应该定为88元； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： 根据题意得， 整理得， 解得． ∵每双运动鞋的利润不低于成本价的， ， 解得：符合题意， 公司每天能获得9000元的利润，此时每双运动鞋的定价为元． 题型十六 动态几何问题（共3小题） 46．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 【答案】(1)， (2) (3)1或3 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在上． 47．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 48．综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 题型十七 工程问题（共3小题） 49．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 50．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 51．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 题型十八 行程问题（共3小题） 52．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 53．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 54．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 题型十九 图表信息题（共3小题） 55．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 56．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 57．【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 题型二十 循环问题（共3小题） 58．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 59．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 【答案】(1)小诚的说法有道理，见解析 (2)原来有9人参加比赛 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）设原来有人参加比赛，设有一人比赛了场后退出比赛，可得方程，整理并求解即可． 【详解】（1）解：小诚的说法有道理．理由如下： 设有人报名参赛，由题意，得， 整理得． 解得． 与都不是整数， 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理． （2）解：设原来有人参加比赛， 由题意，得， 整理得． 解得（不符合题意，舍去）． 原来有9人参加比赛． 60．问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】问题：；拓展：（1）9；14；（2）可以，9 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键在于理解握手问题的数量关系． 问题：设参加聚会的同学共有人，则每人应握手次，根据等量关系建立等式即可． 拓展：（1）根据六边形中每个顶点可以形成3条对角线，求解即可；根据七边形中每个顶点可以形成4条对角线，求解即可． （2）根据n边形的对角线数量为条，建立等式求解一元二次方程即可． 【详解】解：问题：设参加聚会的同学共有人， 对于其中任意一个人来说，他需要和除自己之外的个人握手， ∵总共有个人，总共握手的次数是次． ∴得． 故答案为：． 拓展：（1）∵每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成3条对角线， ∴六边形的对角线数量为条． ∵每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成4条对角线， ∴七边形的对角线数量为条． 故答案为：9；14． （2）∵每个顶点可以与个顶点连接形成对角线， ∴每个顶点可以形成条对角线． 所以n边形的对角线数量为条． 设多边形的边数为n，对角线数量为， 可以得到方程，化简为． 解得或， 因为n为正整数，所以， 即多边形的边数为9． 题型二十一 一元二次方程的新定义问题（共3小题） 61．小明在学习配方法时，将关于的多项式配方成，发现当的值为任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当，即或0时，的值均为5；当，即或-1时，的值均为8．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当的值为任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于镜像，例如关于1镜像． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________镜像； (2)若式子关于镜像，求出方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将多项式配方得，再根据新定义判定即可； （2）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可得到的值，将求出的代入方程，利用配方法求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等， ∴多项式关于镜像， 故答案为：． （2）原式， 当或1时，原式， ， 关于的方程可化为， 即，， ． 故方程的解为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握把整式通过配方写成完全平方式的形式． 62．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为10，求关于的方程：的根． (3)关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值4，且关于的方程：只有一根大于5，求的取值范围． 【答案】(1)，2 (2)， (3) 【分析】（1）将多项式整理得出完全平方公式的形式，再根据题意可得答案； （2）先整理成完全平方公式的形式，即可求出a，再根据多项式的值是10求出的值，然后代入方程求出方程的根即可； （3）将多项式整理为，再结合题意可知m，n的值，然后代入方程，并表示出方程的解，接下来根据方程的解的范围得出不等式，求出解集即可． 【详解】（1）解：， 多项式关于对称； ∵关于的多项式关于对称， ∴， ； （2）解：， ， 解得． ∵当时，多项式的值为10， ， ． ∴方程为， 解得：，； （3）解：由条件可知， ，， 解得，， ∴方程为， ， ，， 只有一根大于， ，， 解得． 63．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． $ 专题03 一元二次方程 题型1 一元二次方程的定义 题型12 增长率问题 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型13 与图形有关的问题 题型3 由一元二次方程的定义求参数 题型14 数字问题 题型4 一元二次方程的解的估算 题型15 营销问题 题型5 解一元二次方程 题型16 动态几何问题 题型6 配方法的应用 题型17 工程问题 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型18 行程问题 题型8 根据一元二次方程根的情况求参数 题型19 图表信息题 题型9 换元法解一元二次方程 题型20 循环问题 题型10 一元二次方程根与系数的关系 题型21 一元二次方程的新定义问题 题型11 传播问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的定义（共3小题） 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程：①，②，③，④，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 题型二 化成一元二次方程的一般式（共3小题） 4．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 5．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项系数是2，则常数项是_______． 6．将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数是________． 题型三 由一元二次方程的定义求参数（共3小题） 7．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 8．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 9．已知方程的一个根为1，求它的另一根及的值． 题型四 一元二次方程的解的估算（共3小题） 10．观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 11．根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 12．关于x的一元二次方程（均为常数）的解是，则关于x的一元二次方程的解是_______． 题型五 解一元二次方程（共3小题） 13．解方程： (1) (2) 14．解方程： (1) (2) 15．解方程： (1) (2) (3) 题型六 配方法的应用（共3小题） 16．假设方程至少有一个整数解，那么k不可能是下列哪个数？（） A．8 B．15 C．24 D．30 E．48 17．关于的方程有两个不相等的实根和，则的最大值是_____． 18．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共3小题） 19．设是实数，关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 20．为实数，关于的方程为． (1)求证：原方程一定有实数根． (2)若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值． 21．已知：关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果n为正整数，且方程的两个根均为整数，求n的值． 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 22．已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，试求的取值范围． 23．已知：关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的一个实数根为3，求另一个实数根． 24．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 题型九 换元法解一元二次方程（共3小题） 25．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 26．换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 27．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 题型十 一元二次方程根与系数的关系（共3小题） 28．已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 29．已知方程的两根分别为a和b，则的值是________． 30．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 题型十一 传播问题（共3小题） 31．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 32．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 33．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感， (1)请问每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)第三轮共有多少人患流感？ 题型十二 增长率问题（共3小题） 34．近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率． 35．某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 36．综合与实践 【项目背景】 某乡村合作社现有10公顷种植基地计划全部种植花生，品种可选传统花生或新品种花生，土地不允许空置． 传统花生：每公顷产量，出油率，种子、农资等种植成本约为每公顷9000元． 新品种花生：每公顷可产花生油，出油率的增长率是产量增长率的，种子、农资等种植成本比传统品种增加． 【项目准备】 当前市场花生油收购价为20元/千克，无论哪个品种产出的花生油收购价格一致．若改种新品种，每改造一公顷土地需要一次性投入固定改造费用1100元．合作社本次可用于土地改造与全年农资种植的总预算为万元． 【项目实施】 任务1：基础计算 (1)计算新品种花生的种子、农资等种植成本每公顷为__________元． (2)求出新品种花生产量的增长率，并求出新品种花生每公顷的产量． 任务2：成本与收益建模 (3)设合作社安排公顷种植新品种，剩余土地种植传统花生，用含的代数式表示第一年总净收益．（总净收益花生油总销售额种植与土地改造总投入） 任务3：最优方案 (4)在预算不超过万的前提下，如何安排种植，才能实现第一年总净收益最大?并求出最大净收益． 题型十三 与图形有关的问题（共3小题） 37．智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． (1)求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 (2)为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 38．如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 39．被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 题型十四 数字问题（共3小题） 40．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 41．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 42．如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 题型十五 营销问题（共3小题） 43．在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 (1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； (2)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 44．为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ (2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 45．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由． 题型十六 动态几何问题（共3小题） 46．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 47．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 48．综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 题型十七 工程问题（共3小题） 49．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 50．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 51．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 题型十八 行程问题（共3小题） 52．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 53．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步． 54．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 题型十九 图表信息题（共3小题） 55．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 56．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 57．【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 题型二十 循环问题（共3小题） 58．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 59．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 60．问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 题型二十一 一元二次方程的新定义问题（共3小题） 61．小明在学习配方法时，将关于的多项式配方成，发现当的值为任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当，即或0时，的值均为5；当，即或-1时，的值均为8．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当的值为任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于镜像，例如关于1镜像． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________镜像； (2)若式子关于镜像，求出方程的解． 62．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为10，求关于的方程：的根． (3)关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值4，且关于的方程：只有一根大于5，求的取值范围． 63．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $