暑假作业09 一元二次方程根的判别式与根的情况（预习作业）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以根的判别式为核心，通过定义-关系-应用逻辑链构建方法体系，强化抽象能力与推理意识，实现含参问题的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点讲解|3个核心知识点|定义理解（Δ符号含义）、关系对应（记忆口诀）、参数求解（两步法+二次项系数≠0前提）|概念生成（判别式定义）→原理推导（Δ与根的情况对应）→应用拓展（含参问题求解）| |题型训练|2类题型10道典例|根的情况判断（Δ计算与符号分析）、参数范围确定（Δ不等式构建与求解）|基础判断→综合应用→新定义拓展（如“和谐方程”“美好方程”），覆盖中考高频考法|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 罗 暑假作业09一元二次方程根的判别式与根的情况 新知初探 【知识点1什么是根的判别式：符号与定义】 式子b2-4ac叫做一元二次方程a2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)的根的判别式，通常用希 腊字母△（读作“德尔塔”）表示： △=b2-4ac 这个名字的含义：它能判别（判断）方程有没有实数根、有几个根，而不需要把根真正算出来。 【知识点2△与方程实数根情况的对应关系】 △=b2-4ac的符号 方程axr2+br+c=0(a≠0)实数根情况 记忆口决 A>0 两个不相等的实数根 正一分岔一两个不同 △=0 两个相等的实数银（即气=%= b 零→合拢→两根重合 △<0 没有实数根（实数范围内无解） 负→根号里负数→开不出来 注意： 1.△=0时是“两个相等的实数根”，不是“一个根”。一元二次方程永远讨论两个根（含重合情 形)，预习阶段就要把这个说法钉牢。 2. “无实数根”≠“无解”的模糊表述，严谨写法：方程在实数范围内没有实数根。 【知识点3含参问题中'由根的情况求参数范围】 这类题的本质只有两步：把△用参数表示出来→按要求列△的不等式/等式→解不等式，且别忘 a≠0。 1. 明确前提是“一元二次方程”：题干若出现“关于x的一元二次方程…”，则第一句话必须 写： 115 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二次项系数≠0 2. 常见三类问法 问法 转化成的数学条件 注意点 a≠0 有两个不等实根 A>0 别漏a≠0 [a≠0 有两个相等实根 A=0 同样要先锁a≠0 a≠0 “有两个实数根”教材里通常= 有实数根/有两个实数根 A≥0 “有实根”=△≥0（仍需a≠0） 3. 不含“一次方程退化”的简单参数题 例：(m-)r+2x+1=0是关于x的一元二次方程，且有两个不等实根，求m范围。 :(m-1)x2+2x+1=0是关于x的一元二次方程 ∴.m-1≠0，即≠1 △=22-4(m-1)1=4-4(m-1)=8-4m 且一元二次方程有两个不等实根 ∴.△>0 ∴.8-4>0，解得l<2 ≠1 ∴.m<2且≠1 基础检测 题型01根据判别式判断一元二次方程的情况 1.(2026四川南充三模)m为实数，关于x的方程为2+(m-2)x+1=m. (1)判断方程根的情况. (2)若方程的两根为×1,2，当2x-x=3时，求m的值. 2.(25-26八年级下浙江杭州期中)已知关于x的方程x2-(亿-3)x+k-4=0, (1)求证：无论k为何实数，此方程总有实数根， (2)若两根异号且负根的绝对值大，求k的取值范围. 215 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下山东青岛期中)已知关于x的一元二次方程x-(m+)x+m-1=0. (1)若方程有一根为1-√2，求的值： (2)求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根， 4.(25-26八年级下山东烟台期中)关于x的一元二次方程x2+2+6k-9=0. (①)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求k的取值范围， 5.(25-26八年级下·广西崇左期中)定义：若一元二次方程ax+br+c=0(a≠0)满足b=a+c,则称该 方程为“和谐方程”. (1)下列方程属于“和谐方程”的是_；（填序号） ①3x2+4x+1=0:②x2-2x-1=0;③2x2+2x=0 (2)求证：和谐方程总有实数根： (3)已知一元二次方程ax'+bx+c=0(a≠0)为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a,c的数量 关系。 题型02根据一元二次方程根的情况求参数 1,(25-26八年级下浙江温州期中)已知一元二次方程ax'+bx+c=0(a≠0). 3b+c (①)若x=3是方程的一个根，求3a的值. (2)若方程有两个相同的实数根，且b-ac=-1,求b的值. 2.(25-26八年级下·浙江杭州期中)已知关于x的方程x2-2x+c=0有两个实数根a,b. (I)求C的取值范围： (2)若y=a2-2a-2b(b-2)-1,试求y的取值范围. 3.(25-26八年级下山东泰安期中)已知关于x的一元二次方程(a+c)x-2bx+(a-c)=0.其中a、b, c分别为△ABC边的长. (I)如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由. (2)如果方程有两个相等的实数根.试判断△ABC的形状，并说明理由， 4.(25-26九年级上：广东茂名期中)新定义：对于关于x的一元二次方程am'+br+c=0(a≠0)，若根的 判别式b-4ac是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”. (1)判断下列方程一定是“美好方程”是一；（直接填序号) 315 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①x2-6x+9=0;②x2+5x-4=0;③x2+2V3x+3=0； (2)若关于x的一元二次方程x2-(2m-3)x+m2-3m=0,设方程的两个实数根分别为×1，，(x<x) ①证明：此方程一定是“美好方程”： ②若￥<1，x>2,求m的取值范围； ③是否存在实数k,使得P(:,七)始终在函数y=c-k+4的图象上？若存在，求出k的值：若不存在， 请说明理由. 5.(2425八年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)阅读理解： 己知ar2+br+c是关于x的多项式，记为P().我们规定：P(x)的导出多项式为2ar+b,记为Q(x), 例如：若P(x)=4r2+3x-5,则P(x)的导出多项式Q()=2×4x+3=8x+3. 根据以上信息，回答问题： (1)若P(x)=3x+7x,则它的导出多项式(x)= (2)设(x)是P(x)的导出多项式. ①若P()=3x2-2(3x+2),求关于x的方程()=2的解： ②已知P(x)=(a+l)x+4x-3是关于x的二次多项式，且关于x的方程()=x+13有两个相等的实 数根，求a的值. 小试牛刀 1.(2026河南平顶山·二模)已知一元二次方程x2+5x+2=0,则该方程根的情况是() A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.(2026云南普洱二模)一元二次方程x2+2x-5=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 3.(2026湖南常德·二模)若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有实数根，则k的取值范围是() A.k≥1 B.k<-1 C.k≤-1 D.k2-1 4.(2026辽宁抚顺模拟预测)若关于x的一元二次方程2x2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是() 415 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.m<4.5 B.m≤4.5 C.m>4.5 D.m≥4.5 5.(2026北京西城二模)若关于x的一元二次方程(m-1)x2-4x+1=0有两个相等的实数根，则实数m 的值是 6.(2026河南平顶山三模)若关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0有两个不相等的实数根，则m的 取值范围为 7.(25-26八年级下·安徽六安阶段检测)直线y=-2x+a不经过第一象限，则关于x的方程 ax2-3x+2=0的实数解的个数为， 8.(25-26九年级下江苏盐城期中)已知关于x的一元二次方程x+(m+2)x+m+1=0, (1)若方程有一实数根为3，求的值： (②)求证：无论m取何值，方程总有实数根. 9.(25-26八年级下浙江期中)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k+k=0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若Rt△ABC两直角边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，斜边BC的长为5，求k的值. 10.(25-26八年级下浙江宁波期中)己知：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+2=0, (I)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围. (2)若方程的一个实数根为3，求另一个实数根。 5/5 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 一元二次方程根的判别式与根的情况 【知识点1 什么是根的判别式：符号与定义】 式子叫做一元二次方程（为常数，且）的根的判别式，通常用希腊字母Δ（读作“德尔塔”）表示： 这个名字的含义：它能判别（判断）方程有没有实数根、有几个根，而不需要把根真正算出来。 【知识点2 Δ与方程实数根情况的对应关系】 的符号 方程（）实数根情况 记忆口决 Δ＞0 两个不相等的实数根 正→分岔→两个不同 Δ＝0 两个相等的实数根（即） 零→合拢→两根重合 Δ＜0 没有实数根（实数范围内无解） 负→根号里负数→开不出来 注意： 1. Δ＝0时是“两个相等的实数根”，不是“一个根”。一元二次方程永远讨论两个根（含重合情形），预习阶段就要把这个说法钉牢。 2. “无实数根”≠“无解”的模糊表述，严谨写法：方程在实数范围内没有实数根。 【知识点3 含参问题中"由根的情况求参数范围"】 这类题的本质只有两步：把Δ用参数表示出来→按要求列Δ的不等式/等式→解不等式，且别忘。 1. 明确前提是“一元二次方程”：题干若出现“关于x的一元二次方程……”，则第一句话必须写： 二次项系数≠0 2. 常见三类问法 问法 转化成的数学条件 注意点 有两个不等实根 别漏 有两个相等实根 同样要先锁 有实数根/有两个实数根 “有两个实数根”教材里通常＝“有实根”＝Δ≥0（仍需） 3. 不含“一次方程退化”的简单参数题 例：是关于x的一元二次方程，且有两个不等实根，求m范围。 ∵是关于x的一元二次方程 ∴m－1≠0，即m≠1 ∵ 且一元二次方程有两个不等实根 ∴Δ＞0 ∴8−4m＞0，解得m＜2 ∵m≠1 ∴m＜2且m≠1 题型01 根据判别式判断一元二次方程的情况 1．（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何实数，此方程总有实数根． (2)若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)k的取值范围为 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论为何实数，方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系列出关于的不等式组，解不等式组可得出答案． 【详解】（1）解：方程中，，，， ， 整理可得：， 无论为何实数，方程有实数根； （2）解：方程两根异号且负根的绝对值大， ， ， 解得：， 的取值范围为． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于x的一元二次方程 ． (1)若方程有一根为，求m的值； (2)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）把代入原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明 即可． 【详解】（1）解：把代入原方程得 ， ， ， ， ， ； （2）证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)原方程有两个实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）利用因式分解法解原方程，可得出原方程的解为，，结合原方程有一个根不小于5，即可得出． 【详解】（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根； （2）∵， ∴， 解得：，， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是_；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出，根据平方的非负性作答即可； （3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到，进而根据“和谐方程”的定义得到，根据完全平方公式得到，即可得到a，c的数量关系． 【详解】（1）解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； （2）证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； （3）解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【详解】（1）解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，利用一元二次方程根的判别式得到关于c的不等式求解即可得到c的取值范围； （2）根据方程根的定义，得到a、b满足的关系式，代入y的表达式化简，再结合c的取值范围即可求出y的取值范围． 【详解】（1）解∶∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 整理得， 解得． （2）解：∵关于的方程有两个实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即的取值范围为． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程．其中a、b、c分别为边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果方程有两个相等的实数根．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）把代入一元二次方程，得出，即可得出三角形的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，即可得出，说明三角形为直角三角形． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)①见解析；②；③存在， 【分析】（1）分别计算每个方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可判断； （2）①计算方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可证明； ②根据公式法求解方程，得到，，再结合题意列出不等式组，即可求解； ③代入点到，即可求出k的值． 【详解】（1）解：①对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； ②对于， ，，， ∴， ∵41不是整数的平方， ∴不是“美好方程”； ③对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； 综上，一定是“美好方程”是①③； （2）①证明： ，，， ∴， ∴此方程一定是“美好方程”； ②解：由①得，， ∴此方程的解为， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得； ③解：由②得，，， ∴， 代入点到，得， 整理得：， ∵不恒为0， ∴， 解得， 综上，存在实数，． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读理解： 已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的导出多项式______； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于x的方程的解； ②已知是关于x的二次多项式，且关于x的方程有两个相等的实数根，求a的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）①先根据新定义，求出，再根据，进行求解即可；②先求出，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，解得； ②∵， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，解得或． 1．（2026·河南平顶山·二模）已知一元二次方程，则该方程根的情况是（      ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用判别式的符号即可判断根的情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 2．（2026·云南普洱·二模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，先计算判别式的值，再根据判别式与0的大小关系得出结论． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 3．（2026·湖南常德·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于0，据此计算即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ 解得． 4．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于，代入方程系数计算即可得到的取值范围． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得． 5．（2026·北京西城·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是________． 【答案】 【详解】解：方程 是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴且， 解得． 6．（2026·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， 解得：． 7．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）直线不经过第一象限，则关于的方程的实数解的个数为___________． 【答案】或 【分析】先根据一次函数的图象性质确定的取值范围，再分和两种情况，分别判断方程的类型，进而确定方程实数解的个数． 【详解】解：直线的比例系数，且直线不经过第一象限， 分两种情况讨论方程的解的情况， （1）当时，方程化为，为一元一次方程，有个实数解； （2）当时，方程为一元二次方程， 计算根的判别式， ， ， 可得， 此时一元二次方程有个不相等的实数解． 综上，方程的实数解的个数为或． 8．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：方程有一实数根为3， ∴， 解得； （2）证明：∵关于x的一元二次方程 ， 无论取何值，方程总有实数根． 9．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若两直角边，的长是这个方程的两个实数根，斜边的长为5，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为3 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【详解】（1）证明： ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：的两边，的长是这个方程的两个实数根， ，． 由勾股定理，得， 即， ， 整理得：， 解得，． 时，，不符合题意，故的值为3． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知：关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的一个实数根为3，求另一个实数根． 【答案】(1)； (2)当时，另一根为；当时，另一根为 【分析】（1）根据题意，得，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，先求出m的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 其中，，， 方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得； （2）将代入原方程，得， 则，解得或， 当时，原方程为，解得或，则另一根为； 当时，原方程为，解得或，则另一根为． / 学科网（北京）股份有限公司 $