专题七 与四边形有关的折叠、剪切、拼接题- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

47 专题七　与四边形有关的折叠、剪切、拼接问题 与四边形有关的折叠、剪切、拼接问题是具有河北特色的中考题型.解决与矩形、菱形、正方 形相关的折叠问题时,可以利用折叠的性质,即折叠前后的图形全等,来寻找折叠部分与原图形 之间线段和角的关系;解决剪切、拼接问题时,要注意操作前后图形的变化情况,结合变化中呈现 出的数量或位置关系求解. 类型一 与四边形有关的折叠问题 (一) 平行四边形中的折叠问题 1. 如图,将▱ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在点B'处.若∠1=∠2=44°,则∠B 的度 数为 ( ) A. 66° B. 104° C. 114° D. 124° 第1题 第2题 2. 如图,在▱ABCD 中,点E 在AD 边上,以 BE 为折痕,将△ABE 折叠,使点A 恰好落 在CD 边上的点F 处.若△BCF 的周长为 14,CF 的长为3,则△DEF 的周长为( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 答案讲解 3. 如图,先将一张平行四边形纸片 ABCD 沿AE,EF 折叠,使点E, B',C'在同一条直线上,再将折叠 的纸片沿EG 折叠,使AE 落在EF 上,则 ∠AEG= °. 第3题 4. 如图,将▱ABCD 沿过点A 的直线l折叠, 使点D 落在AB 边上的点D'处,折痕交CD 边于点E,连接BE. (1) 求证:四边形BCED'是平行四边形; (2) 若 BE 平 分 ∠ABC,求 证:AE2 + BE2=AB2. 第4题 (二) 矩形中的折叠问题 5. 如图,把矩形纸条ABCD 沿EF,GH 同时折 叠,B,C 两点恰好落在AD 边上的点P 处. 若∠FPH 的度数恰好为90°,PF=4,PH= 3,则BC 的长为 ( ) 第5题 A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 48 6. 数学老师要求学生用一张矩形纸片ABCD 折出一个45°的角,甲、乙两人的折法如图所 示.下列说法中,正确的是 ( ) 甲:如图①,将纸片沿 折痕AE 折叠,使点B 落在AD 上的点B'处, ∠EAD 即为所求. 乙:如图②,将纸片沿折 痕AE,AF 折叠,使B, D 两点分别落在点B', D'处,且AB'与AD'在 同一条直线上,∠EAF 即为所求. 第6题 A. 甲和乙的折法都正确 B. 只有甲的折法正确 C. 只有乙的折法正确 D. 甲和乙的折法都不正确 7. ★如图,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使点A, C 重合,点D 落在点G 处,连接AC,与EF 交于点H. (1) 求证:AE=AF; (2) 若AB=4,BC=8,求△ABE 的面积. 第7题 8. 操作:第一步:如图①,对折矩形纸片ABCD, 使AD 与BC 重合,得到折痕EF,把纸片 展开. 第二步:如图②,再一次折叠纸片,使点A 落 在EF 上的点N 处,并使折痕经过点B,得 到折痕BM,同时得到线段BN.连接AN, 易知△ABN 的形状是 . 论证:如图③,若延长MN 交BC 于点P,试 判定△BMP 的形状,并说明理由. 第8题 (三) 菱形中的折叠问题 9. 如图,在菱形纸片ABCD 中,E 是BC 边上 一点,将△ABE 沿直线AE 翻折,使点B 落 在 点 B'处,连 接 DB'.若 ∠C =120°, ∠BAE=50°,则∠AB'D 的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 80° D. 90° 第9题 第10题 10. 如图,在菱形纸片ABCD 中,∠A=60°,点 E 在BC 边上,将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠,点C 的对应点为C',且DC'是AB 的 垂直平分线,则∠DEC 的度数为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 49 答案讲解 11. 如图,在菱形ABCD 中,∠BAD= 120°,将菱形沿EF 折叠,点B 正 好落在AD 边上的点G 处,且 EG⊥AC.若CD=8,求FG 的长. 第11题 (四) 正方形中的折叠问题 12. 如图,现有一块边长为2的正方形毛巾,将 其一角折叠至毛巾的中心位置,折痕PQ 的长为 ( ) A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 2 第12题 第13题 13. 如图,在正方形ABCD 中,AB=3,点E,F 分别在AB,CD 边上,∠EFD=60°.若将 四边形EBCF 沿EF 折叠,点B 恰好落在 AD 边上的点B'处,则BE 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 14. 如图,将正方形ABCD 沿EF 折叠,点A, D 分别落在点N,G 处,且GN 分别交CD 于点M,交BC 于点N,BN=5,AB=12, 连接AN. (1) 求△AEN 的面积; (2) 试判断EF 与AN 的数量关系,并说明 理由. 第14题 15. 如图,在正方形ABCD 中,AB=6,点E 在 AB 上,且BE=2AE,将△ADE 沿DE 折 叠至△DEF,延长EF 交BC 于点H,连接 DH,BF. (1) 求证:CH=FH; (2) 求BH 的长; (3) 求△FBH 的面积. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 50 类型二 与四边形有关的剪切、拼接问题 16. 如图,有甲、乙两张完全相同的三角形纸 片,将它们分别沿着虚线剪开,若各自要拼 一个与原来面积相等的矩形,则 ( ) 第16题 A. 甲、乙都可以拼成 B. 甲、乙都不可以拼成 C. 甲不可以拼成,乙可以拼成 D. 甲可以拼成,乙不可以拼成 17. 将一张三角形纸片按图示步骤①至④折叠 两次得到图⑤,然后剪出图⑤中的涂色部 分,则涂色部分展开铺平后的图形是 ( ) 第17题 A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 18. 如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=90°, BC=5,将△ABC 沿中位线DE 剪开后,把 得到的两部分拼成平行四边形,所拼成的 平行四边形的周长是 ( ) 第18题 A. 15+53 B. 10+53 C. 15+53或20 D. 10+53或20 19. 如图,正方形硬纸片ABCD 的边长是8,E, F 分别是AB,BC 的中点.若沿图中的虚线 剪开,拼成如图所示的一座“小房子”,则图 中涂色部分的面积是 ( ) 第19题 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 20. 如图①所示为由五个边长为1的小正方形 组成的图形纸,我们可以把它剪开拼成 一个正方形(图②). (1) 图②中拼成的正方形的面积是 , 边长是 . (2) 请你在图③中画一个面积为5的正方 形,要求所画正方形的顶点都在格点上.请 用虚线画出. (3) 你能把由十个边长为1的小正方形组 成的图形纸(图④),剪开并拼成正方形吗? 若能,请仿照图②的形式把它重新拼成一个 正方形,并求出它的边长. 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 17 720.∵ 3.3>0,∴ W 的值随x的值的增大而增大.∴ 当 x=150时,W 取得最小值,此时最小值为3.3×150+ 720=1215,600-x=450.∴ 当从甲养殖场调运150千克 鸡蛋,从乙养殖场调运450千克鸡蛋时,才能使每天的总 运费最少. 专题七　与四边形有关的折叠、 剪切、拼接问题 1. C 2. A 3. 45 解析:根据折叠的性质,得△ABE≌△AB'E, △CEF≌ △C'EF,∴ ∠AEB = ∠AEB',∠CEF = ∠C'EF.∵ ∠AEB+∠AEB'+∠CEF+∠C'EF= 180°,∴ ∠AEB'+∠C'EF=90°.∵ 点E,B',C'在同 一条直线上,∴ ∠AEF=90°.∵ 将折叠的纸片沿EG 折 叠,使 AE 落 在 EF 上,∴ ∠AEG = ∠GEA' = 1 2∠AEF=45°. 4. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD, ∠D=∠ABC.∵ 将▱ABCD 沿过点A 的直线l折叠,使 点D 落在AB 边上的点D'处,∴ ∠D=∠AD'E,CE∥ BD'.∴ ∠ABC=∠AD'E.∴ BC∥D'E.∴ 四边形 BCED'是 平 行 四 边 形.(2) ∵ BE 平 分 ∠ABC, ∴ ∠CBE=∠EBA.由 折 叠 的 性 质,可 知∠DAE= ∠D'AE.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC.∴ ∠DAB+∠CBA=180°.∴ ∠EAB+∠EBA= 90°.∴ ∠AEB=180°-(∠EAB+∠EBA)=90°.∴ 在 Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2. 5. C 6. A 7. (1) ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形,∴ AD ∥BC. ∴ ∠AFE=∠FEC.由折叠的性质,得∠AEF=∠FEC, ∴ ∠AFE=∠AEF.∴ AE=AF.(2) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠B=90°.由折叠的性质,得AE=EC.设 BE=x,则AE=EC=8-x.在Rt△ABE 中,根据勾股定 理,可得AB2+BE2=AE2,即42+x2=(8-x)2,解得 x=3.∴ BE=3.∴ S△ABE= 1 2AB ·BE=12×4× 3=6. 矩形中折叠问题的解题策略 (1) 解决矩形的折叠问题时,不仅要根据折叠前后 的对应关系,还要结合矩形的性质转化边与角. (2) 通常可设出未知数,尽量将数量关系转化到同 一个直角三角形中,从而利用勾股定理列方程求解. 8. 等边三角形;△BMP 是等边三角形.理由:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD=∠ABC=90°.由折叠,可知 ∠NBM=∠ABM,∠BNM=∠BAD=90°,∴ ∠BNP= 90°.∵ △ABN 是 等 边 三 角 形,∴ ∠ABN =60°. ∴ ∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°.∴ ∠MBP= ∠ABP-∠ABM=60°,∠NBP=∠ABP-∠ABN= 30°.∴ 易得∠BPM=∠MBP=60°.∴ △BMP 是等边三 角形. 9. C 10. D 解析:如图,连接BD,设AB 交C'D 于点P.∵ 四 边形 ABCD 为菱形,∴ AB∥CD,AB=AD,∠C= ∠A.∵ ∠A=60°,∴ △ABD 为等边三角形,∠ADC= 120°,∠C=60°.∵ DC'是AB 的垂直平分线,∴ P 为AB 的中 点.∴ DP 为 ∠ADB 的 平 分 线,即 ∠ADP = ∠BDP=30°.∴ ∠PDC=∠ADC-∠ADP=120°- 30°=90°.由折叠的性质,得∠CDE=∠PDE=12×90°= 45°.∴ 在△DEC 中,∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)= 180°-(45°+60°)=75°. 第10题 11. 如图,设AC与EG 交于点O,FG 与AC交于点H,过 点A 作AN⊥BC 于点N.∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∠BAD=120°,∴ AD∥BC,AB=BC=CD=AD=8, ∠BAC=∠CAD=12∠BAD=60°.∴ △ABC,△ACD 是等边三角形.∴ ∠B=60°.∵ EG⊥AC,∴ ∠GOH= 90°.由折叠,得∠EGF=∠B=60°,∴ ∠OHG=30°. ∴ ∠AGH=90°.∴ FG⊥AD.∵ AD∥BC,AN⊥BC, ∴ 易得FG=AN.∵ △ABC 是等边三角形,AN⊥BC, ∴ N 是BC 的中点,即BN=CN=12BC=4.∴ 在 Rt△ABN 中,AN= AB2-BN2=43.∴ FG=43. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 12. B 13. D 14. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠B=90°.由折叠 的性质,得 NE=AE.设 NE=AE=x,则BE=AB- AE=12-x.在Rt△EBN 中,由勾股定理,得BN2+ BE2=NE2,即52+(12-x)2=x2,解得 x=16924. ∴ AE=16924.∴ △AEN 的面积=12AE×BN= 1 2× 169 24×5= 845 48. (2) EF=AN.理由:如图,作FH⊥AB 于 点H,则易得FH=AD=AB,∠EFH+∠FEH=90°.由 折叠的性质,得EF⊥AN.∴ ∠NAB+∠FEH=90°. ∴ ∠EFH = ∠NAB.在 △EFH 和 △NAB 中, ∠EFH=∠NAB, FH=AB, ∠FHE=∠B=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EFH ≌ △NAB (ASA). ∴ EF=AN. 第14题 15. (1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ DC=AD, ∠BAD=∠DCB=90°.∵ 将△ADE 沿 DE 折叠至 △DEF,∴ AD=DF,∠DAE=∠EFD=90°.∴ DF= DC.又 ∵ ∠DCH = ∠DFH =90°,DH = DH, ∴ Rt△DCH≌Rt△DFH(HL).∴ CH=FH.(2) ∵ AB= 6,BE=2AE,∴ AE=2,BE=4.由折叠的性质,得EF= AE=2.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠ABC=90°, BC=AB=6.∴ 在Rt△BEH 中,EH2=BE2+BH2. ∴ (CH+2)2=16+(6-CH)2.∴ CH=3.∴ BH= BC-CH=3.(3) ∵ S△BEH= 1 2BE×BH=6 ,且EF= 2,FH=CH=3,∴ 易得S△FBH= 6 2+3×3= 18 5. 16. A 17. C 18. D 解析:在 Rt△ABC 中,∠A=30°,∠B=90°, BC=5,∴ AC=2BC=10.由 勾 股 定 理,得 AB= AC2-BC2 =5 3.∵ DE 是 △ABC 的 中 位 线, ∴ DE=12BC= 5 2 ,AD=BD=532 ,AE=CE=5, ∠ADE=∠BDE=90°.由题意,有两种情况:① 如图①, 当点A 与点C 重合,△ADE 的斜边AE 与CE 重合时,则 DD'=2DE=5,CD'=BD=532 .∴ 所拼成的平行四边 形的周长为10+53.② 如图②,当点A 与点B 重合, △ADE 的直角边AD 与BD 重合时,则EE'=2DE=5, BE'=CE=5.∴ 所拼成的平行四边形的周长为20.综上 所述,所拼成的平行四边形的周长为10+53或20. 第18题 19. C 20. (1) 5;5.(2) 如图①所示(画法不唯一).(3) 能.如 图②所示.∵ 小正方形的边长为1,∴ 一个小正方形的面 积为1.∴ 十个小正方形的面积为1×10=10.∴ 拼成的 正方形的边长为 10. 第20题 专题八　一次函数与四边形的 综合性问题 1. A 2. 1≤k≤2 3. (1) 8 (2) 5.5 4. (1) ∵ 四边形OABC 是矩形,∴ AB⊥x 轴,BC⊥ y轴.∵ 一次函数y=- 2 3x+b 的图像与边OC,AB 分 别交于点D,E,且满足OD=BE,∴ 易得OD=BE= b.∵ 点B 的坐标为(6,8),∴ AB=8,点E 的横坐标为 6.∴ AE=AB-BE=8-b.∴ 点E 的坐标为(6,8- b).将E(6,8-b)代入y=- 2 3x+b ,得8-b=-23× 6+b,解得b=6.(2) 由(1)知,一次函数的表达式为 y=- 2 3x+6 ,OD=6,AE=2.∵ △ODM 的面积与四边形 OAEM 的面积之比为1∶2,∴ S△ODM = 1 3S四边形OAED. ∵ S四边形OAED= 1 2× (AE+OD)×OA=12× (2+6)× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈