暑假作业02 矩形的性质与判定（预习作业）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以矩形定义为起点，构建“性质-判定-应用”逻辑链，通过14类题型系统训练几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|7个核心知识点|定义要素分解、性质推导（SAS证对角线相等）、判定方法分类（定义法/对角线法/三角法）、直角三角形斜边中线证明思路|从平行四边形通性到矩形特性，性质与判定互逆| |题型训练|14类题型（含综合题）|性质对比辨析、角度/线段计算（方程思想）、折叠问题轴对称应用、判定定理灵活选用|基础理解→单一性质应用→多性质综合→跨知识结合（菱形/坐标系）|

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩恩恩 暑假作业02矩形的性质与判定 新知初探 【知识点1矩形的定义】 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.两个必备要素： (1)首先是平行四边形： (2)其次在这个平行四边形中，有一个角是直角（由平行四边形邻角互补的性质可推知：只要有一个 角是90°，则四个角全为90°)。 3.日常语言中常说的“长方形”就是矩形。长方形强调“长宽不等”的直观印象，但数学上正方形 是特殊的矩形（边长相等的矩形），这一点预习时需明确：矩形不排斥邻边相等的情况。 4.矩形的表示：矩形ABCD,默认顶点按顺序环绕，四个内角均为直角标记。 【知识点2矩形与平行四边形的关系】 矩形是特殊的平行四边形 在平行四边形的基础上增加”一个角为直角"的限制条件。 因此，矩形具有平行四边形的一切通性： 1.边的通性：对边平行且相等(ABIICD,ADIBC,AB=CD,AD=BC) 2.角的通性：对角相等（∠A=∠C,∠B=∠D),邻角互补 3.对角线的通性：对角线互相平分(AO=OC,BO=OD,其中O为交点) 4.对称性：是中心对称图形，对称中心为对角线交点O 【知识点3矩形的特殊性质】 矩形在平行四边形通性之外，有两个核心特有性质： 1.性质①（角的性质）：矩形的四个角都是直角，即∠A=∠B=∠C=∠D=90° 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)已知四边形ABCD是矩形一它首先是平行四边形一有∠A=∠C,∠B=∠D,且ADBC (2) 由定义：∠A=90 (3)则∠C=∠A=90°，且由ADIBC得∠A十∠B=180°，故∠B=90°，进而∠D=90 2.性质②（对角线的性质）：矩形的对角线相等，即AC=BD。 (I)在△ABC和△DCB中，AB=DC(平行四边形对边相等)，∠ABC=∠DCB=90°，BC=CB(公 共边) (2)△ABC≌△DCB(SAS) (3)AC=DB 3. 此得到矩形中一组极其重要的等量关系：OA=OB=OC=OD=AC=上BD即：矩形对角线交点 2 到四个顶点的距离都相等，所以以O为圆心、AC为半径的圆经过A,B,C,D四点。 【知识点4矩形的对称性】 1.中心对称：是中心对称图形，对称中心为对角线交点O 2. 轴对称：是轴对称图形，有2条对称轴，即分别通过对边中点的两条直线（注意：不是对角线所 在直线—矩形对角线一般不在对称轴上，除非是正方形) 【知识点5矩形的面积】 1.S=长×宽=ab(其中a,b为一对邻边的长度) 2. 由平行四边形面积公式S=h直接得到：取一边为底，相邻边恰为高（因为夹角为90°），故S= ab。 【知识点6矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线性质】 1.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 符号语言：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若D为斜边AB的中点，则CD=AB=AD=BD 3. 证明思路： D B 以Rt△ABC的两条直角边为邻边，补全为矩形ACBD(即过A作ADBC且AD=BC,连接DC) :四边形ABCD是矩形（补全构造） ∴.AC、BD互相平分且相等 .AB与CD互相平分于点O ∴.AO=BO=CO=DO / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :D是AB中点（即CD过中点） .CD-AB 【知识点7矩形的渊判定方法】 1. 判定①（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形，先证四边形是平行四边形，再证一个 角为90° 2.判定②（对角线法）：对角线相等的平行四边形是矩形，先证四边形是平行四边形，再证对角线 等长(AC=BD) 3.判定③（三角法）：有三个角是直角的四边形是矩形，直接证∠A=∠B=∠C=90°（则自动第 四个角也是90°，且可推出对边平行→平行四边形)→矩形 基础检测 题型01矩形性质理解 1.(25-26八年级下·浙江杭州期末)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是() A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对边平行且相等 D.对角线相等 2.(2026江西抚州一模)在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1,2),B(5,2),C(5,4). 将矩形ABCD先向下平移2个单位长度，得到矩形A,B,C,D,再将矩形A,B,C,D,沿x轴翻折得到矩形 A,B,C,D2,则点D2的坐标为 题型02利用矩形的性质求角度 1.(25-26九年级下·吉林辽源·期中)一个矩形与一个正五边形如图放置，矩形的一条边与正五边形的一条 边完全重合，B点在正五边形的边上，则∠ACB= 度 B 2.(2026重庆模拟预测)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E, ∠B0C=136°，则∠CDE的大小是 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型03根据矩形的性质求线段长 1.（2026甘肃白银·二模)如图1，动点P从矩形ABCD的点A出发，沿边AC→CD匀速运动，运动到点 D时停止.设点P的运动路程为x,AP的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CD中 点时，AP的长为() B W13 图1 图2 A.√5 5-2 B. C.√7 D.} 2.(25-26八年级下·陕西西安阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,延长CB至点E,延 长AD至点F,连接AE,CF,若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为 E 题型04根据矩研形的性质求面积 1.(25-26八年级下·吉林白山·期中)如图，在平面直角坐标系中，己知矩形ABCD的两边分别平行于坐标 轴，点B的坐标为(-3，-1)，点D的坐标为(4,3)，则矩形ABCD的面积是 A D B 2.(25-26八年级下·全国期末)如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC,AE,延 长AE,BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°， 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：四边形ACFD是矩形： (2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积. 题型05利用矩研形的性质证明 1.(2026福建厦门模拟预测)如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E为CD的中点， 连接OE并延长至点F,使得EF=OE,连接CF,DF. B (1)求证：四边形OCFD是菱形： (2)若菱形0CFD的周长为40，平行线0D与CF之间的距离为8，求矩形ABCD的周长. 2.(25-26八年级下.安徽准南阶段检测)如图1，在矩形ABCD中，点E在BA的延长线上， AE=AD,CE与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB, D 图1 图2 (1)求证：BD⊥CE; (2如图2，连接4G,求BG-DC的值. AG 题型06求矩形在坐标系中的坐标 1.(25-26七年级下，天津河西·期中)如图，四边形0ABC是长方形，点B在第二象限，O是平面直角坐标 系的原点，点C在x轴负半轴上，点A(0,V6),若AB=2√6，则点B的坐标是() / 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A C 0无 A.(6,0) B.(-6,0) C.(26,6) D.(-2√6，√6) 2.(2026山西忻州一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,C,D的坐标分别为 （-2,0),（3,0,（-1,2),则点B的坐标为() A.(1.5,-2 B.（2,-1 C.（-2,2 D.（2,-2 题型07矩形与折叠问题 1.(25-26八年级下·浙江杭州阶段检测)如图，将矩形ABCD折叠，AE是折痕，点D恰好落在BC边上 的点F处，量得∠BAF=50°，那么∠DEA等于() D E B A.409 B.50° C.60° D.70° 2.(25-26八年级下江苏泰州·阶段检测)如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次 将DA边折叠到DC边上得到DA',折痕为DM,连接A'M,CM,第二次将△MBC沿着MC折叠， MB边恰好落在MD边上，若AD=1,则AB的长为 D 题型08斜边的中线等于斜边的一半 1.(25-26八年级下·安微淮南阶段检测)如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点.若 ∠B=35°，则∠ACD的度数为() / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.55 B.50° C.45° D.40° 2.(25-26八年级下·四川达州阶段检测)如图，在ABC中，AB=8,点D、E分别是边AB、AC的中点， 点F是线段DE上的一点且EF=2,连接AF、BF,若LAFB=90°，则线段BC的长为· 题型09矩形的销判定定理野理解 1.(2026安徽马鞍山三模)已知四边形ABCD是平行四边形，点E,F分别是边AD,BC的中点，G, H分别为AB,CD上一点，且BG=DH.则下列结论中正确的是() A.FH=EH B.EG=FH C.四边形EGFH是矩形 D.EH⊥BD 2.(25-26八年级下·吉林松原·期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E、F在 BD上，且满足BE=DF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若0A=0E,求证：AE⊥CE. 题型10添一条件使四边形是矩形 1.(25-26八年级下·广西柳州期中)以下条件中不能判定平行四边形ABCD为矩形的是() A.AB⊥BCB.∠ADC=∠C C.AC⊥BD D.AC=BD 2.(2026湖北武汉一模)如图，在口ABCD中，O是对角线BD的中点，点E,F分别在边AD,BC上， EF过点O. / 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E D (1)求证：OE=OF; (2)连接A0,添加一个与线段A0有关的条件，使∠C为直角.（不需要说明理由） 题型11证明四边形是矩形 1.(25-26八年级下·吉林松原·期中)如图，在四边形ABCD中，LA=∠B=90°，O是边AB的中点， OC=OD.求证：四边形ABCD是矩形. D 0 2.(2026宁夏银川二模)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点，连接OE ,过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F,连接DF. D B (1)求证：ODE≌FCE; (2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程. 题型12根据矩形的性质与判定求角度 1.(25-26八年级下·湖南怀化阶段检测)如图，在ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上一点，F是CB 上一点，AE=12,BF=8,P,Q,D分别是AF,BE,AB的中点，则PO的长为· D E B 2.(25-26八年级下·吉林松原期中)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点0，已知 A0=4,B0=3. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 (1)求菱形的边长； (2)若DH⊥AB于点H,直接写出DH的长. 题型13根据矩形的性质与判定求线段长 1.(25-26八年级下·江苏宿迁阶段检测)如图，在ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上 一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点，当点P从点B运动到点C,EM最小值为() E M B D A.2.4 B.4 C.4.8 D.5 2.(25-26八年级下·浙江杭州阶段检测)如图，在四边形ABCD中，LADC=LABC=90°，AD=CD, DP⊥AB于P,若四边形ABCD的面积是32，则DP的长是 D C CB P 题型14根据矩研形的性质与判定求面积 1.(2026河南周口二模)如图，在菱形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，连 接EF,FG,GH,EH,则菱形ABCD的面积与四边形FGHE面积的比值为 A D 2.(2026贵州遵义·二模)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AD⊥BD,E是CD的中 点，连接OE,过点E作EF∥BD,交BC于点F, / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)试判断四边形OEFB的形状，并证明； (2)若AD=8,DC=12,求四边形OEFB的面积. 小试牛刀 1.(2026广东清远一模)如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD,BC,BD于点E,F,O, 下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是() E B A.O为矩形ABCD两条对角线的交点B.EF为对角线BD的中垂线 C.AE=CF D.EF⊥BD 2.(2026贵州遵义·模拟预测)如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测 得AB的长为3km,则M,C两点间的距离是() CG- B A.0.5km B.Ikm C.1.5km D.2km 3.(25-26八年级下·天津滨海新区·期中)我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作 几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”.木艺活动课上，小明用四根细 木条α、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的 是() A.测量是否有三个角是直角 B.测量对角线是否相等 C,测量两组对边是否分别相等 D.测量对角线是否互相垂直 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2026广东广州二模)如图，将△AB0绕着点O旋转180°得到△A'B'0,连接AB'、A'B,下列选项中 不能判定四边形AB'AB为矩形的是() B B A.∠BAB'=90° B.04=0B C.AB=AB' D.∠B'AB=∠A'BA 5.(2026福建泉州模拟预测)如图，在一个长为20cm的大矩形中，放入形状、大小完全相同的5个小矩 形，根据图中信息可得小矩形的面积为 20 6.(2026黑龙江绥化三模)如图，矩形ABCD中，AD=15,AB=12,E是AB上一点，且AE=8,F是 BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为· A O 7.(25-26八年级下.江苏扬州阶段检测)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,LB=90°，AD=1, AB=4,BC=5，则LC= A D B 8.(2026广东清远一模)如图，点B在MN上，C为线段AB的中点，BE,BF分别为LABN,∠ABM的 平分线。 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B N (1)尺规作图：过点C作MN的平行线I; (2)若(1)中的直线I交BF于点O,交BE于点D,试判断四边形AOBD的形状，并证明. 9.(2026湖南常德·二模)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB∥CD,AD∥BC, AB⊥BC.若AB=1,AC=2,求△ABO的周长. 10.(25-26八年级下·天津滨海新区期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，A0=B0 D B E (I)求证：口ABCD是矩形； (2)点E在BC边上，满足CE=CO.若AB=6,BC=8,求BE的长. 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 矩形的性质与判定 【知识点1 矩形的定义】 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2. 两个必备要素： (1) 首先是平行四边形； (2) 其次在这个平行四边形中，有一个角是直角（由平行四边形邻角互补的性质可推知：只要有一个角是90°，则四个角全为90°）。 3. 日常语言中常说的“长方形”就是矩形。长方形强调“长宽不等”的直观印象，但数学上正方形是特殊的矩形（边长相等的矩形），这一点预习时需明确：矩形不排斥邻边相等的情况。 4. 矩形的表示：矩形ABCD，默认顶点按顺序环绕，四个内角均为直角标记。 【知识点2 矩形与平行四边形的关系】 矩形是特殊的平行四边形——在平行四边形的基础上增加"一个角为直角"的限制条件。 因此，矩形具有平行四边形的一切通性： 1. 边的通性：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC） 2. 角的通性：对角相等（∠A＝∠C，∠B＝∠D），邻角互补 3. 对角线的通性：对角线互相平分（AO＝OC，BO＝OD，其中O为交点） 4. 对称性：是中心对称图形，对称中心为对角线交点O 【知识点3 矩形的特殊性质】 矩形在平行四边形通性之外，有两个核心特有性质： 1. 性质①（角的性质）：矩形的四个角都是直角，即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° (1) 已知四边形ABCD是矩形→它首先是平行四边形→有∠A＝∠C，∠B＝∠D，且AD∥BC (2) 由定义：∠A＝90° (3) 则∠C＝∠A＝90°，且由AD∥BC得∠A＋∠B＝180°，故∠B＝90°，进而∠D＝90 2. 性质②（对角线的性质）：矩形的对角线相等，即AC＝BD。 (1) 在△ABC和△DCB中，AB＝DC（平行四边形对边相等），∠ABC＝∠DCB＝90°，BC＝CB（公共边） (2) △ABC≌△DCB（SAS） (3) AC＝DB 3. 此得到矩形中一组极其重要的等量关系：OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝BD即：矩形对角线交点到四个顶点的距离都相等，所以以O为圆心、AC为半径的圆经过A，B，C，D四点。 【知识点4 矩形的对称性】 1. 中心对称：是中心对称图形，对称中心为对角线交点O​ 2. 轴对称：是轴对称图形，有2条对称轴，即分别通过对边中点的两条直线（注意：不是对角线所在直线——矩形对角线一般不在对称轴上，除非是正方形） 【知识点5 矩形的面积】 1. S＝长×宽＝ab（其中a,b为一对邻边的长度） 2. 由平行四边形面积公式S＝ah直接得到：取一边为底，相邻边恰为高（因为夹角为90°），故S＝ab。 【知识点6 矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线性质】 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 符号语言：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若D为斜边AB的中点，则CD＝AB＝AD＝BD 3. 证明思路： 以Rt△ABC的两条直角边为邻边，补全为矩形ACBD（即过A作AD∥BC且AD＝BC，连接DC） ∵四边形ABCD是矩形（补全构造） ∴AC、BD互相平分且相等 ∴AB与CD互相平分于点O ∴AO＝BO＝CO＝DO ∵D是AB中点（即CD过中点） ∴CD＝AB 【知识点7 矩形的判定方法】 1. 判定①（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形，先证四边形是平行四边形，再证一个角为90° 2. 判定②（对角线法）：对角线相等的平行四边形是矩形，先证四边形是平行四边形，再证对角线等长（AC＝BD） 3. 判定③（三角法）：有三个角是直角的四边形是矩形，直接证∠A＝∠B＝∠C＝90°（则自动第四个角也是90°，且可推出对边平行→平行四边形）→矩形 题型01 矩形性质理解 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】B 【详解】解：A选项、对角线互相平分，菱形和矩形都具有，不符合题意； B选项、对角线互相垂直，是菱形的性质，矩形对角线不一定互相垂直，因此菱形具有而矩形不一定具有，符合题意； C选项、对边平行且相等，菱形和矩形都具有，不符合题意； D选项、对角线相等，矩形具有而菱形不具有，不符合题意． 2．（2026·江西抚州·一模）在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，，．将矩形先向下平移个单位长度，得到矩形，再将矩形沿轴翻折得到矩形，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到点的坐标，再根据平移的坐标变化规律得到的坐标，最后根据沿轴翻折的坐标变化规律求出的坐标. 【详解】解：四边形是矩形，顶点坐标为，，， 根据矩形对边平行于坐标轴的性质，点的横坐标与点相同，纵坐标与点相同，可得， 将矩形向下平移个单位长度，根据平移的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标减，得的坐标为，即， 将矩形沿轴翻折，翻折后点关于轴对称，关于轴对称的点坐标特征为：横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此的坐标为. 题型02 利用矩形的性质求角度 1．（25-26九年级下·吉林辽源·期中）一个矩形与一个正五边形如图放置，矩形的一条边与正五边形的一条边完全重合，点在正五边形的边上，则___________度． 【答案】18 【分析】先求出正五边形的内角度数，结合矩形内角为求出． 【详解】解：多边形内角和公式：， 正五边形内角和：， 单个内角度数：， 又矩形的内角为， ． 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，利用邻补角定义和等腰三角形的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 题型03 根据矩形的性质求线段长 1．（2026·甘肃白银·二模）如图1，动点从矩形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点在上运动时，该一次函数解析式为：，当点运动在时，随着的增加而减小，直到点在停止运动． 【详解】由图象和运动轨迹分析可得， ， 点在停止运动时， 所以, 当点P运动到中点时, , ． 2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，延长至点E，延长至点F，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为__________． 【答案】 【分析】设，在中，运用勾股定理，建立关于x的方程，解方程求得x的值，从而得到的长，最后运用菱形面积底高，求出菱形的面积． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴． 在中， ∵，，，， ∴，即， 化简得：， 解得：， ∴． ∵，，四边形为菱形， ∴， ∴菱形的面积为：． 题型04 根据矩形的性质求面积 1．（25-26八年级下·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的两边分别平行于坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是________． 【答案】28 【分析】根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的两边分别平行于坐标轴， ∴轴，轴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是． 2．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． (2)45 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可； （2）根据矩形的性质得出，确定，再由矩形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ， ． ． ， ． 题型05 利用矩形的性质证明 1．（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，矩形的对角线与相交于点，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为，求矩形的周长． 【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）通过，，证明四边形是平行四边形，再利用四边形是矩形，得出，即可求证； （2）证明是直角三角形，得出．再利用，得出，求出，再利用中位线的性质得即可求出，即可求解矩形的周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 设平行线与之间的距离为h，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的周长为． 2．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图1，在矩形中，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点， (1)求证：； (2)如图2，连接，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形，点在的延长线上， ， 又， ， ， ， ，即． (2) 【分析】（1）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论； （2）在线段上取点，使得，证明，由全等三角形的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，由勾股定理可得，，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在线段上取点，使得， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，即，得， ， ． 题型06 求矩形在坐标系中的坐标 1．（25-26七年级下·天津河西·期中）如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是长方形中，，可得点纵坐标和相同，又根据点在第二象限，，即可求出的横坐标. 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，， ∴． 2．（2026·山西忻州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 题型07 矩形与折叠问题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型08 斜边的中线等于斜边的一半 1．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，在Rt中，，点为的中点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据“直角三角形两锐角互余”可得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，然后根据等腰三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点为的中点， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为______． 【答案】12 【分析】利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ∵， ， ． 题型09 矩形的判定定理理解 1．（2026·安徽马鞍山·三模）已知四边形是平行四边形，点，分别是边，的中点，，分别为，上一点，且．则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．四边形是矩形 D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质，结合中点条件与，可证明，则． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故B正确； 在点、的运动过程中，无法保证、和都成立，因此A、C、D错误． 2．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，再根据推得，即可得证； （2）由可推得，则平行四边形是矩形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， 则，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． 题型10 添一条件使四边形是矩形 1．（25-26八年级下·广西柳州·期中）以下条件中不能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵， ∴， ∴能判定平行四边形为矩形，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形，不符合题意； C．由不能判定平行四边形为矩形，符合题意； D．∵ ∴平行四边形为矩形，不符合题意． 2．（2026·湖北武汉·一模）如图，在中，是对角线的中点，点，分别在边，上，过点． (1)求证：； (2)连接，添加一个与线段有关的条件，使为直角．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质，得到，结合点O是中点的条件，可证明，从而得出结论； （2）由于平行四边形中与相等，要使为直角，需让平行四边形变为矩形，结合矩形对角线的性质，添加与相关的满足矩形判定的条件即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是对角线的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接，添加条件为：，此时为直角； 连接、， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形， ． 题型11 证明四边形是矩形 1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见详解 【分析】根据题意证明，得到，结合题意得到四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可求证． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形． 2．（2026·宁夏银川·二模）如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点，连接，过点C作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)解：四边形是矩形．理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）利用即可证明； （2）由推出，结合，推出四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，则四边形是矩形． 【详解】（1）证明：略； （2）解：四边形是矩形．理由略． 题型12 根据矩形的性质与判定求角度 1．（25-26八年级下·湖南怀化·阶段检测）如图，在中，，E是延长线上一点，F是上一点，，，P，Q，D分别是的中点，则的长为______． 【答案】2 【分析】先说明是的中位线，是的中位线可得，易证，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，P，Q，D分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， 如图：延长交于G, 延长交于H, ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴,即 ∴． 2．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． (1)求菱形的边长； (2)若于点，直接写出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线相互垂直平分这一性质，判断，再由勾股定理求解即可； （2）利用，即可求解答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，相互垂直平分，即， ∵，， ∴， 即菱形的边长为； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴， ∴． 题型13 根据矩形的性质与判定求线段长 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，证明，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， 连接，则在上，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时，即：， ∴， ∴的最小值为． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，于．若四边形的面积是32，则的长是________． 【答案】 【分析】过点C作，证明四边形是矩形，然后证，然后利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型14 根据矩形的性质与判定求面积 1．（2026·河南周口·二模）如图，在菱形中，E，F，G，H分别为，，，的中点，连接，，，，则菱形的面积与四边形面积的比值为________． 【答案】2 【分析】连接、，交于点O，根据中位线的性质求出四边形是矩形，根据矩形和菱形面积公式即可求解． 【详解】解：连接、，交于点O，如图所示：    ∵四边形为菱形， ∴， ∵E，F，G，H分别是边，，和的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 同理，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 即菱形的面积与四边形面积的比值为2． 2．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是矩形， 证明：四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的中位线， ， ， ， ， 矩形的面积． 1．（2026·广东清远·一模）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点，，，下列条件中，不能证明的是（     ） A．为矩形两条对角线的交点 B．为对角线的中垂线 C． D． 【答案】D 【分析】由矩形性质可得，进而得出 ， ，结合全等三角形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ， A、∵为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； B、∵为对角线的中垂线， ∴，， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； C、， ∴，即， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 此时只有三个角对应相等，缺少对应边相等的条件，不能判定， 故此选项符合题意． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意判断 为直角三角形，再利用斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出 、 两点间的距离． 【详解】解：， 是直角三角形，， 是的中点，， ∴． 3．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 4．（2026·广东广州·二模）如图，将绕着点旋转得到，连接、，下列选项中不能判定四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，结合矩形和菱形的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：∵将绕着点旋转得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， A、若添加， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故A选项不符合题意； B、若添加， ∵，，， ∴， 即， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故B选项不符合题意； C、若添加， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形，故C选项符合题意； D、若添加， 在平行四边形中，， ∴， 故， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故D选项不符合题意． 5．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在一个长为的大矩形中，放入形状、大小完全相同的个小矩形，根据图中信息可得小矩形的面积为____． 【答案】 【分析】设小矩形的长为，宽为，根据图形，列出关于，的二元一次方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 由图形可知，， 解得：， ∴小矩形的面积为． 6．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 【答案】13 【分析】连接，，易得，，由翻折可得，由可知，当，，三点共线时，最小，进而可得出答案． 【详解】解：连接，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 由翻折可得， ， ， 当，，三点共线时，最小， ． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，，，，则_______． 【答案】45 【分析】作于点E，得出四边形是矩形，求出，即可求出结论． 【详解】解：作于点E， 在直角梯形中，，， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ． 8．（2026·广东清远·一模）如图，点在上，为线段的中点，，分别为，的平分线． (1)尺规作图：过点作的平行线； (2)若（1）中的直线交于点，交于点，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，证明如下： 连接，如图所示： ∵，分别为，的平分线， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的平行线，进行作图即可得出符合题意的直线； （2）根据角平分线的性质以及平行线的性质，得出，再结合等角对等边，以及根据为线段的中点，得出对角线互相平分，故四边形是平行四边形，再根据有一个角是90度的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 9．（2026·湖南常德·二模）如图，四边形的对角线相交于点，，，．若，求的周长． 【答案】3 【分析】先证明四边形为矩形，根据矩形的性质，结合三角形的周长公式进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的周长. 10．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在中，对角线，相交于点，． (1)求证：是矩形； (2)点在边上，满足．若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，． 又， ， 是矩形． (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角线性质推出对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”求证； （2）先由矩形勾股定理算出对角线，得到，再用求值． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， 又，， 在中， ， 矩形对角线互相平分， ， ， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $