暑假作业01 菱形的性质与判定（预习作业）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以菱形定义为起点，构建"性质推导-判定体系-多题型应用"的完整逻辑链，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|7个核心知识点|定义双重要素（平行四边形+邻边等）、性质推导逻辑（从平行四边形通性到菱形特性）、判定三路径（定义/边等/对角线垂直）、面积双算法（底×高/对角线乘积一半）|从平行四边形特殊化定义菱形，推导边/对角线性质，形成判定体系，建立与面积计算的关联| |题型应用|9类题型（含2026模拟题）|角度计算用对角/邻角/对角线平分性质、线段长结合直角三角形模型、面积算法选择、判定方法灵活应用|性质应用→判定证明→性质与判定综合，覆盖中考高频考法，培养几何直观与推理能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 菱形的性质与判定 【知识点1 菱形的定义】 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 两个必备要素： (1) 首先是平行四边形； (2) 其次在这个平行四边形中，有一组邻边相等（实际上由平行四边形对边相等的性质可推知：只要有一组邻边相等，则四条边就全相等）。 3. 菱形的表示：在菱形ABCD中，通常记作“菱形ABCD”，默认顶点按顺序环绕。 【知识点2 菱形与平行四边形的关系】 菱形是特殊的平行四边形——在平行四边形的基础上增加“一组邻边相等”的限制条件。 因此，菱形具有平行四边形的一切通性： 1. 边的通性：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC） 2. 角的通性：对角相等（∠A＝∠C，∠B＝∠D），邻角互补 3. 对角线的通性：对角线互相平分（AO＝OC，BO＝OD，其中O为交点） 4. 对称性：是中心对称图形，对称中心为对角线交点O 【知识点3 菱形的特殊性质：边的性质】 1. 定理：菱形的四条边都相等，即AB＝BC＝CD＝DA。 2. 推导逻辑： (1) 已知四边形ABCD是菱形→它首先是平行四边形→有AB＝CD，AD＝BC (2) 又由定义：一组邻边相等，不妨设AB＝AD (3) 于是AB＝AD＝CD＝BC，即四条边全相等。 【知识点4 菱形的特殊性质：对角线的性质】 1. 定理：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，即AC⊥BD；且AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 2. 证明思路（以“对角线平分一组对角”为例）： (1) 连AC，在△ABD和△CBD中，由AB＝CB、AD＝CD（菱形四边相等）、BD＝BD，得△ABD≌△CBD（SSS） (2) 从而对应角∠ABD＝∠CBD，即BD平分∠ABC；同理可得BD平分∠ADC，AC平分∠BAD和∠BCD (3) 再由等腰三角形ABD中AB＝AD且BD平分顶角→由等腰三角形三线合一→AC⊥BD（或在证明全等的基础上直接计算角度得垂直关系） 3. 重要基本图形结论： 设对角线AC与BD交于O，则： (1) AO⊥BO⊥CO⊥DO构成四个全等的直角三角形：△ABO≌△ADO≌△CBO≌△CDO； (2) AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD； (3) 若∠ABC＝60°，则△ABC为等边三角形→AC＝AB，且BO＝AB 【知识点5 菱形的对称性】 1. 中心对称：是中心对称图形，对称中心为对角线交点O（绕O旋转180°与自身重合） 2. 轴对称：是轴对称图形，有2条对称轴，即两条对角线所在的直线 注意：对称轴是直线（对角线所在直线），不是线段。 【知识点6 菱形的判定方法】 1. 判定①（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等（或证两邻边相等） 2. 判定②（边等法）：四条边都相等的四边形是菱形，直接证 AB＝BC＝CD＝DA 3. 判定③（对角线法）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，先证四边形是平行四边形，再证对角线垂直（AC⊥BD） 【知识点7 菱形的面积计算】 菱形面积有两种等价算法： 1. 法①（通用·底×高）：S＝ah（a为边长，h为该边上的高） 2. 法②（对角线法·专用）：S＝ab即S＝×AC×BD（a＝AC，b＝BD为两条对角线长度；由四个全等直角三角形拼成可推得） (1) 推导：对角线交于O， (2) 更一般地：任何对角线互相垂直的四边形，面积都等于×两条对角线乘积。（菱形是其中最规则的特例） 题型01 利用菱形的性质求角度 1．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据平行线的性质得，然后根据入射角等于反射角可得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在菱形中，，连接对角线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】菱形的性质：对角相等；四条边相等． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴． 题型02 利用菱形的性质求线段长 29．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，作轴，设，先利用勾股定理求出、的长度，从而得出点坐标，然后利用菱形的性质求得点的坐标． 【详解】解：如图，边点作轴， 由题意可得，， 轴， ， ， 设， 中，， ， （负值舍去）， ， 点的坐标为， 则点的坐标为． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论； （2）由求出，进而得到为等腰直角三角形，，在中，根据勾股定理求得的长，根据面积公式即可解答 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵在中，，， ∴（舍负）， ∵在菱形中，， ∴． 题型03 利用菱形的性质求面积 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图为菱形的对角线，已知，，则边上的高为（    ） A．14.4 B．15.3 C．16.8 D．17.2 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，还等于底乘以对应的高计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线， ∴， ∴， ∵． ∴ ∴． 2．（25-26八年级下·青海·期中）如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为_____． 【答案】 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【详解】解：如图，令交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵菱形面积， 设边上的高为h， ∵菱形面积， ∴， ∴． 题型04 利用菱形的性质证明 1．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，菱形中，作，分别交的延长线于点E、F． (1)求证：； (2)若点E恰好是的中点，，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合已知用角角边可证，再根据全等三角形的对应边相等可求解； （2）根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E恰好是的中点，且， ∴直线为的垂直平分线， ∴． 2．（2026·浙江温州·二模）如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得，由菱形的性质得，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴， 又四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型05 添一个条件使四边形是菱形 1．（2026·河北邢台·模拟预测）按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、添加，此时平行四边形变为矩形，不是菱形； B、添加，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形； C、添加，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形； D、添加，则，此时平行四边形是矩形，不是菱形； 所以正确条件是选项C． 2．（25-26八年级下·全国·期末）如图．已知四边形为平行四边形，M，N为边上的点，且．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． (1)你选择的补充条件是________（填序号）． (2)根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 【答案】(1)①或② (2)证明：①∵四边形是平行四边形， ， ∵，， ∴四边形为菱形． 证明：②∵四边形是平行四边形， ， ， ． ， ∴四边形为菱形． 【分析】（1）根据题意选择合适的条件即可； （2）根据补充的条件进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型06 证明四边形是菱形 1．（2026·湖北武汉·一模）如图，是的对角线，于点，于点． (1)求证：； (2)连接，，添加一个条件，能使四边形为菱形吗，请说明理由． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中，    ， ． (2)不能， 理由：如图， ∵， ∴（垂线段最短）， 故当、重合时，， 而此时四边形不存在， 故添加一个条件，不能使四边形为菱形. 【分析】（1）利用平行四边形边角性质得到等角与等边，结合垂直得到直角，通过证明三角形全等，由全等对应边相等证． （2）根据垂线段最短得出，则当、重合时，，而此时四边形不存在，即可判断. 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图1，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、． (1)试判断四边形为怎样四边形，并证明你的结论； (2)求的大小； (3)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)四边形为菱形， 证明：连接，． 由题意知为的中位线， ∴． 同理可得． ∴． ∴四边形为平行四边形． 在和中， ，，， 即． ∴． ∴． ∴， ∴平行四边形为菱形． (2) (3) 【分析】（1）连接，，根据中位线的性质可得，得出四边形为平行四边形，证明得出，进而可得，即可证明平行四边形为菱形； （2）设交于点，交于点，交于点，根据三角形内角和定理求得，进而根据平行线的性质，即可得出； （3）过点作于点，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于点，交于点，交于点 ∵是等边三角形， ∴ 由（1）可得 ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作于点， ∵和都是等边三角形，，， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴菱形的周长为 题型07 根据菱形的性质与判定求角度 1．（2026·广东深圳·二模）小馨同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）我们知道：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．如图1，在中，点D，E分别是的中点，求证：，且． (1)下面是小高给出的一种证明思路：如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F……请根据小高的思路证明上述命题； (2)如图3，在四边形中，点E，F分别是的中点，点G，H分别是的中点，连接，，，，则的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点C作的平行线交的延长线于点F，先证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据三角形中位线定理和平行线的性质证明四边形是菱形，根据角之间的关系即可得到答案． 【详解】（1）证明：过点C作的平行线交的延长线于点F，即， ∴， ∵E是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （2）解：∴ ∴， ∵点E，F分别是的中点，点G，H分别是的中点， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ 题型08 根据菱形的性质与判定求线段长 1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 平分， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由平行线性质和角平分线定义得到，再由等角对等边及已知条件判定，进而由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，最后由菱形的判定定理即可得证； （2）由菱形性质求出相关边及角度，在中，由勾股定理求出，再由平行四边形的判定与性质得出，最后在中，由勾股定理求出长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ，且是等边三角形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，由勾股定理可得． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则所得四边形是菱形． (1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明：根据作图的过程可知：平分 ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据作图的过程可知平分，根据平行四边形的性质可得，根据作图可知，得，证明四边形是平行四边形，进而可得四边形是菱形； （2）连接交于点O，根据菱形的性质和，，即可求菱形的周长． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接交于点O 四边形是菱形 ，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∵四边形为菱形， ，， ，， ∴，而， ，， 菱形的周长为． 题型09 根据菱形的性质与判定求面积 1．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． (2)四边形的面积为 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，所以，结合，可证明结论； （2）连接交于点，先证明四边形是菱形，得到，根据直角三角形的性质可逐步求得，，，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点， 由（1）得四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，为对角线，按下列要求作图： ①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q； ②作直线，分别交，，于点O，E，F，连结，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若平分，，，，求的面积． 【答案】(1)四边形是菱形．理由如下： 由题意得，垂直平分， ，，， 在中，， ． 又，， （ASA）， ， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由 垂直平分 得 ，，结合平行四边形得 及全等证 ，从而四边相等得四边形是菱形； （2）利用菱形对角线垂直及角平分线性质，分别求出 和 的面积，相加得 面积，进而求出平行四边形面积． 【详解】（1）略 （2）如图，过点F作于点H． 四边形是菱形， ， ， ， ． 平分，，， ， ， ， ． 1．（2026·辽宁·一模）如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据，可得四边形为平行四边形，根据， 为的中点，则平行四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 四边形为平行四边形， 又 ∵， 为的中点， ∴， ∴ 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（湖北咸宁市2025年春季期末质量监测八年级数学试题）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为菱形，若对角线，，则该菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，直接代入已知对角线长度计算即可． 【详解】解：如图， ∵重叠的部分为菱形， ∴菱形的面积， ∵，， ∴． 3．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，四边形和四边形均是菱形，点在上．若，点M，N是，的中点，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据菱形的性质得到，，，由得到，从而，，根据等腰三角形的“三线合一”得到，，，从而得到，，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接． ∵四边形和四边形均是菱形， ∴，，． ∴， ， ∵点是的中点， ， ， 4．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，设与交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据三角形中位线定理得出，，设，则，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，设与交于点O，如图所示； ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，，，是菱形四边的中点， ∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，菱形对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识． 根据菱形的性质、勾股定理，先求出、，再结合，即可作答． 【详解】解：在菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在菱形中，，，则对角线的长为________． 【答案】4 【分析】由菱形的性质可得，再由得为等边三角形，即可求得答案． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 为等边三角形， ． 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的，两点的坐标分别为，，点在轴上，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线恰好平分菱形的面积，则的值是______． 【答案】3 【分析】根据菱形的对称中心是对角线交点，过中心的直线平分面积，先求出中心坐标，写出平移后直线解析式，再将点P坐标代入解析式，最后算出． 【详解】解：连接、交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴点是的中点， ∵，， ∴， ∵直线沿轴向右平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线恰好平分菱形的面积， ∴直线经过点， ∴， 解得：． 8．（2026·河南平顶山·二模）如图，在中，平分． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)如图： (2)证明：垂直平分， ，， ，． 平分， ， ． ∵在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图作法以及相关要求作图即可； （2）利用垂直平分线的性质可得、，再利用等边对等角、角平分线的定义可知，再证明可得，即；最后根据菱形的定义即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 9．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于，求的长． 【答案】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可． 【详解】解：在菱形中，，， ，，， ， ， ， 解得． 10．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作，过点作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴是菱形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据三角形中位线的性质得到，即可得证； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 四边形是菱形，， ，， ，分别是，的中点， ， ， ∵点E是的中点， ， ∵， ∴在中，． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 图里母9 暑假作业01菱形的性质与判定 新知初探 【知识点1菱形的定义】 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 两个必备要素： (1)首先是平行四边形： (2)其次在这个平行四边形中，有一组邻边相等（实际上由平行四边形对边相等的性质可推知：只要 有一组邻边相等，则四条边就全相等)。 3.菱形的表示：在菱形ABCD中，通常记作“菱形ABCD”,默认顶点按顺序环绕。 【知识点2菱形与平行四边形的关系】 菱形是特殊的平行四边形一一在平行四边形的基础上增加“一组邻边相等”的限制条件。 因此，菱形具有平行四边形的一切通性： 1.边的通性：对边平行且相等(ABCD,ADIBC,AB=CD,AD=BC) 2.角的通性：对角相等（∠A=∠C,∠B=∠D),邻角互补 3.对角线的通性：对角线互相平分(AO=OC,BO=OD,其中O为交点) 4.对称性：是中心对称图形，对称中心为对角线交点O 【知识点3菱形的特殊性质：边的性质】 1. 定理：菱形的四条边都相等，即AB=BC=CD=DA。 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. 推导逻辑： (I)已知四边形ABCD是菱形→它首先是平行四边形→有AB=CD,AD=BC (2)又由定义：一组邻边相等，不妨设AB=AD (3)于是AB=AD=CD=BC,即四条边全相等。 【知识点4菱形的特殊性质：对角线的性质】 1. 定理：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，即AC⊥BD;且AC平分 ∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC。 2.证明思路（以“对角线平分一组对角”为例）： (I)连AC,在△ABD和△CBD中，由AB=CB、AD=CD(菱形四边相等)、BD=BD,得 △ABD≌△CBD(SSS) (2)从而对应角∠ABD=∠CBD,即BD平分∠ABC:同理可得BD平分∠ADC,AC平分∠BAD和 ∠BCD (3)再由等腰三角形ABD中AB=AD且BD平分顶角→由等腰三角形三线合一→AC⊥BD(或在证明 全等的基础上直接计算角度得垂直关系) 3. 重要基本图形结论： 设对角线AC与BD交于O,则： (I)AO⊥BOLCO⊥D0构成四个全等的直角三角形：△ABO≌△ADO≌△CBO≌△CDO: (2)AO=OC=AC,BO=OD=BD; (3) 若∠ABC-60,则△ABC为等边三角形-AC=AB,且B0=5 2 B 【知识点5菱形的对称性】 1.中心对称：是中心对称图形，对称中心为对角线交点0（绕0旋转180°与自身重合） 2.轴对称：是轴对称图形，有2条对称轴，即两条对角线所在的直线 注意：对称轴是直线（对角线所在直线），不是线段。 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点6菱形的判定方法】 1. 判定①（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，先证四边形是平行四边形，再证一组 邻边相等（或证两邻边相等） 2.判定②（边等法）：四条边都相等的四边形是菱形，直接证AB=BC=CD=DA 3. 判定③（对角线法）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，先证四边形是平行四边形，再证对 角线垂直(AC⊥BD) 【知识点7菱形的面积计算】 菱形面积有两种等价算法： 1. 法①（通用底×高）：S=ah(a为边长，h为该边上的高) 1 2. 法②（对角线法·专用）：S=2b即S=2×ACxBD(a=AC,b=BD为两条对角线长度：由四 个全等直角三角形拼成可推得) 1 AC BD 1 (1)推导：对角线交于O,S菱形=4×S△4B0=4×亏× X ·=二×AC×BD 2222 (2) 更一般地：任何对角线互相垂直的四边形，面积都等于)×两条对角线乘积。（菱形是其中最规 则的特例) 基础检测 题型01利用菱形的性质求角度 1.(25-26八年级下·四川绵阳阶段检测)如图，菱形盒子ECDF底部有一面平面镜I,从点A处射入一道 平行于CD的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点B(法线与平面镜I垂直，反射角等于入射 角)，若∠C=35°，则∠a的度数为() 法线：E B<反射：入射 角 老D A.110° B.105 C.100° D.95 2.(25-26八年级下河南鹤壁阶段检测)如图，在菱形ABCD中，∠D=130°，连接对角线AC,则 ∠BAC=() 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O B A.25° B.30° C.35 D.40° 题型02利用菱形的性质求线段长 29.(25-26八年级下·天津滨海新区·期中)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠40C=45°， OC=√2，则点B的坐标为 A 2.(2026贵州遵义模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,对角线AC、BD交于 点O,AC平分∠BAD,过点C作CE L AB交AB延长线于点E,连接OE. D (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若CE=4,∠ADC=135°，求四边形ABCD的面积. 题型03利用菱形的性质求面积 1.(25-26八年级下陕西榆林期中)如图AC、BD为菱形ABCD的对角线，已知AC=18,BD=24,则 BC边上的高AH为() D A.14.4 B.15.3 C.16.8 D.17.2 2.(25-26八年级下·青海期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别为10cm和24cm,则 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 菱形ABCD的高为一。 题型04利用菱形的性质证明 1.(25-26八年级下·贵州黔南期中)如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD,、CF⊥AB,分别交AD、AB的 延长线于点E、F D (I)求证：AE=BF: (②)若点E恰好是AD的中点，AB=2,求BD的值. 2.(2026浙江温州二模)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，且AE=CF,连接 DE,DF. B (I)求证：△ADE≌ACDF (2)若∠B=120°，∠CDF=15°，求∠DEB的度数. 题型05添一个条件使四边形是菱形 1.(2026河北邢台模拟预测)按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线m,n,记交点为O; ②以点O为圆心，分别在直线m,n上截取OB与OD,OA与OC.使OB=OD,OA=OC: 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③顺次连接A,B,C,D得到四边形ABCD 若添加下列一个条件后，使得四边形ABCD是菱形，则这个条件是() A.AB⊥BCB.∠AOB=60° C.m⊥n D.OA=OB 2.(25-26八年级下·全国期末)如图.已知四边形ABCD为平行四边形，M,N为边BC,DC上的点，且 AM=AN.请你从下列三个选项：①∠MAB=∠NAD;②AM⊥BC,AN⊥CD;③BM=DN中，选 择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形ABCD为菱形 M (1)你选择的补充条件是 (填序号). (2)根据你选择的补充条件，写出四边形ABCD为菱形的证明过程. 题型06证明四边形是菱形 1.(2026湖北武汉·一模)如图，BD是口ABCD的对角线，AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F. D (1I)求证：DE=BF: (②)连接CE,AF,添加一个条件，能使四边形AECF为菱形吗，请说明理由. 2.(25-26八年级下四川绵阳期中)如图1，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是 等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N. D D M M PE 图1 备用图 (1)试判断四边形PQMN为怎样四边形，并证明你的结论； 2)求∠PQM的大小： B)若AE=8,BE=4,求四边形POMN的周长. 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07根据菱形的性质与判定求角度 1.(2026广东深圳二模)小馨同学按如下步骤作四边形ABCD;(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心， 1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆心，1个单位长为半 径画弧，两弧交于点C:(4)连接BC,CD,BD.若∠A=48°，则∠CBD的大小是() M DI N A.64 B.65 C.66° D.67° 2.(25-26八年级下·河北廊坊期中)我们知道：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三 边的-半.如图L,在△ABC中，点D,B分别是AB,AC的中点，求证：DE∥BC,且DE=BC. D D D G 图1 图2 图3 (I)下面是小高给出的一种证明思路：如图2，过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F.请根据 小高的思路证明上述命题； 2)如图3，在四边形ABCD中，点E,F分别是AD,BC的中点，点G,H分别是BD,AC的中点，连接 GE,EH,HF,FG,AB=CD,∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF的度数为 题型08根据菱形的性质与判定求线段长 1.(25-26八年级下江苏南通阶段检测)在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于 点O,AC平分∠BAD,过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E,连接OE, (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若∠DAB=60°，且AB=4,求OE的长. 7/11 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下·浙江杭州阶段检测)如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD 于点F,再分别以点BF为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点p:连接AP并延长 交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形 (I)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形： (2)若∠C=60°，AE=4V5,求菱形ABEF的周长. 题型09根据菱形的性质与判定求面积 1.(25-26八年级下·安徽合肥阶段检测)如图，在四边形ABCD中，CD=AB,点E,F在直线AC上， 且AE=CF,连接BE,DF,BE=DF. F D 3 (I)求证：四边形ABCD是平行四边形， 2)若AB=AD,∠F=30°，DF=6N5,CF=3,求四边形ABCD的面积. 2.(2026浙江模拟预测)如图，在口ABCD中，AC为对角线，按下列要求作图： ①分别以点A,C为圆心，大于24C的长为半径作弧，两弧相交于点2，Q: 1 ②作直线P,分别交AC,AD,BC于点O,E,F,连结AF,CE. (I)判断四边形AECF的形状，并说明理由. 2)若AF平分∠BAC,AB=6,AF=5,OF=3,求ABCD的面积. 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小试牛刀 1.(2026辽宁一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=4,D为AB的中点， AE∥CD,CE∥AB,则四边形ADCE的面积为() B 2 A.5 B.6 C.10 D.12 2.(湖北咸宁市2025年春季期末质量监测八年级数学试题)如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重 叠的部分为菱形ABCD,若对角线AC=6cm,BD=8cm,则该菱形的面积是() B A.24cm2 B.48cm2 C.10cm2 D.12cm2 3.(25-26八年级下·安徽准南·阶段检测)如图，四边形ABCD和四边形BEFG均是菱形，点C在BG上. 若∠BAC=30,BE=2AB=4,点M,N是AC,EG的中点，则MN的长为() G D B E A.V13 B.10 C.2V5 D.2√5 4.(2026内蒙古通辽二模)如图，M,N,P,是菱形ABCD四边的中点，顺次连接点M,N,P, O,且MN=2Mg,则下列结论正确的是() 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A0-8B,M0-5B C.Mo=3 D.MO=2AB 2 5.(2026吉林长春·模拟预测)如图，菱形ABCD对角线AC,BD相交于点O,测得AC=4Cm, BD=8cm,过点A作AH⊥BC于点H,则AH的长为： cm」 B∈ 6.(25-26八年级下河南周口期中)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=60°，则对角线AC的长 为 7.(25-26八年级下·河北石家庄·期中)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的A,C两点的坐标分 别为(2,0)，(2,4)，点B在y轴上，将直线y=-2x沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度.若平移后的 直线恰好平分菱形ABCD的面积，则m的值是 8.(2026河南平顶山二模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC, 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (I)用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线EF,交AB于点E,交AC于点F,连接DE, DF.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)问所作的图形中，求证：四边形AEDF为菱形. 9.(25-26八年级下·安徽六安阶段检测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且 AC=I2.BD=9,DE⊥AB于E,求DE的长， D E B 10.(25-26八年级下·上海阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是AB,BC的中点， 连接DE,过点B作BF∥AC,过点E作EF∥AB. B D (I)求证：四边形BDEF是菱形： 2)连接DF交BC于点M,连接CD,若BE=4,AC=2N5,求CD的长. 11/11