精品解析：江苏扬州市邗江区梅苑双语学校2025-2026学年下学期八年级数学阶段学情诊断练习

八年级数学阶段学情诊断练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 调查某市垃圾分类的情况 B. 了解某班学生的跳远成绩 C. 调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 D. 了解全国中学生的脊柱侧弯情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，根据普查的适用条件：调查范围小、易操作、不会破坏调查对象，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵普查适合调查范围小，数量少，易实施，且调查不会破坏调查对象的情况， ∴A选项调查某市垃圾分类情况，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求， B选项了解某班学生的跳远成绩，调查范围小，人数少，适合普查，符合要求， C选项调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，测试会破坏车辆，适合抽样调查，不符合要求， D选项了解全国中学生的脊柱侧弯情况，调查范围大人数多，适合抽样调查，不符合要求． 2. 云南省某市为了解本市6700名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中1000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是（ ） A. 6700名学生的身高是总体 B. 每名初中毕业生的身高是总体的一个个体 C. 1000名学生是总体的一个样本 D. 本次调查属于抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A、6700名学生的身高情况是总体，故A不符合题意； B、每个学生的身高是个体，故B不符合题意； C、1000名学生的身高是总体的一个样本，故C符合题意； D、抽查了其中1000名学生的身高是抽样调查，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 3. 事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（ ） A. P（C）＜P（A）=P（B） B. P（C）＜P（A）＜P（B） C. P（C）＜P（B）＜P（A） D. P（A）＜P（B）＜P（C） 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出P（A）、P（B）、P（C），然后排序即可得 【详解】解：事件A：打开电视，它正在播广告是随机事件，0＜P（A）＜1； 事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，P（B）=1； 事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化是不可能事件，P（C）=0． ∴P（C）＜P（A）＜P（B）． 故选B． 【点睛】本题考查了事件的分类及可能性大小，熟练掌握随机事件的概率大于0小于1，必然事件发生的概率等于1，不可能事件发生的概率为0是解题的关键． 4. 下列变形中，错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 5. 如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 保持不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍， ∴， ∴缩小为原来的， 故选：B． 6. 对某中学70名女生的身高进行测量，得到一组数据的最大值为169cm，最小值为143cm，对这组数据整理时测定它的组距为5cm，应分成( ) A. 5组 B. 6组 C. 7组 D. 8组 【答案】B 【解析】 【分析】根据组数=（最大值-最小值）÷组距进行计算即可,注意小数部分无论是否满5都要进位． 【详解】解：因为样本数据中最大值为169,最小值为143, 所以它们的差是169-143=26cm, 已知组距为5cm, 那么由于26÷5=5.2, 所以可以分成6组, 故选：B. 7. 某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据工效提升比例得到新工艺后的工作效率，再根据“加工同样多零件少用小时”找到等量关系，即可列出方程. 【详解】解：设新工艺前每小时加工个零件，已知工效提升，因此新工艺的工作效率为个/小时， 加工个零件，新工艺前用时为​小时，新工艺后用时为小时， 由“新工艺加工同样多的零件少用小时”， 可得：． 8. 已知，则代数式的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，，，再把要求的代数式用完全平方公式进行因式分解，整体代入即可得到答案． 【详解】∵， ∴，，， ∴ 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：且， ∴． 10. 分式的最简公分母是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：， 故的最简公分母为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 11. 已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6．第五组的频率为，则第六组的频率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据频率=频数总数，结合题意，先计算第五组的频数，再解答第六组的频数，最后由频率公式解题即可． 【详解】解: 第五组的频率为， 第五组的频数为， 第六组的频数为， 第六组的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查频数与频率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到0.1）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了模拟试验，由频率估计概率，近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键．结合折线统计图，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，据此即可估计小新投壶一次投中的概率． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，投中的概率约为，结果精确到0.1为， 故答案为：． 13. 某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率；②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表；③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比．正确统计步骤的顺序应该是________． 【答案】②③① 【解析】 【分析】根据统计调查的一般过程判断即可． 【详解】解：正确统计步骤的顺序应该是： ②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表； ③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比； ①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率． 故答案为：②③① 【点睛】本题考查的是扇形统计图，统计调查的一般过程：①问卷调查——收集数据；②列统计表——整理数据；③画统计图——描述数据． 14. 下列事件： ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品； ②三条线段组成一个三角形； ③a是实数，则|a|＜0； ④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K； ⑤367个人中至少有2个人生日相同； ⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖． 其中属于确定事件的是 ________．（填序号） 【答案】③⑤ 【解析】 【分析】直接利用随机事件、确定事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品，是随机事件，不符合题意； ②三条线段组成一个三角形，是随机事件，不符合题意； ③a是实数，则|a|＜0，是不可能事件，符合题意； ④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K，是随机事件，不符合题意； ⑤367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件，符合题意； ⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，就一定会中奖，是随机事件，不符合题意； 故答案为：③⑤ 【点睛】此题主要考查了随机事件以及非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键． 15. 李明对七年级120名同学关于节约用水方法选择的问题，进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图．如果将这个水滴图绘制成扇形图，那么表示“巧妙用水”扇形的圆心角度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形统计图中对应选项的圆心角度数，正确进行计算是解题关键． 直接用360度乘以巧妙用水的人数占比即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 16. 小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 17. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】首先解分式方程用含的式子表示，然后根据解是非负数，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理，可得：， ∵关于的分式方程的解为非负数， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查解分式方程和解一元一次不等式，解答此题的关键是注意分母不为． 18. 在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于___________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出当取时，分式为，再得到规律：分别取每对倒数的所得结果相加之和为0，据此求解即可． 【详解】解：当取时， ， 分别取与所得结果相加之和为0， 题目给出的中：2026与、2025与2与都互为倒数， 每对倒数的所得结果相加之和为0， 题干所求中有2025对倒数，其所得结果相加之和为0， 当时，，当时，， 所有结果相加的和为． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 21. 先化简：，其中a为整数且，再选一个你喜欢的a的值代入求值． 【答案】，当，原式 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 由题意，，，， 或， 当时，原式，当，原式（两个答案有一个即可）． 22. 无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： （1）表中的___________，___________； （2）任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； （3）若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】（1）183，； （2） （3）10000颗 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【小问1详解】 解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； 【小问2详解】 观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案为：； 【小问3详解】 解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 23. 2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）_______．扇形统计图中_______．并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数； （3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？ 【答案】（1）200，30， 补全条形图如图： （2）参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为 （3）估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有240人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用的人数除以所占的比例，求出的中，再用的人数除以总数，求出的值，求出的人数，补全条形图即可； （2）用360度乘以的人数所占的比例，进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 的人数为：， 图略； 【小问2详解】 ； 答：参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 （人）； 答：估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有240人． 24. 我市某校开展了“珍爱生命，预防溺水”知识竞赛活动，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试（百分制），测试成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．，绘制了如下不完整的统计图表： 测试成绩数据分析表： 成绩 平均数 中位数 众数 七年级 84.8 88.5 八年级 81.8 74 七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，86，88，88，88，89，89，89，89，92，96，97，97，98，99． 八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89． 根据以上信息完成下列问题： （1）填空：__________，__________，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中“E组”对应扇形的圆心角度数； （3）如果该校七年级有学生900名，八年级有学生920名，这两个年级本次测验成绩不低于90分的学生共有约多少人？ 【答案】（1）， （2） （3）约592人 【解析】 【分析】（1）由频数分布直方图求得七年级D组频数，由数据出现次数确定众数n，由扇形统计图及已知数据确定八年级各组人数进而求中位数m； （2）先求E组人数，再按乘以频率计算圆心角； （3）用样本比例估计总体人数后求和，即可 【小问1详解】 解：∵七年级A组频数为1， ∴B组频数为2， ∴C组频数为3， ∴E组频数为6， ∴D组频数为， 又∵七年级成绩中89出现次数最多， ∴， ∵八年级A组占， ∴A组人数为， ∵八年级B组占， ∴B组人数为， ∵八年级C组成绩为73，74，74，74，74，76， ∴C组人数为6， ∵八年级D组成绩为83，88，89， ∴D组人数为3， ∴八年级成绩从小到大排列后第10个数据为76，第11个数据为83， ∴； 【小问2详解】 解：∵八年级E组人数为， ∴E组所占比例为， ∴圆心角度数为； 【小问3详解】 解：∵七年级不低于90分的比例为， ∴估计七年级人数为， ∵八年级不低于90分的比例为， ∴估计八年级人数为， ∴两个年级共约有人． 25. 某班级准备组织全班同学到学校结对农场参加夏收劳动，班长从农场带回来两条信息：信息一：从学校到农场有两条行车路线，路线一全程30千米，但路况不太好，路线二全程36千米，但路况比较好；信息二：一般情况下走路线二的平均车速是走路线一的平均车速的1.8倍，走路线二所用的时间比走路线一所用的时间少20分钟．根据以上信息，求走路线二的平均车速． 【答案】走路线二的平均车速是每小时54千米 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设走路线一的平均车速是每小时千米，则走路线二平均车速是每小时千米，根据“走路线二所用的时间比走路线一所用的时间少20分钟”列方程求解即可． 【详解】解：设走路线一的平均车速是每小时千米，则走路线二平均车速是每小时千米， 由题意，得 解方程，得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以． 答：走路线二的平均车速是每小时54千米． 26. 数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． （1）请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； （2）若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用分离常数法，即可得到结论； （2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论； （3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母，即可得到结论． 【小问1详解】 解∶， ∴，； 【小问2详解】 解∶， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴或； 【小问3详解】 解∶， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重克，其中溶有糖克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（糖水浓度）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． （1）【特例验证】假设，则______．（填“>、<或=”） （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． （3）【应用拓展】 ①已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，水流速度为，两船同向逆流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，比较的大小，可判断出先返回港的是___________． A．甲 B．乙 C．甲乙同时 D．无法判断 ②若为三边的长，证明： 【答案】（1） （2） 证明： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①B； ②证明：由题意，， ∴，，， 由“糖水不等式”可知：， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，三角形的三边关系，熟练掌握“糖水不等式”是解题的关键： （1）将字母的值代入，比较分数的大小即可； （2）利用作差法进行计算即可； （3）①根据题意分别表示出、，然后比较大小求解即可； ②利用糖水不等式进行证明即可． 【小问1详解】 解：当，，时， ，， ∴， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①∵，， ∴，由题意可知，，故，即， ∴乙船先返回A港． 故选：B； ②略 28. 新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． （2）请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． （3）若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】（1）×，√ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【小问1详解】 解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 【小问2详解】 结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 【小问3详解】 解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段学情诊断练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列调查中，适合采用普查的是（ ） A. 调查某市垃圾分类的情况 B. 了解某班学生的跳远成绩 C. 调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 D. 了解全国中学生的脊柱侧弯情况 2. 云南省某市为了解本市6700名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中1000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是（ ） A. 6700名学生的身高是总体 B. 每名初中毕业生的身高是总体的一个个体 C. 1000名学生是总体的一个样本 D. 本次调查属于抽样调查 3. 事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（ ） A. P（C）＜P（A）=P（B） B. P（C）＜P（A）＜P（B） C. P（C）＜P（B）＜P（A） D. P（A）＜P（B）＜P（C） 4. 下列变形中，错误的是（　　） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的9倍 D. 保持不变 6. 对某中学70名女生的身高进行测量，得到一组数据的最大值为169cm，最小值为143cm，对这组数据整理时测定它的组距为5cm，应分成( ) A. 5组 B. 6组 C. 7组 D. 8组 7. 某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则代数式的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 6 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 分式的值为0，则x的值为______． 10. 分式的最简公分母是___________． 11. 已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6．第五组的频率为，则第六组的频率是__________． 12. 投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到0.1）． 13. 某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率；②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表；③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比．正确统计步骤的顺序应该是________． 14. 下列事件： ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品； ②三条线段组成一个三角形； ③a是实数，则|a|＜0； ④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K； ⑤367个人中至少有2个人生日相同； ⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖． 其中属于确定事件的是 ________．（填序号） 15. 李明对七年级120名同学关于节约用水方法选择的问题，进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图．如果将这个水滴图绘制成扇形图，那么表示“巧妙用水”扇形的圆心角度数是________． 16. 小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________ 17. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为______． 18. 在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于___________ 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1） （2） 20. 解方程． （1）； （2）． 21. 先化简：，其中a为整数且，再选一个你喜欢的a的值代入求值． 22. 无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： （1）表中的___________，___________； （2）任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； （3）若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 23. 2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）_______．扇形统计图中_______．并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数； （3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？ 24. 我市某校开展了“珍爱生命，预防溺水”知识竞赛活动，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试（百分制），测试成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．，绘制了如下不完整的统计图表： 测试成绩数据分析表： 成绩 平均数 中位数 众数 七年级 84.8 88.5 八年级 81.8 74 七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，86，88，88，88，89，89，89，89，92，96，97，97，98，99． 八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89． 根据以上信息完成下列问题： （1）填空：__________，__________，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中“E组”对应扇形的圆心角度数； （3）如果该校七年级有学生900名，八年级有学生920名，这两个年级本次测验成绩不低于90分的学生共有约多少人？ 25. 某班级准备组织全班同学到学校结对农场参加夏收劳动，班长从农场带回来两条信息：信息一：从学校到农场有两条行车路线，路线一全程30千米，但路况不太好，路线二全程36千米，但路况比较好；信息二：一般情况下走路线二的平均车速是走路线一的平均车速的1.8倍，走路线二所用的时间比走路线一所用的时间少20分钟．根据以上信息，求走路线二的平均车速． 26. 数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． （1）请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； （2）若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 27. 阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重克，其中溶有糖克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（糖水浓度）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． （1）【特例验证】假设，则______．（填“>、<或=”） （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． （3）【应用拓展】 ①已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，水流速度为，两船同向逆流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，比较的大小，可判断出先返回港的是___________． A．甲 B．乙 C．甲乙同时 D．无法判断 ②若为三边的长，证明： 28. 新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． （2）请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． （3）若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $