精品解析：江苏省扬州市邗江区维扬中学2024--2025学年八年级下学期6月份月考数学试卷

初二数学练习 6.5 一、选择题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 某市居民的月平均用水情况 B. 我国使用智能软件的用户数 C. 我国初中生的身高情况 D. 某本书的印刷错误 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 4. 把分式分子分母中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 变为原来的倍 C. 变为原来的一半 D. 变为原来的倍 5. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（  ） A. 且 B. C. D. 且 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两个正方形的边长都为，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、不与端点重合，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（ ） A. 发生变化，存在最大值 B. 发生变化，存在最小值 C. 不发生变化，存在最大值 D. 不发生变化，存在最小值 二、填空题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填在答题卡相应的位置上．） 9. 使式子有意义的的取值范围是_________． 10. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为________． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 12. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马的2倍，则规定时间为________． 13. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 _____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数的与的图象交于点，则代数式的值为______． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 16. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为______． 17. 如图，反比例函数图象经过平行四边形的顶点，，若点点点的坐标分别为，则k的值是______． 18. 如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作分别交，于点E，F．则的最小值为__________． 三、解答题（本题有10个小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 某校组织开展了汉字书写大赛，同学们踊跃参加，王老师随机调查了部分参加汉字书写大赛的学生成绩，成绩由分数转化为优秀、良好、及格、不及格四个等级，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据已知信息，解答下列问题： （1）条形统计图中________． （2）扇形统计图中，表示“不及格”的扇形的圆心角度数为________度； （3）若该校共有240名同学参加了汉字书写大赛，请你估计该校成绩优秀的学生人数． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 23. 如图，将平行四边形的边延长到点E，使，连接，交于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 24. 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用元购进若干千克，且很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用元所购买的数量比第一次购进的数量多千克． （1）求第一次购进该水果的进价？ （2）已知第一次购进的水果以每千克元很快售完，第二次购进的水果，以每千克元售出千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 25. 如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，，与坐标轴交于A、B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，当时，直接写出不等式的解集； （3）连接，求三角形的面积． 26. 小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： （1）________ ； ________． （2）化简：． （3）若，请按照小丽的方法求的值． 27. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）； 若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________． 【深入探究】 （2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________； 若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标． 拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： （1）①当点与点重合时，点的坐标为____________； ②用含的代数式表示点的坐标为____________． （2）的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，直接写出所有的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学练习 6.5 一、选择题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 2. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 某市居民的月平均用水情况 B. 我国使用智能软件的用户数 C. 我国初中生的身高情况 D. 某本书的印刷错误 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了调查方式的选择，根据普查的特点逐项判断求解，掌握各种调查方式的特点是解的题关键． 【详解】解：、所需人力大，不适合普查； 、所需人力大，不适合普查； 、所需人力大，不适合普查； 、个体数目较少，全面调查的工作量较小，选择普查搜集到的数据更准确，适合普查； 故选：． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D． 是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 把分式分子分母中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 变为原来的倍 C. 变为原来的一半 D. 变为原来的倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式中的分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可判断求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴分式的值变为原来的倍， 故选：． 5. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（  ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，一元一次不等式的解集，表示出分式方程的解，由解为正数确定出的范围即可．解题关键是始终注意分母不为这个条件． 【详解】解：在分式方程两边同乘以，得：， 解得：， ∵分式方程的解为正数， ∴，且， 解得：且． 故选：A． 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 直接根据配方法变形即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性与k的关系成为解题的关键． 由时，反比例函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随着x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随着x的增大而增大， ∴，在第二象限，在第四象限， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选A． 8. 如图，两个正方形的边长都为，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、不与端点重合，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（ ） A. 发生变化，存在最大值 B. 发生变化，存在最小值 C. 不发生变化，存在最大值 D. 不发生变化，存在最小值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，证明是解题的关键． 由“”可证，可得，可得，由，可得当有最小值时，有最小值，即可求的值． 【详解】解：∵正方形的对角线交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴两个正方形重叠部分形成图形的面积， ， ∵的周长为， ， ∴当有最小值时，有最小值， ∵， ， ∴当时，有最小值为3， ∴的最小值为， 因为点不与点重合，所以不存在最大值，所以不存在最大值，所以不存在最大值， 故选：D． 二、填空题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填在答题卡相应的位置上．） 9. 使式子有意义的的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件以及解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于的一元一次不等式组，解一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：且， 故答案为：且． 10. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，可得：， 解得：， 所以估计袋子中白球大约有12个， 故答案为：12． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，先解分式方程，求出分式方程的解，进而求出增根得到关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马的2倍，则规定时间为________． 【答案】7天 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，根据题意得： ， 两边同时乘以 得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：7天． 13. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出和的取值范围，然后化简求值． 【详解】解：由图象可得， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查数轴与二次根式及绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值与二次根式的化简方法． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数的与的图象交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，将P点坐标代入到两个解析式，可以得到和，将代数式变形为，代入即可解决． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若，是一元二次方程两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握并能灵活运用根与系数的关系建立关系式是解题的关键． 由，是一元二次方程的两个实数根，则、、代入，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴、、． ∴ ∴ ． 故答案为：28． 16. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质以及勾股定理的应用．首先利用勾股定理求得菱形的对角线，然后由菱形的两个面积计算方法求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长是，， ∴，，，， ∴在中，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，若点点点的坐标分别为，则k的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式是解题的关键． 设，如图，连接交于点，则，，即，，可求，，则，由反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，可得，计算求解即可． 【详解】解：设， 如图，连接交于点， ∴，， ∴，， 解得，，， ∴， ∵反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，， ∴， 解得，，， 故答案为：9． 18. 如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作分别交，于点E，F．则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过F作于G，证明得，再将沿方向平移至，连接，当A、F、H三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 【详解】解：过F作于G，则，， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当A、F、H三点共线时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 三、解答题（本题有10个小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分等运算得出结果． （2）利用平方差公式和完全平方公式分别对两个乘法式子进行计算，再去括号、合并同类项得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算以及整式的混合运算，其中涉及通分、因式分解、乘法公式等知识点，熟练掌握分式和整式的运算法则以及乘法公式是解题的关键． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（）按照解分式方程的步骤解答即可； （）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程的步骤和解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程整理得，， ∴， ∴或， ∴，． 21. 某校组织开展了汉字书写大赛，同学们踊跃参加，王老师随机调查了部分参加汉字书写大赛的学生成绩，成绩由分数转化为优秀、良好、及格、不及格四个等级，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据已知信息，解答下列问题： （1）条形统计图中________． （2）扇形统计图中，表示“不及格”的扇形的圆心角度数为________度； （3）若该校共有240名同学参加了汉字书写大赛，请你估计该校成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）20 （2）24 （3）名 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用良好的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，进而可求出m的值； （2）用360度乘以不及格的人数占比即可得到答案； （3）用240乘以样本中优秀的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：名， ∴这次一共调查了60名学生， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中，表示“不及格”的扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：名， ∴估计该校成绩优秀的学生人数为48名． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； 【小问2详解】 解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 23. 如图，将平行四边形的边延长到点E，使，连接，交于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定及矩形的判定是解题的关键． 24. 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用元购进若干千克，且很快售完，由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用元所购买的数量比第一次购进的数量多千克． （1）求第一次购进该水果的进价？ （2）已知第一次购进的水果以每千克元很快售完，第二次购进的水果，以每千克元售出千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 【答案】（1）元； （2）总体上是盈利，盈利元． 【解析】 【分析】（1）根据用元所购买的数量比第一次购进的数量多千克列等量关系即可解答； （2）根据利润等于售价减去进价即可解答． 【小问1详解】 解：设第一次购进的单价为元，则第二次购进的单价为， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：第一次购进的单价为元； 【小问2详解】 解：第一次购进的数量为（千克）， 第二次购进的数量为（千克）， （元）， 答：总体上是盈利，盈利元． 【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键． 25. 如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，，与坐标轴交于A、B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，当时，直接写出不等式解集； （3）连接，求三角形的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，求出，得到反比例函数的解析式，把点代入反比例函数解析式，求出，即，4)，再将、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）根据、两点的坐标以及两函数的图象即可得出结论； （3）解出A、B两点坐标，利用计算即可； 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为． 把代入得：，解得， ∴． 把分别代入得： ，解之得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ， 由图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数下方， 故当时，不等式的解集或； 【小问3详解】 由一次函数与坐标轴交于A、B两点， 令，解得， 令，解得， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数与几何图形的面积，灵活利用数形结合与方程思想是解题的关键． 26. 小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： （1）________ ； ________． （2）化简：． （3）若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值是解题的关键． （）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （）将式子中的每一个分式进行分母有理化，即可求解； （）仿照题例求解即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 27. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）； 若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________． 【深入探究】 （2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________； 若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（）不是，；（）；；（）；对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，解不等式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用，理解“美好点”的定义是解题的关键． （）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； 根据“美好点”的定义求出的值，即可得到答案； （）根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； 将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（）∵， ∴点不是“美好点”， ∵点是第四象限内的一个“美好点”， ∴， 解得：， 故答案为：不是，； （）∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线，得， 故答案为：； ∵第一象限内的“美好点”在直线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴满足条件的点的坐标为； （）∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， 由题意可得， ∴， ∴； 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，理由， ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： （1）①当点与点重合时，点的坐标为____________； ②用含的代数式表示点的坐标为____________． （2）的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； （3）当为等腰三角形时，直接写出所有的值． 【答案】（1）①；② （2）的面积不会改变，定值为 （3）或或 【解析】 【分析】（）①过点作于，证明即可求解；②过点作于，同理①证明即可求解； （）过点作，交的延长线于，可证，得到，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）若，当点与点重合时，，此时；当点与点不重合时，分三种情况讨论，由等腰三角形性质和勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，过点作于， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； ②如图，过点作于， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的面积不会改变，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于， ∵矩形的顶点坐标为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积， ∴的面积不会改变，定值为； 【小问3详解】 解：若，当点与点重合时，，此时； 当点与点不重合时，如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此种情形不存在； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $