精品解析：黑龙江大庆市龙凤区2025－2026学年度第二学期初四数学试题

2025-2026学年度第二学期初四数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 是的（ ） A. 倒数 B. 绝对值 C. 相反数 D. 负倒数 【答案】C 【解析】 【详解】解：与只有符号不同， 即是的相反数． 2. 下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 3. 笔、墨、纸、砚是中国文房四宝，砚台更是书法不可或缺的工具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据俯视图是从物体的上面看得到的图形即可解答，注意能看到的线用实线，看不到的线用虚线． 【详解】解：它的俯视图为： ， 故选：C． 4. 为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖． 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，被遮盖的两个数据的和为3，故不影响众数和中位数． 【详解】根据题意，共有50名学生，被遮盖的数据为50-1-2-3-5-6-8-10-12=3， 可以求得众数为100，中位数为第25,26个数的平均数，为98； 所以统计过程中与被遮盖的数据无关是中位数和众数． 故选C 【点睛】本题考查了平均数，方差，中位数，众数的概念，在计算平均数和方差时，每一个数据都要用上，而中位数是排列好后，找中间的数据，众数直接找出现次数最多的那个数，理解平均数，方差，中位数，众数的求法是解题的关键． 5. 如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，那么∠APB的度数是（　　） A. 36° B. 54° C. 60° D. 66° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据正五边形的性质得到，然后根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理得到的度数． 【详解】∵多边形ABCDE正五边形， ∴∠EAB＝＝108°， ∵AP是∠EAB的角平分线， ∴∠PAB＝EAB＝54°， ∵∠ABP＝60°， ∴∠APB＝180°﹣60°﹣54°＝66°， 所以∠APB的度数是66°． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式、角平分线的定义及三角形内角和定理，掌握多边形内角和公式、角平分线的定义及三角形内角和定理是解决此题的关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 C. 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，已知是的边上的中线，且． ∵， ∴， 同理， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 因此A正确； 若一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形的底角，两个三角形内角不对应相等，不相似，因此B错误； 平移后两组对应点的连线平行或在同一直线上，不是一定平行，因此C错误； 对角线垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直且相等的四边形不一定是正方形，因此D错误． 7. 如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，该几何体为圆锥，如图，则 ，，，在中，由勾股定理得，，则几何体的体积，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，该几何体为圆锥，如图，则，，， 在中，由勾股定理得，， ∴几何体的体积， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据圆锥的展开图求圆锥体积，勾股定理．解题的关键在于确定几何体的形状． 8. 把一元二次方程和的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点的横坐标，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点的纵坐标，则点在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图计算概率，因式分解法解一元二次方程．先利用因式分解解一元二次方程，求得方程根，再画树状图，确定符合条件的点的个数，后用概率公式计算即可． 【详解】解：一元二次方程整理得， ∴或，解得，； 一元二次方程整理得， ∴或，解得，； 画树状图如下： ， 故坐标有，，，，共16种等可能性． 符合点在以原点为圆心，5为半径的圆上的情况只有和两种情况， ∴点在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是． 故选：D． 9. 如图，中，，，点D，E分别在，，边上，且，若是以为腰的等腰三角形，则的长为（　　） A. 2或3 B. 2或 C. 3或 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角性质即可得出，然后根据题意分当时，当时，两种情况分类讨论：当时，利用证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差即可得出答案；当时，过点E作，则，过点A作于M，先根据解直角三角形求出，再证明，根据相似三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【详解】解：， 是的外角 即 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况： （I）当时， 在和中 ； （II）当时，过点E作，则，过点A作于M， ， ， 在中， ， 综上所述，的长为2或． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定及性质以及解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10. 如图，在等边三角形中，，在中，，，，点，，，在一条直线上，点，重合，沿射线方向运动，当点与点重合时停止运动．设运动的路程为，与重叠部分的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情形：①当时，重叠部分为，②当时，重叠部分为四边形，③当时，重叠部分为，分别计算即可． 【详解】解：过点A作，交于点M， 在等边中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在等边中，， ∴，， ∴． ①当时，设与交于点G，此时与重叠部分为， 由题意可得，， ∴； ②当时，设与交于点G，此时与重叠部分为四边形， 由题意可得：，则，， ∴， ∴； ③当时，设与交于点G，过点G作，交于点M， 此时与重叠部分为， 由题意可得，则，， ∴， ∴ 在中，， ∴； 综上，作图如下： ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 函数的自变量x的取值范围是______． 【答案】x＞-1 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x+1＞0， 解得x＞-1． 故答案为x＞-1． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 已知点与点关于轴对称，则的值为_________. 【答案】0 【解析】 【分析】由题干可知，本题考查点的轴对称，利用关于y轴对称点的性质，即可求解． 【详解】解：由点与点关于轴对称，可知， 求得，则有． 【点睛】本题要清楚关于y轴对称的点其横轴坐标互为相反数． 14. 已知关于x的不等式3x - m+1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先用含m的代数式表示出不等式的解集，再根据最小整数解为2即可求出实数m的取值范围. 【详解】∵3x - m+1>0， ∴3x> m-1， ∴x>, ∵不等式3x - m+1>0的最小整数解为2， ∴1≤<3， 解之得 . 故答案为. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，根据最小整数解为2列出关于m的不等式是解答本题的关键. 15. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 16. 如图，在中，，，以AB中点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积等于扇形DEF的面积与四边形DNCM的面积之差，再根据题目中的数据即可解答本题． 【详解】连接CD，如图所示， 在中，，， ， 以AB中点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在弧EF上， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， 与的面积之和等于与的面积之和， 四边形DNCM的面积等于的面积， 阴影部分的面积是：， 故答案为． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 17. 在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则_______．（结果用含n的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键． 18. 如图，在正方形中，对角线，交于点，点在上，交于点，且为的中点，交于点，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号为_________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①过点作，交于点，交于点，通过证明，得到，从而得到为等腰直角三角形，； ②作交于点，则，由为的中点，得到为的中点，从而得到，通过证明，得到，即可得到； ③通过证明，得到，则可设，则，通过证明，得到，得到，通过勾股定理可以计算出，即可得到答案； ④由③可以计算出、、、的长，即可得到答案． 【详解】解：①如图，过点作，交于点，交于点， 四边形为正方形，，对角线，交于点， ，四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形，， 故①正确，符合题意； ②如图，作交于点， 则， 为的中点， 为的中位线， 为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ③， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 故③正确，符合题意； ④由③可得，， ， ， ， 故④正确，符合题意． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式、三角函数、绝对值和0指数幂的性质计算即可. 【详解】解：原式. 【点睛】本题考查二次根式、三角函数、绝对值和0指数幂的性质，熟练掌握相关运算法则是解题关键. 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式加减法计算括号内的，再根据分式除法法则计算即可化简，然后根据，解一元二次方程求出a值，最后把符合分式有意义的值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式＝ ∵， 或 当时分式无意义 ∴当时，原式 【点睛】本题考查分式化简求值，解一元二次方程，熟练掌握分式混合运算法则与用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 21. 某中学筹备校园数学文化节，采购《周髀算经》《孙子算经》两类古籍读本，某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买本．求《孙子算经》的单价为多少元？ 【答案】《孙子算经》单价是30元 【解析】 【分析】设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据“用元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买本”列分式方程求解即可． 【详解】解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）． 答：《孙子算经》单价是30元． 22. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 【答案】32m 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案. 【详解】解：过点作于点，作于点 由题意得：， 在中， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中. ， 答：该风力发电机塔杆的高度为. 23. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2） 补全条形统计图如图所示： （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 24. 如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，．点是中点，连结并延长到，且，连接，． （1）试判断四边形的形状，说明理由； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 矩形，理由： ∵点是中点 ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，首先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质分析，即可得到答案； （2）连接，根据垂直平分线和勾股定理的性质，得；再根据全等三角形的性质分析，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线、全等三角形、勾股定理、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、垂直平分线、勾股定理的性质，从而完成求解． 25. 某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． （1）求两种商品的销售单价． （2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）的销售单价为元、的销售单价为元 （2）当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题中售出种20件，种10件，销售总额为840元；售出种10件，种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案； （2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则 ，解得， 答：的销售单价为元、的销售单价为元； 【小问2详解】 解：种商品售价不低于种商品售价， ，解得，即， 设利润为，则 ， ， 在时能取到最大值，最大值为， 当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键． 26. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式． （2）结合图形，请直接写出不等式的解集． （3）点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据函数图象即可求解； （3）分情况讨论，当是斜边时，当是斜边时，利用勾股定理即可得答案． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，不等式及的解集为或； 【小问3详解】 解：过、，， ∴，，， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴， 解得：， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴， 解得：， 综上可得：的值为或． 27. 如图，是⊙的直径，弦于，为⊙上一点，连接交于，在的延长线上取一点，使，的延长线交的延长线于． （1）求证：是⊙的切线； （2）连接，若时． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接 ∴， 是的切线； （2）① 即； ② 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角，结合互余关系证明即可； （2）①根据圆周角定理证明； ②根据三角函数可设，则，可证明，则，在中，由勾股定理得，求出设⊙O的半径为R，在中由勾股定理得，求出，再证明，根据等角的三角函数值相等求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②， ∴ ∴由勾股定理得， ， ∴， 在中，由勾股定理得 解得（舍负） 设⊙O的半径为R 在中， 由勾股定理得 解得 在中， ． 28. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意求得，，求得，则，进而求得直线的解析式为，过点作轴，交于点，证明，根据已知条件得出设，则，将点代入，即可求解． （3）根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得的坐标，待定系数法求得的解析式，联立解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由，当时，， 解得：， ∴， 当时，，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴，交于点， ∵， ∴ ∵ ∴，则 设，则即， 将点代入 即 解得：或（舍去） 当时，， ∴； 【小问3详解】 ∵，， 则，是等腰直角三角形， ∴，由（2）可得， ∵ ∴， 由（2）可得， 设直线的解析式为，则 解得： ∴直线的解析式为 如图所示，以为对角线作正方形，则， ∵，则，则，， 设，则， 解得：，， 则，， 设直线的解析式为，直线的解析式为 则，， 解得：，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴解得：，则， 解得：,则， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期初四数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 是的（ ） A. 倒数 B. 绝对值 C. 相反数 D. 负倒数 2. 下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 笔、墨、纸、砚是中国文房四宝，砚台更是书法不可或缺的工具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖． 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 5. 如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，那么∠APB的度数是（　　） A. 36° B. 54° C. 60° D. 66° 6. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 C. 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 7. 如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 把一元二次方程和的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点的横坐标，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点的纵坐标，则点在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，点D，E分别在，，边上，且，若是以为腰的等腰三角形，则的长为（　　） A. 2或3 B. 2或 C. 3或 D. 2或4 10. 如图，在等边三角形中，，在中，，，，点，，，在一条直线上，点，重合，沿射线方向运动，当点与点重合时停止运动．设运动的路程为，与重叠部分的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 12. 函数的自变量x的取值范围是______． 13. 已知点与点关于轴对称，则的值为_________. 14. 已知关于x的不等式3x - m+1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是___________. 15. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为______． 16. 如图，在中，，，以AB中点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分面积为______． 17. 在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则_______．（结果用含n的代数式表示） 18. 如图，在正方形中，对角线，交于点，点在上，交于点，且为的中点，交于点，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号为_________． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某中学筹备校园数学文化节，采购《周髀算经》《孙子算经》两类古籍读本，某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买本．求《孙子算经》的单价为多少元？ 22. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 23. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 24. 如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，．点是中点，连结并延长到，且，连接，． （1）试判断四边形的形状，说明理由； （2）当时，求的长． 25. 某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． （1）求两种商品的销售单价． （2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 26. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式． （2）结合图形，请直接写出不等式的解集． （3）点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 27. 如图，是⊙的直径，弦于，为⊙上一点，连接交于，在的延长线上取一点，使，的延长线交的延长线于． （1）求证：是⊙的切线； （2）连接，若时． ①求证：； ②若，，求的长． 28. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $