6.4.3.1 余弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦余弦定理的证明、推论及解三角形应用，以嫦娥四号探测实际问题创设情境，通过向量表示、数量积运算等问题链搭建支架，联系勾股定理特例，引导学生构建知识脉络。 其亮点在于以真实情境贯穿教学，体现“用数学眼光观察现实世界”，通过向量法严谨推导培养“数学思维”，回归情境解决问题强化“数学语言表达”。采用问题驱动与分层练习，学生提升应用能力，教师可直接使用完整教学流程。

1.掌握余弦定理的证明方法，牢记余弦定理公式. 2.能够从余弦定理得到它的推论. 3.能够应用余弦定理及其推论解三角形. 学习目标 问题1 嫦娥四号于2018年12月8日，在西昌卫星发射中心由长征三号乙运载火箭发射。它的主要任务是更深层次更加全面地科学探测月球地质、资源等方面的信息，完善月球的档案资料。现通过有关测量工具测得地球距离嫦娥四号40.5万公里，地球距离中 继星44.5万公里，在地球上可测得嫦娥四号 与中继星的张角为7o，如何求嫦娥四号与中 继星的距离？ 地球A 中继星B 嫦娥四C 7O 40.5万公里 44.5万公里 ？ 创设情景 提出问题 余 弦 定 理 《普通高中教科书数学必修第二册（人教A版2019）》 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？ 问题2 如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c怎样用a，b和C表示c？ 追问1 以△ABC的三条边为基础，你能写出哪些向量表达式？ 追问2 以这些向量关系式为基础，你认为通过怎样的向量运算就可以得出关于三角形的数量表达式呢？ 推理论证 得出结论 a=b+c，c=a-b，b=a-c，b+c-a=0等等 图6.4-8 b a c 几何元素→向量化→数量式→边角关系表达式 如图6.4-8，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c怎样用a，b和C表示c？ 分析：因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究. 设 图6.4-8 那么 所以 同理可得 b a c 推理论证 得出结论 a=b+c，c=a-b，b=a-c，b+c-a=0等等 c=a-b 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即 追问3 余弦定理包含了三个公式，你能用文字语言统一表述吗？ 推理论证 得出结论 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即 追问5 观察余弦定理公式的结构特征，请问它可以帮助我们解决什么样的三角形问题？ 推论 追问4 以上定理，在直观感受上给你怎样的感觉？ SAS（SSA）、SSS 简洁美、和谐美、对称美 推理论证 得出结论 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即 追问6 当C=90°时，由余弦定理你可以得到什么？你有什么发现？ 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例 推理论证 得出结论 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 解三角形的定义 推理论证 得出结论 解：由余弦定理得 例1 在△ABC中，已知a= , b=2, c= , 解三角形. 例题练习 巩固理解 解：因为 ，且C为锐角. 所以 由余弦定理，得 所以c=3 进而 利用计算器可得 例2 在△ABC 中，a=7，b=8，锐角C满足 ，求B(精确到1°) 例题练习 巩固理解 回归情景 现通过有关测量工具测得地球距离嫦娥四号40.5万公里，地球距离中继星44.5万公里，在地球上可测得嫦娥四号与中继星的张角为7o，如何求嫦娥四号与中继星的距离？ 地球A 中继星B 嫦娥四C 7O 40.5万公里 44.5万公里 ？ 聚焦素养 学以致用 模型建立：已知在△ABC中，，求a;(cos70≈0.99） 地球A 中继星B 嫦娥四C 7O 聚焦素养 学以致用 解：由余弦定理得 所以. 所以嫦娥四号与中继星的距离约为7.2万公里. 问题3 请你带着以下问题回顾本节课的内容，并给出回答： 小结提升 形成结构 （1）余弦定理及其推理的内容是什么？运用余弦定理能够解决哪些问题？ （2）你能概括处利用向量方法研究余弦定理的基本思路吗？ （3）余弦定理的探究过程中蕴含着哪些思想方法？ 1.在△ABC中，若，求C； 2.已知在△ABC中， ,求c； 3.在△ABC中，已知,解这个三角形. 目标检测 检验效果 目标检测 检验效果 1.在△ABC中，若，求cos C； 2.已知在△ABC中， ,求c； 3.在△ABC中，已知,解这个三角形. 目标检测 检验效果 1.在△ABC中，若，求cos C； 2.已知在△ABC中， ,求c； 3.在△ABC中，已知,解这个三角形. 目标检测 检验效果 1.在△ABC中，若，求cos C； 2.已知在△ABC中， ,求c； 3.在△ABC中，已知,解这个三角形. （一）必做题 作业1：教科书第52页习题6.4第6题. 布置作业 应用迁移 （二）选做题 作业2：教科书第53-54页习题6.4第15、16题 作业3：探究余弦定理的其他证明方法. Lavf58.33.100 $