2026年九年级数学中考复习《反比例函数综合》题型分类综合练习题

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数、几何图形、实际问题的综合应用，通过分类题型构建"概念理解-方法提炼-综合应用"的三阶训练体系，强化数形结合与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |反比例函数与一次函数综合|7题|待定系数法求解析式、图像交点分析、不等式解集的几何意义|从函数图像交点坐标求解，延伸到面积计算与平移变换，构建"数-形-式"转化逻辑| |实际问题与反比例函数|5题|建立反比例函数模型、利用函数性质解决最值问题|以物理情境（杠杆原理、小孔成像）为载体，体现数学建模与数据分析的应用价值| |反比例函数与几何图形性质综合|9题|坐标法、相似三角形判定、图形面积转化|结合矩形、菱形等几何图形性质，深化函数图像与几何变换的综合应用，培养空间观念|

2026年九年级数学中考复习《反比例函数综合》题型分类综合练习题（附答案） 一、反比例函数与一次函数综合 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若x轴上存在点，使，求点的坐标； (3)直接写出时的取值范围． 2．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点 (1)点的坐标为 ． (2)求反比例函数的解析式． (3)将直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离． 3．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与y轴交于点C．将直线沿y轴向上平移t个单位长度后与反比例函数的图像分别交于D，E，直线与y轴交于点F． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x取值范围___； (3)连接，若的面积为9，求点F的坐标． 4．如图，的顶点分别为，直线与交于点D，点D在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)把向右平移a（）个单位，再向上平移b（）个单位，得到点，且同时落在反比例函数（）的图象上． ①求a，b的值； ②求所在直线的解析式． 5．定义：若一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标的倍的点，则称该点为该函数的“双倍比例点”．例如，函数的“双倍比例点”是点． (1)【初步理解】 求出函数的“双倍比例点”的坐标； (2)【深入探究】 不重合的两点和是抛物线的“双倍比例点”，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于点（不与点重合）．若的面积为，求的值； (3)【拓展思考】 抛物线关于点的中心对称图象为，当与的图象共有个“双倍比例点”时，求的值． 6．如图1，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点时停止．同时，点从点出发以每秒个单位长度的速度，线段方向运动，其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积比值为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数第三象限图象上一点，过点作直线交轴于点． ①若直线与反比例函数的图象只有一个交点，连接，，求的面积； ②是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 二、实际问题与反比例函数 8．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 9．《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端．”大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验．如图1所示的小孔成像实验中，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．已知当时，． (1)①求火焰的像高关于物距的函数表达式； ②请借助网格中的格点（不少于3个），在图2中画出①所对应的函数图象； (2)若控制火焰的像高不超过，则小孔到蜡烛的最短距离为____________． 10．如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为米． 【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为米，为米由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10米，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为米时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 11．下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 (1)你认为表中第________组数据是错误的． (2)利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． (3)若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 12．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … (1)________，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数 ，结合表格信息，探究函数 的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数 的图象； ②请写出该函数的一条性质． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为_______． 三、反比例函数与几何图形性质综合 13．在矩形中，，，分别以所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是上的一个动点不与B、C重合，过F点的反比例函数的图象与边交于点E，连接，， (1)若，求F点的坐标； (2)若四边形的面积等于12，求反比例函数的表达式； (3)是否存在这样的点F，使得为直角三角形？若存在，求出此时点F坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图像上，点D的坐标为 (1)求k的值； (2)设点M在反比例函数图像上，连接，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标． (3)若将菱形沿x轴正方向平移m个单位，在平移中，若反比例函数图像与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交x轴于点C，与y轴交于点D． (1)填空：______，______，不等式的解集是______； (2)求反比例函数的解析式； (3)若P为反比例函数图象上的一点，当时，直接写出点P的坐标； (4)在y轴上存在一点Q，使与相似，求Q点的坐标． 16．如图（1），已知，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于点，轴于点． (1)根据图象直接回答：在第二象限内，当取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ (2)求反比例函数及一次函数的解析式； (3)如图（2）所示，是线段上的一点，连接，，若和面积相等，求点坐标． 17．如图，为反比例函数． (1)如图1，若关于t的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求k的值及P点坐标； (2)在题（1）的条件下，若Q为该反比例函数图象上一点，且Q点的横、纵坐标相等，作轴与A点，将反比例函数图象在直线上方的部分沿着翻折，在线段上有一点F，过F作平行于x轴的直线，与翻折后的图像及原反比例函数图像分别交于E点、D点（如图2所示），已知，求F点坐标； (3)如图3，若线段绕点顺时针旋转到，O点对应H点，当P、H在同一个反比例函数图像上，则________． 18．如图，函数的图象过点和两点． (1)求和的值； (2)将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点，交轴于点． 若，求直线解析式； 若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得点、、、为顶点四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标． 20．反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 21．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4． (1)求k的值和直线的解析式； (2)若P为函数的图象上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为m，且，当，求出m的值． (3)已知点Q是反比例函数上的一个动点，设点Q的横坐标为n，，当n为何值时，面积最大，并求出最大面积． 参考答案 1．(1) (2)或 (3)或 【分析】（）先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可； （）由勾股定理可知，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，再结合题意可得点的坐标； （）结合函数的性质，根据图象观察可得一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可写出的取值范围． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：，由图象的对称性，可知， 由勾股定理，得． 又， ． 又点在轴上， 点的坐标为或． （3）解：结合函数图象，一次函数图象在反比例函数上方的区间为：或． 2．(1)； (2) (3)5 【分析】（1）将代入直线中，即可求解； （2）先求出点，再代入反比例函数中，即可求解； （3）设直线向下平移了个单位长度，得到平移后的直线表达式为，再求出点，代入中，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴当时，，解得， ∴点的坐标为； （2）解：将代入直线中，得， ∴点， ∴将代入反比例函数中，得， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：设直线向下平移了个单位长度， 平移后的直线表达式为， 点在反比例函数的图象上， ，解得， ， 代入，得， ， 直线向下平移的距离为5个单位长度． 3．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点代入中可得；同理可得，即，，然后运用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）通过观察图像即可求解； （3）如图：过点D作轴交于点G，易得，根据的面积为9列方程可得，即；再确定C点坐标，进而确定点F的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入中，得，解得：； 同理可得：， ∴， 将点A、B代入， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， ∴由函数图像可得：当时，自变量x取值范围为或． （3）解：如图：过点D作轴交于点G， ∵直线沿y轴向上平移t个单位长度， ∴， ∵， ∴ ∴，解得：， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴． 4．(1) (2)①，；② 【分析】（1）利用待定系数法进行求解； （2）①根据平移的性质求出点的坐标，得出，然后根据反比例函数列出方程求解； ②利用待定系数法求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得， ∴， 令， 解得， ∴D点坐标为， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①∵将向右平移a个单位，再向上平移b个单位， ∴的坐标为，的坐标为， ∵同时落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 将代入， 解得，或(舍去)， ∴； ②设所在直线的解析式为， 由①知，的坐标为，的坐标为， 将的坐标代入， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为． 5．(1)或 (2)或 (3)满足条件的值为，， 【分析】（1）根据“双倍比例点”的定义，令，解方程即可得解； （2）根据“双倍比例点”的定义可求得点的坐标，再由抛物线的对称性可确定点的坐标，即可得到的长，由的面积列方程求解即可； （3）先确定抛物线的“双倍比例点”，再由中心对称的性质确定抛物线的解析式，再结合“双倍比例点”的定义分两种情况讨论： 的图象有且仅有个“双倍比例点”，且与图象“双倍比例点”不重合； 的图象有个“双倍比例点”，且有个点与图象“双倍比例点”重合． 【详解】（1）解：令函数，即， 解得或， 此时或， 函数的“双倍比例点”的坐标是：或； （2）解：是“双倍比例点”， ， ， 对于抛物线，其对称轴为直线， 过点作平行于轴的直线，交该抛物线于点， ，解得， ， ， 的面积为：， 即， 解得或； （3）解：令函数， 整理得， 即， 解得或； 的图象有个“双倍比例点”：，； 抛物线关于点的中心对称图象为， 点关于点的对称点为， 将点代入抛物线中得， ， 整理得， 即， 令，即， ， 与的图象共有个“双倍比例点”， 分以下两种情况讨论： 的图象有且仅有个“双倍比例点”，且与图象“双倍比例点”不重合； 此时，即，解得， 方程的解为， 即当时，的图象有个“双倍比例点”：，与图象“双倍比例点”不重合，符合题意； 的图象有个“双倍比例点”，且有个点与图象“双倍比例点”重合； 此时，即，解得， 若与点重合，则有，解得， 方程为，即， ，解得或， 此时，的图象有个“双倍比例点”：，； 即与的图象共有个“双倍比例点”：，，； 若与点重合，则有，解得， 方程为，即， ，解得或， 此时，的图象有个“双倍比例点”：，； 即与的图象共有个“双倍比例点”：，，； 综上，满足条件的值为，，． 6．(1)， (2)图象见解析；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 (3) 【分析】（1）由点的运动路径可知为分段函数，利用三角形面积公式，三角函数分段列出函数解析式即可；即可求解； （2）根据（1）中所得解析式可得函数图象，根据图象可得函数的性质； （3）图象在图象的上方部分对应的的范围即为所求． 【详解】（1）解： 中，，，， ∴， 由题意知，动点从点出发到达点时所用时间为（秒）， 动点从点出发到达点时所用时间为（秒）， ∵其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动， ∴， 如图，做于点， 当时，点在上，， 此时 ∴； 当时，点在上，， 此时 ∴； ∴， ． （2）解：函数，的图象如下所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）解：由图可知，当时，图象在图象的上方， 所以时的取值范围为（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 7．(1)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：； (2)①；②存在，或 【分析】（1）将点代入，得出一次函数的表达式，先求出点坐标，再求反比例函数表达式即可得解； （2）①连接，设直线交轴于点，根据题意设出直线的解析式，进而联立反比例函数解析式，根据直线与反比例函数的图象只有一个交点，得出，，再求得直线的解析式，根据，即可求解； ②根据题意得出，分两种情况讨论，情形一：，情形二： ，根据相似三角形的性质进行分析，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得： ∴一次函数的表达式为： 将代入 ∴ 解得：， ∴， 将代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：①解：如图，连接，设直线交轴于点， ∵直线 ∴设直线的解析式为 联立 ∴ 即 ∵直线与反比例函数的图象只有一个交点， ∴ 又∵ ∴ ∴直线的解析式为 当时， ∴ 设直线的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时 ∴ ∵ ∴ ②解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点 ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴与相似，点与点对应，分两种情况讨论， 情形一：， ∴ ∴ ∴ 设 ，则 ∴ ∴，代入 解得：（负值舍去） ∴ 情形二： ，则 过点作轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ，则 依题意， 解得： ∴, ∴ 综上所述：存在， 或 8．(1)爆炸前：，爆炸后： (2) (3)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用． （1）分别设爆炸前y与x的函数关系式为，爆炸后y与x的函数关系式为，进而求解即可； （2）将代入，求出撤离的最长时间，进而求撤离的最小速度即可； （3）将代入，求出减7即可． 【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点与， 则，解得，则， ∵爆炸后浓度成反比例下降， ∴可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，由得，，， ∴撤离的最长时间为（小时）， ∴撤离的最小速度为； （3）解：当时，由得，，（小时）． ∴矿工至少在爆炸后小时才能下井． 9．(1)①；②见详解 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键． （1）①由题意设关于的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式； ②根据①先列表，然后描点，连线可画出函数图象； （2）把当代入，然后结合图象即可解答． 【详解】（1）解：①设关于的函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 关于的函数表达式为：； ②由①列表如下： ….. 3 4 8 ….. ….. 8 6 3 …... 描点、连线，则可得反比例函数的图象如图所示： （2）解：当时，， 解得：， ， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，． 故答案为4.8． 10．（1）；4；2；（2）不能围出面积为的矩形，见解析；（3） 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象的交点问题． （1）联立解方程组得到另一个交点坐标为，解答即可； （2）联立解方程组得到该方程组无解，所以两函数图象没有交点，所以不能围出； （3）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】（1）解：将反比例函数与直线联立得， ， ， ， 方程组的解为或， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；4；2； （2）解：不能围出面积为的矩形；理由如下： 将反比例函数与直线联立得， ， ， ， 无解， 故两个函数图象无交点； 的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点， 不能围出面积为的矩形． （3）解：如图中直线所示， 直线与反比例函数（）的图象有唯一交点， 有唯一解，即：方程只有一个解， ，解得：，（舍去）． 11．(1)④ (2)成反比例函数关系．关于的函数表达式为（） (3)弹簧秤到中点的距离的取值范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用与杠杆平衡原理，解题的关键是根据杠杆平衡条件得出与的函数关系，进而判断错误数据、求解函数表达式及取值范围． （1）根据杠杆平衡条件计算每组数据的乘积，找出不符合的组； （2）由杠杆平衡条件确定与的函数类型，利用正确数据求表达式； （3）代入，结合木杆长度求解的范围． 【详解】（1）解：根据杠杆平衡原理，左侧力力臂右侧力力臂，即，得 ①组：，符合； ②组：，符合； ③组：，符合； ④组：，不符合； ⑤组：，符合． 故答案为：④． （2）解：由杠杆平衡原理得，即，故与 成反比例函数关系．关于的函数表达式为（）． （3）解：当时，， ∵ ，两边乘得， 解得． 又木杆长，中点到端点距离为，故． 答：弹簧秤到中点的距离的取值范围是（单位：）． 12．(1)2， (2)①图象见详解；②当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得电流与电阻R、之间关系为，然后根据表格可代入进行求解即可； （2）①根据题中所给表格可描点、连线作出函数图象即可；②根据函数图象可进行求解； （3）由题意可先画出（）的图象，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴电流与电阻R、之间关系为， ∴当时，则，解得：，即； 当时，则，即； 故答案为：2，； （2）解：①所作函数图象如下： ②由图象可知：函数（）的一条性质为当时，y随x的增大而减小； 故答案为：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：由题意可先画出（）的图象，如图所示： ∴由图象可知：当时，的解集为； 故答案为：． 13．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据求出的长，结合F位于第一象限点，即可确定出F的坐标； （2）根据，根据关于k的方程即可解决问题； （3）存在这样的点F，使得为直角三角形．设，由，得到，代入反比例解析式得：；k的几何意义得到，即，，；，由为锐角，不可能为直角，故分两种情况考虑：当为直角时，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等得到与相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值；当为直角时，同理可证，求出a的值，结合题意，即可得出F的坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ∴， ，， ， ； （2）解：四边形的面积为12， ， ， ， 反比例函数的解析式为 （3）解：存在，理由： 设，由，得到，代入反比例解析式得：； ∵， ∴， ，， ∵， ∴为锐角，不可能为直角． 故分两种情况讨论： ①当时，可得， ∵， ， ∵， ， ， 即， 整理得， 解得：，舍去， ； ②当时， 同理可证， ， 即， 整理得， 解得，，均不合题意， ， 综上所述，当时，为直角三角形． 14．(1)8 (2)或； (3) 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可； （2）设，根据题意得，，，，确定，即可求解； （3）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移的性质得出点的坐标为，确定点在的图像上，得出，即可求解． 【详解】（1）解：延长交轴于，由题意得轴， 点的坐标为， ，， ， ， 点坐标为， ， （2）设， 根据题意得，， ∴， ∵的面积是菱形面积的， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点落在函数的图象点处， 点的坐标为， 点在的图像上， ，解得：，经检验符合题意， ． 15．(1)2，；或 (2) (3)点的坐标为或 (4)点或 【分析】（1）先把点和的横坐标代入一次函数解析式求出和的值，确定交点坐标后，观察函数图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围，即为不等式的解集． （2）利用第（1）问求出的点的完整坐标，代入反比例函数解析式中，求出系数的值，即可得到反比例函数的表达式． （3）和都是以为底的三角形，面积关系就是高的倍数关系，分别在点的上方和下方取点和，作平行于的直线，构造一次函数，求交点位置即可解决． （4）先求出直线与坐标轴交点、的坐标，分析的边角特征．由于点在轴上，与存在特殊位置关系，根据相似三角形的对应顶点不确定，分两种对应情况列比例式求解线段的长，进而确定点的坐标． 【详解】（1）解：点和在一次函数上． 代入得． 代入得． 观察图象，交点横坐标为和． 当时，直线在双曲线上方． 当时，直线在双曲线上方． 不等式的解集是解集为或． （2）解：把代入得，， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：点的坐标为：或； ， 以为底的高是以为底的高的2倍， ∵一次函数交x轴于点C， ， ∵一次函数与y轴交于点D， ， 在点D的下方取点M使，则点， 过点M作直线，直线m交反比例函数于点P， 则直线m的表达式为：， 当点P在上方时，取点N使，过点N作直线，交反比例函数于点P， 此时点P也符合题意，则直线n的表达式为；， 分别联立m，n和反比例函数的表达式得：或， 解得：或（或不合题意舍去）， 则点的坐标为：或； （4）解：由点A、O、C、D的坐标得，， ， 当或时， 与相似，即或， 解得：或， 或， 即点或． 16．(1) (2)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (3) 【分析】（1）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案； （2）根据待定系数法，依次求出反比例函数和一次函数解析式； （3）设点的坐标为，由和面积相等，得出关于的等式，求得的值，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：由图象得一次函数图象在反比例函数图象上方时，， 当时，一次函数大于反比例函数的值； （2）解：将代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 令，得， ， 将，代入一次函数中，得： ，解得， 一次函数的解析式为； （3）解：设点的坐标为， 由、的坐标可知，，，， 和面积相等，即， ， 解得， ， 和面积相等时，点的坐标为． 17．(1)；P点坐标为 (2)点F坐标为 (3) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根，求出，即可得出；结合求出P点坐标即可； （2）先求出，设点D坐标为，点E的纵坐标为，进而求出点E的坐标，根据题意列方程求出m值，即可求出结论； （3）过点P作轴于点M，作，交延长线于点N，证明，求出点H的坐标为，得出，解出值即可． 【详解】（1）解：∵关于t的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ∵为反比例函数图象上一点， ，即反比例函数表达式为； ∵， ，代入，得， 解得：（不合题意舍去）， ， ∴P点坐标为； （2）解：∵点Q为该反比例函数图象上一点，且Q点的横、纵坐标相等， 即当时，则， （负值已舍去）， ， ， 轴与A点， 轴， ∵点D为该反比例函数图象上一点， ∴设点D坐标为， 轴， ∴点E的纵坐标为，， 将反比例函数图象在直线上方的部分沿着翻折， ∴翻折前反比例函数图象上的点与翻折后图象上的点E关于直线对称， ∴点的纵坐标， 把代入， 则， ∴点的坐标， ∴点E的坐标， ∴， ， ， ∴， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴点D坐标为， ∴点F坐标为； （3）解：过点P作轴于点M，作，交延长线于点N， ， ∵线段绕点顺时针旋转到， ， ， ， ， 点H的坐标为， 当P、H在同一个反比例函数图像上， 则， ， 两边同时除以，得：， 设，则原方程化为， 两边同乘以x，得：， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， ． 18．(1) (2)①直线解析式为；②存在，或 【分析】（1）函数的图象过点和两点．可得方程组，解方程即可得出答案； （2）①设，过点作轴与交于点，则，，根据，求出点的坐标，可得答案； ②设，当时，过点作轴，于于，利用，求出点的坐标，再根据矩形的性质可得的坐标；当时，则，根据题意知，从而解决问题． 【详解】（1） 解：函数的图象过点和两点， 可得：， 解得：， （2）解：由（1）可知，点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， ， 直线的解析式为， 由知反比例函数的解析式为， 设点的坐标为， 如下图所示，过点作轴与交于点， 则点的坐标为， ， ， ， 解得:舍去， 点的坐标为， 将直线沿轴向左平移得直线， 设直线的解析式为， 将代入， 可得：， ， 直线解析式为； 设点的坐标为， 当时， 如下图所示，过点作轴，于于， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得或， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 当时，则， ， 解得或负值舍去， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 根据题意知， 综上：点的坐标为或． 19．(1) (2) (3)点G坐标为或 【分析】（1）先求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点，则，根据，列出方程进行求解即可； （3）先求出点坐标，分点G在x轴正半轴和点G在x轴负半轴上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴； 将代入，得， ∴； （2）解：设点，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，（舍）， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 把，，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， ∴当时，解得， ∴； ①点G在x轴正半轴， ∵，， ∴， ∴． 设， 则 ∴，（舍） ∴． ②点在x轴负半轴， 此时，， ∴ 过点A作轴于点，则是中点， ∴； 综上所述，点G坐标为或． 20．(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）结合反比例函数和正比例函数的交点，得出点与点关于原点对称，，证明，利用相似三角形的性质得出，即可求出的值； （2）设，表示出相关点的坐标，然后表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数得出，利用平行线的判定定理即可得出结论； （3）令，则，求出线段的解析式为，联立解析式求出交点坐标，然后分别求出相关线段的长度，求其比值判定是否为黄金分割点即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B， ∴点与点关于原点对称， ∴， 又∵轴C，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，且双曲线位于第一、三象限， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵轴C，轴，且AC与BD的延长线交于点E， ∴，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴； （3）证明：如图所示， 令，则， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 联立， 解得（负值已舍）， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C为线段的黄金分割点； ∵轴，， ∴直线的解析式为， ∵点Q为和的延长线交点， ∴， ∴， ∴， ∴点M为线段的黄金分割点． 21．(1)， (2)或 (3)当时，面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）分两种情况，设出点P，N的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到m的值； （3）过点Q作轴交于点E，先求得直线的解析式，进而设，则，，表示出的面积，根据不等式得出最小值，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过线段的端点，将点A的坐标代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，将点A的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①当N在P的上方时，如图1， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）； ②当P在N的上方时，如图2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，负值已舍去）， 综上所述：或． （3）解：如图3，D的横坐标为4，过点Q作轴交于点E， ∵沿x轴正方向平移3个单位得到线段， ∴直线的解析式为，将代入得：， 即， 设的表达式为，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴的表达式为， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，即（负值舍去）， ∴当时，面积最大，最大面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $