2026年中考数学三轮复习备考反比例函数与几何综合

2026年中考数学三轮复习备考反比例函数与几何综合 1．如图所示，直线交函数的图象于、两点，已知点坐标为，直线交轴于点，连接． （1）将直线向上平移个单位，恰与函数图象的左半支有唯一交点，求的值； （2）在线段上取点，使∽，求点的坐标． 2．如图，中，，，点，点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位后经过反比例函数的图象上的点，分别求与的值． 3．如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，连接，的面积为6． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，点B是反比例函数上的点，当时，直接写出点B的坐标． 4．如图，是反比例函数图像上的两个动点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接．设点的横坐标分别为，其中，． (1)若． ①__________； ②连接，求的面积（用含的代数式表示）； (2)点、到直线的距离相等吗？请说明理由． 5．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接． (1)求k和a的值； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 6．如图，在平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数y（k＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，OA：OB：1． （1）求k的值； （2）在x轴的负半轴上找点P，将点A绕点P顺时针旋转90°，其对应点A′落在此反比例函数第三象限的图象上，求点P的坐标． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，为中点，点关于直线的对称点为点． (1)点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接，若四边形为正方形． ①求的值； ②若点在轴上，当最大时，点的坐标为______． 8．如图，直线与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的解析式． (2)根据图象直接写出不等式的解集． (3)若点为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线分别交直线和反比例函数的图象于点，，当时，求点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为，顶点坐标为．将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点处，得到矩形，与交于点． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)求过点的反比例函数解析式； (3)若（2）中求出的反比例函数的图象与交于点，请探索：直线与是否垂直，并说明理由． 10．如图，在矩形中，，，点E是的中点，反比例函数（且）的图象经过点E，交于点F，直线的解析式为． (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式； (2)在反比例函数的图象上找一点D，使的面积为1，求点D的坐标． 11．如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点，与轴交于点．    (1)求与的值； (2)当时，的取值范围是___________； (3)若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 12．如图，边长为2的正方形的顶点分别在x轴、y轴上，函数的图象经过点B，把正方形沿翻折得到正方形，交这个函数的图象于点E，连接． (1)求k的值； (2)求四边形的面积． 13．如图，点、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴，交轴于点，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，且点在的下方，连接、，若，求点的坐标． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求、的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接． ①求的面积； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 15．如图，点在反比例函数的图象上，，直线轴，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）；（2），，， 【分析】（1）直线交函数的图象于、两点，求出，坐标，将直线向上平移个单位，得到，与函数图象的左半支有唯一交点，即可判断出 的值； （2）由于，则，求出，根据，，即可得出点的坐标． 【详解】解（1）， 与交点，，， ， 为， 向上平移单位后：， 即，在只有1个解， 即 在只有1个解，且代入得， ，即情况不存在， ， ； （2），时， ，在坐标轴中如图所示， 若， 则， 即， 只有， 即， ，．， ， ，， 即，，，． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用和相似三角形的性质，熟练掌握此类知识是解题的关键． 2．（1）；（2）， 【分析】（1）过点A作轴于D，可证，得出A点坐标，待定系数法求出解析式即可； （2）将点代入（1）中解析式和直线平移后的直线解析式中，分别求出，的值即可． 【详解】解：（1）如图，过点A作轴于D，则， ∵，， ∴， ∵， ， 又∵，∠BOC=∠CDA=90°， ， ∵点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）， ∴，， ∴，， ∴OD=OC+CD=6， ∴点A的坐标为（6，2）， 把A点坐标代入到反比例函数中，得， ∴反比例函数解析式为； （2）∵在上， ， 设直线OA解析式为 ， ∴， ∴直线OA解析式为 ∴直线向上平移个单位后的解析式为：， ∵直线图象经过（3，4） 解得： ，． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 3．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设点P的坐标为，根据的面积为6列式求解； （2）设点B的坐标为，则，由此可解． 【详解】（1）解：设点P的坐标为， 则，， 的面积为6， ， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：设点B的坐标为， ，， ， 解得， ， 点B的坐标为． 4．(1)①2；② (2)相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形面积公式． （1）①根据，反比例函数的解析式为求出点N的纵坐标，即可求出的值； ②根据三角形面积公式进行求解即可； （2）连接、．求出，，说明，根据、有公共底边，说明点 P、Q到直线的距离相等． 【详解】（1）解：①∵， ∴点N的横坐标为， 把代入得：， ∴点N的坐标为， ∴； 故答案为：2 ② ． （2）解：相等，理由如下：     连接、． ， ， ， ， 又∵、有公共底边， ∴点 P、Q到直线的距离相等． 5．(1)和a的值分别为，2； (2)4； (3)或． 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与不等式，理解反比例函数的图象和性质是解答关键． （1）求出，代入中来求解即可； （2）求出和，进一步得到，即可求出答案； （3）根据反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 利用图象来求解不等式的解集． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数解析式 得：即 又点在反比例函数图像上 和a的值分别为，2 （2）反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B 又点C是点A关于y轴的对称点 （3）反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 当或时，反比例函数的图象位于正比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或 6．（1）；（2）点P的坐标为． 【分析】（1）首先根据点A的横坐标为2得到，然后根据OA：OB：1求出的长度，利用勾股定理求出的长度，即可求出点A的坐标，代入反比例函数y即可求出k的值； （2）过点A′作轴交于点G，设点P（a，0），根据题意证明，然后表示出点A′的坐标，代入反比例函数表达式即可求解． 【详解】解：（1）∵点A的横坐标为2，且AB⊥x轴， ∴， ∵OA：OB：1， ∴， ∴在中，， ∴点A的坐标为（2，4）， ∴将点A（2，4）代入y，得：． （2）如图所示，点A绕点P顺时针旋转90°，其对应点A′落在此反比例函数第三象限的图象上， 过点A′作轴交于点G，设点P（a，0）， ∵，， ， 又∵，， ∴， ∴， 则点A′的坐标为， ∵点A′在反比例函数图像上， ∴， 解得：（舍去）， 故点P的坐标为． 【点睛】此题考查了勾股定理的运用，全等三角形的性质和判定，求反比例函数的比例系数，反比例函数和几何综合，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 7．(1)点在这个反比例函数的图象上，理由见解析 (2)①；②． 【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，求得，于是得到点在这个反比例函数的图象上； （2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论； ②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上， 理由：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， 设点的坐标为， 点关于直线的对称点为点， ，平分， 如图．连接交于， ， ∵为中点，轴于点， ∴， ， ， ， 轴于， ∴轴， ， ， 点在这个反比例函数的图象上； （2）解：①四边形为正方形， ，垂直平分， ， 设点的坐标为， ，， ， （负值舍去）， ，， 把，代入得， ； ②延长交轴于， ，， 点与点关于轴对称， ， 则点即为符合条件的点， 由①知，，， ，， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ． 故当最大时，点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．(1) (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据点在直线上，求出，从而可得点的坐标为，丙根据点在反比例函数的图象上，代入中，求得，从而可得反比例函数的解析式为； （2）先求出点坐标，再结合点坐标，观察函数图象得出不等式的解集； （3）分“点在点下方”、“点在点上方”两种情况，分别求得点的坐标． 【详解】（1）解： 点在直线上， 将代入，得点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， 将代入中，得，． 反比例函数的解析式为． （2）解，得或， ∵点的坐标为， ， ， ， ∴或． （3）分情况讨论：①当点在点下方时，如图， 设点的坐标为，则点的坐标为， ．，． 则点的坐标为，即． 将代入，得， 解得，（舍去）．点的坐标为． ②当点在点上方时，如图， 设点的坐标为，则点的坐标为， ．，． 则点的坐标为，将代入，得， 解得，（舍去）．点的坐标为 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数解析式，解题关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式． 9．(1)，理由见解析； (2) (3)直线与垂直，理由见解析． 【分析】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点， （1）根据旋转的性质得到，再根据等角的余角相等可得，然后根据相似三角形的判定方法即可得到； （2）由点坐标为，点坐标为得到，，则，，由于，则：：，即：：，可求得，可得到点坐标为，然后利用待定系数法即可得到过点的反比例函数解析式； （3）先根据点的横坐标为和点在得到点坐标，得出，而，，所以：：，：：，则：：，而，根据相似三角形的判定方法得到，可得，由，则，于是有直线与垂直． 【详解】（1）解：和相似．理由如下： 矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点处，得到矩形， ， ，， ， ； （2）点坐标为，点坐标为， ，， ，， ， ：：，即：：， ， 点坐标为， 设过点的反比例函数解析式为， 把代入得， 过点的反比例函数解析式为； （3）直线与垂直．理由如下： 把代入中得， 点坐标为， ， 而点坐标为， ，， ：：，：：：， ：：， 而， ， ， ， ， ， 直线与垂直． 10．(1)， (2)D的坐标为或 【分析】（1）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点F的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）设点D的坐标为，利用的面积为1，得到，解得a的值，即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：∵点E是的中点，， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴． ∵反比例函数（且）的图象经过点E， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 当时，， ∴， 把和代入 得， ∴ ∴直线EF的解析式为； （2）设点D的坐标为． ∵的面积为1， ∴，解得或， 当时，， 当时，， ∴D的坐标为或． 【点睛】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，反比例函数的性质等知识，数形结合是解题的关键． 11．(1)，8 (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线解析式得到值，将点坐标代入求出的直线解析式得到值，将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）根据两个函数图象，直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，根据列出方程，求出值即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：． ． 把代入得：． 的值为，的值为8． （2）由图象可知：当时，的图象在的上方， 当时，的取值范围是：． 故答案为：． （3）当时，． ， 为轴上的一动点， ． ， ， ， ， 或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 12．(1)4 (2)3 【分析】（1）根据正方形的面积公式可求得点B的坐标，代入函数中从而求得k值； （2）先根据正方形的性质求得点E的横坐标，代入反比例函数解析式求得其坐标，利用梯形的面积公式即可得到结果． 【详解】（1）由题意，知， ∵函数的图象经过点B， ∴， ∴； （2）由题意，知， 当时，， ∴．∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题考查了反比例函数与几何图形面积，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．要会熟练地运用待定系数法求函数解析式，这是基本的计算能力． 13．(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将代入求出的值，即可求出反比例函数的表达式； （2）将代入求出点的坐标为，根据轴及可知，根据得到，设点的坐标为，根据三角形面积公式求出，可知，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入中，得， 点的坐标为， 轴，， ， ， ， 设点的坐标为， 则， 解得， 即， ， 点的坐标为． 14．(1)， (2)①10；②或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解． （1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）①利用点，点求出直线的函数解析式，从而求出点的坐标，利用割补法即可求解； ②分两种情况：以和为对角线时，由可以看作先向右平移到点与原点重合，再向上平移2个单位得到，可知点的纵坐标为6，从而可得点的坐标；以和为对角线时，由可以看作先向下平移2个单位，再向左平移到点与点重合，可知点的纵坐标为2，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得， ∴，． （2）解：设直线函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 由得，，， ∴点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，与的延长线交于点， ∴． ②设点，， ∵，，点、、、构成平行四边形， 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点的纵坐标为6，即， ∴， ∴点的坐标为； 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， ∴点的纵坐标为2，即， ∴， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 15．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式的确定、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数解析式和平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式，求出的值，即可得到反比例函数的解析式． （2）由轴得点的纵坐标与点的纵坐标相等，将其代入反比例函数解析式求出点的横坐标，从而得到的长度，再以为底、点到的距离为高，利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：在上， ， ， ； （2）解：，， ， 代入得， ∴， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $