2025-2026学年浙教版数学八年级下册期末考试冲刺卷

**基本信息** 浙江八年级数学期末冲刺卷全面覆盖浙教版下册知识，通过银行图案识别（中心对称）、社区收入增长（方程模型）、瓷砖拼铺（空间观念）等真实情境，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|中心对称、分式意义、方程根的判别|结合生活场景（银行图标）考查基础概念| |填空题|6/18|多边形内角、反证法、旋转重叠面积|融入折纸（正五边形）、统计（箱线图）等实践情境| |解答题|8/72|几何证明（菱形）、统计分析（方差）、新定义（等根值）|23题新定义“等根值”考查抽象能力，24题正方形综合题发展推理能力|

浙江八年级数学下学期期末考试冲刺卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 2．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 3．测试范围：新教材浙教版八年级下册全册。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列图案是几大银行图案，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．若代数式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．在平行四边形中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．某服装原价为500元，连续两次降价后售价为320元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知一组数据的方差为4，则另一组数据的方差为（　　　） A．11 B．9 C．16 D．4 8．如图，在中，，将沿对角线翻折，交于点E，点D的对应点为点F，则的度数是（   ） A．80° B．90° C．100° D．110° 9．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点到点的距离为(   ) A． B． C． D． 10．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是__________边形． 12．若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 13．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应先假设______． 14．已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级成绩的箱线图如图所示，则A，B两个班级平均分较高的是________班． 15．如图是用矩形纸条折正五边形的步骤，将图①中的矩形纸条打结，并拉紧压平，得到如图②所示的正五边形，则图中的度数为______． 16．如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本大题8分）计算 (1)； (2)； 18．（本大题8分）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 19．（本大题8分）某社区便民生活服务中心9月份的服务收入为4万元，随着居民消费需求提升，服务项目不断拓展，11月份的服务收入达到5.76万元． (1)求该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率； (2)若收入还保持相同的月平均增长率，则该服务中心12月份的服务收入是多少万元？ 20．（本大题8分）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 21．（本大题8分）下面是某校甲、乙两组舞蹈队12名队员的身高（单位：）． 甲组：155  160  160  162  162  162  162  163  164  164  165  165 乙组：150  152  152  152  152  153  165  170  172  172  174  180 分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 162 a 162 c 乙组 162 159 b 113.8 (1)__________，__________． (2)请通过计算确定的值． (3)观察甲组舞蹈队员身高的箱线图，请在图中绘制乙组舞蹈队员身高的箱线图，并通过对比分析，写出一条你所获取的结论． 22．（本大题10分）如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． (1)求证：和互相平分； (2)若，求四边形的周长． 23．（本大题10分）对于代数式，若存在实数n，使得当时，代数式的值等于n2，则称n为这个代数式的等根值．例如：对于代数式，当时，，因此0是该代数式的等根值． (1)基础计算 关于x的代数式的等根值是_____． (2)存在判断 关于x的代数式是否存在等根值？若有，请求出所有等根值；若没有，试说明理由． (3)综合应用 已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个等根值，求实数k的值； ②若此代数式有两个不相等的等根值、，且为整数，求正整数k的所有可能值． 24．（本大题12分）在正方形中，点，点分别在边，上，满足，点是对角线的中点．   (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，直接写出的长为________． (3)如图3，连接，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江八年级数学下学期期末考试冲刺卷 双向细目表 考查范围：图形的变化、数与式、方程与不等式、图形的性质、统计与概率 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 中心对称图形的识别 2 容易 二次根式有意义的条件 3 容易 根据判别式判断一元二次方程根的情况 4 容易 利用平行四边形的性质求解 5 容易 利用二次根式的性质化简,二次根式的加减运算,二次根式的混合运算 6 容易 增长率问题(一元二次方程的应用) 7 适中 求方差 8 适中 折叠问题,等腰三角形的性质和判定,利用平行四边形的性质求解 9 适中 根据矩形的性质求线段长,已知两点坐标求两点距离 10 困难 利用勾股定理证明线段平方关系,全等的性质和SAS综合（SAS）,用勾股定理解三角形 二、填空题 11 容易 多边形内角和问题 12 容易 根据一元二次方程根的情况求参数 13 容易 反证法证明中的假设 14 适中 画箱线图,求四分位数 15 适中 正多边形的内角问题,等边对等角,三角形的外角的定义及性质 16 困难 含30度角的直角三角形,根据旋转的性质求解,利用菱形的性质求线段长 三、解答题 17 容易 利用二次根式的性质化简,二次根式的加减运算,二次根式的混合运算 18 适中 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案,轴对称图形的识别,中心对称图形的识别 19 适中 增长率问题(一元二次方程的应用),有理数四则混合运算的实际应用 20 适中 证明四边形是菱形,根据菱形的性质与判定求线段长,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质和判定 21 适中 画箱线图,求众数,求四分位数,求方差,求中位数 22 适中 与三角形中位线有关的证明,利用二次根式的性质化简,用勾股定理解三角形,利用平行四边形性质和判定证明 23 困难 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项,一元二次方程的根与系数的关系,根据判别式判断一元二次方程根的情况,根据一元二次方程根的情况求参数 24 困难 斜边的中线等于斜边的一半,全等的性质和SAS综合（SAS）,全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）,根据矩形的性质与判定求线段长,等腰三角形的性质和判定,根据正方形的性质证明,等边三角形的判定和性质,用勾股定理解三角形 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江八年级数学下学期期末考试冲刺卷 （答案及解析） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 2．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 3．测试范围：新教材浙教版八年级下册全册。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列图案是几大银行图案，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，结合图形，确定对称中心即可求解． 【详解】解：A、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、有对称中心，是中心对称图形，符合题意； C、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B ． 2．若代数式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式无意义的条件，被开方数需为负数，故建立不等式计算即可． 【详解】解：∵代数式无意义， ∴， 解得． 3．方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】利用根的判别式的值与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：对于方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．在平行四边形中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的对角相等的性质． 【详解】解：在平行四边形中，对角相等，即．已知，因此． 故选C． 5．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式加减乘运算法则和算术平方根的非负性，逐个计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 6．某服装原价为500元，连续两次降价后售价为320元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据连续两次降价，每次降价后价格变为原价的倍，因此两次降价后价格为原价乘以的平方，再根据售价320元列方程． 【详解】解：原价为500元，每次降价， ∴第一次降价后价格为，第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 7．已知一组数据的方差为4，则另一组数据的方差为（　　　） A．11 B．9 C．16 D．4 【答案】C 【分析】本题考查方差的变换规律，涉及的知识点是“方差的性质：若一组数据的方差为，则数据的方差为（常数不影响方差的倍数变化，仅影响）”．解题方法是直接利用方差的变换公式计算新数据的方差；解题关键是牢记方差的变换规律，区分“加减常数不改变方差，乘除常数对方差的影响是平方倍”．易错点是混淆方差与平均数的变换规律，误将常数的影响计入方差．解题思路为：根据已知数据的方差，结合新数据的变换形式（乘加），利用方差变换公式计算新方差． 【详解】已知原数据的方差为． 对于新数据， 根据方差的性质：若原数据方差为， 则数据的方差为． 此处， 因此新数据的方差为： 故选C． 8．如图，在中，，将沿对角线翻折，交于点E，点D的对应点为点F，则的度数是（   ） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、折叠的性质，易知，，由平行线的性质得，由折叠的性质得，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴． 故选：C． 9．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点到点的距离为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质,勾股定理，连接，由勾股定理求得的长，再根据矩形对角线相等的性质即得答案． 【详解】解：如图，连接， 点的坐标是， ， 四边形是矩形， ． 故选：D． 10．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，进而判定①；根据勾股定理与等量代换可得②正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③；再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与不一定相等， 故不成立，故①错误； 由①中证明， ∴， 连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴， ∵, ∴，故③错误， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是__________边形． 【答案】 五 【分析】设这个多边形边数为n，由多边形的每一个内角都是可得其内角和为，结合多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ， 解得， ∴这个多边形是五边形． 12．若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 【答案】 【分析】一元二次方程有实数根的条件：一元二次方程根的判别式大于或等于0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴最小整数． 13．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应先假设______． 【答案】 【分析】根据反证法的步骤，第一步假设命题结论不成立，写出原结论的否定即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设结论不成立， 原命题结论为，其否定为， 因此第一步应先假设． 14．已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级成绩的箱线图如图所示，则A，B两个班级平均分较高的是________班． 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图的应用，熟练掌握箱线图中各统计量（分位数、最值等）的意义是解题的关键． 通过观察两个班级成绩箱线图中各分位数（上四分位数、下四分位数）以及最低分的情况，来比较两个班级的平均分高低． 【详解】解：由两个班级的成绩箱线图可知， A班的上四分位数与B班的中位数一致，均为120， B班的下四分位数大于A班的下四分位数， B班的最低分也大于A班的最低分， 所以B班的平均分较高， 故答案为：B． 15．如图是用矩形纸条折正五边形的步骤，将图①中的矩形纸条打结，并拉紧压平，得到如图②所示的正五边形，则图中的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角，三角形的外角，根据正多边形的内角的计算方法，求出的度数，等边对等角，求出的度数，同理求出的度数，再利用外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图， 多边形是正五边形， ，， ， ， ， ， 同理， ， 故答案为： 16．如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，作于点，利用菱形的性质和旋转的性质求出，，利用直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合 进行求解即可． 【详解】解：连接，作于点，则， ∴，，， ∴， 将菱形绕点顺时针旋转得到菱形， ∴，，， ，，， ， ∴，， 点在上，， ∴，， ， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本大题8分）计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本大题8分）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：是轴对称图形而不是中心对称图形， ， 如图所示：是中心对称图形而不是轴对称图形 ； （2）解：如图所示：既是轴对称图形又是中心对称图形， ． 19．（本大题8分）某社区便民生活服务中心9月份的服务收入为4万元，随着居民消费需求提升，服务项目不断拓展，11月份的服务收入达到5.76万元． (1)求该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率； (2)若收入还保持相同的月平均增长率，则该服务中心12月份的服务收入是多少万元？ 【答案】(1)该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为 (2)该服务中心12月份的收入是6.912万元 【分析】（1）设该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为，根据“服务中心9月份的服务收入为4万元，11月份的服务收入达到5.76万元”列出方程，求解即可； （2）根据（1）中计算的增长率，即可求解． 【详解】（1）解：设该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）． 答：该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为． （2）解：由（1）可知该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为． （万元）． 答：该服务中心12月份的收入是6.912万元． 20．（本大题8分）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证四边形是菱形，先根据等腰三角形三线合一得、，结合证其为平行四边形，再由证得菱形； （2）求菱形面积，先利用菱形性质、直角三角形性质求出和的长，再用菱形面积公式计算． 【详解】（1）证明：，平分于点， ，． ， 四边形是平行四边形． ，点在的延长线上， ， 是菱形． （2）解：四边形是菱形， ． ，， ． 在中，， ， ． 由勾股定理，， ， ． ， ． ， ． ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理（对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ）和性质、等腰三角形三线合一、直角三角形中角所对直角边与斜边关系等是解题的关键． 21．（本大题8分）下面是某校甲、乙两组舞蹈队12名队员的身高（单位：）． 甲组：155  160  160  162  162  162  162  163  164  164  165  165 乙组：150  152  152  152  152  153  165  170  172  172  174  180 分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 162 a 162 c 乙组 162 159 b 113.8 (1)__________，__________． (2)请通过计算确定的值． (3)观察甲组舞蹈队员身高的箱线图，请在图中绘制乙组舞蹈队员身高的箱线图，并通过对比分析，写出一条你所获取的结论． 【答案】(1)162；152 (2)7 (3)图见解析，结论：乙组数据波动较大，甲组数据比较稳定 【分析】本题考查中位数、众数、方差，箱线图等知识，掌握四分位数、箱线图的定义是正确解答的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可解答； （2）根据方差的定义列式计算即可； （3）先根据四分位数的定义计算乙组的四分位数，再根据箱线图的定义和绘制方法画出箱线图；然后根据甲组、乙组的四分位数以及箱线图可得结论． 【详解】（1）解：∵甲组最中间的两个数是162，162， ∴， ∵乙组中出现最多的数是152，出现了4次， ∴， 故答案为：162；152； （2）解：甲组的方差： ； （3）解：乙组舞蹈队12名队员的身高的四分位数，，， 画图如下： 由甲组、乙组的箱线图和四分位数的大小可知，乙组数据波动较大，甲组数据比较稳定． 22．（本大题10分）如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． (1)求证：和互相平分； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：，分别为边，的中点， ∴是的中位线， 且， 同理且， 且， 四边形是平行四边形， 与互相平分 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证且，且，从而得出且，进而可证结论成立； （2）由，分别为边，的中点，可得，，由是斜边的中点，可得，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：为等边三角形，， ∴， ∵，分别为边，的中点， ∴，， 由（1）可知，， 在中，是斜边的中点， ， 在中，， 由（1）可知边形是平行四边形， ∴， ， 四边形的周长为． 23．（本大题10分）对于代数式，若存在实数n，使得当时，代数式的值等于n2，则称n为这个代数式的等根值．例如：对于代数式，当时，，因此0是该代数式的等根值． (1)基础计算 关于x的代数式的等根值是_____． (2)存在判断 关于x的代数式是否存在等根值？若有，请求出所有等根值；若没有，试说明理由． (3)综合应用 已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个等根值，求实数k的值； ②若此代数式有两个不相等的等根值、，且为整数，求正整数k的所有可能值． 【答案】(1) (2)不存在等根值．理由如下： 假设存在等根值，则， 化简得， ， 此关于的一元二次方程没有实数根， 关于的代数式不存在等根值； (3)①k或；② 【分析】（1）依据“等根值”定义列等式，消去二次项后解一元一次方程即可求出等根值． （2）假设存在等根值，列出方程，整理为一元二次方程，通过判别式正负判断实数根有无，确定是否存在等根值． （3）①先根据定义整理得，分两类讨论：时方程为一元一次方程，仅有一解；时一元二次方程有两个相等实数根，分别求k． ②利用韦达定理写出、，对代数式化简变形，结合式子为整数确定的整数值，再用判别式取舍，求出符合条件的正整数． 【详解】（1）解：由题意，得， 化简得， 解得； （2）略 （3）①由题意，得， 化简得， 代数式仅有一个等根值， 关于的方程有两个相等的实数根或． 当，一元二次方程有两个相等实数根时， ， 解得； 当时，即时，方程变为，是一元一次方程，仅有一个实根，符合题意． 或； ②代数式有两个不相等的等根值，，且为整数 ，k是正整数， ， 即， ，，， ， ， ， ， ， 为整数，k是正整数 ． 即或， 当时， ，符合题意； 当时， ，不符合题意，舍去． 综上，正整数． 24．（本大题12分）在正方形中，点，点分别在边，上，满足，点是对角线的中点．   (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，直接写出的长为________． (3)如图3，连接，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴； (2) (3) 【分析】（1）利用证明即可． （2）如图，连接交于，证明是等边三角形，再进一步求解即可． （3）延长交分别于点，作于点，进一步证明，可得，进一步证明，结合全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，延长交分别于点，作于点，如图， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $