18.3 正方形性质和判定 专项训练 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 华东师大版八年级下册《正方形性质和判定》专项训练，通过“概念辨析-性质应用-综合证明-实践探究”四阶训练，系统构建从判定定理到跨知识综合应用的解题方法体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|7（选择1-6、填空15）|四边形判定定理对比辨析|从平行四边形到正方形的特殊化逻辑链| |性质应用|8（选择7-10、填空11-14）|对角线计算/中点四边形/坐标面积|性质与勾股定理、中位线定理结合| |综合证明|3（解答17-19）|全等三角形证明/旋转性质应用|正方形性质与全等、对称的综合推理| |实践探究|2（解答20-21）|坐标系建模/折纸操作验证|几何直观与代数表达的转化应用|

华东师大版春学期八年级下册《正方形性质和判定》专项训练学校： 考号： 姓名： 班级： ※※※※※※※※※※※密※※※※※※※※※※※※※※※※※封※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线※※※※※※※※※※※※※ 一、选择题(共10题) 1、下列命题是假命题的是(　　　) A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 2、如图1：正方形ABCD与平行四边形BCEF的一边重合。若BF平分∠ABC，则∠E的度数是(　　　) 图4 图3 图1 图2 A.30° B.45° C.60° D.135° 3、在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是(　　　) A.①处应添加对角相等 B.②处应添加对角线互相垂直 C.③处应添加有一组邻边相等 D.④处应添加有一个角是直角 4、矩形、正方形、菱形都具有的性质是(　　　) A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线长度相等 D.对角线平分一组对角 5、如图2：在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝3，以AB、AC为边做正方形，这两个正方形的面积和为(　　　) A.5 B.9 C.16 D.25 6、如图3：已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中错误的是(　　　) A.当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形 B.当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是正方形 C.当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形 D.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 7、如图4：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC＝，则正方形ABCD的周长为(　　　) A.4 B.4 C.2 D.8 8、如图5：在正方形ABCD中，点E在对角线AC的延长线上，且满足CE＝BC，连接BE，则∠E＝(　　　) 图8 图7 图6 图5 A.15° B.22.5° C.30° D.45° 9、学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图6所示。则绳子围成的四边形的形状一定是(　　　) A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.对角线相等的四边形 10、如图7：点M是正方形ABCD的边CD上一点，把△ADM绕点A顺时针旋转90°到△ABN的位置。过点A作AO⊥MN于点O，连接OC。若AD＝4，DM＝2，则OC的长为(　　　) A.2 B. C.2 D. 二、填空题(共6题) 11、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是　　　　　　。 12、如图8：▱ABCD的对角线交于点O，若AC＝BD，请你添加一个条件，使▱ABCD是正方形　　　　　　。 13、已知在平面直角坐标系中，一个正方形的顶点坐标分别为(0，0)、 (0，3)、(3，3)、(3，0)，则该正方形的面积为　　　　　。 14、如图9：在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、 AF、EF，若AE、AF分别平分∠BEF和∠DFE。已知AB＝5， 图9 则(BE＋5)(DF＋5)的值为　　　　　　。 15、下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；②矩形的对角线一定互相垂直；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线垂直的矩形是正方形。其中正确的是　　　　　　(把所有正确结论的序号都填上)。 16、如图10：正方形A1B1C1O、A2B2C2C1…按照如图所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝kx＋b(k＞0)和x轴上，已知B1(1，1)，B2(3，2)，B3(7，4)，则B2026的坐标是　　　　　　　　。 三、解答题(共5题) 17、如图：在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上， 且∠BAE＝∠DAF。求证：CE＝CF 18、如图：四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF⊥DG于F。 (1)求证：△AED≌△DFC；(2)求证：AE＝CF＋EF。 19、如图：点E、F分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点，点P为正方形外一点，连接PA、PD、PE、PF，且PA＝PD，求证：PE＝PF。 20、如图：正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(－2，0)、(0，4)，反比例函数y＝ (x＜0)的图象经过点D。 (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线OD向上平移m个单位长度后经过反比例函数 y＝(x＜0)的图象上的点(－3，n)，求m的值。 21、实践与探究——折纸 素材：一张正方形纸片 步骤：(1)如图：将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形ABCD，将矩形ABCD对折，使边AB与CD重合，折痕交BC于点M，展开； (2)分别将BM、CM沿过点M的直线折叠，点B、C重合于点H处，折痕分别交AB、AD于点E、F。 猜想与证明： 【初步感知】(1)写出EM与FM的数量关系是　　　　　　，位置关系是　　　　　　(直接写出结论，不写推理过程)； 【深入探究】(2)证明(1)中你发现的结论。 华东师大版春学期八年级下册《正方形性质和判定》专项训练解析答案学校： 考号： 姓名： 班级： ※※※※※※※※※※※密※※※※※※※※※※※※※※※※※封※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线※※※※※※※※※※※※※ 一、选择题(共10题) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B B B B B A B 1、C 【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，逐项判断命题的真假即可得出答案. 【详解】解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，是真命题，不符合题意； B.四边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，是真命题，不符合题意； C.对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，原命题缺少对角线相等的条件，因此原命题是假命题，符合题意； D.三个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意； 2、B 【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，角的平分线求解即可； 【详解】解：因为正方形ABCD与平行四边形BCEF的一边重合， 所以，， 因为BF平分， 所以， 所以. 3、A 【分析】矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形. 【详解】解：A、“对角相等”是平行四边形的固有性质，不能作为判定它是矩形的条件，故A箭头处应添加的条件填写错误，符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故C箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意. 4、B 【分析】利用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形分析判断即可. 【详解】解：由矩形对角线不互相垂直，也不能平分一组内角，菱形对角线长度不相等，则A、C、D都不是三者共有的性质；矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，因此B符合要求. 5、B 【分析】设，两个正方形的面积分别为，根据勾股定理可得，代入数据即可求解. 【详解】解：设，则以，为边的两个正方形的面积分别为， ， 在中，由勾股定理得， 即两个正方形的面积和为， ， 面积和. 6、B 【详解】解：A、当时，四边形是菱形，正确； B、当时，四边形是矩形，不是正方形，故错误； C、当时，四边形是矩形，正确； D、当时，四边形是菱形，正确. 7、B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理解出即可. 【详解】解：设正方形边长为， ，即， 解得(负值已舍去)， 故正方形的周长为. 8、B 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴. 9、A 【分析】根据三角形中位线，菱形的判定解答即可； 【详解】解：连接， 因为矩形操场的四条边中点各立一个篮球架， ，， 故， 故四边形是菱形； 10、B 【分析】由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，进而根据“三线合一”得到点O是的中点，运用勾股定理在中求得，进而根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵把绕点顺时针旋转到的位置 ∴，， ∵， ∴点O是的中点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点O是的中点， ∴. 二、填空题(共6题) 11、矩形 【分析】根据三角形中位线定理可推出所得四边形对边平行且相等，判定为平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，可推出平行四边形有一个内角为直角，利用矩形的判定定理即可得到结论. 【详解】解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、， ，，，分别是菱形四边的中点， 是的中位线，是的中位线， 根据三角形中位线定理可得：，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ，， ，即， 平行四边形是矩形. 12、(答案不唯一) 【分析】先得到四边形是矩形，再从矩形的角度添加条件证明其为正方形即可. 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 若添加条件， 四边形是矩形，， 四边形是正方形. 13、9 【详解】解：在坐标系中，画出正方形的顶点，如下图 由已知顶点坐标可得，正方形的边长为； 根据正方形面积公式(为边长)，代入得. 14、50 【分析】过点A作交于点G，根据角平分线的性质可知，.再证明，得到，，，则四边形是正方形，，设，，则，，，在中，根据勾股定理求得，进而可求解. 【详解】解：过点A作交于点G，如图所示. 根据角平分线的性质可知，，，. ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，， 设，，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 整理，得， ∵， ∴. 15、③④/④③ 【分析】根据菱形，矩形，平行四边形，正方形的判定定理和性质，对每个说法逐一判断. 【详解】解：①根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故①错误.； ②矩形的性质为对角线相等，矩形对角线不一定互相垂直，仅邻边相等的特殊矩形即正方形对角线互相垂直，故②错误； ③根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故③正确； ④根据正方形的判定定理，对角线垂直的矩形是正方形，故④正确； 综上，正确的是③④. 16、 【分析】先求出点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得点的坐标，归纳类推出一般规律即可. 【详解】解：∵，， ∴，， 将点，代入直线得：， 解得， ∴， ∵，， ∴，，即，， ∴，即， 归纳类推得：点的横坐标为，纵坐标为，其中为正整数， ∴的坐标是. 三、解答题(共5题) 17、证明：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 即. 【详解】略 18、(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)由题意得，，，由互余得，故； (2)由(1)得，，故. 【详解】(1)证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； (2)证明：， ，， ， . 19、见解析 【分析】利用正方形的性质得出，得出，利用等边对等角得出，根据角的和差关系可得出，证明，由全等三角形的性质得出. 【详解】证明：四边形为正方形， . 点分别为的中点， ， . ， ， ， ， . 20、(1) (2) 【分析】(1)过点D作轴，垂足为点F，先证明，求得，，所以，得到，再将代入求解即可； (2)先求出n的值，然后求出直线平移后的解析式为，再将代入求解即可. 【详解】(1)解：过点D作轴，垂足为点F，如图， 由题意知，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， 反比例函数的图象经过点D， ， ， 反比例函数的解析式为； (2)解：点在反比例函数的图象上， ， 设直线的解析式为， 把代入，得， ， 直线的解析式为， 根据题意，直线平移后的解析式为， 直线过点， ， 解得. 21、(1)， (2)见解析 【分析】(1)根据折叠的性质可得结论：，； (2)如图，过点作于点.先证明，再证明，可得结论. 【详解】(1)解： ，； (2)证明：如图，由折叠可知，， ， ， ， 过点作于点， 则四边形是长方形， ， ， ， 四边形是正方形对折得到的长方形，得， ， ， ， 。 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $